资源简介

重难点02 有理数与数轴的复杂应用题
1.通过数轴可以更直观地理解一些重要的概念，如正数和负数、相反数、绝对值等；
2.利用数轴可以比较有理数的大小；
3.数轴使得数和点能够相互转化，因此，数轴是数形结合的“桥梁”，是第一个数形结合体，是解决数学问题的一种重要工具．
一. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
二．数轴与相反数
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
三．数轴与绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋 钟楼区校级月考）如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点可能是（　　）
A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R
【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵MN＝NP＝PR＝1，
∴a、b之间的距离小于3，
∵|a|+|b|＝3，
∴原点不在a、b之间，
∴原点是M或R．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，准确识图，判断出a、b之间的距离小于3是解题的关键．
2．（2022秋 钟楼区校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2014的点与圆周上重合点的数字是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先找出圆圈与数轴重合数字的规律，然后根据规律计算即可解决问题．
【解答】解：∵﹣1﹣（﹣2014）＝2013，
2013÷4＝503…1，
∴数轴上表示数﹣2014的点与圆周上的数字3重合．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴的知识点．找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键．
二．解答题（共15小题）
3．（2022秋 邗江区月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣6表示的点与　6　表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①数字7表示的点与　﹣3　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为78（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【分析】（1）由题意可知数轴是关于原点折叠的，再求解即可；
（2）①由题意可知数轴是关于2的点折叠的，再求解即可；
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+78，利用中点公式，可得方程＝2，求出x即可求解．
【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，
∴数轴是关于原点折叠的，
∴﹣6与6表示的点重合，
故答案为：6；
（2）①∵5表示的点与﹣1表示的点重合，
∴数轴是关于2的点折叠的，
∴数7表示的点与数﹣3表示的点重合；
故答案为：﹣3；
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+78，
∵A，B两点经折叠后重合，
∴＝2，
解得x＝﹣37，
∴A点表示的数是﹣37，B点表示的数是41．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，利用中点公式解决数轴折叠问题是解题的关键．
4．（2022秋 兴化市期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
如图，线段AB、CD都在数轴上，且AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点B从M出发沿射线MN方向，以6个单位长度/秒的速度运动；同时，点C从N出发沿射线NM方向，以2个单位长度/秒的速度运动，在点B、C运动的过程中，线段AB、CD随之运动．已知点M在数轴上表示的数是﹣8，点N在数轴上表示的数是16．
（1）如图，当点B、C分别与点M、N重合时，则点A在数轴上表示的数是 　﹣10　，点D在数轴上表示的数是 　20　．
（2）运动t秒后．
①点A在数轴上对应的数为 　﹣10+6t　，点D在数轴上对应的数为 　20﹣2t　（用含t的代数式表示）．
②当运动到BC＝8（单位长度）时，求出此时点B在数轴上表示的数．
（3）若点P是线段AB上的任意一点，在整个运动过程中，是否存在PA+PC+PB+PD的值为定值？若存在，求出该定值以及定值所持续的时间；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得点B表示的数为﹣8，点C表示的数为16，再结合AB、CD的距离即可求解；
（2）①由题意可得点A运动的速度等于点B运动的速度，点D运动的速度等于点C运动的速度，以此即可解答；
②根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求解即可；
（3）当线段AB的端点均在线段CD上时，存在定值，此时PA+PC+PB+PD＝AB+CD＝2+4＝6，设持续时间为a秒，则6a+2+2a＝4，求解即可．
【解答】解：（1）当点B、C分别与点M、N重合时，
∴点B表示的数为﹣8，点C表示的数为16，
∵AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），
∴点A表示的数为﹣10，点D表示的数为20；
故答案为：﹣10，20；
（2）①∵点B、C运动的过程中，线段AB、CD随之运动，
∴点A运动的速度等于点B运动的速度，点D运动的速度等于点C运动的速度，
∴点A表示的数为﹣10+6t，点D表示的数为20﹣2t；
故答案为：﹣10+6t，20﹣2t；
②运动t秒后，点B表示的数为﹣8+6t，点C表示的数为16﹣2t，
∵BC＝8（单位长度），
∴|16﹣2t﹣（﹣8+6t）|＝8，
解得：t＝2或4，
当t＝2时，﹣8+6t＝4，
当t＝4时，﹣8+6t＝16，
∴当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数为4或16；
③存在，定值为2+4＝6，
当线段AB的端点均在线段CD上时，存在定值，
此时PA+PC+PB+PD＝AB+CD＝2+4＝6，
设持续时间为a秒，
则6a+2+2a＝4，
解得：，
∴存在PA+PB+PC+PD的值为定值6，定值持续的时间为秒．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用、两点间的距离、列代数式等知识点，理解题意，利用数形结合思想答题时解题关键．
5．（2022秋 邗江区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　3　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 　5　；
（2）数轴上表示数x与﹣2两点之间的距离可以表示为 　|x+2|　，若距离是3，那么x＝　1或﹣5　；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝　6　；
（4）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点向右出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过多少秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．
【分析】（1）根据两点间距离的求法直接写出即可；
（2）根据两点间距离的求法直接写出，再由|x+2|＝3，求出x的值即可；
（3）根据绝对值的几何意义即可求解；
（4）点M对应的数为﹣2+5t，N点对应的数是4+4t，由题意可得|t﹣6|＝12，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵4﹣1＝3，
