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空间向量与立体几何——高考数学一轮复习单元检测卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2.已知平面，直线l，m且，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则( )
A. B.
C. D.
5.已知直三棱柱中，，，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
7.在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么( )
A.1 B.2 C. D.
8.《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且，为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为，的左、右两部分，则的值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A.若空间向量，满足，则
B.空间任意两个单位向量必相等
C.在正方体中，必有
D.向量的模为
10.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是( )
A.平面
B.直线与直线为异面直线
C.直线与直线所成的角为
D.平面
11.如图，在四面体中，点P，Q，M，N分别是棱，，，的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为( )
A.截面
B.异面直线与所成的角为
C.
D.平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，，若，则实数_______.
13.如图，直三棱柱的各条棱长均为2，D为棱上任意一点，则三棱锥的体积是________.
14.在棱长为1的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为锐角，是正三角形，平面底面，，且四棱锥的体积为2．
(1)证明：．
(2)若E是PC的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
16.（15分）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.
(1)求证：直线平面；
(2)若，，求二面角所成角的正弦值.
17.（15分）在多面体中，已知，，，且平面与平面均垂直于平面，F为的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）如图，在正三棱柱中，，D，E分别为，的中点.
(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)线段上是否存在点G，使得？若存在，求出点G到平面的距离；若不存在，说明理由.
19.（17分）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求GA与平面所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r，
由于圆锥轴截面为等边三角形，
则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，
由正弦定理可得，则，
已知该圆锥的高为，
故该圆锥的体积为.
故选：A.
2.答案：A
解析：因，又，
则，即“”是“”的充分条件；
当，，时，m不一定和l平行，还有可能异面，
则“”不是“”的必要条件.则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3.答案：A
解析：根据面面垂直的判定定理，
可知若，，则成立，满足充分性；
反之，若，，则l与的位置关系不确定，即不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4.答案：B
解析：连接，如下图所示：
因为N为的中点，则，
即，
所以，，
因为点M在上，且，则，
因此，
.
故选：B.
5.答案：A
解析：如图所示，将直三棱柱补全成长方体，
则长方体的体对角线
为该三棱柱外接球的直径，
所以其半径为
球O的体积为，
故选：A.
6.答案：B
解析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.
7.答案： B
解析：如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，
则，
则，
因为在棱上有唯一的一点E使得，
所以在上有唯一的解，
令，可知，
故要想在上有唯一的解，只需，
因为，所以解得：
故选：B
8.答案：D
解析：因为，，
所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点G，连接，
因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，所以三棱柱是直三棱柱，
不妨设，的面积为S，三棱锥的体积为，
从而.
故选：D.
9.答案：CD
解析：对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到.A错误，
对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误，
对于C，在正方体中，的方向相同，长度相等，故，故C正确
对于D，向量的模为，故D正确，
故选：CD.
10.答案：AD
解析：对A，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确;
对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误;
对D，以D为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
则，，，，
则，，，
则，，
则，，又因为，AC，平面，所以平面.
故选:AD.
11.答案：AC
解析：对于选项A:点P，Q分别是棱，的中点，，
平面，平面，
截面，故A正确；
对于选项B:点Q，M分别是棱，的中点，，
为异面直线与所成的角，
截面是正方形，，
即异面直线与所成的角为，故B错误；
对于选项C:截面是正方形，，
又点P，Q，M，N分别是棱，，，的中点，
，，，故C正确；
对于选项D:若要使平面，
则需要，，
但由题意知不一定成立，故D错误.
故选：AC.
12.答案：-4
解析：因为，
由，
所以.
故答案为：-4
13.答案：
解析：由题可得，
故答案为
14.答案：
解析：连接，，，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面，同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
平面，则平面，
所以动点M的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长，
的最小值为D到平面的距离，
连接交于点F，连接交于点E，，
由平面，平面，得，
又，，，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
又因为，，平面，所以平面，
同理可证，所以，从而，
故线段的长的取值范围是.
故答案为:.
15.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点M，连接，，，
因为底面是菱形，，所以
因为是正三角形，所以，，
因为平面底面，平面底面，平面，
所以底面，
因为四棱锥的体积为2，
所以，
所以，得，
因为为锐角，所以，
所以为等边三角形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
(2)因为底面，底面，
所以，
因为，，
所以，，两两垂直，所以以M为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为E是PC的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
因为，，，，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)设AB和CD交于点O，
取BE中点G，连接，
，
∵平面平面BDE，
平面平面，平面，
平面BDE，
为正方形，，
平面，平面，，
，平面
平面BDE，故，
又平面，平面
平面BEF.
(2)O、G为中点，，，
平面，平面，
平面，
，O，C，G，F四点共面，
平面平面，
，，
为平行四边形，故，
以为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
所以，，
，，
设平面法向量，
则，
令，故，
设平面法向量，
则，
令，故，
设平面与平面的所成的二面角为，
所以，
所以二面角所成角的正弦值.
17.答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1)如图，分别取，的中点M，N，连接，，，
因为，故，又平面平面，且平面平面，
因此平面，
同理可知，平面，
因此且，故四边形为平行四边形，所以，
又因为，所以.
(2)因为，，所以，所以，
以B为原点，为x轴，为y轴，过B且与平面垂直的直线为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知，，，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则有即
令，则，，即平面的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成角为，
则，
即直线与平面 所成角的正弦值为.
18.答案：(1)
(2)存在，距离为
解析：(1)分别取，中点O，，连接，.
因为是正三棱柱，
所以，平面，
所以平面，平面，
所以，.
以O为原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系.
则，，
，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
所以，
即
令，解得，，所以.
设直线与平面所成角为，，
则，
所以.
即直线与平面所成角为.
(2)假设存在点G，设，.
所以，所以.
由知，若，
则.
解得.即G与C为同一个点.
因为，平面的法向量为，
所以点G到平面的距离.
19.答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)若E为的中点，连接，
又F，G分别是，的中点，
所以且，而底面是正方形，
则且，
所以，，故为平行四边形，即，
由平面，平面，则平面；
(2)由(1)及，则，
而，故，
由底面，底面，则，
所以，
由底面是正方形，
则，
所以，F是的中点，则，
由且都在面平面内，
故平面；
(3)由底面，底面，
则，，
又，，，
所以，
则，
令棱锥的高为h，又，
则，所以，
又，故GA与平面所成角的正弦值为.

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