资源简介 2024- 2025(下)6月月度质量监测高二数学注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号,试室号,座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。2.选择题每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分,每小题只有一个选项符合要求1.根据分类变量 x与 y的成对样本数据,计算得到 χ2= 8.988.依据 α= 0.001的独立性检验,正确的结论为(附:x0.01= 6.635,x0.005= 7.879,x0.001= 10.828)A. 变量 x与 y不独立 B. 变量 x与 y不独立,这个结论犯错误的概率不超过 0.001C. 变量 x与 y独立 D. 变量 x与 y独立,这个结论犯错误的概率不超过 0.0012.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x(单位: °C)的关系,在 20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验,由实验数据 (xi , yi) (i= 1 , 2 , , 20)得到下面的散点图:由此散点图,在 10 °C至 40 °C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型的是A. y= a+ bx B. y= a+ bx2 C. y= a+ bex D. y= a+ blnx3.已知数列 3, 5, 7,3, 11, , 2n+1, ,则 51是这个数列的A. 第 12项 B. 第 13项 C. 第 24项 D. 第 25项4.数列 an 的通项公式为 a =n2n + kn,则“k≥-2”是“ an 为递增数列”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件5.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有 3根柱子甲、乙、丙,甲柱上有 n(n≥ 3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上 (如图).把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙 3根柱子都可以利用,且 3根柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为 an,则数学试题 第 1 页 共 8 页当n≥ 3时,an和 an+1满足的关系式是A. an+1= 4an- 3n B. an+1= 4an- 1 C. an+1= 2an+ 1 D. an+1= 2an+n6. 1若函数 f x = x22 - 2x- 3lnx,则函数 f x 的单调递减区间为A. (-∞ ,-1) ∪ (3 ,+∞) B. -1,3 C. (0 , 3) D. 3,+∞ lnx x ,x≥17.设函数 f x = ,若关于 x的方程 [ f(x)]2+mf(x) - 1-m= 0恰好有 4个不相等的实数- x-1 3 ,x<1解,则实数m的取值范围是A. -1, 1e -1 B. -1-1e ,-1 C. 1,1e +1 D. 0,1e 8. m∈R f(x) = 1若 ,函数 2 x2- x+mlnx有两个极值点 x1,x2(x 21< x2),则m x1x2+x2 的最大值为A. 2 427 B. 27 C.6 827 D. 27二、多选题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。9.已知由样本数据点 (x1 , y1),(x2 , y2), ,(xn , yn) 求得的回归直线方程为 y= 1.5x+ 0.5,且 x = 3,现发现两个数据点 (1.3 , 2.1)和 (4.7 , 7.9)的误差较大,剔除后重新求得的回归直线的斜率为 1.2,则A. 变量 x和 y具有负相关关系B. y 剔除后 不变C. 剔除后的回归直线方程为 y= 1.2x+ 1.4D. 剔除后对应于样本数据点 (2 , 3.75)的残差为 0.0510.已知数列 {an}满足 a1= 3,an+1= 1- 1a ,记数列 {an}的前n项和为Sn,则nA. a2= 32 B. S13n+1-S3n=- 2 C. anan+1an+2=-1 D. S19= 22211. f(x) = x -1已知函数 ,g(x) = e f(x)2 ,则以下结论不正确的是x +1A. f 12025 f 12024 f(1) f(2) f(2025) = 1B. g 12025 g 12024 g(1) g(2) g(2025) = 1C. 若 af '(a) = bf '(b),且 a≠ b,则 ab= 1D. 若 ag'(a)g(b) = bg'(b)g(a),且 a≠ b,则 ab= 1数学试题 第 2 页 共 8 页三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分12.记Sn为等差数列 an 的前n项和,若 a1=-2 , a2+ a6= 2,则S10= .13.给出下列命题:①实验测得四组数据 (x , y)的值为 (1 , 2.1),(2 , 2.8),(3 , 4.1),(4 , 5),则 y与 x的回归直线方程为 y=2x+ 1 ;②函数 f(x) = 2sin 3x- π4 π的图象向右平移 4 个单位长度,得到函数 g(x) = 2sin 3x的图象;③当 x∈ [0 , 1]时,函数 y= x 1-x2 1的最大值为 2 ;④幂函数 f x 的图象经过点A 4,2 ,则它在A点处的切线方程为 x- 4y+ 4= 0.其中正确命题的序号是 .14.