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第三节　导数与函数的极值、最值
【课程标准】　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
教|材|回|顾
1．函数的极值
(1)极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极值点、极值
极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的________；
②将函数y＝f(x)的各极值与____________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
微|点|延|伸
1．极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)．
2．有极值的函数一定不是单调函数．
3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
4．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
5．若函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
6．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
小|题|快|练
1．(人A选二P92T1改编)函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，
则函数f(x)极值点的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．函数f(x)＝的极大值为(　　)
A．－e B．
C．1 D．0
3．(人B选三P100T3改编)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－
4．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是________________．
5．(苏教选一P230T7改编)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
类型一 求函数的极值
【例1】　(2024·九省联考)已知曲线y＝f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
求函数极值关键是划分单调区间，用方程f′(x)＝0的根和不可导点处x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．
由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．
【训练1】　(多选题)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则下面结论正确的为(　　)
A．a＝－1
B．f(x)的单调递增区间为(－2,1)
C．f(x)的极小值为1
D．f(x)的极大值为5e－3
类型二 已知函数极值求参数
【例2】　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
讨论极值点有无(个数)问题，可转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
【训练2】　(1)已知函数f(x)＝ln x＋1－2a－x＋有两个不同的极值点x1，x2，则a的取值范围为________．
(2)函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是________.
类型三 函数的最值
【例3】　(1)函数f(x)＝xcos x－sin x在区间[－π，0]上的最大值为(　　)
A．1 B．π
C． D．
(2)已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)．
①讨论f(x)的单调性；
②求f(x)在上的最大值g(a)．
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
【训练3】　已知函数f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________．
第三节　导数与函数的极值、最值
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)f′(x)<0　f′(x)>0　(2)f′(x)>0　f′(x)<0　(3)极值点　极值
2．(1)连续不断　(2)极值　端点处的函数值f(a)，f(b)
小题快练
1．C　解析　设导函数f′(x)的图象与x轴的交点分别为x1，x2，x3，x4，x5，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得x1，x4为函数f(x)的极大值点，x2，x5为函数f(x)的极小值点，所以函数f(x)极值点的个数为4.故选C.
2．B
3．B　解析　由f′(x)＝＋2ax－3，得f′(2)＝0，解得a＝，经验证符合题意．故选B.
4．(－∞，－)∪(，＋∞)　解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有两个变号零点，所以Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>或a<－.
5．32　解析　令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.
关键能力·落实
【例1】　解　(1)f′(x)＝＋2x＋a.由题意知f′(2)＝，即＋4＋a＝，所以a＝－3.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)．由(1)知f(x)＝ln x＋x2－3x＋2，f′(x)＝.当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)，单调递减区间是.当x＝时，f(x)取得极大值f＝－ln 2；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝0.
【训练1】　AD　解析　由题可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R，因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以f′(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，解得a＝－1，故f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex－1，当x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－21时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2,1)，故A正确，B错误；由上可知，f(x)的极大值为f(－2)＝5e－3，极小值为f(1)＝－1，故C错误，D正确．故选AD.
【例2】　解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，则f′(1)＝e－1.f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.
(2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a，由f′(x)<0，得x0)，等价于1－ln a－a2<0(a>0)．令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)，则g′(a)＝－－2a<0，所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，故当00；当a>1时，g(a)<0.故实数a的取值范围为(1，＋∞)．
【训练2】　(1)　解析　函数f(x)＝ln x＋1－2a－x＋，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－1－＝，x>0.因为函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2，所以－x2＋x－a＝0有两个不同的正实数根x1，x2，则有解得0(2)　解析　因为f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)，所以f′(x)＝＋x－a，因为函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，所以y＝f′(x)在上只有一个变号零点．令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x.设g(x)＝＋x，则g(x)在上单调递减，在[1,3]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2，又g＝，g(3)＝.结合函数g(x)＝x＋，x∈的图象可得，当≤a<时，y＝f′(x)在区间上只有一个变号零点，所以实数a的取值范围为.
【例3】　(1)B　解析　由题意得f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x∈[－π，0]时，sin x≤0，f′(x)≤0，所以f(x)在[－π，0]上单调递减，故函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值为f(－π)＝π.故选B.
