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2025年河南省中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点和点表示的数分别为和，下列式子中正确的是( )
A. B. C. D.
2.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功如图是一块雕刻印章的材料，其主视图为( )
A. B.
C. D.
3.“祖冲之三号”“量子计算，未来已来”据新华社报道，中国科学家成功构建了比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，其处理量子随机线路采样问题的速度大约是目前最快的超级计算机的倍若目前最快的超级计算机完成某项任务需要，那么“祖冲之三号”完成该项任务需要的时间用科学记数法可表示为( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转所得的点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.我们学校教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系．直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图，为了在上午第一节下课时：能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7.点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，，，平分交于点，，分别为边，上的点，且，连接，，，交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
10.如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.函数与的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
12.如果关于的方程的根的判别式的值为，那么______．
13.我们去游泳馆游泳，首先必须要换拖鞋，如果大桶里只剩下尺码相同的双红色拖鞋和双蓝色拖鞋混放在一起，闭上眼睛随意拿出只，它们恰好是一双的概率是______．
14.如图，正五边形和正六边形有公共边以点为圆心，为半径画圆则扇形的面积为______．
15.在矩形中，，，点在边上，若与相似，则的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：；
计算：．
17.本小题分
为了贯彻落实关于进一步规范义务教育课后服务有关工作的通知，我省各中小学已全面实行学校课后延时服务某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据．
【调查主题】七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告．
【设计调查方式】在七、八年级中各随机抽取了名学生家长对课后延时服务的评分．
【收集、整理、描述数据】
数据分析：
中位数 众数 方差
七年级
八年级
请根据以上调查报告，解答下列问题：
上述表格中：______，______；
在两个年级中，如果某个年级评分的个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致据此推断：在七、八两个年级中，______年级家长的评价更一致填“七”或“八”；
结合上表中的统计量，现要给某个年级的老师颁奖，你认为获奖老师应该来自哪个年级？请说明理由．
18.本小题分
如图，在 中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，
求证：四边形是菱形；
求：四边形的周长．
19.本小题分
如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中，．
求反比例函数和所在直线的解析式；
将的直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，当四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
20.本小题分
小明组装了两辆智能机器车进行场地测试，场地内，两点相距，甲、乙两车先后从出发沿相同路线驶向设甲车出发行走时间为分，两车行走路程米关于的函数图象如图所示，两车相距米关于分的函数图象如图所示．
求所在直线的函数表达式；
求点的坐标，并解释该点的实际意义；
当为多少时，两车相距米？
21.本小题分
如图，已知四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，弦交于点，且，连接、．
写出图中一个与相等的角：______；
求证：；
若，，求的值．
22.本小题分
如图，我校“世界广场”内有一圆形喷泉水池，水池正中央有一凸起的圆柱，圆柱上底面刻有世界地图，俯看喷泉水池呈圆环形水池内圆柱周围均匀安装有个喷头用、、来表示，喷头口与水面持平，每个喷头喷出的水柱为形状相同的抛物线每天清晨开放喷泉，给校园增添了许多活力如图，实测水池外圆的半径米，圆柱底面半径米；圆柱露出水面的高度米，每个喷头口到圆柱的距离均为米，如米以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
当由喷头喷出的水柱经过高度为米且离点的水平距离为米的位置时，水柱刚好落在圆柱的边缘点处，求此时抛物线的表达式．
由与喷头相对的喷出的水柱形成的抛物线可以看成是问题中的抛物线关干轴对称后向右平移个单位得到，直接写出由喷出的水柱形成的抛物线的表达式______．
为形成百川归海的场面，物业师傅调整每个喷头的出水压力和水量，使每一个喷泉水柱达到相同高度后能汇聚一点，测得此时由喷头喷出的水柱最高为米时与的水平距离为米，直接写出汇聚点的坐标为______．
如图，在的条件下，为烘托气氛，物业师傅在对应喷头口的水池外的地面上均匀安装个彩色射灯，射灯与喷头相对应如：在喷头，所在直线上的点、处分别安装与喷头等距离的射灯为呈现更好的光影效果，要求射灯所在直线与水平面成夹角，即，且水柱上的点到相应射灯所在直线的最小距离为厘米不计射灯高度，水柱上的点视为抛物线上的点，求与喷头对应的射灯离水池边缘的距离．
23.本小题分
已知点为等边边所在直线上一点，连，以为边作等边，连接．
如图，点在线段上，求证：；
如图，点在的延长线上，，分别是，的中点，连，求的值；
如图，点为等腰直角直角边所在直线上任意一点，连，以为斜边作等腰直角，连，当的长最小时，求的值，并说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或或
16.【答案】移项得：，
，
或，
解得：，；
原式
．
17.【解析】八年级成绩重新排列为、、、、、、、、、，
所以其中位数，七年级成绩的众数，
故答案为：、；
七年级家长的评价更一致，
因为，
所以七年级年级评分的个数据的波动小，即七年级家长的评价更一致；
故答案为：七．
综合上表中的统计量，八年级的中位数、众数都比七年级高，说明八年级家长对课后延时服务较为满意，
因此，应该给八年级的老师颁奖．
18.【解析】证明：根据作图过程可知：，平分，
，在 中，，
，
，
，
，
，
，
四边形和四边形是平行四边形，
，
是菱形，
四边形是菱形，
，
，，
四边形的周长为：．
故答案为：．
19.【答案】反比例函数的解析式；所在直线的解析式为；
．
【解析】直线经过点，
，
，
所在直线的解析式为，
，，
，
，
点在反比例函数第一象限的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
当时，，
，
由平移的性质得到，，
由题意得，
当时，四边形是平行四边形，
由得反比例函数的解析式为，
点在点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
解得，
即当为时，四边形是平行四边形．
20.【解析】由图得，甲车的速度为米分，
由图得，甲车出发分被乙车追上，
此时甲车行驶的路程为米，
，
设解析式为，由条件可得：
，
解得：，
；
由得，
该点的实际意义是甲车出发分被乙车追上；
由条件可知，
由图得，当时，乙车达到地，
则，
此时，甲车距地米，
，
图中，同理，的函数表达式为；
的函数表达式为；
当时，或，
或，
当或或时，两车相距米．
21.【解析】已知四边形内接于，是的直径，如图，连接．
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：；
证明：，
，
，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
即；
由知∽，
，
，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，，，，
，
，
，
．
22.【解析】设抛物线的解析式为：，
经过点，，，
，
解得：，
；
，
关干轴对称后向右平移个单位的抛物线解析式为：；
故答案为：；
由题意得：喷头喷出的水柱所在的抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
经过点，
，
解得：，
，
汇聚到点的上方，
当时，，
汇聚点的坐标为，
故答案为：；
作与抛物线相切于一点，
设直线的解析式为：，
，
，
整理得：，
由题意得：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
米，米，
米，
米，
作于点，则厘米，
，
米，
米．
23.【解析】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
；
在线段上取，连接，
和都是等边三角形，
，，，
，，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，即，
，
是的中点，
是的中位线，
，
；
和是分别以和为斜边的等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，，，
，
，
∽，
，
，
点在的角平分线上运动，
如图，当时，最小，
，，
，，
，此时重合，
，，
，，
，
，
．
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