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2025年浙江中考数学模拟试卷（省统一命题卷02）
一．选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在﹣1，2，0，﹣6这四个有理数中，最小的是（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．0 D．2
2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　）
A． B． C． D．
3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
4．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．x（x﹣3）＝x2﹣3x
C．（﹣2x2）3＝﹣6x6 D．（x+1）2＝x2+1
5．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝36°，则∠2等于（　　）
A．36° B．54° C．64° D．72°
6．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：38，39，35，37，则这组数据的中位数是（　　）
A．37 B．37.5 C．38 D．39
7．已知a，b，c是实数，若a＞b，c＜0，则（　　）
A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＜b
8．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，井深为y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝4（x﹣2）2+m经过A（3，a），B（0，b），C（1，c）三点，则a，b、c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＝c D．a＝c＜b
10．如图，正方形ABCD的边长为2，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆交于点Q．连接DQ．给出如下结论：①DQ＝2；②；③S△PDQ；④cos∠ADQ．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．分解因式：a2﹣9＝　 ．
12．当a＝2025时，分式的值是 　 　 ．
13．为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为 　 　 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，连接AC，若∠D＝26°，则∠CAB＝ 　 　 ．
（第14题图） （第16题图）
15．如果一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标是（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，则a＝　 　 ．
16．如图，在菱形ABCD中，点E是AB边的中点，动点P在BC边上运动，以EP为折痕将△BEP折叠得到△FEP，连接DF．若AB＝4，∠B＝60°，DF的最小值是 　 　 ．
三．解答题（本大题有8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）．
年级 平均数 中位数 众数
七年级 a分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 b分
（1）根据以上信息填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）把条形统计图补充完整．
（3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由．
19．（8分）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证：
（1）BF∥CD；
（2）AB与FD互相平分．
20．（8分）如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式与n的值；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b0时x的取值范围；
（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E，F，BE＜BF，连接AE，AF，∠EAF＝60°．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由．
（2）求证：△ABE∽△CAF．
（3）若BE＝2，EF＝3，求线段CF的长．
22．（10分）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β；
（2）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．如图3，他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为35°，在C点处测得碑顶A的仰角为45°，已知BC＝15m，（B，C，D在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的高AD．（参考依据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
23．（10分）设二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1）若m＝1，n＝4，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大．
（2）当m＝0，n＞2时，求p的取值范围．
24．（12分）如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长；
（2）如图2，连接BF，DF，设OB与EF交于点P．
①求证：P为EF中点；
②若∠BAC＝45°，试求DF．EF之间的关系．
2025年浙江中考数学模拟试卷（省统一命题卷02）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．
解：∵﹣6＜﹣1＜0＜2，
∴最小的数是：﹣6．故选：A．
2．
解：从左面看，可得选项C的图形．故选：C．
3．
解：175000000000＝1.75×1011．故选：D．
4．
解：A．计算结果是2x2，原选项计算错误，不符合题意；
B．x（x﹣3）＝x2﹣3x，计算正确，此选项符合题意；
C．计算结果是﹣8x6，原选项计算错误，不符合题意；
D．展开为x2+2x+1，原选项计算错误，不符合题意；故选：B．
5．
解：∵∠1＝36°，∴∠3＝180°﹣36°﹣90°＝54°，
∵a∥b，∴∠2＝∠3＝54°．故选：B．
6．
解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，37，38，39，
∴中位数为（37+38）÷2＝37.5．故选：B．
7．
解：∵a＞b，c＜0，
∴a+c＞b+c，ac＜bc，ac2＞bc2，a﹣c＞b．故选：C．
8．
解：设绳长是x尺，井深是y尺，
依题意得：，故选：D．
9．
解：抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴A（3，a）关于对称轴的对称点为（1，a），
∵a＝4＞0，∴x＜2时，y随x的增大而减小，∴a＝c＜b．故选：D．
10．
解：①连接OQ，OD，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵P是CD的中点，OA＝OB，
∴OB＝DP，∴四边形DOBP是平行四边形，∴DO∥BP．
∴∠DOQ＝∠OQB，∠AOD＝∠OBQ，∵OQ＝OB，∴∠OQB＝∠OBQ，
∴∠AOD＝∠QOD，∵OA＝OQ，∴△AOD≌△QOD（SAS），∴DQ＝DA＝2．故①正确；
②连接AQ，如图2．
则有CP＝1，BP．∵∠ABQ+∠PBC＝∠PBC+∠CPB＝90°，
∴∠ABQ＝∠CPB，又∵∠PCB＝∠AQB＝90°，∴Rt△AQB∽Rt△BCP，
∴，∴，∴BQ，
则PQ＝PB﹣BQ，∴．故②正确；
