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第十八章《平行四边形》核心专题一点通
(Ⅰ)高频考点
高频考点一 平行四边形的判定与性质
1.如图,在 ABCD中,E为BC的中点,AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.
(1)求证:∠DFA=∠FAB;
(2)求证:DC=FC.
2.如图,在 ABCD中,AE=CF,求证:四边形EBFD 为平行四边形.
3.如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AC与BD 交于点O,求证:AO=CO.
4.如图,F 为 ABCD的边CB 的延长线上一点,FB=BC,连接DF,交AB 于点E,求证:AE=BE.
高频考点二 三角形的中位线
5.如图,在△ABC中,AB=10,AC=7,AD 平分∠BAC,CM⊥AD,垂足为 M,交 AB 于点E,且 N 是 BC 的中点,求 MN的长.
6.如图,AC,BD 是四边形ABCD 的对角线,AD⊥BD,E为AB的中点，连接 DE 交AC 于点F,AF=CF,DF= DE.若BC=12,求AB 的长.
高频考点三 矩形的判定与性质
7.如图, ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O. E,F 是AC上的两点,且AE=CF,连接DE,BF.
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)若BD=EF,连接EB,DF,判断四边形 EBFD 的形状,并说明理由.
8.如图,在 ABCD中,各内角的平分线相交于点E,F,G,H,求证:四边形 EFGH 是矩形.
9.如图, ABCD的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 是等边三角形,AB=2,求 ABCD 的面积.
10.如图,在矩形ABCD中,E 是AD 边上的一点,F 是AB 边上一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=3cm,矩形ABCD 的周长为22 cm,求AE 的长.
高频考点四 直角三角形斜边上的中线
11.如图,在△ABC中,AB=AC,M,N 分别为AC,BC 的中点,以AC 为斜边在△ABC 的外侧作 Rt△ACD,连接MN,DM,DN,求证:△DMN 是等腰三角形.
12.如图,P 为 的边AB上一点， 垂足分别为E,F,Q 为AB 的中点,EQ 的延长线交BF 于点G.
(1)求证:
(2)若. ,求QF 的长.
高频考点五 菱形的判定与性质
13.如图,菱形 ABCD 的对角线. 周长为 52，求菱形ABCD 的面积.
14.如图,在 中， E 为AD的中点, BC, 求证：四边形 BCDE 是菱形.
15.如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点O，
(1)求证:四边形OCED 是菱形;
(2)若 ,求菱形OCED 的面积.
高频考点六 正方形的判定与性质
16.如图,四边形ABCD中, 对角线AC,BD 交于点O, E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点.求证：四边形EFGH 为正方形.
17.如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取. ，求四边形EFGH 的面积.
18.如图,E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点,且
(1)四边形ACED 是平行四边形吗 说明理由；
(2)如果 请求出四边形ACED 的面积.
19.如图，M是边长为4的正方形纸片ABCD 的边AD 上一点，点E，F分别在边AB,CD上, 连接EF，已知
(1)求证:
(2)求四边形AEFD 的面积.
1.证明:略.
2.证明:略.
3.证明:略.
4.证明:易证△ADE≌△BFE.∴AE=BE.
5.解:易证△AMC≌△AME,∴AE=AC=7,CM=ME,∴BE=3,∴MN= BE=1.5.
6.解:AB=2DE=18.
7.证明:(1)略;
(2)四边形 EBFD 是矩形.
8.证明: 即∠AGB=90°.同理可得∠DEC=90°, ∴四边形 EFGH 是矩形.
9.解:易证□ABCD 是矩形,AC=2AB=4,
10.解:∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠CED=90°.
又∵在Rt△AEF 中,∠AFE+∠AEF=90°,
∴∠AFE=∠CED,∵EF=EC,∴△AEF≌△DCE(AAS),
∴AE=CD.设AE=CD=x cm,
∴C矩形ABCD=2[(x+3)+x]=22,解得x=4 cm,
∴AE=4 cm.
11.证明:
∴△DMN 是等腰三角形.
12.解:(1)证△EAQ≌△GBQ;
(2)易证
13.解:连接BD,交AC于点O,则BD⊥AC.∵AC=24,
∵周长为52,∴AD=13,
,
14.证明:∵AD∥BC,BE∥CD,∴四边形 BCDE 是平行四边形，
∵BE 是 Rt△ABD 的中线,∴BE=DE,
∴四边形 BCDE 是菱形.
15.解:(1)略;
(2)连接OE,则OE⊥DC,∴AD∥OE,DE∥OA,
16.证明:易证EH=FG=EF=HG,∴四边形EFGH 为菱形,易证∠HEF=90°,∴菱形 EFGH 为正方形.
17.解:∵AE=BF=CG=DH=5,
∴AF=BG=CH=DE=3,
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE,
18.解:(1)∵CE=BC,BC=AD,∴CE=AD.又CE∥AD,
∴四边形 ACED 是平行四边形；
(2)设BC为x，由勾股定理得
∴□ACED 的面积=CE·CD=2.
19.解:(1)略;
(2)由△AEM≌△DMF 得AM=DF=BE,则 DF+AE=AE+EB=4,
∴四边形AEFD 的面积是 4=8.

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