∴数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；
∵|﹣3﹣2|＝5，
∴数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是5；
故答案为：3；5；
（2）∵|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∴数轴上表示数x与﹣2两点之间的距离可以表示为|x+2|；
∵|x+2|＝3，
∴x+2＝3或x+2＝﹣3，
解得x＝1或x＝﹣5，
∴x的值为1或﹣5；
故答案为：|x+2|；1或﹣5；
（3）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴|a+4|+|a﹣2|＝|﹣4﹣2|＝6，
故答案为：6；
（4）点M对应的数为﹣2+5t，N点对应的数是4+4t，
∴MN＝|﹣2+5t﹣4﹣4t|＝|t﹣6|，
∵MN＝12，
∴|t﹣6|＝12，
解得t＝18．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义，数轴上两点间距离的求法是解题的关键．
6．（2022秋 如东县期中）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数﹣8，点C表示的数为2，点B表示的数为6．
（1）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？
（2）如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即＝AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．
①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，＝3？
②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时＝3？直接写出t的值．
【分析】（1）设运动时间为t，利用路程＝速度×时间，再根据点P与点Q相遇，列关于t的一元一次方程，解方程即可；
（2）①分点P在AO上，点Q在BC上和点P在OC上，点Q在AO上两种情况，结合题意列出方程即可求解；
②分别求出点Q的运动时间，结合点P，点Q的不同位置，根据＝3列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设运动时间为t秒，点P与点Q相遇，
∵点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，
∴2t+t＝14，
解得：t＝，
∴点P与点Q经过秒相遇；
（2）①（Ⅰ）当点P在AO上，点Q在BC上时，
设点P与点Q运动的时间为t秒时，＝3，
∵＝AO﹣AP+BC﹣BQ，
8﹣2t+6﹣t＝3，
解得：t＝；
（Ⅱ）∵点P在OC上运动速度为1个单位/秒，点Q在OC上运动速度为2个单位/秒，
结合（1），当点P运动到OC中点时，点Q运动到点O，
此时，＝1，
∵＝8，＝2，点P在AO上运动速度为2个单位/秒，在OC上运动速度为1个单位/秒，
∴点P运动到OC中点所需时间为：+1＝5秒，
设点P运动到OC中点后，继续运动使得＝3的时间为t′秒，
∵点Q在AO上运动速度为1个单位/秒，
∵＝OQ+OP＝t′+1+t′＝3，
∴t′＝1，
∴经过5+1＝6秒后，＝3，
综上，经过秒或6秒，＝3；
②（Ⅰ）当点P在AO上，点Q在BC上时，
＝PO+OC+CQ＝（8﹣2t）+2+（4﹣t）＝14﹣3t，＝8﹣2t，
∵＝3，
∴14﹣3t＝3（8﹣2t），
∴t＝；
（Ⅱ）当点P在OC上，设点P过AO，点Q过BC的4秒后，时间为t′秒，
1）当OP+QC＝OC，
即t′+2t′＝2，
即t′＝时，P，Q相遇，
＝OC﹣OP﹣QC＝2﹣t′﹣2t′，＝t′，
∵＝3，
∴2﹣t′﹣2t′＝3t′，
解得：t′＝，
∴t＝4+＝；
2）当点Q到达点O时，点P恰好到达OC中点，并继续向上运动2﹣1＝1秒，
＝OP+OQ＝t′+（t′﹣1），＝t′，
∵＝3，
∴t′+（t′﹣1）＝3t′，
t＝﹣1（舍去）；
3）当Q在OA上，P在OC向下运动时，
＝OP+OQ＝（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]，＝2﹣2×2（t′﹣2），
∵＝3，
∴（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]＝3×[2﹣2×2（t′﹣2）]，
解得：t′＝，
∴t＝4+＝；
（Ⅲ）当点P重新运动至OA上，
设点P运动至O点后的运动时间为t″秒，
在t″秒之间，点P，点Q已经运动4+2+＝秒，
此时，点Q在OA上运动﹣4﹣1＝秒，
即OQ＝×1＝，
1）＝OQ﹣OP＝（+t″）﹣2t″，＝2t″，
∵＝3，
∴（+t″）﹣2t″＝3×2t″，
解得：t″＝，
∴t＝+＝；
2）当点P在点Q右侧，超过点Q后，
＝OP﹣OQ＝2t″﹣（+t″），＝2t″，
∵＝3，
∴2t″﹣（+t″）＝3×2t″，
解得：t″＝﹣（舍），
综上，当t＝或或或秒时，＝3．
【点评】本题考查数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的运用，路程，时间，速度三者的关系等知识点，解题的关键是掌握一元一次方程的应用，分类计算时不重不漏．
7．（2022秋 鼓楼区校级月考）【阅读】|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离．
（1）|4﹣（﹣1）|＝　5　；
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|＝4，则x＝　1或﹣7　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是：　﹣3，﹣2，﹣1，0，1　．
【分析】（1）由绝对值的概念，即可计算；
（2）由|x+3|＝4，得x+3＝4或x+3＝﹣4，即可求x的值；
（3）在数轴上，由两点的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）|4﹣（﹣1）|＝5，
故答案为：5．
（2）∵|x+3|＝4，
∴x＝1或﹣7．
故答案为：1或﹣7．
（3）∵|x+3|+|x﹣1|＝4，
∴|x﹣（﹣3）|+|x﹣1|＝4，
∴﹣3≤x≤1，
∴x取整数为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1．
故答案为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1．
【点评】本题考查数轴上两点的距离公式，关键是掌握数轴上两点的距离公式：m，n两数在数轴上所对应的两点之间的距离为|m﹣n|．
8．（2022秋 港闸区校级月考）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可化简为AB＝a﹣b．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：
（1）若点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，则a的值为 　﹣5或1　；
（2）若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则|a﹣2|+|a+5|＝　7　；
（3）若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则|b﹣2|+|c+5|的最小值为 　14　；
（4）若a1＝a，a2＝a，a3＝a，…，a9＝a．则式子|a1﹣1|+2|a2+2|+3|a3﹣3|+…+9|a9﹣9|的最小值为 　284　．
【分析】（1）由题意可得|a﹣（﹣2）|＝3，再解方程即可；
（2）由题意可知|a﹣2|+|a+5|表示点P到2和﹣5的距离和，求出2和﹣5的距离即可求解；
（3）由题意可得b＝a﹣2，c＝a+5，则|b﹣2|+|c+5|＝|a﹣4|+|a+10|，再由（2）可求最小值；
（4）所以式子可化简为|a﹣1|+|a+4|+|a﹣9|+…+|a﹣81|，当a＝1时，式子有最小值．
【解答】解：（1）∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴|a﹣（﹣2）|＝3，
∴a+2＝3或a+2＝﹣3，