③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．
∴QH∥BC，∴△PHQ∽△PCB，
∴，∴，∴QH，
∴S△DPQDP QH1．故③错误；
④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．∴DP∥NQ∥AB，
根据平行线分线段成比例可得，则有，
解得：DN．由DQ＝2，得cos∠ADQ．故④正确．
综上所述：正确结论是①②④．故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．
解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．
12．
解：当a＝2025时，原式a﹣1＝2025﹣1＝2024．
故答案为：2024．
13．
解：将刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中两名同学恰好选修同一门课程的结果有4种，
∴两名同学恰好选修同一门课程的概率为．故答案为：．
14．
解：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，∵∠D＝26°，∴∠DOC＝90°﹣26°＝64°，
由圆周角定理得：∠CAB∠DOC＝32°，
故答案为：32°．
15．
解：由交点为（1，2），代入y＝kx+4，得k+4＝2，
解得k＝﹣2，∴y＝2x+4，
∵当x＝0时，y＝4，∴一次函数y＝kx+4与y轴的交点为（0，4），
∵由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x＝0，
∴二次函数顶点为（0，4），∴c＝4，
把（1，2）代入二次函数表达式得a+4＝2，
解得a＝﹣2．故答案为：﹣2．
16．
解：∵点E是AB边的中点，
∴，
∵以EP为折痕将△BEP折叠得到△FEP，∴，
∴点F在以E为圆心，EF为半径的半圆上，
∵DF+EF≥DE，
∴当D、E、F在同一直线上时，DF最短，
如图，过点E作EH⊥AD于点H，连接DE，
∵∠B＝60°，点E是AB边的中点，
∴，∠EAH＝60°，
∴∠AEH＝30°，∴，
∴，DH＝AD+AH＝5，
∴，
∴DF的最小值．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．
解：，
解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤﹣1．
∴原不等式组的解集是：﹣2＜x≤﹣1．
18．
解：（1）a＝10×15%+9×40%+8×25%+7×20%＝8.5，
八年级C等级人数为40﹣（10+15+3）＝12（人），
所以其众数b＝9分，
故答案为：8.5，9；
（2）补全图形如下：
（3）小红的判断不正确，
从抽取的样本看，七年级不低于9分的人数所占百分比为15%+40%＝55%，八年级不低于9分的人数所占百分比为100%＝5＝62.5%，
所以以样本估计总体看，八年级成绩优秀的人数可能多于七年级成绩优秀的人数，但不能断定八年级一定多于七年级．
19．
（1）证明：∵点E是线段BD的中点，
∴BE＝DE，又∵EF＝CE，
∴四边形FBCD是平行四边形，∴BF∥CD；
（2）如图，连接AF，
∵四边形FBCD是平行四边形，
∴BD∥CD，BF＝CD，
∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BF，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴AB与FD互相平分．
20．
解：（1）∵点A（2，5）反比例函数y的图象上，
∴m＝2×5＝10，∴反比例函数的表达式为y，
点B（n，1）代入y，得n＝10，∴点B的坐标为（10，1），
∵直线y＝kx+b过点A（2，5），B（10，1），
∴，解得，
∴一次函数的表达式为yx+6；
（2）不等式kx+b0时x的取值范围为：x＜0或2＜x＜10；
（3）如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，
∵点A（2，5），B（10，1），
∴C（2，﹣5），
∴BC10．
∴PA+PB的最小值为10．
21．
（1）解：△AEF为等边三角形．
理由如下：
由作法得AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴∠AEB＝∠AFC＝120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵∠AEF＝∠BAE+∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠C，
而∠AEB＝∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝EF＝3，
，∵△ABE∽△CAF，
∴AE：CF＝BE：AF，
即3：CF＝2：3，
解得CF．
22．
解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α；
（2）设AD＝x m，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝x m，
∵BC＝15m，
∴BD＝（15+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∴tan35°，即0.70，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是分式方程的解，
∴AD＝35（m），
答：烈士纪念碑的高AD是35m．
23．
解：（1）①由题意得，解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1，
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴顶点为（1，0）；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
（2）当m＝0，n＞2时，则，
∴3a+3b＜﹣2，∴a+b+1．
∵p＝a+b+1，∴p．
24．
（1）解：过点F作FH⊥AB于点H，如图，
∵点F是半径OC的中点，⊙O的半径为1，
∴OF，OA＝OB＝1，
∵∠BAC＝30°，OE⊥AB，
∴OE，AE＝BE＝OA cos30°．∴AF＝OA+OF．
∵OE⊥AB，FH⊥AB，
∴OE∥FH，∴△AOE∽△AFH，
∴，∴，
∴FH，AH，∴EH＝AH﹣AE，
∴EF；
（2）①证明：连接CD，过点F作FG∥CD，交OD于点G，如图，
∵FG∥CD，点F是半径OC的中点，
∴FG为△OCD的中位线，∴FG．
∵AC，BD为⊙O的两条直径，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△OAB和△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD（SAS），
∴∠A＝∠OCD，AB＝CD，∴AB∥CD，
∵FG∥CD，∴FG∥AB．
∴∠FGB＝∠ABG．∵OE⊥AB，
∴BE＝AE，∴BE＝GF．
在△PFG和△PEB中，，
∴△PFG≌△PEB（AAS），∴PF＝PE，∴P为EF中点；
②解：DF，EF之间的关系为：DF＝EF，DF⊥EF．理由：
连接CD，AD，过点F作FG⊥AD于点G，FH⊥AB于点H，如图，
∵OE⊥AB，∴BE＝AE，
由（1）知：，
∵点F是半径OC的中点，∴OFOA，
∴AFOA，∴，
∴AHAE，∴EH＝AH﹣AEAEBE，
∴H为EB的中点，
∵FH⊥AB，∴FH为EB的垂直平分线，
∴FE＝FB．∵AC，BD为⊙O的两条直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵∠BAC＝45°，∴AB＝BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AC平分BD，
即CD为AB的垂直平分线，
∴FD＝FB，∴DF＝EF．
∵∠DAC＝∠BAC＝45°，FG⊥AD于点G，FH⊥AB于点H，
∴FG＝FH，∵∠DAB＝90°，∴四边形FGAH为正方形，
∴∠GFH＝90°，
∴∠EFH+∠EFG＝90°．
在Rt△DFG和Rt△BFH中，，
∴Rt△DFG≌Rt△BFH（HL），
∴∠DFG＝∠EFH，
∴∠DFG+∠EFG＝90°，
∴∠DFE＝90°，∴DF⊥EF．

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