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不等式——高考数学一轮复习单元检测卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则为( )
A. B. C. D.
2.已知正实数a，b，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设集合，，则( )
A. B. C. D.
4.如果，那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若存在，使不等式成立，则实数a的( )
A.最大值是-2 B.最小值是6 C.最小值是-2 D.最大值是6
6.已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知不等式的解集是，则不等式的解集为( )
A. B.或
C. D.或
8.已知，，且，则的最小值为( )
A.13 B. C.14 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知a，b，m都是负数，且，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法中，不正确的有( )
A.的最小值是2
B.“方程有一正一负根”的充要条件是“”
C.不等式的解集为
D.命题p：“，”的否定为“，”
11.若正实数a，b满足，则( )
A.的最小值为 B.的最大值为1
C.的最小值为 D.的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若关于x的不等式 的解集为空集，则实数k的取值范围是___________.
13.若，则，的最大值为___________________.
14.某物流公司购买了一批自动分拣机器人投入运营.据分析，这批机器人运营的总利润y（单位：万元）与运营年数x（，）为二次函数关系，其部分对应关系如下表所示：
运营年数x 1 … 5 … 7 …
总利润y … 10 … 10 …
则这批机器人运营年数为___________时，其运营的年平均利润最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2024年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年每产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，且知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）记2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），求的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
16.（15分）已知关于x的不等式.
（1）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
17.（15分）已知关于x的不等式.
（1）当时，解关于x的不等式;
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
18.（17分）已知函数.
(1)解不等式;
(2)当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值.
19.（17分）已知a，b，，关于x的一元二次不等式的解集为.
（1）求b，c的值;
（2）解关于x的不等式.
答案以及解析
1.答案：A
解析：集合，
，
所以.
故选：A.
2.答案：B
解析：若，取，，则，即不能推出，故充分性错误;
若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是，
所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件.
故选:B
3.答案：C
解析：不等式，可化为，所以，
所以或，故或，
不等式的解集为，
所以，所以.
故选：C.
4.答案：C
解析：若，，则，
则，即，充分性成立;
若，，则，
所以，必要性成立，
所以如果，那么“”是“”充要条件.
故选:C
5.答案：A
解析：因为存在，使不等式，
所以，其中为的最大值，
时，，所以，
而，当且仅当时取等号，
所以
所以
故选：A.
6.答案：D
解析：由题设，
由，即在上恒成立，
当时，恒成立，此时，
当时，不等式不成立，
当时，恒成立，此时，
综上，实数x的取值范围是.
故选：D.
7.答案：B
解析：因为不等式的解集是，所以和是方程的两根，且，所以解得，，
所以不等式可化为，
因为，所以不等式等价于，即，解得或，即不等式的解集为或.故选B.
8.答案：A
解析：，，又，且，
，
当且仅当即时等号成立，故的最小值为13.故选A.
9.答案：BD
解析：因为a，b都是负数，
且，所以，.
对于A：，则，故A错误；
对于B：，
则，故B正确；
对于C：，
则，故C错误；
对于D：，
则，故D正确.
故选：BD.
10.答案：ACD
解析：对于A，当时， ，当且仅当时取等号；
当时，有，当且仅当时取等号，
所以只有当时，的最小值才是2，故A错误；
对于B，方程有一正一负根的充要条件是，
解得，故B正确；
对于C，不等式等价于，即，即，
即为，解得，所以原不等式的解集为，故C错误；
对于D，命题“，”的否定为“，或”，故D错误.
故选：ACD.
11.答案：BC
解析：正实数a，b满足，，
对于A，，
当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，
当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
12.答案：
解析：由题意得，关于x的不等式 的解集为空集，
当时，，符合题意；
当时，则须满足，即，解得，
综上所述，k的取值范围是，
故答案为：.
13.答案：
解析：因为，所以，
故，当且仅当，
即时取等号，所以的最大值为.
故答案为：.
14.答案：5
解析：设（，），由题中表格知，函数图象过点，，，则解得所以，，所以年平均利润为，.又，当且仅当，即时，取得最大值2，故这批机器人运营年数为5时，其运营的年平均利润最大.
15.答案：（1）；
（2）当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元
解析：（1）由题意可得，，
所以，
即.
（2）当时，；
当时，，对称轴，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）若对任意实数x，不等式恒成立，即恒成立
则关于x的方程的判别式，
即，解得，所以实数m的取值范围为.
（2）不等式，
可看成关于m的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数x的取值范围是.
17.答案：（1）答案见详解;
（2）.
解析：（1）不等式可化为，
①当时，原不等式可化为，则;
②当时，则，解得:;
③当时，原不等式可化为，解得:;
④当时，则，解得:;
⑤当时，则，解得:或;
综上所述:当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为;当时，;当时，解集为.
（2）当时，不等式恒成立，则有
在恒成立，
又函数在上递减，所以当时取得最小值，
所以.
18.答案：(1)答案见解析
(2)时，的最小值为4.
解析：(1)不等式可化为，，
即：，
①当，即时，解不等式得，
②当，即时，解不等式得，
③当，即时，解不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为;
(2)由(1)和可知，
即：，因为，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，的最小值为4.
19.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以关于的一元二次方程的两解为和，
所以解得
（2）由（1）得关于x的不等式，即，
因式分解得.
①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为;
②当时，原不等式为，解得或，所以不等式的解集为;
③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为;
④当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为;
⑤当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为.
综上可得:当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为.

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