解得a＝1或a＝﹣5，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，
∴|a﹣2|+|a+5|表示点P到2和﹣5的距离和，
∵|﹣5﹣2|＝7，
∴|a﹣2|+|a+5|＝7，
故答案为：7；
（3）∵数轴上比a小2的数用b表示，
∴b＝a﹣2，
∵比a大5的数用c表示，
∴c＝a+5，
∴|b﹣2|+|c+5|＝|a﹣4|+|a+10|，
∵|a﹣4|+|a+10|表示数轴上点a到﹣10与4的距离之和，
当﹣10≤a≤4时，|a﹣4|+|a+10|有最小值14，
故答案为：14；
（4）∵a1＝a，a2＝a，a3＝a，…，a9＝a，
∴|a1﹣1|+2|a2+2|+3|a3﹣3|+…+9|a9﹣9|
＝|a﹣1|+2|a+2|+3|a﹣3|+…+9|a﹣9|
＝|a﹣1|+|a+4|+|a﹣9|+…+|a﹣81|，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点a，使得这个点到，1，﹣4，9，，﹣16，……81距离和最小，
只能取a＝1，
当a＝1时，|a﹣1|+|a+4|+|a﹣9|+…+|a﹣81|有最小值284，
故答案为：284．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
9．（2022秋 洪泽区校级月考）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，试回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 　3　；
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是 　6或﹣4　；
（3）若将数轴折叠，使点A与表示﹣3的点重合，则点B与表示数 　0　的点重合；
（4）若数轴上M，N两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是 　﹣1012　和 　1010　．
【分析】（1）由数轴直接求出AB的距离即可；
（2）与A点距离是5的点有两个，一个在A点左侧，一个在A点右侧，由此求解即可；
（3）由题意可得数轴是沿着﹣1折叠的，则点B与表示数0的点重合；
（4）设M点表示的数是x，则N点表示的数是x+2022，利用中点公式可得＝﹣1，求出x即可求解．
【解答】解：（1）∵点A表示1，点B表示﹣2，
∴|1﹣（﹣2）|＝3，
∴A、B两点之间的距离是3，
故答案为：3；
（2）∵点A表示1，
∴1+5＝6或1﹣5＝﹣4，
∴与点A的距离为5的点表示的数是6或﹣4，
故答案为：6或﹣4；
（3）∵1与﹣3折叠后重合，
∴数轴是沿着表示﹣1的点折叠的，
∴点B与表示数0的点重合，
故答案为：0；
（4）设M点表示的数是x，则N点表示的数是x+2022，
∴＝﹣1，
解得x＝﹣1012，
∴M点表示的数是﹣1012，则N点表示的数是1010，
故答案为：﹣1012，1010．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，利用中点公式解决数轴折叠问题是解题的关键．
10．（2022秋 丹徒区期中）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，请利用刻度尺或圆规画图．
（1）如图1，若a+b＝0，请在数轴上画出原点O；
（2）如图2，若a＝2b，请在数轴上画出原点O；
（3）如图3，若a﹣b＝2，在数轴上画出表示数a+b的点C；
（4）如图4，若a+b＝3，在数轴上画出表示数a﹣b的点D．
【分析】（1）原点在AB的中点处；
（2）B是OA的中点；
（3）以A为圆心，OB为半径作圆与数轴交于点C，再以C为圆心，OA为半径作圆，与数轴的交点即为a+b；
（4）A点是3与a﹣b的中点，以A为圆心，a﹣3为半径作圆，圆与数轴的交点为a﹣b．
【解答】解：（1）如图1：∵a+b＝0，
∴A、B点互为相反数，
∴原点O在AB的中点处；
（2）如图2：∵a＝2b，
∴B点是OA的中点，
∴以B点为圆心AB为半径作圆，圆与数轴的交点为O点；
（3）如图3：∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∴a+b＝OA+BO，
∴以A为圆心，OB为半径作圆与数轴交于点C，
再以C为圆心，OA为半径作圆，与数轴的交点即为a+b；
（4）如图4：∵a+b＝3，
∴a﹣3＝﹣b，
∴a﹣b＝a+（﹣b）＝a+（a﹣3），
∴（a﹣b）﹣a＝a﹣3，
∴A点是3与a﹣b的中点，
∴以A为圆心，a﹣3为半径作圆，圆与数轴的交点为a﹣b．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，会用尺规作图是解题的关键．
11．（2022秋 宜兴市期中）已知数轴上三点A，B，C表示的数分别为﹣12，﹣5，5，P，Q两点分别从A，C两点同时出发，相向而行，点P的速度为4个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒．
（1）点A与点C之间的距离为 　17　；
（2）P，Q在数轴上的相遇位置对应的数是 　﹣5.2　；
（3）设点P运动时间为t（s），当点B到点Q的距离是点B到点P距离的2倍时，求t的值；
（4）当点P到A、B、C三点的距离之和为20个单位长度时，点P立即调头返回．速度不变．当P，Q两点在数轴上相遇时，相遇位置对应的数是 　﹣22　．
【分析】（1）根据两点间的距离公式解答；
（2）根据路程和等于相距路程列出方程可得方程，解方程可得答案；
（3）分别用含t的代数式表示出QB和PB，再列方程解答即可；
（4）设P运动m秒到A，B，C距离和为20，继续运动n秒后P，Q相遇，根据题意分情况解答即可．
【解答】解：（1）A，B两点之间的距离为：5﹣（﹣12）＝17．
故答案是：17；
（2）设运动时间为x秒，
由题意得，4x+6x＝5﹣（﹣12），
解得x＝1.7，
﹣12+4×1.7＝﹣5.2，
答：P，Q在数轴上表示﹣5.2的点处相遇；
故答案为：﹣5.2；
（3）由题意得，t秒时，点P表示的数是﹣12+4t，点Q表示的数是5﹣6t，
∴QB＝|（5﹣6t）﹣（﹣5）|＝|10﹣6t|，BP＝|（﹣12+4t）﹣（﹣5）|＝|4t﹣7|，
解得或t＝2．
答：当QB＝2BP时，t的值是或2；
（4）设P运动m秒到A，B，C距离和为20，继续运动n秒后P，Q相遇，
当P在AB之间时，
由题意得7+17﹣4m＝20，
解得m＝1，
由5﹣6（n+1）＝﹣8﹣4n，可得n＝3.5，
∴﹣8﹣4×3.5＝﹣22，
当P在BC之间时，
由题意得17+4m﹣7＝20，
解得m＝2.5，
由5﹣6（n+2.5）＝﹣2﹣4n可得n＝﹣4，
此时P，Q不能相遇．
综上，点P，Q能在数轴上相遇，相遇点是﹣22．
【点评】本题考查一元一次方程是实际应用，熟练掌握行程问题中的等量关系并列出方程是解题关键．
12．（2022秋 江阴市校级月考）已知数轴上顺次有A、B、C三点，分别表示数a、b、c，并且满足|b|＝|c|＝5，b＜c，点A在点B的左边且与点B距离8个单位长度．一只电子小蜗牛从A点向正方向移动，速度为3个单位/秒．
（1）请求出A、B、C三点分别表示的数；
（2）运动多少秒时，小蜗牛到点B的距离为2个单位长度？
（3）设点P在数轴上点A的右边，且点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，那么点P所表示的数是多少？
【分析】（1）根据|b|＝|c|＝5，b＜c，点A在点B的左边且与点B距离8个单位长度，可以求得a、b、c的值，从而可以得到A、B、C三点分别表示的数；
（2）根据题意可知，分两种情况，一种到达点B之前相距2个单位长度，一种是到达点B之后相距2个单位长度，然后分别列出相应的方程求解即可；
（3）根据题意，可以先求出AC和BC的距离，然后判断出点P所在的位置，再根据点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵|b|＝|c|＝5，b＜c，
∴b＝﹣5，c＝5，
又∵点A在点B的左边且与点B距离8个单位长度，
∴a＝﹣5﹣8＝﹣13，
即A、B、C三点分别表示的数为﹣13，﹣5，5；
（2）当小蜗牛运动到点B前，与点B相距2个单位长度时，设运动时间为x秒，
∵AB的距离为|﹣13﹣（﹣5）|＝8，
∴3x+2＝8，
解得：x＝2；
当小蜗牛运动到点B后，与点B相距2个单位长度时，设运动时间为y秒，
依题意得：3y＝8+2，
解得：，
综上所述：经过2秒或秒时，小蜗牛到点B的距离为2个单位长度；
