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第十九章《一次函数》核心专题一点通(Ⅱ)核心题型
核心题型一 分段收费
1.某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示，其中 BA 是线段，且BA∥x轴，AC 是射线.
(1)当x≥30时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用
(3)若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少
核心题型二 方案问题
2.某工厂有两种原料，甲种360千克，乙种290千克.现在要生产A，B两种产品共50件，已知生产一件A 种产品，需甲原料9千克，乙原料3千克，可以获利700元；生产一件B种产品，需用甲原料4千克，乙原料10千克，可以获利1200元.
(1)按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案 请设计出来；
(2)设生产A，B两种产品获得总利润为y(元)，其中A 种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获得总利润最大 最大利润是多少
核心题型三 行程问题
3.一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车同时从乙地匀速驶往甲地.设出发车辆行驶的时间为 xh，两车之间的距离为y km，图中的折线表示 y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
(1)慢车的速度为 km/h,快车的速度为 km/h;
(2)解释图中点 C 的实际意义并求出点C 的坐标；
(3)求当x为多少时，两车之间的距离为500 km
核心题型四 图象构造
4.某公交公司的公共汽车和出租车每天从A市出发往返于 A市和B市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距A市的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：小时)的函数图象.已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达 B 市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回A市早1小时.
(1)请在图中画出公共汽车距 A 市的路程y(千米)与所用时间x(小时)的函数图象；
(2)两车在途中相遇的次数为 次(直接写出答案)；
(3)求两车最后一次相遇时，距A 市的路程.
核心题型五 最值问题
5.某省A，B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C，D获知A，B两市分别急需救灾物资200 吨和300 吨的消息后，决定调运物资支援灾区.已知C市有救灾物资240 吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A，B两市.已知从 C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往A，B两市的费用别为每吨15 元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x 吨.
(1)请填写下表
A(吨) B(吨) 合计(吨)
C 240
D x 260
总计(吨) 200 300 500
(2)设C，D两市的总运费为 ω 元，求ω 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)经过抢修，从D市到 B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m>0)，其余路线运费不变.若C，D两市的总运费的最小值不小于 10 320 元，求m 的取值范围.
核心题型六 几何综合
6.如图，将含有45°角的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这个模型在数学解题中被广泛运用.
模型应用：
(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B 两点.
①直接写出 的度数为 ；
②C，D是正比例函数 图象上的两个动点，连接AD，BC.若 求AD 的最小值；
模型拓展：
(2)如图2，一次函数 的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点.将直线AB 绕点A 逆时针旋转 得到直线l，求直线l对应的函数解析式.
核心题型七 代几综合
7.如图1，直线 分别交x轴，y轴于点A，B，点C在y轴的正半轴上，
(1)求直线 AB 的解析式;
(2)如图2，若点C关于x轴的对称点为D，点E在线段AC上，连接DE交x轴于点 F，若 求证：
(3)如图3，D为y 轴正半轴上一点， 求D 点坐标.
1.解:(1)当x≥30时,设函数关系式为y= kx+b,
则 解得 ∴y=3x-30;
(2)4月份上网20小时，应付上网费60元；
(3)由75=3x-30解得x=35,所以5月份上网35个小时.
2.解：(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为(50-x)件，则有 解得 30≤x≤32,因为产品件数为整数，所以x取30，31，32，则生产方案有三种：①A种30件,B种20件,②A种31件,B种19件,③A种32件,B种18件;
(2)y=700x+1200(50-x)=-500x+60000,因为k=-500<0，所以y随x的增大而减小，所以当x=30时，y值最大,则y=-500×30+60000=45000,所以安排生产A种产品为30件，B种产品为20件，获利最大为45 000元.
3.解:(1)设慢车的速度为a km/h,快车的速度为b km/h.
根据题意，得 解得
故答案为80,120;
(2)图中点C 的实际意义是：快车到达乙地；
∵快车走完全程所需时间为720÷120=6(h),
∴点C 的横坐标为6,纵坐标为80×6=480,即点C(6,480);
(3)由题意可知，两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500 km.即相遇前,由题意,得(80+120)x=720-500,解得x=1.1,相遇后:∵点C(6,480),∴慢车行驶20 km两车之间的距离为500km，由题意，得慢车行驶20km需要的时间是 =0.25(h),∴x=6+0.25=6.25(h).
故x=1.1 h或6.25 h,两车之间的距离为500 km.
4.解:(1)略;
(2)2次;
(3)最后一次相遇时距离A市的距离为112.5千米.
5.解:(1)∵D市运往B市x吨,∴D市运往A市(260-x)吨,C市运往B市(300-x)吨,C市运往 A 市200-(260-x)=(x-60)吨,故答案为x-60,300-x,260-x;
(2)由题意,得w=20(x-60)+25(300-x)+15(260-x)+30x=10x+10200,∴w=10x+10 200(60≤x≤260);
(3)由题意,得w=10x+10200-mx=(10-m)x+10200,当010时,x=260时,ω取得最小值,此时,ω=(10-m)×260+10 200≥10320,解得 10这种情况不符合题意，由上可得，m的取值范围是06.解:(1)①对于y=x-4,当x=0时,y=-4,令y=x-4=0,则x=4,即点A,B的坐标分别为(4,0),(0,-4),∴Rt△AOB 为等腰直角三角形,则∠OAB=45°.故答案为45°；
②当AD⊥CO时,AD 取得最小值.当AD⊥CO时,
∵∠COB+∠DOA=90°,∠DOA+∠DAO=90°,
∴∠COB=∠DAO.
∵∠ADO=∠OCB=90°,AO=OB=4,
∴△COB≌△DAO(AAS),
即 AD 的最小值为
(2)过点 B 作BP⊥AB,交直线l 于点 P,过点 P 作PH⊥x轴于点H.
由①②知,△AOB≌△BHP,
∴OA=BH,OB=HP,∴P(3,1),
设直线l的解析式为y=tx+2，
将点 P 的坐标代入,得1=3t+2,解得
故直线 l的解析式为
7.解:((1)A(-3,0),OA=3,AB= ,OB=1,直线 AB 的解析式为
(2)连接OE,AD.
∴OE∥AD.∴∠COE=∠AOE=45°,∴E(- ,
∵D(0,-3),∴直线 DE 的解析式为y=-3x-3,
∴F(-1,0),∴OF=OB=1,
易证△AOB≌△DOF,∴∠ODF=∠OAB,设 DE交AB 于点 H,则 ∴DE⊥AB;
(3)∵∠OAB=∠CAD,∴∠OAB +∠CAB=∠CAD +∠CAB,即∠BAD=45°,
过B向上作BE⊥AB 交AD 于E 点,过点 E 作EF⊥y轴于F点,证△AOB≌△BEF,
∴BF=AO=3,EF=BO=1,∴E(-1,4).
又∵A(-3,0),设AE 的解析式为y= kx+b,
解得
当x=0时,y=6,∴D(0,6).

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