(2)解　①函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.(ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当00，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
②f′(x)＝，当a≤时，f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f＝2－ae；当【训练3】　1或e　解析　因为f′(x)＝a－＋＝，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)是(0，＋∞)上的减函数，函数f(x)无最小值，不符合题意；当a>0时，由f′(x)<0，得00，得x>，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，函数f(x)的最小值为f＝1＋a＋(1－a)ln a＝2，得(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或e.(共32张PPT)
第三节
第三章 一元函数的导数及其应用
导数与函数的极值、最值
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
求函数的极值
解
解
解析
类型二
已知函数极值求参数
解
解
解析
解析
类型三
函数的最值
解析
解
解
解
解析
R
赢在欲点
y
0
X微练(二十三)　导数与函数的极值、最值
　基础过关
一、单项选择题
1．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(1,4)内单调递增
B．函数f(x)在区间(1,3)内单调递减
C．函数f(x)在x＝1处取得极大值
D．函数f(x)在x＝0处取得极大值
2．(2025·重庆模拟)已知函数f(x)＝－xex，那么f(x)的极大值是(　　)
A． B．－
C．－e D．e
3．函数f(x)＝在[0,2]上的最小值是(　　)
A． B．
C．0 D．
4．若x＝1是函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的极值点，则a的值为(　　)
A．－2 B．3
C．－2或3 D．－3或2
5．(2025·乌鲁木齐质量检测)设x1，x2是函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1的两个极值点，若x1＋3x2＝－2，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．已知函数f(x)＝ex＋x2＋(a－2)x＋1在区间(0,1)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－e,1) B．(1－e,1)
C．(－e，＋∞) D．(0，e)
二、多项选择题
7．对于函数f(x)＝x3－3x，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增
C．f(x)在x＝－1处取得极大值2
D．f(x)的值域是[－2,2]
8．(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
三、填空题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．
10．已知f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－x，则当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为________．
11．(2025·南宁模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．
四、解答题
12．(2025·安徽黄山质检)已知函数f(x)＝x2－4ax＋a2ln x在x＝1处取得极大值．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
13．(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax.
(1)当a＝3时，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)极值点的个数．
　素养提升
14．(多选题)已知函数f(x)＝x3－(3a2－6a)x＋2有两个极值点，则(　　)
A．f(x)的图象关于点(0,2)对称
B．f(x)的极值之和为－4
C． a∈R，使得f(x)有三个零点
D．若g(x)＝f(x)＋ax2在x＝0处取得极小值，则a＝0或a＝2
15．已知三次函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，其导函数为f′(x)，存在t∈(1,4)，满足f(2－t)＝f(t)＝f′(t)＝0.记f(x)的极大值为M，则M的取值范围是________．
16．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝aln x＋－x.
(1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程；
(2)若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围．
微练(二十三)　导数与函数的极值、最值
1．A　解析　在区间(1,4)内f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1,4)内单调递增，故A正确；在区间(1,3)内f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1,3)内单调递增，故B错误；当x∈(0,4)时，f′(x)>0，可知函数f(x)在(0,4)内单调递增，故x＝1不是函数f(x)的极值点，故C错误；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故函数f(x)在x＝0处取得极小值，故D错误，故选A.
2．A　解析　因为函数f(x)＝－xex，所以f′(x)＝－(x＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f′(x)>0；当x>－1时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以f(x)极大值＝f(－1)＝，故选A.
3．C　解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，当x∈[0,1]时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x∈(1,2]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，又因为当x＝0时，f(0)＝0，当x＝2时，f(2)＝，所以函数f(x)的最小值为0.故选C.
4．B　解析　f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x，则f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)，由题意可知f′(1)＝0，即1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0，解得a＝3或a＝－2.当a＝3时，f′(x)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)，当x>1或x<－9时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当－95．C　解析　令f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0，则有Δ＝4a2－12>0，x1＋x2＝－，x1x2＝①，又x1＋3x2＝－2②，结合①②可得x2＝－，x1＝－1，所以－＝－，即a＝2，故选C.
6．A　解析　由f(x)＝ex＋x2＋(a－2)x＋1得f′(x)＝ex＋2x＋a－2，易知f′(x)在(0,1)上单调递增，因为f(x)在(0,1)上有最小值，故即解得－e7．ABC　解析　对于A，因为对 x∈R，f(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，故A正确；对于B，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)>0可得x<－1或x>1，令f′(x)<0 可得－18．BCD　解析　由题意得f′(x)＝＋＋＝(a≠0)，x∈(0，＋∞)，因为y＝f(x)既有极大值也有极小值，所以y＝ax2－bx－2c在(0，＋∞)上有两个变号零点．设方程ax2－bx－2c＝0的两根分别为x1，x2(x1>0，x2>0，x1≠x2)，所以所以ab>0，ac<0，b2＋8ac>0，bc<0.故选BCD.