（3）设点P表示数为z，
∵AC的距离是|﹣13﹣5|＝18，BC的距离为|5﹣（﹣5）|＝10，
∴点P只能在AC之间，不可能在点C的右边，
又∵|PA|+|PB|+|PC|＝20，|PA|+|PC|＝|AB|+|BC|＝18，
∴|PB|＝2，
∴|z﹣（﹣5）|＝2，
解得：z＝﹣7或z＝﹣3，
即点P所表示的数是﹣7或﹣3．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、数轴，解答本题的关键是根据数轴的特点求出a、b、c的值，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
13．（2022秋 广陵区校级月考）已知，a，b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0，分别对应着数轴上的A，B两点．
（1）a＝　4　，b＝　16　，并在数轴上画出A，B两点；
（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向数轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；
（3）数轴上还有一点C对应的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达点C后停止运动．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b的值，即可解决问题．
（2）设运动时间为t秒，根据点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，分点P在点B的左、右两侧构建方程即可解决问题．
（3）设点P和点Q的运动y秒，当点P运动到点C之前，点P表示的数为3y+4，点Q表示的数为y+16，可得方程|3y+4﹣（y+16）|＝|2y﹣12|＝4，求出y的值，即可得此时点Q对应的数；当点P运动到点C后向终点A返回的过程中，点P表示的数为56﹣3y，点Q表示的数为y+16，可得方程|56﹣3y﹣（y+16）|＝|40﹣4y|＝4，求出y的值，即可得此时点Q对应的数．
【解答】解：（1）∵a，b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0，
∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝16．
故答案为：4；16．
点A，B的位置如图所示．
（2）设运动时间为t秒，则AP＝3t，点P表示数为4+3t，
当点P在点B左侧时，PB＝16﹣（4+3t）＝12﹣3t，
∴3t＝2（12﹣3t），
解得t＝；
当点P在点B右侧时，PB＝4+3t﹣16＝3t﹣12，
∴3t＝2（3t﹣12），
解得t＝8．
∴运动时间为秒或8秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍．
（3）设点P和点Q的运动y秒，
当点P运动到点C之前，点P表示的数为3y+4，点Q表示的数为y+16，
∴PQ＝|3y+4﹣（y+16）|＝|2y﹣12|＝4，
解得y＝4或8，
此时点Q对应的数为20或24；
当点P运动到点C后向终点A返回的过程中，点P表示的数为56﹣3y，点Q表示的数为y+16，
∴PQ＝|56﹣3y﹣（y+16）|＝|40﹣4y|＝4，
解得y＝9或11，
此时点Q对应的数为25或27．
综上所述，点P和点Q运动4，8，9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4，此时点Q表示的数对应为20，24，25或27．
【点评】本题考查非负数的性质、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．（2022秋 江都区月考）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们约定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k．例如：若点P表示0，点A表示﹣2，点B表示1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作：P[A，B]＝2．
（1）如图，A、B、P、Q、M、N为数轴上各点，如图图示，回答下面问题：
①P[A，B]＝　3　②M[N，A]＝　6　；
③若C[Q，B]＝1，则C表示的数为 　2　．
（2）若点A表示﹣1，点B表示5，点C是数轴上一点，且C[A，B]＝3，则点C所表示数为 　3.5或8　．
（3）数轴上，若点M表示﹣10，点N表示50，点K在点M和点N之间，且K[M，N]＝5．从某时刻开始，点M出发向右做匀速运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t（t＞0），当t为何值时，M[N，K]＝3．
【分析】（1）分别根据新定义可解答；
（2）根据新定义分两种情况：C在AB上或C在AB的延长线上，可得结论；
（3）先根据题意确定点K表示的数为40，根据点M运动的速度可得M运动t秒表示的数为﹣10+5t，分点M在K的左边和右边，根据新定义列方程可解答．
【解答】解：（1）∵点P表示3，点A表示﹣3，点B表示5，
∴PA＝3﹣（﹣3）＝6，PB＝5﹣3＝2，
则P是[A，B]的“3倍点”，记作：P[A，B]＝3；
故答案为：3；
②∵点M表示﹣5，点N表示7，点A表示﹣3，
∴MN＝7﹣（﹣5）＝12，MA＝﹣3﹣（﹣5）＝2，
则M是[N，A]的“6倍点”，记作：M[N，A]＝6；
故答案为：6；
③∵C[Q，B]＝1，
∴CQ＝CB，
∵点Q表示﹣1，点B表示5，
∴C表示的数为2；
故答案为：2；
（2）∵C[A，B]＝3，
∴CA＝3CB，
∵点A表示﹣1，点B表示5，
∴BC＝1.5或3，
∴点C所表示数为3.5或8；
故答案为：3.5或8；
（3）设点K在数轴上表示的数为a，
∵K[M，N]＝5，
∴KM＝5KN，
∵点M表示﹣10，点N表示50，点K在点M和点N之间，
∴a+10＝5（50﹣a），
∴a＝40，
∵M[N，K]＝3，
∴MN＝3KM，
当点M运动到点K的左边时，50﹣（﹣10t+5t）＝3[40﹣（﹣10+5t）]，解得：t＝9（s）；
当点M运动到K和N之间时，50﹣（﹣10+50t）＝3（﹣10+5t﹣40），解得：t＝10.5（s）；
综上，当t为9s或10.5s时，M[N，K]＝3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，动点问题中熟练应用公式：路程＝速度×时间，认真理解新定义是解题的关键．
15．（2022秋 钟楼区校级月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　D　．
A．（+4）+（+1）＝+5
B．（+4）+（﹣1）＝+3
C．（﹣4）﹣（+1）＝﹣5
D．（﹣4）+（+1）＝﹣3
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 　1011　．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 　﹣2020　的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 　﹣1010　，B点表示 　1012　．
③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣19、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A'落在点B的右边，并且A'B＝2，求点C表示的数．
【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列算式计算；
②读懂题意，根据跳动过程列算式，再算式中发现规律，利用规律计算即可；
（2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找与2022重合的点表示的数；
②先根据①得到的折痕处的点表示的数，两点间的距离，确定两点表示的数；
③先根据题意找到A'点表示的数，再根据AA'线段长，确定AA'的中点表示的数．
【解答】解：（1）①根据移动过程可得：（﹣4）+（+1）＝﹣3，
故选：D．
②如果向左为“﹣”，向右为“+”，
机器人跳动过程可以用算式表示为：
﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣...﹣2021+2022