对函数 f(x) = 3x做如下操作:先在 x轴找初始点P1(x1 , 0),然后作 f(x)在点Q1(x1 , f(x1))处的切线,切线与 x轴交于点P2(x2 , 0),再作 f(x)在点Q2(x2 , f(x2))处的切线,切线与 x轴交于点P3(x3 , 0),再作 f(x)在点Q3(x3 , f(x3))处的切线,依次类推.现已知初始点为P1(0 , 0),若按上述过程操作,则 x3= ,所得△PnQnPn+1的面积为 .(用含有n的代数式表示)四、解答题:本题共 5小题,共 77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15.某学生兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表 (单位:天): 锻炼人次 [0 , 200] (200 , 400] (400 , 600]空气质量等级1(优) 2 16 252(良) 5 10 123(轻度污染) 6 7 84(中度污染) 7 2 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为 1或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为 3或 4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的 2× 2列联表,并根据列联表,判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤ 400 人次> 400空气质量好空气质量不好2= n(ad-bc)2附:χ (a+b)(c+d)(a+c)(b+ ,d)P(χ2≥ k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828数学试题 第 3 页 共 8 页16. 3 3a已知数列 an 的首项 a = n1 5 ,且满足 an+1= 2a +1.n(1) 1求证:数列 a -1 为等比数列;n(2) 1 1 1若 a + a + a + ...+1a < 100,求满足条件的最大整数n.1 2 3 n17.已知 x= 3是函数 f(x) = aln(1+ x) + x2- 10x的一个极值点.(1)求实数 a的值;(2)求函数 f(x)的单调区间;(3)若直线 y= b与函数 y= f(x)的图象有 3个交点,求实数 b的取值范围.18. b已知数列 {an},{bn},{cn}满足 a1= b1= c1= 1,cn+1= an+1- an,c nn+1= c (n∈N *).b nn+2(1)若 {bn}为等比数列,公比 q> 0,且 b1+ b2= 6b3,求 q的值及数列 {an}的通项公式;(2)若 {bn}为等差数列,公差 d> 0,证明:c1+ c2+ c3+ +c < 1+ 1n ,n∈N *.d19.在几何学中,我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线C:y= f(x),定义K=| f (x)| 为曲线C在点A(x , f(x))处的曲率,其中 f (x)为 f(x)的导函数,f 3 (x)为 f (x)的导函 1+ f (x) 2 2数.已知曲线C:f(x) = (3- x)ex- m 22 x (m∈R).(1)当m= 0时,求曲线C在点A(0 , f(0))处的曲率;(2)已知曲线C在不同的两点M (x1 , f(x1)),N (x2 , f(x2))处的曲率均为 0.①求实数m的取值范围;②证明:x1+ x 数学试题 第 4 页 共 8 页参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11C D D A C C B B BC CD ACD12.2513. ③④14. - 2 log9eln3 ;en-115.(1) 2+16+25 43解: 空气质量等级为 1的概率为P= 100 = 100 ;5+10+12 27空气质量等级为 2的概率为P= 100 = 100 ;6+7+8 21空气质量等级为 3的概率为P= 100 = 100 ;4 P= 7+2 9空气质量等级为 的概率为 100 = 100 ;(2)一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为100× 2+5+6+7100 + 300×16+10+7+2100 + 500×25+12+8100 = 350;(3)人次≤ 400 人次> 400空气质量好 33 37空气质量不好 22 82= 100(33×8-22×37)2χ ( + )( + )( + )( + ) ≈ 5.82> 3.841,33 22 33 37 22 8 37 8有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 3a16. 证明:(1) ∵ a nn+1= 2an+1,∴ 1 2 1a = 3 + 3a ,n+1 n∴ 1 1a - 1= 3 1a -1 ,n+1 n∵ a = 31 5 ,∴ 1 - 1= 2a1 3,∴ 1 -1 2 1a 为以n 3 为首项,以 3 为公比的等比数列;(2) (1) 1 - 1= 2 × 1n-1由 知 a 3 3 ,n∴ 1 = 2× 1na 3 + 1,n数学试题 第 5 页 共 8 页1 - 1∴S = 1 + 1n+1+ + 1 =n+ 2× 1 + 1 + + 1 = + × 3n 2 3 =n+ 1- 1n a1 a 2 n n ,2 an 3 3 3 1- 1 33∵Sn< 100,∴Sn=n+ 1- 1 < 100,3n因为函数 y=n+ 1- 1n 单调递增,3∴最大整数n为 99. 17. 