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2024- 2025(下)6月月度质量监测
高二数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.根据分类变量 x与 y的成对样本数据，计算得到 χ2= 8.988.依据 α= 0.001的独立性检验，正确的结论为
(附：x0.01= 6.635，x0.005= 7.879，x0.001= 10.828)
A. 变量 x与 y不独立 B. 变量 x与 y不独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.001
C. 变量 x与 y独立 D. 变量 x与 y独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.001
2.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x(单位： °C)的关系，在 20个不同的温度条
件下进行种子的发芽实验，由实验数据 (xi , yi) (i= 1 , 2 , , 20)得到下面的散点图：
由此散点图，在 10 °C至 40 °C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程
类型的是
A. y= a+ bx B. y= a+ bx2 C. y= a+ bex D. y= a+ blnx
3.已知数列 3， 5， 7，3， 11， ， 2n+1， ，则 51是这个数列的
A. 第 12项 B. 第 13项 C. 第 24项 D. 第 25项
4.数列 an 的通项公式为 a =n2n + kn，则“k≥-2”是“ an 为递增数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有 3根柱子甲、乙、丙，甲柱上有 n(n≥ 3)个盘子，最
上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上 (如图).把这n个盘子从甲
柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙 3根柱子都可以利用，且 3
根柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下．设游戏结束需要移动的最少次数为 an，则
数学试题 第 1 页 共 8 页
当n≥ 3时，an和 an+1满足的关系式是
A. an+1= 4an- 3n B. an+1= 4an- 1 C. an+1= 2an+ 1 D. an+1= 2an+n
6. 1若函数 f x = x22 - 2x- 3lnx，则函数 f x 的单调递减区间为
A. (-∞ ,-1) ∪ (3 ,+∞) B. -1,3
C. (0 , 3) D. 3,+∞
lnx
x ,x≥17.设函数 f x = ，若关于 x的方程 [ f(x)]
2+mf(x) - 1-m= 0恰好有 4个不相等的实数
- x-1 3 ,x<1
解，则实数m的取值范围是
A. -1, 1e -1 B. -1-
1
e ,-1 C. 1,
1
e +1 D. 0,
1
e
8. m∈R f(x) = 1若 ，函数 2 x
2- x+mlnx有两个极值点 x1，x2(x 21< x2)，则m x1x2+x2 的最大值为
A. 2 427 B. 27 C.
6 8
27 D. 27
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知由样本数据点 (x1 , y1)，(x2 , y2)， ，(xn , yn)

求得的回归直线方程为 y= 1.5x+ 0.5，且 x = 3，现发
现两个数据点 (1.3 , 2.1)和 (4.7 , 7.9)的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为 1.2，则
A. 变量 x和 y具有负相关关系
B. y 剔除后 不变
C. 剔除后的回归直线方程为 y= 1.2x+ 1.4
D. 剔除后对应于样本数据点 (2 , 3.75)的残差为 0.05
10.已知数列 {an}满足 a1= 3，an+1= 1- 1a ，记数列 {an}的前n项和为Sn，则n
A. a2= 32 B. S
1
3n+1-S3n=- 2 C. anan+1an+2=-1 D. S19= 22
2
11. f(x) = x -1已知函数 ，g(x) = e f(x)2 ，则以下结论不正确的是x +1
A. f 12025 f
1
2024 f(1) f(2) f(2025) = 1
B. g 12025 g
1
2024 g(1) g(2) g(2025) = 1
C. 若 af '(a) = bf '(b)，且 a≠ b，则 ab= 1
D. 若 ag'(a)g(b) = bg'(b)g(a)，且 a≠ b，则 ab= 1
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.记Sn为等差数列 an 的前n项和，若 a1=-2 , a2+ a6= 2，则S10= ．
13.给出下列命题：
①实验测得四组数据 (x , y)的值为 (1 , 2.1)，(2 , 2.8)，(3 , 4.1)，(4 , 5)，则 y与 x的回归直线方程为 y=
2x+ 1 ;
②函数 f(x) = 2sin 3x- π4
π
的图象向右平移 4 个单位长度，得到函数 g(x) = 2sin 3x的图象;
③当 x∈ [0 , 1]时，函数 y= x 1-x2 1的最大值为 2 ;
④幂函数 f x 的图象经过点A 4,2 ，则它在A点处的切线方程为 x- 4y+ 4= 0.
其中正确命题的序号是 .
