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2024-2025学年第二学期5月月考数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
3．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．若向量满足，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
6．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（ ）
A．样本中对平台一满意的消费者人数约700
B．样本中对平台二满意的消费者人数为20
C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60
D．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则
7．曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
10．已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2
C．若，则恒过点
D．若直线过点F，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则其离心率为 .
13．已知，则 ．
14．已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 .（用最简分数作答）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点在边上，且，求的周长．
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由.
17.（15分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围.
18．（17分）已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，求的取值范围.
19.（17分）甲、乙两盒子中各有枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 .
(1)求 ，的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)并求使不等式成立的最小值.
试卷第1页，共3页
2024-2025学年第二学期5月月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A B D C D B CD ACD ACD
13.5 14.
15．（1）由及正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
16．（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以点是的中点，又点是的中点，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）因为底面为矩形，底面，
所以以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，又，
设，
则，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，所以，解得或，
又，
当时，，当时，，则的长为或.
17．（1），
①当时，在上单调递增，无递减区间，
②当时，，可得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上当时，在上单调递增，无递减区间，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为有极大值，且极大值大于，
故，且在处取极大值，
，即，令，
恒成立，在上单调递增，
又，当且仅当时成立，故，当且仅当时成立，
因此的取值范围是．
18．（1）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，
联立，得，
，即，
，，.
，.,
，即，由，则
，
由，则，且，
所以，且，则，
当直线的斜率不存在时，设，，即，
又，所以，的取值范围是.
19．（1）设事件第次操作时，从甲盒中取出的是红色棋子为，
事件第次操作时，从乙盒中取出的是红色棋子为，
则事件第一次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子可表示为，
又，事件与事件互为互斥事件，事件与事件独立，
所以，
所以，
若第1次操作后甲、乙盒中各有一红一黄棋子，
则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为，
若第1次操作后甲盒中为两个红色棋子，乙盒中为两个黄色棋子或甲盒中为两个黄色棋子，乙盒中为两个红色棋子，
则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为，
所以.
（2）因为，故
所以，又，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
（3）因为，由（2）可得，
所以
整理得，又，，函数为增函数，
所以的最小值为.
答案第1页，共2页

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