解:(1)因为 f ' x = a 1+x + 2x- 10,所以 f ' 3 = a 4 + 6- 10= 0,因此 a= 16,2 x2-4x+3 2 x-1 x-3则 f( x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x,x∈ (-1 ,+∞),f ' x = 1+x = 1+x ,可得 f '(x)在 x= 3两边异号,即 x= 3是函数 f(x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x的一个极值点,故 a= 16.2 x-1 x-3( 2)由 (1)知,f ' x = 1+x ,x∈ (-1 ,+∞),当 x∈ (-1 , 1) ∪ (3 ,+∞)时,f '(x)> 0,当 x∈ (1 , 3)时,f '(x)< 0,所以 f(x)的单调增区间是 (-1 , 1),(3 ,+∞),f(x)的单调减区间是 (1 , 3);(3)由 (2)知,f(x)在 (-1 , 1)内单调递增,在 (1 , 3)内单调递减,在 (3 ,+∞)上单调递增,且当 x= 1或 x= 3时,f '(x) = 0,所以 f(x)的极大值为 f(1) = 16ln2- 9,极小值为 f(3) = 32ln2- 21.因为 f(16)> 162- 10× 16> 16ln2- 9= f(1),f(e-2- 1)<-32+ 11=-21< f(3),所以要使直线 y= b与函数 y= f(x)的图象有 3个交点,则在 f(x)的三个单调区间 (-1 , 1),(1 , 3),(3 ,+∞)内,直线 y= b与 y= f(x)的图象各有一个交点,当且仅当 f(3)< b< f(1),因此,b的取值范围为 (32ln2- 21 , 16ln2- 9). 18. (1)解:由题意,b2= q,b 23= q ,∵ b1+ b2= 6b3,∴ 1+ q= 6q2,整理,得 6q2- q- 1= 0,1 1解得 q=- 3 (舍去),或 q= 2 ,∴ = bc nn+1 c = 1n cn= 1 c = 1 c = 4 c ,bn+2 bn+2 q2 n 2 n nb 1n 2 ∴数列 {cn}是以 1为首项,4为公比的等比数列,∴ cn= 1 4n-1= 4n-1,n∈N *.∴ an+1- an= c nn+1= 4 ,则 a1= 1,a 12- a1= 4 ,a3- a2= 42,数学试题 第 6 页 共 8 页 a - a = 4n-1n n-1 ,(n≥ 2 ,n∈N *),各项相加,可得n≥ 2,n∈N *时,1-4n na = 1+ 41+ 42+ +4n-1n = 1-4 =4 -13 ,当n= 1时代入适合,n∴ an= 4 -13 .(2) b证明:依题意,由 c nn+1= cn(n∈N *),可得bn+2bn+2 cn+1= bn cn,两边同时乘以 bn+1,可得bn+1bn+2cn+1= bnbn+1cn,∵ b1b2c1= b2= 1+ d,∴数列 {bnbn+1cn}是一个常数列,且此常数为 1+ d,bnbn+1cn= 1+ d,∴ c = 1+d = 1+d d = b 1+ 1 n+1-bnn =b b d b b d b b 1+1 1 - 1 ,n n+1 n n+1 n n+1 d bn bn+1 ∴ c + c + +c = 1+ 1 1 - 1 + 1+ 1 1 - 1 + + 1+ 1 1 - 11 2 n =d b1 b2 d b2 b3 d bn bn+1 1+ 1 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 1+ 1 1 - 1 = 1+ 1 1- 1d b1 b2 b2 b3 bn bn+1 d b1 b n+1 d bn+1 < 1+1,d∴ c1+ c2+ +cn< 1+ 1 ,故得证. d19. 解:(1)当m= 0时,f (x) = (2- x)ex,f (x) = (1- x)ex,所以 f (0) = 2,f (0) = 1,故曲线C在点A(0 , f(0)) K= 1 5处的曲率 3 = ,(1+22) 2 25(2)f (x) = (1- x)ex-m,由题意可知,f (x1) = f (x2) = 0,则方程 (1- x)ex=m有两个根 x1,x2,设 g(x) = (1- x)ex,则 g (x) =-xex,当 x∈ (-∞ , 0)时,g (x)> 0,当 x∈ (0 ,+∞)时,g (x)< 0,所以 g(x)在 (-∞ , 0)上单调递增,在 (0 ,+∞)上单调递减.又 x→-∞时,g(x) → 0,g(1) = 0,且 g(x)max= g(0) = 1,①由题可知,直线 y=m与函数 g(x)的图象有两个不同的交点,所以 0故实数m的取值范围为 (0 , 1).②证明:由上可知,0下面证明:当 x∈ (0 , 1),g(x)<-ex+ e,设 h(x) = (1- x)ex+ ex- e , x∈ (0 , 1),则 h (x) =-xex+ e,令 φ(x) = h (x) =-xex+ e(0< x< 1),则 φ (x) =- (x+ 1)ex< 0,所以 φ(x)在 (0 , 1)上单调递减,则 h (x)> h (1) = 0,所以 h(x)在 (0 , 1)上单调递增,且 h(x)< h(1) = 0,即 (1- x)ex+ ex- e< 0,故 x∈ (0 , 1),g(x)<-ex+ e.设点 x3,m 在直线 y=-ex+ e上,则m=-ex3+ e,即 x3= 1- me ,数学试题 第 7 页 共 8 页所以-ex2+ e> g(x2) =m=-ex3+ e,x < x = 1- m即 2 3 e ,要证 x1+ x2me 1e ,需证 x1又 (1- x )ex11 -m= 0,只需证 x1<(1- x x1 x11)e - 1,即证 (1- x1)e - x1- 1> 0(x1< 0).令F(x) = (1- x)ex- x- 1> 0(x< 0),则F (x) =-xex- 1,令P(x) =-xex- 1(x< 0),则P (x) =- (x+ 1)ex,当 x<-1时,P (x)> 0,P(x)单调递增,当-1< x< 0时,P (x)< 0,P(x)单调递减,1所以P(x)≤P(-1) = e - 1< 0,即F (x)< 0,所以F(x)在 (-∞ , 0)上单调递减,所以F(x)>F(0) = 0成立,故 x1+ x2数学试题 第 8 页 共 8 页 展开更多...... 收起↑ 资源预览