14.对函数 f(x) = 3x做如下操作：先在 x轴找初始点P1(x1 , 0)，然后作 f(x)在点Q1(x1 , f(x1))处的切线，切线
与 x轴交于点P2(x2 , 0)，再作 f(x)在点Q2(x2 , f(x2))处的切线，切线与 x轴交于点P3(x3 , 0)，再作 f(x)在
点Q3(x3 , f(x3))处的切线，依次类推.现已知初始点为P1(0 , 0)，若按上述过程操作，则 x3= ，所
得△PnQnPn+1的面积为 .(用含有n的代数式表示)
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某学生兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得
到下表 (单位：天)：
锻炼人
次 [0 , 200] (200 , 400] (400 , 600]
空气质量等级
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为 1或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3或 4，则称这天
“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的 2× 2列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为
一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤ 400 人次> 400
空气质量好
空气质量不好
2= n(ad-bc)
2
附：χ (a+b)(c+d)(a+c)(b+ ，d)
P(χ2≥ k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
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16. 3 3a已知数列 an 的首项 a = n1 5 ，且满足 an+1= 2a +1．n
(1) 1求证：数列 a -1 为等比数列；n
(2) 1 1 1若 a + a + a + ...+
1
a < 100，求满足条件的最大整数n.1 2 3 n
17.已知 x= 3是函数 f(x) = aln(1+ x) + x2- 10x的一个极值点．
(1)求实数 a的值;
(2)求函数 f(x)的单调区间;
(3)若直线 y= b与函数 y= f(x)的图象有 3个交点，求实数 b的取值范围．
18. b已知数列 {an}，{bn}，{cn}满足 a1= b1= c1= 1，cn+1= an+1- an，c nn+1= c (n∈N *)．b nn+2
(1)若 {bn}为等比数列，公比 q> 0，且 b1+ b2= 6b3，求 q的值及数列 {an}的通项公式；(2)若 {bn}为等差
数列，公差 d> 0，证明：c1+ c2+ c3+ +c < 1+ 1n ，n∈N *．d
19.在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线C：y= f(x)，定义K=
| f (x)|
为曲线C在点A(x , f(x))处的曲率，其中 f (x)为 f(x)的导函数，f 3 (x)为 f (x)的导函
1+ f (x) 2 2
数．已知曲线C：f(x) = (3- x)ex- m 22 x (m∈R)．
(1)当m= 0时，求曲线C在点A(0 , f(0))处的曲率；
(2)已知曲线C在不同的两点M (x1 , f(x1))，N (x2 , f(x2))处的曲率均为 0．
①求实数m的取值范围；
②证明：x1+ x 数学试题 第 4 页 共 8 页
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D A C C B B BC CD ACD
12.25
13. ③④
14. - 2 log9eln3 ；en-1
15.
(1) 2+16+25 43解： 空气质量等级为 1的概率为P= 100 = 100 ;
5+10+12 27
空气质量等级为 2的概率为P= 100 = 100 ;
6+7+8 21
空气质量等级为 3的概率为P= 100 = 100 ;
4 P= 7+2 9空气质量等级为 的概率为 100 = 100 ;
(2)一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为
100× 2+5+6+7100 + 300×
16+10+7+2
100 + 500×
25+12+8
100 = 350；
(3)
人次≤ 400 人次> 400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
2= 100(33×8-22×37)
2
χ ( + )( + )( + )( + ) ≈ 5.82> 3.841，33 22 33 37 22 8 37 8
有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
3a
16. 证明：(1) ∵ a nn+1= 2an+1
，
∴ 1 2 1a = 3 + 3a ，n+1 n
∴ 1 1a - 1= 3
1
a -1 ，n+1 n
∵ a = 31 5 ，
∴ 1 - 1= 2a1 3
，
∴ 1 -1
2 1
a 为以n 3 为首项，以 3 为公比的等比数列；
(2) (1) 1 - 1= 2 × 1
n-1
由 知 a 3 3 ，n
∴ 1 = 2× 1
n
a 3 + 1，n
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1 - 1
∴S = 1 + 1
n+1
+ + 1 =n+ 2× 1 + 1 + + 1 = + × 3n 2 3 =n+ 1- 1n a1 a 2 n n ，2 an 3 3 3 1- 1 33
∵Sn< 100，
∴Sn=n+ 1- 1 < 100，3n
因为函数 y=n+ 1- 1n 单调递增，3
∴最大整数n为 99．
17. 解：(1)因为 f ' x = a 1+x + 2x- 10，
所以 f ' 3 = a 4 + 6- 10= 0，
因此 a= 16，
2 x2-4x+3 2 x-1 x-3
则 f( x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x，x∈ (-1 ,+∞)，f ' x = 1+x = 1+x ，
