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2025年河北省张家口市中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.下列命题中，是真命题的是( )
A. 有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B. 平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
C. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
3.如图的几何体是由个完全相同的小正方体组成，该几何体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
4.至年月日，国产动画电影哪吒之魔童闹海全球累计票房已突破亿元人民币将数据亿元用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的个球，每个球上都写有一个汉字，分别为“少”“年”“强”“则”“国”“强”从中依次任意取出个球第次取出的球不放回袋中，则取出的个球上为“强”“国”两个汉字的概率是( )
A. B. C. D.
6.下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.货车行驶千米与小车行驶千米所用的时间相同．已知货车每小时比小车少行驶千米，则两车的速度各是多少？设小车的速度为千米时，依题意列方程，正确的是( )
A. B. C. D.
9.在中，，，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知一元二次方程两根为、，则( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12.如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上若，则阴影部分的面积和为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算：______．
14.不等式组的整数解是______．
15.如图，是的中线，是的中线，于点若，，则长为______．
16.如图，在中，，，，为上一点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，与相切于点，再以点为圆心，为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简，再求值：，其中．
18.本小题分
解下列不等式组．
解不等式；
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19.本小题分
某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间分为四组：组，组，组，组，将分组结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
求出本次调查抽取的学生人数；
补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数；
根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在______组；
若该校九年级有名学生，请估计一周自主学习的时间少于的人数．
20.本小题分
图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米求安装热水器的铁架水平横管的长度结果精确到米．
参考数据：，，，，，
21.本小题分
如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变四边形具有不稳定性通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以，我们还可以得到，；
求证：；
已知，，若恰好经过边的中点，求与之间的距离．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，为原点，有一张直角三角形纸片和一张等边三角形纸片，其中，，，点在第二象限．
Ⅰ填空：如图，的度数为______，点的坐标为______；
Ⅱ将等边三角形纸片沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，设，等边三角形纸片与重叠部分的面积为．
如图，与边交于点，与边交于点，当等边三角形与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
当时，求的取值范围直接写出结果即可．
23.本小题分
综合与实践
问题情境：如图，是学校操场一角的劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量米，米，根据学校开展劳动教育的需要，现要对该土地进行种植区域划分，设计如下方案：
方案设计：取的中点，在的区域内种植西红柿；过点作的垂线交抛物线于点，测得米，又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角．
方案实施：学校课程中心的老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图．
请求出抛物线的函数表达式；
为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个形状的遮阳网，如图请求出该遮阳网面积最大时点的坐标；
请你直接写出中遮阳网面积最大时，点到的距离．
24.本小题分
综合与实践：
综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图，在矩形中，：：，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形请问线段与的数量关系为______．
【拓展探究】
如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图说明理由．
【解决问题】
如图，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，求的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】，．
【解析】原式
，
当时，原式．
18.【解析】
；
，
，
，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
19.【解析】本次抽样调查的样本容量为：；
由得：抽样调查的学生有人，
组人数有：人，
组所在扇形的圆心角的度数，
自主学习时间的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数均落在组，
这组数据的中位数落在组，
故答案为：；
人．
答：估计一周自主学习的时间少于的人数有人．
20.【解析】由题意知，米，米，，
如图，作于，
，
四边形是矩形，
，，
米，米，
米，
米，
米，
21.【解析】证明：四边形是矩形，
，，，
由旋转可得，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
；
如图，过点作于点，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
距离为．
22.【解析】，，，
，，，
直角三角形纸片，
，
，
过点作轴，
等边三角形纸片，
，，
，
；
故答案为：；；
等边三角形纸片，平移，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，，
，
作，则，
，
，
由题意可知：当点与点重合开始不包括点，到与点重合时，等边三角形与重叠部分为四边形，
；
综上：，的取值范围是；
当时，如图，
同可知：为直角三角形，，，
，
，
，即：；
当时，如图，
由知：，
那么其对称轴为，开口向下，
当时，有最小值，；
当时，有最大值，，
；
当时，如图：
同可知：，
，
由题意，得：，
，
，

，
那么其对称轴为，开口向下，
当时，最大为，
当时，最小为：，
；
时，如图：
，
，
，
那么其开口向上，对称轴为，
当时，有最大值，此时，
当时，有最小值，此时，
；
综上：．
23.【解析】设抛物线的函数表达式为，
由题意可知：，，，
将点，，代入中，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
连接．
设，
，
，
，
，
，
，
有最大值，
当时，有最大值，
；
，
，
由可得有最大值，
设点到的距离为，则，
解得：，
即点到的距离为．
24.【解析】【问题发现】在矩形中，：：，
：：，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
即，
；
【拓展探究】仍然成立．理由如下：图中，，，
∽，
，
图中，由旋转可得：，
∽，
，
：：，
，
，
；
【解决问题】分两种情况：如图，当点在线段上时，连接、，
四边形，四边形为正方形，
，，
，
∽，
，
，，
，
；
如图，当点在线段延长线上时，连接、，
四边形，四边形为正方形，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
综上所述，的长为或．
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