9．18　解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意，得即解得或当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，f(x)无极值．当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝3x2＋8x－11＝0，得x1＝1，x2＝－.当x变化时，f′(x)，的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 10 单调递增
所以f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，f(2)＝18.
10．1　解析　因为x∈(－2,0)，所以－x∈(0,2)，所以f(－x)＝ln(－x)＋x，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x)－x，所以当x∈(－2,0)时，f(x)＝－ln(－x)－x，f′(x)＝－－1＝－，令f′(x)＝0，得x＝－1，则f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝－ln 1＋1＝1.所以当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1.
11．[0，＋∞)　解析　因为f(x)＝(x－1)ex＋ax2，所以f′(x)＝xex＋2ax＝x(ex＋2a)，①若a≥0，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝－1.②若a<0，则当x→－∞时，f(x)→－∞，不符合题意．故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
12．解　(1)f′(x)＝3x－4a＋.由f(x)在x＝1处取得极大值得f′(1)＝3－4a＋a2＝0，解得a＝1或a＝3，经检验，a＝1时不符合题意，应舍去，故a＝3.
(2)由(1)得f(x)＝x2－12x＋9ln x，f′(x)＝，x∈，令f′(x)>0，得13．解　(1)当a＝3时，f(x)＝e2x＋ex－3x，则f′(x)＝2e2x＋ex－3＝(2ex＋3)(ex－1)，由f′(x)>0，得x>0，此时f(x)单调递增；由f′(x)<0，得x<0，此时f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
(2)由题意知，f′(x)＝2e2x＋ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)极值点的个数为0.当a>0时，易知1＋8a>1，令ex＝t(t>0)，则y＝2t2＋t－a(t>0)，故解关于t的方程2t2＋t－a＝0得，t1＝(舍)，t2＝，所以t∈(0，t2)时，y<0；t∈(t2，＋∞)时，y>0，所以x>ln t2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x0时，f(x)极值点的个数为1.
14．AC　解析　因为函数f(x)＝x3－(3a2－6a)x＋2，函数f(x)的图象可由函数h(x)＝x3－(3a2－6a)x的图象向上平移2个单位长度得到，又因为h(－x)＝(－x)3－(3a2－6a)(－x)＝－x3＋(3a2－6a)x＝－h(x)，可得函数h(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,2)对称，所以A正确；不妨设函数f(x)的两个极值点分别为x1，x2(x10，f(x)单调递增；当－时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又由f(－)＝6＋2>0，f()＝－6＋2<0，所以 a∈R，使得函数f(x)有三个零点，所以C正确；由函数g(x)＝f(x)＋ax2＝x3＋ax2－(3a2－6a)x＋2，可得g′(x)＝3x2＋ax－(3a2－6a)，因为函数g(x)在x＝0处取得极小值，可得g′(0)＝3a2－6a＝0，解得a＝0或a＝2，当a＝0时，g′(x)＝3x2≥0，函数g(x)单调递增，没有极值点，所以D错误．故选AC.
15．(0,32)　解析　因为f(2－t)＝f(t)＝f′(t)＝0，所以t是f(x)的零点也是极值点，2－t也是f(x)的零点．不妨设f(x)＝(x＋t－2)(x－t)2，故f′(x)＝(x－t)2＋2(x＋t－2)(x－t)＝(x－t)(x－t＋2x＋2t－4)＝(x－t)(3x＋t－4)．因为t∈(1,4)，所以t或x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当16．解　(1)f(x)＝ln x－－x，f′(x)＝＋－1＝2 (3x＋2)(x－1)＝0，因为x>0，所以x＝1，故切点为(1，－3)，k＝2，所以切线方程为y＋3＝2(x－1)，即y＝2x－5.
(2)f′(x)＝－－1，因为x＝1为f(x)的极小值点，所以f′(1)＝a－b－1＝0，a＝b＋1，所以f′(x)＝－＝－，x>0.①当b≤0时，x－b>0，令f′(x)＝0 x＝1，此时当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，f(x)在x＝1取得极大值，舍去．②当b＝1时，f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(x)不存在极值，舍去．③当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，此时，f(x)在x＝1取得极大值，舍去．④当b>1时，当00，f(x)单调递增；当x>b时，f′(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)在x＝1取得极小值，符合．综上，b的取值范围为(1，＋∞)．(共29张PPT)
微练(二十三)
导数与函数的极值、最值
基础过关
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