＝
＝1011，
∴当机器人跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是1011；
故答案为：1011；
（2）①∵表示﹣1的点与表示3的点重合，
∴折痕处的点表示的数为1，
∴表示2022的点与表示﹣2020；
故答案为：﹣2020；
②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022，
A、B两点到折痕1处的距离都是1011，
∴B点表示数为1012，A点表示的数为﹣1010；
故答案为：﹣1010，1012；
③根据题意可知A'点表示的数为8+2＝10，
∵点A、A'表示的数分别是﹣19、10，点C为折点，
∴点C表示的数：10﹣＝﹣4.5．
【点评】本题考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴知识，折叠对称，有理数的加减混合运算．
16．（2022秋 靖江市月考）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　﹣4π　；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8
①第几次滚动后，小圆离原点最远？
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距6π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；
（2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；
②先计算总路程，因为大圆不动，计算各数之和为﹣10，即小圆最后的落点为原点左侧，向左滚动10秒，距离为10π；
（3）分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距6π列等式，求出即可．
【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π 2＝﹣4π，
故答案为：﹣4π；
（2）①第1次滚动后，|﹣1|＝1，
第2次滚动后，|﹣1+2|＝1，
第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|＝3，
第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，
第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，
第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，
则第6次滚动后，小圆离原点最远；
②1+2+4+3+2+8＝20，
20×π＝20π，
﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10，
∴当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有20π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是10π；
（3）设时间为t秒，
分四种情况讨论：
i）当两圆同向右滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，
2πt﹣πt＝6π，
2t﹣t＝6，
t＝6，
2πt＝12π，πt＝6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为12π、6π．
ii）当两圆同向左滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt，
﹣πt+2πt＝6π，
﹣t+2t＝6，
t＝6，
﹣2πt＝﹣12π，﹣πt＝﹣6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣12π、﹣6π．
iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，
同理得：2πt﹣（﹣πt）＝6π，
3t＝6，
t＝2，
2πt＝4π，﹣πt＝﹣2π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为4π、﹣2π．
iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，
同理得：πt﹣（﹣2πt）＝6π，
t＝2，
πt＝2π，﹣2πt＝﹣4π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣4π、2π．
【点评】本题考查了数轴及圆的几何变换，还考查了一元一次方程的应用，用方程解决此类问题比较简单，同时又利用了分类讨论的思想，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系．
17．（2022秋 鼓楼区校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？
（2）填空：
①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为　　；
②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为　1或﹣3　；
（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据有理数的概念求出a，再根据非负数的性质列式求出b、c的值，然后写出A、B、C三点表示的数即可；
（2）①设点D表示的数为x，然后表示出点D到点A、C的距离并列出方程求解即可；
②设点E表示的数为y，然后列出绝对值方程求解即可；
（3）设点F表示的数为z，然后列出绝对值方程，再求解即可．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a＝﹣1，
由题意得，b+4＝0，c﹣2＝0，
解得b＝﹣4，c＝2，
所以，点A、B、C表示的数分别为﹣1、﹣4、2；
（2）①设点D表示的数为x，
由题意得，x﹣（﹣1）＝2﹣x，
解得x＝，
所以，点D表示的数为；
②设点E表示的数为y，
由题意得，|y﹣（﹣1）|＝2，
所以，y+1＝2或y+1＝﹣2，
解得y＝1或y＝﹣3，
所以，点E表示的数为1或﹣3；
故答案为：；1或﹣3．
（3）设点F表示的数为z，
∵F到点A的距离为|z﹣（﹣1）|，到点B的距离为|z﹣（﹣4）|，点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍，
∴|z﹣（﹣1）|＝2|z﹣（﹣4）|，
所以，z+1＝2（z+4）或z+1＝﹣2（z+4），
解得z＝﹣7或z＝﹣3，
所以，点F表示的数为﹣7或﹣3．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，数轴上两点间的距离的表示，准确列出方程是解题的关键．
一．解答题（共14小题）
1．（2021秋 溧水区期末）【数学概念】如图，A、B为数轴上不重合的两个点，P为数轴上任意一点，我们比较线段PA和PB的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．特别地，若线段PA和PB的长度相等，则将线段PA或PB的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．
【概念理解】如图①，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点P表示的数是﹣2，则点P到线段AB的“靠近距离”为 　2　；
（2）若点P表示的数是m，点P到线段AB的“靠近距离”为3，则m的值为 　﹣7或﹣1或5　（写出所有结果）；
【概念应用】
（3）如图②，在数轴上，点P表示的数是﹣6，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为t秒，当点P到线段AB的“靠近距离”为2时，求t的值．
【分析】（1）由“靠近距离”的定义，可得答案；
（2）点P到线段AB的“靠近距离”为3时，分情况列出方程即可；
（3）按照PA＝2和PB＝2分类讨论计算即可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，若点P表示的数是﹣2，
