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湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列四幅图中，和是同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2） B．（-6，3） C．（-4，-6） D．（3，-4）
5．古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有只，树有棵，则由题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中是假命题的是（ ）．
A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数
C．对顶角相等 D．若，那么
7．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ）
A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间
8．长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图，这是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
11．的相反数是 ．
12．在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ．
13．已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是 ．
14．已知，则点在第 象限。
15．如图，直线与相交于点O，，，则等于 ．
16．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程组：．
19．完成下面的证明．
已知：如图，在三角形中，于点，是上一点，．
求证：．
证明：（已知），
___________（ ）
___________，
（已知），
___________（_________）．
（___________）
20．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点．
(1)点的坐标________，的坐标________；
(2)请画出平移后的三角形；
(3)求三角形的面积．
21．在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即．
(1)若点C的坐标为，求点C的“3阶开心点”D的坐标．
(2)若点的“阶开心点”N在第一象限，且到y轴的距离为5，求点N的坐标．
22．如图，点在线段上，点，在线段上，，．
(1)求证：；
(2)若于点，平分，，求的度数．
23．截至2025年3月19日，《哪吒2》累计报收票房（含点映、预售及海外票房）超151.80亿元，打破多项票房纪录．由于电影角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个进价为100元，售价为130元．
(1)该商家两款手办分别购进多少个？（用二元一次方程组解答）
(2)当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打九折进行销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家可以获利多少元？
24．【百廿风华，公勤仁勇；湖南师大附中始终以家国情怀为己任，以教育兴邦为使命，历经百廿风雨，培育万千英才！】我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足则把点称作，两点的“附中点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题．
(1)若点是，两点的“附中点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）；
(2)已知点，且点是，两点的“附中点”，先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标；
(3)已知点是，两点的“附中点”，是，两点的“唯一值”，
①请用含有字母的式子表示“唯一值”；
②若无论取何值，等式始终成立（其中，是常数），求代数式的值．
25．在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接．
(1)若，求三角形的面积；
(2)如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标；
(3)在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标．
《湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．D
解：∵，
∴最小的是，D选项符合题意．
故选D．
2．C
解：A. 和是对顶角，不合题意，
B. 和是内错角，不合题意，
C. 和是同旁内角，符合题意，
D. 和不是同旁内角，不合题意，
故选：C
3．B
解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
4．C
解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，
A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意；
C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意；
D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意；
故选：C
5．C
解：由题意可得：，
故选C．
6．B
根据平移性质得：平移不改变图形的形状和大小，故A正确；
负数没有平方根，故B错误；
对顶角相等，故C正确；
若，可得，故D正确；
故选：B．
7．B
解：当，时，
，
∵，
∴，
∴该微观粒子的能量的值在5和6之间．
故选：B．
8．C
解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示会宁会师的点的坐标为；
故选：C
9．A
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10．D
解：①把代入原方程组得：，
解得：，则①错误；
②把代入原方程组得：，
解得：，则②错误；
③把代入原方程组得：，
即：，则③错误；
④，
得：，
得：，即：，则④正确；
故选D．
11．
解：的相反数是
故答案为：
12．1
解：因为点在y轴上，
所以，
解得．
故答案为：1．
13．6
解：把代入方程得：2m 6=6，
移项得：2m=6+6，
解得：m=6．
故答案为：6．
14．二
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
∴点P在第二象限．
故答案为：二．
15．/30度
解：∵，
，
又∵，
∴，
∴（对顶角相等），
故答案为：．
16．
∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
17．2
原式
．
18．
解：得，，
解得，
把代入②得，，
解得，
∴原方程组的解为
19．；垂线定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
证明：（已知）
（垂线定义）
（已知）
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；垂线定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
20．(1)，
(2)见解析
(3)
（1）∵点的对应点，
∴将三角形先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得三角形，
∵，，
∴，．
故答案为：，；
（2）如图，三角形即为所求
（3）．
21．(1)的坐标为
(2)点的坐标为
（1）解：依题意得，
∴点的“3阶开心点”的坐标为．
（2）解：点的“阶开心点”为，
点的坐标为，即．
点在第一象限，且到y轴的距离为5，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
22．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
23．(1)分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个
(2)两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元
（1）设分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办个和个，由题意可列方程组得：
解得：
答：分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个．
（2）（元），
答：两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元．
24．(1)4；3；1
(2)点的坐标是或
(3)“唯一值”；
（1）∵，，
∴，，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴；
∴，，
∴．
故答案为：4；3；1；
（2）设，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∵先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，
∴，即，
当轴时，
，
∴．
∵，两点的“唯一值”，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当轴时，同理可求点的坐标是．
综上可知，点的坐标是或；
（3）①∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
∵无论取何值，等式始终成立，
∴，
∴，
∴．
25．(1)12
(2)，
(3)，点的坐标是或
（1）由题意可得：解得
又，在第一象限，
所以，
于是：，，
∴．
（2）∵点的纵坐标是，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
又，
联立解得：
∴， ，
∴．
（3）如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
当时（即点在线段上时），
∵，
∴，
解得：，
所以：的坐标是．
当时（即点在线段的延长线上时），
同理可求得：的坐标是，
综上所述：点的坐标是或．

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