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第十八章《平行四边形》核心专题一点通
(Ⅱ)核心题型及方法
核心思想一 分类讨论
1.在 ABCD中,E为BA 的中点,DF平分∠ADC,交AB 于点F,若AD=11,EF=5,则AB 的长是 .
2.在正方形ABCD 中,以AB 为边作等边△ABE,连接CE,则∠AEC 的度数是 .
3.如图,在等腰三角形纸片ABC 中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成以AB 为边的平行四边形，求这个平行四边形较长的对角线的长.
核心思想二 方程思想
4.如图,在 ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,已知AE=4,AF=6, ABCD 的周长为40,求 ABCD 的面积.
5.如图,在长方形ABCD中,AB=5,P 为BC 上一个动点,BP=m,点 B 关于直线AP 的对称点是点 E.
(1)当m=2时,若直线 PE 恰好经过点D,求此时AD的长;
(2)若AD 足够长，当点E 到直线AD 的距离不超过3时，求m的取值范围.
6.如图,正方形ABCD 的边长为6.
(1)M,N 分别是BC,CD 上一点,若∠MAN=45°.求证:MN=BM+DN;
(2)在(1)的条件下,若BM=2,求 S△AMN.
核心思想三 整体思想
7.如图，有两个正方形A，B，现将 B 放置在A 的内部得到图甲.将A，B并列放置，以正方形A 与正方形B 的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，求正方形A，B的面积之和.
核心思想四 特殊到一般
8.已知菱形 ABCD,∠ABC=120°,在∠ABC 内画射线 BE, ，作点 C 关于射线BE 的对称点F，延长AF 交BE于点H.
(1)如图1,当α=30°时,求证:△CFH 为等边三角形;
(2)如图2,当α≠30°时.
①求∠BAF 的度数(用角α表示);
②求证：△FHC 为等边三角形.
核心题型 最值问题
9.如图，在 中,对角线 AC,BD 交于点O,E为BA 上一动点，若 ，则OE 的最小值为 .
10.如图,、在运动时，则BE 的最大值为 .
技巧1 构(特殊)平行四边形
11.如图,在 中,E 是 BC的中点,.
(1)以AD，AE 为边画一个平行四边形，写出作法，并说明理由；
(2)求证:
技巧2 中线倍长
12.如图，已知 ，垂足分别为B，A， ,E 是CD 的中点,求AE 的长.
技巧3 作平行构中位线
13.如图，在平面直角坐标系中，等边 的顶点B，C的坐标分别为(1,0),(3,0),F 为AC 的中点,OF 交AB 于点E,求证：
14.如图, 为等腰直角三角形， AE与DC交于点F,过点 C 作( 垂足为 N,当 F 为CD 的中点时,求AN 的长.
技巧4 连中点构中位线
15.如图,点 P 在等边△ABC 的边 BC 上,以 AP 为边作等边△APQ,连接CQ.
(1)求证:△ABP≌△ACQ;
(2)若AB=6,D 是AQ 的中点,当点 P 由点B 运动到点C时，直接写出点 D 的运动路径长为 .
技巧5 三线合一得中点构中位线
16.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD⊥BD,若AB=12,AC=18,求 MD 的长.
技巧6 斜边的中线等于斜边的一半
17.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,CE 是AB 边的中线,DG⊥CE,垂足为G,CG=EG.
(1)求证:CD=AE;
(2)若CD=5,AD=6,求EC 的长.
1.12或32 解:12或32.当点 F 在E,B 之间时,AB=2AE=2(AF-EF)=2(AD-EF)=12;当点 F 在A,E 之间时,
AB=2AE=2(AF+EF)=2(AD+EF)=32.
2.45°或135° 解：分点 E 在正方形外和正方形内两种情形计算.
3.解:过点 A 作AD⊥BC,垂足为 D.∵AB=AC=10,BC=12,∴BD=DC=6,∴AD=8.如图1所示,AD=8,连接BC,过点C作CE⊥BD,垂足为E,则 EC=8,BE=2BD=12,则. 如图2所示,BD=6,由题意,得AE=6,EC=2BE=16,故. 故答案为 或
4.解:设BC=x,CD=y,∵S□ABCD=BC·AE=CD·AF,
∴2x=3y.又∵x+y=20,∴x=12,y=8,
∴S□ABCD=12×4=48.
5.解:(1)∵BC∥AD,∴∠APB=∠PAD=∠APD,
∴PD=AD.在△ADE中,设AD=PD=x,
∴DE=x-2,AE=5,∴(x-2) +5 =x ,解得 即 AD 的长为
(2)当E点位于直线AD 上方且到AD 距离为3时，过点 E作GH⊥AD,垂足为 H,GH 交 BC 于点G.在△AEH 中,AE=5,EH=3,∴AH=4,在△EPG中,PE=m,PG=4-n 解得 当 E 点位于直线AD 下方且到AD 的距离为3时,过点E 作GH⊥AB 于点H,过点 P 作 PG⊥EH 于点G,在△AEH 中,AE=5,AH=3,∴EH=4.在△EPG中,PE=m,PG=8,EG=m- 解得 m=10,∴当点 E 到直线AD的距离不超过3时，m的取值范围为
6.解:(1)延长CB 至点E,使 BE=DN,连接AE,证△ADN≌△ABE,△AMN≌△AME,∴MN=BM+BE=BM+DN;
(2)作AF⊥MN,垂足为F,由(1)知∠AMB=∠AMN,∴AF=AB=6.
设DN=BE=x,则MN=BM+DN=x+2,
7.解：设正方形A 的边长为a，正方形B 的边长为b，由图甲得 即 由图乙得( 所以 ∴正方形 A,B 的面积之和为 13.
8.证明:(1)α=30°时,∠FBC=2α=60°,点 F 与点D 重合,∠HFC=180°-∠ADC=60°,HF=HC,
∴△CFH 为等边三角形;
(2)当α≠30°时,连接BF,易得 FB=BC=AB,
∠FBH=∠HBC=α,∴∠ABF=120°-2α.
∵AB=BF,∴∠AFB=∠BAF=30°+α,
∴∠AHB=180°-∠BAF-∠ABH
∴∠BHC=∠AHB=30°,∴∠FHC=60°.
∵FH=HC,∴△FHC 为等边三角形.
9.2.4 解: 时OE最短，由面积法得OE 最小值
10.7 解:BD+DE≥BE,当B,D,E 三点共线时BE 最大,BE最大值为5+2=7.
11.解:(1)过点 D作AE 的平行线交BC 的延长线于点 F,则四边形AEFD 为所作平行四边形；
(2)DF=AE=15,EF=AD=26,BF=39.
F.
∵AE∥DF,∴AE⊥BD.
12.解:延长AE 交BC 于点F,则△ADE≌△FCE,∴AE=EF,FC=AD=5,∴BF=10-5=5.在Rt△ABF 中,由勾股定理得AF=13,
13.证明:∵B(1,0),C(3,0),∴OB=1,BC=2,取AB 中点D,则 ∴DF=OB,易证△DEF≌△BEO,∴OE=EF.
14.解:作DM⊥AE,垂足为点M,易证:DM=AM=ME=4,易证△DMF≌△CNF,∴CN=DM=4,
15.解:(1)略;
(2)取AC 中点E,连接DE,则 点 D 的运动路径长为
16.解:延长BD,CA 交于点 N,证.
17.解:(1)易证ED=DC,ED=AE=EB,∴CD=AE;
(2)取 BD 中点F,易证
∴EF=3,∠EFC=∠ADC=90°,AB=2ED=2DC=10,

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