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阆中中学校2024-2025学年度下期高2022级5月模拟
数 学 试 题
(满分：150分 时间：120分钟)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出4个选项中，只有一
个选项符合题目要求.
已知全集（ ）
A. B. C. D.
已知则在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
已知向量在向量上的投影向量为，则( )
A.6 B.12 C.24 D.9
为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的
成绩，得到如下成绩分布表：
分数区间 [90,100) [100,110) [110,120] [120,130) [130,140) [140,150]
人数 14 16 18 30 20 2
根据表中的数据，下列结论中正确的是( )
A.所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120
B.所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过80%
C.所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60
D.所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间
5. 已知角的终边经过点,且则( )
A. B. C. D.
6. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且则的方程为( )
A. B. C. D.
如图，在三棱锥中，
分别为的中点，则
( )
B. C. D.
已知函数的定义域为是偶函数，为奇函数，则下列等式
一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
下列说法正确的是（ ）
A.相关系数为的两个随机变量比相关系数为的两个随机变量的线性相关性强
B.一组数据5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的上四分位数为19
C.若数据的均值为的均值为11,则数据的方差为2
D.已知随机变量～若则
10. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A.对任意的实数，函数恒有两个极值点
B.设为的极值点，则
C.当时，若在上有最大值，则
D.若,则
11. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他发现的曲线.在平
面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则( )
关于原点成中心对称
上满足的点有2个
面积的最大值为
当直线与有3个交点时，的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列中，已知,则 .
13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 .
14. 有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的概率为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)在中，内角所对的边分别其中且
.
求的值；
(2) 求的值；
（15分）己知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为.
求椭圆的标准方程；
(2) 过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：.
（15分）如图，在三棱锥中，平面,为锐角，动点在的边上，,三棱锥的体积为.
(1) 证明：平面平面.
(2) 当点到直线的距离为时，求与平面所成
的角.
18.（17分）已知函数
(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(2) 若正数使得对恒成立，求的取值范围；
(3) 设函数,讨论其在定义域内的零点个数.
19. (17分)为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活.已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课.若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为,乙每节课表现优秀的概率为,每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响.
(1) 求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望；
(2) 求第一个月甲、乙两人均结业的概率；
(3) 为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为,,每个同学的选择相互独立.若某一时刻老师发放个徽章的概率为且满足当时，求及数列的最值.
胞胎的概率为

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