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实际问题与二元一次方程组（第3课时）
数学人教版（2024）七年级下册
　　如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，每吨运费 29 元，再把制成的纺织面料从工厂运到 B 地销售，每吨的运费为 32 元，试求铁路、公路运价分别为多少元/(t·km)？
每吨每千米多少元
　　解：设铁路、公路运价分别为 x 元/(t·km)和 y 元/(t·km)．
每吨 120x 元
每吨 10y 元
每吨 20y 元
每吨 110x 元
从 A 地到工厂
从工厂到 B 地
　　由题意，得方程组
　　答：铁路、公路运价分别为 0.2 元/(t·km)和0.5 元/(t·km)．
　　解得
　　如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为 0.5 元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
　　思考：要求“这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
　　已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为 0.5元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
销售额
原料费
运输费(公路和铁路)
原料数量
产品数量
原料数量
产品数量
　　分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们设购买 x t 长绒棉，制成 y t 纺织面料．
　　思考：你能根据题中数量关系完成下表吗？
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
总价＝单价×数量
单价：3.08元/t
单价：4.25元/t
长绒棉
纺织面料
3.08x
4.25y
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元 3.08x 4.25y
铁路运价为 0.2 元/(t·km)
0.2×120x
0.2×110y
0.2(120x＋110y)
运输费＝数量×运价×距离
长绒棉
纺织面料
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y)
价值/元 3.08x 4.25y
公路运价为 0.5 元/(t·km)
0.5×10x
0.5×20y
0.5(10x＋20y)
运输费＝数量×运价×距离
长绒棉
纺织面料
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x＋20y)
铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y)
价值/元 3.08x 4.25y
　　思考：你发现相等关系了吗？如何列方程组并求解？
　　根据两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元，列方程组
　　解：设购买 x t 长绒棉，制成 y t 纺织面料．
　　所以丝路纺织厂从 A 地购买了 400 t 长绒棉，制成 320 t 纺织面料运往 B 地．
　　化简，得
　　解得
　　由题意，得方程组
　　
　　思考：这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？
　　销售额：4.25y＝4.25×320＝1 360（万元）；
　　原料费：3.08x＝3.08×400＝1 232（万元）；
　　运输费：5 200＋16 640＝21 840（元）；
　　13 600 000－(12 320 000＋21 840)＝1 258 160（元）．
　　这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多 1 258 160 元．
归纳
　　若在直接设要求的量为未知数不容易列方程（组）时，应设间接未知数，求得未知数的值后再计算要求的量．
　　从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
问题
　　一个农机服务队有技术员工和辅助员工共 15 人，技术员工人数是辅助员工人数的 2 倍．服务队计划对员工发放奖金共计 20 000 元．按每名技术员工 A 元和每名辅助员工 B 元两种标准发放，其中 A，B 均不小于 800，且 A 不小于 B，并且 A，B 都是 100 的整数倍．（注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．）
　　（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；
　　（2）求本次奖金发放的具体方案．
　　分析：（1）①由“服务队有技术员工和辅助员工共 15 人”得相等关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．由“技术员工人数是辅助员工人数的 2 倍”得相等关系：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②设该农机服务队有技术员工 x 人，辅助员工 y 人，根据①中的两个相等关系可列方程组 解得 即该农机服务队有技术员工＿＿＿人，辅助员工＿＿＿人．
技术员工人数＋辅助员工人数＝15
技术员工人数＝辅助员工人数×2
x＋y＝15
x＝2y
10
5
10
5
　　分析：（2）①由“服务队计划对员工发放奖金共计 20 000 元”得相等关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
据此可列出关于 A，B 的二元一次方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②因为 A≥B≥800，且 A，B 都是 100 的整数倍，
　　所以当 B＝800 时，A＝＿＿＿＿＿；
　　当 B＝900 时，A＝＿＿＿＿＿（ A 不是 100 的整数倍，舍去）；
　　当 B＝1 000 时，A＝＿＿＿＿＿；
　　当 B＝1 100 时，A＝＿＿＿＿（ A 不是 100 的整数倍，舍去）；
技术员工总奖金＋辅助员工总奖金＝20 000 元
10A＋5B＝20 000
1 600
1 550
1 500
1 450
　　当 B＝1 200 时，A＝＿＿＿＿＿；
　　当 B＝1 300 时，A＝＿＿＿＿（ A 不是 100 的整数倍，舍去）；
　　当 B＝1 400 时，A＝＿＿＿＿＿（ A＜B，舍去）；
　　由此再取下去都不符合题意．
　　所以本次奖金发放的具体方案有 3 种：
　　方案 1：技术员工每人＿＿＿＿＿元，辅助员工每人 800 元；
　　方案 2：技术员工每人＿＿＿＿＿元，辅助员工每人 1 000 元；
　　方案 3：技术员工每人＿＿＿＿＿元，辅助员工每人 1 200 元．
1 400
1 350
1 300
1 600
1 500
1 400
归纳
　　要求两个量，且已知两个相等关系，一般列二元一次方程组即可求解；若要求两个量，且只知一个相等关系，则一般列二元一次方程，然后根据问题的实际情况讨论得出符合题意的结果．
　　例　某工厂去年的总产值比总支出多 500 万元．由于今年总产值比去年增加 15％，总支出比去年节约 10％，因此，今年总产值比总支出多 950 万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
　　分析：解决此类问题要先明确几个基本关系：
　　（1）增长量＝原有量×增长率；
　　（2）原有量＝现有量－增长量；
　　（3）现有量＝原有量×(1＋增长率)．
　　再根据相等关系列方程组．
　　解：设去年总产值是 x 万元，总支出是 y 万元，列表如下：
　　所以(1＋15%)x＝2 300，(1－10%)y＝1 350．
　　解得
总产值/万元 总支出/万元 差/万元
去年 x y 500
今年 (1＋15%)x (1－10%)y 950
　　答：今年的总产值是 2 300 万元，总支出是 1 350 万元．
　　由题意，得方程组
归纳
画表格巧解增长率问题
　　在此类数量关系比较复杂的增长率题目中，仅靠想象寻找相等关系或列方程组，难免会出现顾此失彼的情况，如果能借助表格分析，将会更容易理清解题思路，从而列出方程组．
列二元一次方程组解决复杂的实际问题
方案设计类问题
设间接未知数解决问题

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