∴PA＝﹣2+4＝2，PB＝2+2＝4，
∴则点P到线段AB的“靠近距离”为2，
故答案为：2；
（2）根据两点间的距离可得，
PA＝|m+4|，PB＝|2﹣m|，
∴当|m+4|＝3时，解得m＝﹣7或﹣1，
当|2﹣m|＝3时，解得m＝5或﹣1，
故m的值为﹣7或﹣1或5；
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是2t﹣6，点B表示的数是t+2，
∴PA＝|2t﹣6+3|＝|2t﹣3|，PB＝|（2t﹣6）﹣（t+2）|＝|t﹣8|，
∴当|2t﹣3|＝2时，解得t＝2.5或0.5，
当|t﹣8|＝2时，解得t＝10或6，
综上，t的值为2.5或0.5或10或6．
【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，数形结合并分类讨论，是解题的关键．
2．（2021秋 海陵区校级月考）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣8|＝0．
（1）点A表示的数为 　﹣2　；点B表示的数为 　8　；
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝　1　；乙小球到原点的距离＝　6　；当t＝5时，甲小球到原点的距离＝　3　；乙小球到原点的距离＝　2　；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【分析】（1）由绝对值的定义得到a+2＝0或b﹣8＝0，分别求出a、b即可；
（2）①t＝1时，甲球此时在表示﹣1的点处，乙求此时在表示6的点处，t＝5时，甲球此时在表示﹣3的点处，乙球此时在表示2的点处，由此可求解；
②分三种情况讨论：当0＜t≤2时，2﹣t＝8﹣2t，解得t＝6（舍）；当2＜t≤4时，t﹣2＝8﹣2t，解得t＝；当t＞4时，t﹣2＝2t﹣8，解得t＝6．
【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣8|＝0，
∴a+2＝0或b﹣8＝0，
解得a＝﹣2，b＝8，
故答案为：﹣2，8；
（2）∵t＝1，
∴甲球向右运动1个单位长度，乙球向左运动2个单位长度，
∴甲球此时在表示﹣1的点处，乙求此时在表示6的点处，
∴甲小球到原点的距离为1，乙小球到原点的距离为6，
∵t＝5，
∴甲球向右运动2秒到达挡板后开始向左运动3个单位长度，乙球向左运动4秒到达挡板后开始向右运动2个单位长度，
∴甲球此时在表示﹣3的点处，乙球此时在表示2的点处，
∴甲小球到原点的距离为3，乙小球到原点的距离为2，
故答案为：1，6，3，2；
②甲，乙两小球到原点的距离可能相等，理由如下：
当0＜t≤2时，2﹣t＝8﹣2t，
解得t＝6（舍）；
当2＜t≤4时，t﹣2＝8﹣2t，
解得t＝；
当t＞4时，t﹣2＝2t﹣8，
解得t＝6；
综上所述：t的值为或6时，甲，乙两小球到原点的距离相等．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，根据点的运动情况能确定对应点在数轴上表示的数是解题的关键．
3．（2021秋 宜兴市校级月考）如图，点A在数轴上所对应的数为2．
（1）点B在点A左侧且距点A为3个单位长度，则点B所对应的数为 　﹣1　，请在数轴上标出点B的位置；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，当点A运动到5所在的点处时停止运动，同时点B也停止运动，求此时A，B两点间距离；
（3）在（2）的条件下，若点A不动，点B沿数轴开始向右运动，经过t秒A，B两点相距3个单位长度，求t值；
（4）在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度，点B以每秒2个单位长度同时沿数轴向左运动，当点B运动到所对应的数为m时停止运动，请直接写出此时点A所对应的数为 　　；若点A继续运动，请直接写出当AB＝2时，点A继续运动的距离为 　或　．（用含m的式子表示）
【分析】（1）根据数轴的意义，即在数轴上标出点B的位置；
（2）首先分析点的运动时间，然后根据点的运动速度和运动方向表示出点B所表示的数，从而求解；
（3）经过t秒，点B在数轴上所对应的数为2t﹣1，根据两点距离公式列出方程解答便可；
（4）点B运动的距离为﹣1﹣m，则时间为，即可得点A所对应的数，再分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵点B在点A左侧且距点A为3个单位长度，
∴点B所对应的数为2﹣3＝﹣1，
点B的位置如图所示：
故答案为：﹣1；
（2）根据题意，点A运动了5﹣2＝3个单位长度，
∴点A运动用时3÷1＝3（秒），
∴点B运动了：3×2＝6（个长度单位），
∴点B在数轴上所对应的数为﹣1﹣6＝﹣7，
∴A，B两点间距离为5﹣（﹣7）＝12（个长度单位）；
（3）经过t秒，点B在数轴上所对应的数为2t﹣7，
根据题意得：|2t﹣7﹣5|＝3，
即2t﹣12＝3或2t﹣12＝﹣3，
解得t＝或t＝，
即t的值为或；
（4）根据题意，点B运动的距离为﹣1﹣m，
∴点B的运动时间为（秒），
∴点A所对应的数为2﹣＝；
①当点A继续运动到点B的右侧，此时点A所对应的数为m+2，
∴点A继续运动的距离为﹣（m+2）＝，
②当点A继续运动到点B的左侧，此时点A所对应的数为，
∴点A继续运动的距离为﹣（m﹣2）＝，
综上，点A继续运动的距离为或，
故答案为：；或．
【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，整式的加减混合运算的应用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键．
4．（2021秋 崇川区校级月考）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 　|x+1|　；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 　﹣3或1　；
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 　3　，此时x的取值是 　﹣1≤x≤2　；
（3）已知|x+1|+|x﹣2|＝7时，x的取值是 　﹣3或4　；
（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|的最小值为 　1021110　，此时x的取值是 　1011　．
【分析】（1）①根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|，代入即可解答；
②使①中的式子等于2，解出即可；
（2）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值；
（3）分两种情况讨论可求x的取值；
（4）原式表示x的点到表示1、2、3...2021的点的距离之和，根据两点的距离可得结论．
【解答】解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；
②依题意有|x+1|＝2，
x+1＝﹣2或x+1＝2，
解得x＝﹣3或x＝1，
故x值为﹣3或1；
故答案为：①|x+1|；②﹣3或1；
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；
故答案为：3，﹣1≤x≤2；
（3）当x在﹣1的左边时，﹣1﹣x+2﹣x＝7，解得：x＝﹣3；
当x在2的右边时，x﹣2+x﹣（﹣1）＝7，解得：x＝4；
综上所述，x的取值是﹣3或4；
故答案为：﹣3或4；
（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|表示x的点到表示1、2、3...2021的点的距离之和，
∴当x＝＝1011时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+...+|x﹣2021|最小值是：
1+2+3+…+1010+0+1+2+3+…+1010
＝（1+2+3+…+1010）×2
＝（1+1010）×1010
＝1021110．
故答案为：1021110，1011．
【点评】考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．
5．（2021秋 高港区校级月考）【操作感知】如图1，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 　1　．
