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2025年辽宁省铁岭市西丰县振兴中学中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，四个数中最小的数是( )
A. B. C. D.
2.由个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为( )
A B C D
3.年月日清明假期最后一天，沈阳铁路局单日客流达万人次，创今年单日旅客发送新高数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.如图，与是矩形的对角线，延长至点，使得，连接，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是( )
A. 小星定点投篮次，不一定能投中 B. 小星定点投篮次，一定可以投中
C. 小星定点投篮次，一定投中次 D. 小星定点投篮次，一定投中次
7.我国有个民族，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8.下列不等式中，与组成的不等式组有负整数解的是( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是( )
A. B. C. D.
10.如图，菱形的顶点、在直线上，点在轴上，点的坐标为，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.把多项式分解因式的结果是 ．
12.一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为______．
13.中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则依题意列方程为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，现将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标是______．
15.如图，已知是边长为的等边三角形，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点；以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点，作射线；在射线上取点，连接若，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
【问题背景】月日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架的单价高；
素材二：用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．
【问题解决】
问题：分别求出，两种书架的单价．
18.本小题分
根据教育部制定的国防教育进中小学课程教材指南某中学开展了形式多样的国防教育培训活动为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程．
【收集数据】现随机将全校学生以人为一组进行分组，再随机抽取个小组，并收集这个小组的学生成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，将学生的百分制成绩分用级记分法呈现：“”记为分，“”记为分，“”记为分，“”记为分，“”记为分．
【描述数据】根据抽取的个小组的学生成统进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
【分析数据】
平均数分 中位数分 众数分
第小组
第小组
第小组
请根据以上信息，解答下列问题：
请直接补全第小组得分条形统计图；
在第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角为______度；
直接写出 ______， ______；
若该校共有名学生，以这个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于分？
19.本小题分
某商家销售一种糕点，每盒进价为元在销售过程中发现，周销量盒与销售单价元之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价元
周销量盒
求关于的函数表达式．
当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？
20.本小题分
如图，某渔船在处测得小岛位于的北偏西方向，小岛位于的北偏东方向该渔船沿正北方向航行一段时间后到达处，此时测得小岛位于的南偏西方向且，相距海里，小岛位于的南偏东方向．
Ⅰ求该渔船航行的距高；
Ⅱ求处与小岛之间的距离结果取整数．
参考数据：，取．
21.本小题分
如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点．
求证；
连接，若为直径，，，求的半径．
22.本小题分
【知识呈现】转化思想是数学常用的思想，在解决一些陌生问题的时候，可以构造辅助线，将陌生问题转化为熟悉问题来解决．
如图，点是线段上一点，，，．
求证：≌；
求的值．
【小试牛刀】
如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处若，，求的长．
【拓展应用】
如图，在中，，，是边的中点，为边上任意一点，将射线绕着点逆时针旋转，得到射线，过点作，交射线于点，连接若，求的值用含的式子表示
23.本小题分
定义：若点，在同一个函数图象上，则称的值为线段的“单位倾斜值”例如：函数，当时，；当时，，则，因此线段的“单位倾斜值”为．
点，在函数的图象上，当线段的“单位倾斜值”为时，求点的坐标．
已知，是二次函数上的两点，设点的横坐标为，当线段的“单位倾斜值”小于时，求的取值范围．
已知，为抛物线上的两点，点，分别是抛物线与轴的交点和顶点设线段的“单位倾斜值”为．
当时，求证：；
当，且点到直线的距离为时，求的值．
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.．
12.．
13.．
14.．
15．
16.
；
．
17.解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
元．
答：种书架的单价为元，种书架的单价为元．
18.解：第一小组中，得分为分的人数为人，
补全条形统计图如下：
在第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角为；
故答案为：；
将第小组名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，所以中位数，
第小组学生得分出现次数最多的是分，共出现次，因此第小组学生成绩的众数是；
19.解：由题意，设关于的函数表达式为，
．
．
关于的函数表达式为．
由题意，可得每周出售这种糕点所获利润
．
，
当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为元．
由每周出售这种糕点所获利润．
又，
当时，所获利润最小为元；当时，所获利润最大为元．
销售单价需满足，则每周至少可获得元的利润．
20.解：，，
，
在中，
海里，
该渔船航行的距高为海里；
过点作于点，如图，
在中，，
海里，
在中，，
，
，
，
海里，
处与小岛之间的距离为海里．
21.证明：连接并延长交于点，连接，
是的切线，
，
，
，即，
，
是的垂直平分线，
；
解：，，
，
设，在和中，由勾股定理得：
，，
即，，
，
解得舍去．
的半径为．
22.证明：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，，
．
≌．
解：≌，
，．
设，则．
在中，，
，
在中，，
，
解得或．
，
，解得，
，
，
，
；
解：如图，过点作于点．
为等边三角形，
，．
设，则．
由折叠的性质可知，．
在中，．
在中，，
，解得 ，
．
解：如图，过点作于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点作于点，连接，
四边形 是矩形，
．
，
．
，
．
，
∽，
．
设，，则，，
是边的中点，
，．
，
，
，化简，得 ．
，
，
．
23.解：设点的横坐标为，
点，在的图象上，
，，
线段 的“单位倾斜值”为，
，
解得 ，，
经检验，，都是所列分式方程的解，
点的坐标为或；
解：，是二次函数 上的两点，点的横坐标为，线段的“单位倾斜值”小于，
，，
，
解得：；
证明：当时，过点作轴于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线相交于点，设直线与轴交于点，如图，
在中，令得，
，
点是抛物线的顶点，
，
，，
，
，是抛物线 上的两点，线段的“单位倾斜值”为，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
；
当时，同理可证；
；
解：设点 的横坐标为，
点， 在抛物线 上，线段的“单位倾斜值”，
，，
，
，
，
点到直线的距离为，
，
解得或．
的值为或或．

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