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安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）．
A． B． C． D．
2．设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）

A． B． C． D．
4．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．8 D．10
5．在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则异面直线，EF所成角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
8．如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）．
A．若，则，且
B．若，则，且
C．若，则向量和相等或相反向量
D．若，则
10．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则是钝角三角形
C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解
11．已知正八边形为正八边形的中心，其中，则下列命题正确的是（ ）．
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
三、填空题
12．如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得,并在点测得塔顶的仰角为,则塔高为 ．
13．设是复数且，则的最大值为 ．
14．如图，正方体的棱长为1，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，若，则点在侧面内运动路径的长度 ．

四、解答题
15．已知向量.
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的重心为，且，求．
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)过F点作平面平面交于点，交于点，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值．
18．如图，在中，已知，点为边的中点，相交于点．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
19．在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D C C D B AC AD
题号 11
答案 BCD
1．A
根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解.
【详解】，
所以的共轭复数为.
故选：.
2．D
利用线面位置关系，逐项判断即得.
【详解】对于A，，则或，A错误；
对于B，，则或，B错误；
对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误；
对于D，由线面平行的性质知，D正确.
故选：D
3．A
根据向量的线性运算即可求得答案.
【详解】由题意在中，，点是的中点，
故
，
故选：A
4．D
根据斜二测画法的原则进行求解即可.
【详解】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故选：D
5．C
如图所示，连接，确定或其补角是异面直线EF与所成角，在直角中，计算得到答案.
【详解】如图所示：F是线段的中点，连接交于F，
由正方体的性质知，知异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，
故或其补角是异面直线EF与所成角.
设正方体边长为2，在直角中，，，
故
故选：C
6．C
求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.
【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点，
上、下底面三角形的高分别为，，
所以，，
所以，又，
所以正三棱台的高为，
上底面积为，下底面积为，
所以正三棱台的体积为.
故选：.
7．D
将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
8．B
根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围.
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且，
所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面,所以平面，因为，平面，
平面,所以平面，又因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上，
因为，
，所以当点位于点时，最大，
当点位于的中点时，最小，
此时，
所以，所以线段长度的取值范围是.
故选：B
9．AC
举反例即可说明A，C错误；对于B，只有，才有；对于D，只有，才有，由比判断D.
【详解】对于A，若，，则满足，但此时，故A错误；
对于B，，若，则故B正确；
对于C，若，则满足，此时，
同理，此时和即不是相等何量，也不是相反向量，故C错洖；
对于D，故，此时，故，故D正确.
故选：AC．
10．AD
利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.
【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；
对于B，，故边最长，角最大.
设，
则.
所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；
对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，，
根据正弦定理
，所以有两解，所以有两解，故D正确.
故选：AD.
11．BCD
根据题意，正八边形的每条边所对的角均为，且中心到各个顶点的距离都是，由向量的数量积的运算公式，可得判定A错误；连接交于点，得到，集合向量的线性运算法则，可得判定B正确；根据投影向量的计算方法，可判定C正确；设向量与的夹角为，得到，由，得到点在线段上运动时，取得最大值，利用向量的数量积的运算法则，结合正弦的倍角公式，可判定D正确.
【详解】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为，且中心到各个顶点的距离都是，
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，连接交于点，则为的中点，且，
由，所以B正确；
对于C中，向量在上的投影向量为，
所以C正确；
对于D中，设向量与的夹角为，则，
其中表示在方向上的投影，
在正八边形中，可得，延长交与点，
当点在线段上运动时，向量在方向上的投影取得最大值，
又由为等腰直角三角形，且，
在直角中，，
在等腰中，，
则，所以D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】试题分析：在中，，由正弦定理得，所以．在中，．
考点：1、正弦定理；2、三角形中的边角关系．
13．/
根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离.
由图可知，.
故答案为：.
14．/
确定点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求弧长即可.
【详解】取中点E，连EM，PE，如图，因是正方体的棱中点，

则PE//CD，而CD⊥平面，则有面，平面，
于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，
因此，点M在侧面内运动路径是以E为圆心，1为半径的圆在正方形内的圆弧，
如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为.

故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；
（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
16．(1)
(2)
（1）根据正弦定理边角互化，再结合和差公式及二倍角公式即可求解;
（2）根据重心的性质可得，所以，两边平方后结合余弦定理可得，最后由正弦定理化简可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
化简得，，，
即，
由解得或（舍去），
，．
（2）记中边上的中线长为，由重心的性质得，
所以，
即，
等式两边平方可得，
所以，
又由余弦定理得，
所以，
整理得，解得，
由正弦定理得．
17．(1)证明见详解
(2)（i）证明见详解；（ii）
（1）连接交于，由三角形中位线可证，进而由线面平行的判定定理可证；
（2）（i）由面面平行的性质定理可证；（ii）猜测点H为靠近点P的三等点，在此基础上证明平面平面即可.
【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形，
所以为的中点，而为的中点，所以，
又平面平面；
所以平面；
（2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可得；
（ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明：
因为为上的点，且，所以在中，，所以，
由（1）知平面，因为平面，所以平面，
由（i）可知，因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，所以.
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据和已知条件，两边平方，利用向量的运算求得的长，然后根据向量关系求得；
（2）建立直角坐标系，求出点的坐标，利用向量的夹角的坐标运算公式求；
（3）根据三点共线得，通过向量线性运算，将用和表示，从而将表示成，最后利用共线向量定理得到，求出的值再根据模长和数量积的运算可得.
【详解】（1），
∴，又∵，∴，∴．
（2）如图，以为原点，直线为轴建立直角坐标系.
依题得到：，，，，
设点，由可得：，
即，解得：，所以，
，，
则，，
由．
（3）三点共线，所以存在使得，，
，
，
又三点共线，所以，即．
，
所以
.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得
，
即，而，，
解得，又，所以.
（2）由及，余弦定理得，
又，解得，
由得，
即，则，所以.
（3）因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
为锐角三角形， ，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，即边上的中线的取值范围为．

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