【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点C与表示数b的点D重合，则折痕与数轴交点表示的数为 　　．（用含a，b的代数式表示）
【问题解决】如图2，点P表示的数为﹣10，点Q表示的数为20，如果点M从点P的位置出发，以每秒2个单位的速度向点Q运动，当点M到达点Q时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点M到P，Q两点中一点的距离为到另一点距离的两倍，求t值．
（2）若点M从点P出发，同时点N从点Q开始运动，以每秒1个单位的速度向点P运动，并与点M同时停止，请求出当点M，N，P中其中一点到另外两点距离相等时t的值．
【分析】【操作感知】根据圆的周长及圆滚动的周数，确定A'表示的数是4，B'表示的数是﹣2，求出A'B'的中点即可求解；
【建立模型】CD的中点即为折痕点；
【问题解决】（1）由题意可知M点表示的数为﹣10+2t，则MP＝2t，QM＝30﹣2t，当MP＝2QM时，t＝10；当QM＝2MP时，得t＝5；
（2）由题意可知，M点表示的数为﹣10+2t，N点表示的数为20﹣t，则MN＝|﹣30+3t|，NP＝30﹣t，MP＝2t，当MN＝MP时，t＝6；当MN＝NP时，t＝15；当MP＝NP时，t＝10．
【解答】解：【操作感知】∵圆的周长为4，
∴圆的周长为4，
∴A'表示的数是4，B'表示的数是﹣2，
∴A'B'的中点为1，
∴折痕与数轴交点表示的数为，
故答案为：1；
【建立模型】∵表示数a的点C与表示数b的点D重合，
∴CD的中点为，
∴折痕与数轴交点表示的数为，
故答案为：；
【问题解决】（1）∵运动时间为t秒，
∴M点表示的数为﹣10+2t，
∴MP＝﹣10+2t+10＝2t，QM＝20﹣（﹣10+2t）＝30﹣2t，
当MP＝2QM时，2t＝2（30﹣2t），
解得t＝10；
当QM＝2MP时，30﹣2t＝4t，
解得t＝5；
综上所述：t的值为5或10；
（2）∵点M到达点Q时停止运动，
∴0＜t≤15，
由题意可知，M点表示的数为﹣10+2t，N点表示的数为20﹣t，
∴MN＝|﹣30+3t|，NP＝20﹣t+10＝30﹣t，MP＝2t，
当MN＝MP时，|﹣30+3t|＝2t，
解得t＝30（舍）或t＝6；
当MN＝NP时，|﹣30+3t|＝30﹣t，
解得t＝15或t＝0（舍）；
当MP＝NP时，2t＝30﹣t，
解得t＝10；
综上所述：t的值为6或10或15．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，会求数轴上两点间的距离，分类讨论是解题的关键．
6．（2021秋 兴化市校级月考）如图，请回答问题：
（1）点B表示的数是 　﹣2　，点C表示的数是 　6　．
（2）折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　9　重合．
（3）m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　3　．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　4　．
③当x＝　4　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；
（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；
（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|有值最小；
②|当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；
③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求；
④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．
【解答】解：（1）由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，
故答案为：﹣2，6；
（2）∵折叠后点B和点C重合，
∴BC的中点为折痕点，
∴折痕点对应的数是2，
∴点A与数字9重合，
故答案为：9；
（3）①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，
∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，
故答案为：3；
②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，
∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，
∵|x﹣4|+|x+3|＝7，
∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴满足条件的所有整数x的和是4，
故答案为：4；
③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，
∴2，2，3，3，4，4，4，4的中间数是4，
∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；
故答案为：4；
④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，
表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，
∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，
∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．
【点评】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键．
7．（2021秋 姜堰区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|b﹣a|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 　3　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　4　．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝　2或﹣4　．
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　8　，最小距离是 　2　．
（4）①若数轴上表示x的点位于﹣3与1之间，则|x﹣1|+|x+3|＝　4　.②若|x﹣3|+|x+1|＝8，则x＝　5或﹣3　．
【分析】（1）根据距离公式即可解答；
（2）利用数形结合思想依据绝对值的几何意义解答即可；
（3）根据绝对值的意义先求a和b的值，再根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，求出答案即可；
（4）①根据绝对值的意义和两点的距离可求出答案；
②根据绝对值的意义分三种情况进行讨论，列方程解方程可得结论．
【解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是：|5﹣2|＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1﹣（﹣3）|＝4；
故答案为：3，4；
（2）|x+1|＝3，
∴x+1＝±3，
∴x＝﹣1±3，
∴x＝2或﹣4；
故答案为：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a﹣3＝±2，b+2＝±1，
∴a＝3±2，b＝﹣2±1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或﹣3，
∴A，B两点间的最大距离是：5﹣（﹣3）＝8，最小距离是：1﹣（﹣1）＝2；
故答案为：8，2；
（4）①若数轴上表示x的点位于﹣3与1之间，则|x﹣1|+|x+3|＝|﹣3﹣1|＝4；
故答案为：4；
②当x＞3时，x﹣3+x+1＝8，解得，x＝5；
当x＜﹣1时，3﹣x﹣x﹣1＝8，解得，x＝﹣3；
当﹣1＜x＜3时，3﹣x+x+1＝8，无解；
综上，x＝5或﹣3；
故答案为：5或﹣3．