可得 f '(x)在 x= 3两边异号，即 x= 3是函数 f(x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x的一个极值点，
故 a= 16．
2 x-1 x-3( 2)由 (1)知，f ' x = 1+x ，x∈ (-1 ,+∞)，
当 x∈ (-1 , 1) ∪ (3 ,+∞)时，f '(x)> 0，
当 x∈ (1 , 3)时，f '(x)< 0，
所以 f(x)的单调增区间是 (-1 , 1)，(3 ,+∞)，f(x)的单调减区间是 (1 , 3)；
(3)由 (2)知，f(x)在 (-1 , 1)内单调递增，在 (1 , 3)内单调递减，在 (3 ,+∞)上单调递增，且当 x= 1或 x= 3
时，f '(x) = 0，
所以 f(x)的极大值为 f(1) = 16ln2- 9，极小值为 f(3) = 32ln2- 21．
因为 f(16)> 162- 10× 16> 16ln2- 9= f(1)，f(e-2- 1)<-32+ 11=-21< f(3)，
所以要使直线 y= b与函数 y= f(x)的图象有 3个交点，
则在 f(x)的三个单调区间 (-1 , 1)，(1 , 3)，(3 ,+∞)内，直线 y= b与 y= f(x)的图象各有一个交点，
当且仅当 f(3)< b< f(1)，
因此，b的取值范围为 (32ln2- 21 , 16ln2- 9)．
18. (1)解：由题意，b2= q，b 23= q ，
∵ b1+ b2= 6b3，∴ 1+ q= 6q2，
整理，得 6q2- q- 1= 0，
1 1
解得 q=- 3 (舍去)，或 q= 2 ，
∴ = bc nn+1 c = 1n cn= 1 c = 1 c = 4 c ，bn+2 bn+2 q2 n 2 n n
b
1
n 2
∴数列 {cn}是以 1为首项，4为公比的等比数列，
∴ cn= 1 4n-1= 4n-1，n∈N *．
∴ an+1- an= c nn+1= 4 ，
则 a1= 1，
a 12- a1= 4 ，
a3- a2= 42，
数学试题 第 6 页 共 8 页
a - a = 4n-1n n-1 ，(n≥ 2 ,n∈N *)，
各项相加，可得n≥ 2，n∈N *时，
1-4n na = 1+ 41+ 42+ +4n-1n = 1-4 =
4 -1
3 ，
当n= 1时代入适合，
n
∴ an= 4 -13 ．
(2) b证明：依题意，由 c nn+1= cn(n∈N *)，可得bn+2
bn+2 cn+1= bn cn，
两边同时乘以 bn+1，可得
bn+1bn+2cn+1= bnbn+1cn，
∵ b1b2c1= b2= 1+ d，
∴数列 {bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为 1+ d，
bnbn+1cn= 1+ d，
∴ c = 1+d = 1+d d = b 1+ 1 n+1
-bn
n =b b d b b d b b 1+
1 1 - 1 ，
n n+1 n n+1 n n+1 d bn bn+1
∴ c + c + +c = 1+ 1 1 - 1 + 1+ 1 1 - 1 + + 1+ 1 1 - 11 2 n =d b1 b2 d b2 b3 d bn bn+1
1+ 1 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 1+ 1 1 - 1 = 1+ 1 1- 1d b1 b2 b2 b3 bn bn+1 d b1 b n+1 d bn+1 < 1+
1
，
d
∴ c1+ c2+ +cn< 1+ 1 ，故得证． d
19. 解：(1)当m= 0时，f (x) = (2- x)ex，f (x) = (1- x)ex，
所以 f (0) = 2，f (0) = 1，
故曲线C在点A(0 , f(0)) K= 1 5处的曲率 3 = ，
(1+22) 2 25
(2)f (x) = (1- x)ex-m，由题意可知，f (x1) = f (x2) = 0，
则方程 (1- x)ex=m有两个根 x1，x2，
设 g(x) = (1- x)ex，则 g (x) =-xex，
当 x∈ (-∞ , 0)时，g (x)> 0，当 x∈ (0 ,+∞)时，g (x)< 0，
所以 g(x)在 (-∞ , 0)上单调递增，在 (0 ,+∞)上单调递减．
又 x→-∞时，g(x) → 0，g(1) = 0，且 g(x)max= g(0) = 1，
①由题可知，直线 y=m与函数 g(x)的图象有两个不同的交点，
所以 0故实数m的取值范围为 (0 , 1)．
②证明：由上可知，0下面证明：当 x∈ (0 , 1)，g(x)<-ex+ e，
设 h(x) = (1- x)ex+ ex- e , x∈ (0 , 1)，则 h (x) =-xex+ e，
令 φ(x) = h (x) =-xex+ e(0< x< 1)，则 φ (x) =- (x+ 1)ex< 0，所以 φ(x)在 (0 , 1)上单调递减，
则 h (x)> h (1) = 0，所以 h(x)在 (0 , 1)上单调递增，且 h(x)< h(1) = 0，
即 (1- x)ex+ ex- e< 0，故 x∈ (0 , 1)，g(x)<-ex+ e．
设点 x3,m 在直线 y=-ex+ e上，则m=-ex3+ e，即 x3= 1- me ，
数学试题 第 7 页 共 8 页
所以-ex2+ e> g(x2) =m=-ex3+ e，
x < x = 1- m即 2 3 e ，
要证 x1+ x2m
e 1
e ，
需证 x1又 (1- x )ex11 -m= 0，只需证 x1<(1- x x1 x11)e - 1，即证 (1- x1)e - x1- 1> 0(x1< 0)．
令F(x) = (1- x)ex- x- 1> 0(x< 0)，则F (x) =-xex- 1，
令P(x) =-xex- 1(x< 0)，则P (x) =- (x+ 1)ex，
当 x<-1时，P (x)> 0，P(x)单调递增，当-1< x< 0时，P (x)< 0，P(x)单调递减，
1
所以P(x)≤P(-1) = e - 1< 0，即F
(x)< 0，
所以F(x)在 (-∞ , 0)上单调递减，所以F(x)>F(0) = 0成立，
故 x1+ x2数学试题 第 8 页 共 8 页

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