【点评】此题主要考查了整式的加减，两点的距离以及绝对值的含义和求法，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握．
8．（2021秋 沛县校级月考）在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 　1　；数轴上表示数a的点与表示﹣2的点之间的距离表示为 　|a+2|　；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 　5或﹣1　；
（3）数轴上有一个点表示数a，则|a+1|+|a﹣3|+|a+8|的最小值为 　11　；
（4）a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|等于 　4　．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；
（3）分a≥3，﹣1≤a＜3，﹣8≤a＜﹣1，a＜﹣8四种情况讨论即可
（4）根据题意，得到一个四元一次方程组，解方程组即可解答．
【解答】解：（1）根据题意，得：|3﹣2|＝1，|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，
故答案为：1，|a+2|；
（2）设点Q表示的点为x，
根据题意，得：|x﹣2|＝3，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x＝5或x＝﹣1，
故答案为：5或﹣1；
（3）需要分类讨论：
当a≥3时，|a+1|+|a﹣3|+|a+8|＝3a+6≥15，
当﹣1≤a＜3时，11≤|a+1|+|a﹣3|+|a+8|＜15，
当﹣8≤a＜﹣1时，11＜|a+1|+|a﹣3|+|a+8|≤18，
当a＜﹣8时，|a+1|+|a﹣3|+|a+8|＞18，
综上，当a＝﹣1时，最小值为11；
故答案为：11；
（4）根据题意，可知：，
①﹣③，得：d﹣c＝3④，
④﹣②，得：b﹣c＝﹣4，
∴|b﹣c|＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键．
9．（2021秋 如东县月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　3　；表示﹣3和2两点之间的距离是 　5　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 　|m﹣n|　．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝　2或﹣4　；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　，8　，最小距离是 　2　．
（4）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x 5|＝7．则所有符合条件的整数x有 　8　个．
【分析】（1）根据数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|求解即可；
（2）根据绝对值的含义可得x+1＝±3，再分别解出x的值即可；
（3）根据绝对值的特点分别求出a、b的值，再求出距离的最大值和最小值；
（4）根据分类讨论的数学思想可以解答本题；
【解答】解：（1）由数轴可知，4和1之间的距离为4﹣1＝3，﹣3和2之间的距离为|﹣3﹣2|＝5；数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
故答案为：3，5，|m﹣n|；
（2）|x+1|＝3，
∴x+1＝3或x+1＝﹣3，
∴x＝2或x＝﹣4．
故答案为：2或﹣4；
（3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a﹣3＝2或﹣2，b+2＝1或﹣1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或﹣3，
∴当a＝5，b＝﹣3时，有最大距离为8，
当a＝1，b＝﹣1时，有最小距离为2，
故答案为：8，2．
（4）当x+2＝0时，x＝﹣2；当x﹣5＝0时，x＝5，
当x＞5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+x﹣5＝2x﹣3＞7，
当﹣2≤x≤5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+5﹣x＝7，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣5|＝﹣x﹣2﹣x+5＝﹣2x+3＞7，
∴使得|x+2|+|x﹣5|＝7的所有整数为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5共8个．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查绝对值的运用，解题的关键在于熟练掌握绝对值的性质．
10．（2021秋 镇江期末）如图，线段AB＝28厘米，点D和点C在线段AB上，且AC：BC＝5：2，DC：AB＝1：4．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长度；
（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；
（3）当PQ＝7厘米时，求t的值．
【分析】（1）根据线段间的比例可得AD和DC的长，再根据线段的和差可得答案；
（2）分三种情况：当0≤t≤5时，PC＝20﹣4t，CQ＝8﹣t；当5＜t≤时，PC＝4t﹣20，CQ＝8﹣t，当＜t≤15时，PC＝DC＝7，CQ＝8﹣t，再分别列出方程即可；
（3）①当0≤t≤5时，4t+t＝28﹣7；②当5＜t≤时，8+4t﹣20﹣t＝7；③当 ＜t≤15时，7＝15﹣t．
【解答】解：（1）∵AB＝28cm，AC：BC＝5：2，
∴AC＝28×＝20cm，BC＝28﹣20＝8cm．
∵DC：AB＝1：4，
∴DC＝28×＝7cm，
∴AD＝AC﹣DC＝20﹣7＝13cm；
（2）①当0≤t≤5时，PC＝20﹣4t，CQ＝8﹣t，
∴20﹣4t＝8﹣t，
解得t＝4；
②当5＜t≤时，PC＝4t﹣20，CQ＝8﹣t，
∴4t﹣20＝8﹣t，
解得t＝5.6；
③当＜t≤15时，PC＝DC＝7，CQ＝8﹣t，
∴7＝8﹣t，
解得t＝1（舍去）．
综上，当点C恰好为PQ的中点时，t的值是4或5.6；
（3）①当0≤t≤5时，
4t+t＝28﹣7，
解得t＝4.2；
②当5＜t≤时，
8+4t﹣20﹣t＝7，
解得t＝；
③当＜t≤15时，
7＝15﹣t，
解得t＝8．
综上，当PQ＝7厘米时，t的值是4.2或或8．
【点评】此题考查绝对值与非负数的性质、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是把握线段中点的定义，弄清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等．
11．（2021秋 射阳县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a﹣b|．因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值；|x﹣1|即数轴上x与1对应的点之间的距离，|x﹣2|即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 　7　．
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 　|x﹣2|　．
（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　．
（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是 　﹣3、﹣2、﹣1、0、1　．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式，即可求出距离；
（2）根据两点间的距离公式，即可求出距离；
（3）根据两点间的距离公式，即可求出x；
（4）利用绝对值及数轴求解即可；
（5）根据绝对值的几何意义，即可解答．
【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是：|5﹣（﹣2）|＝7；
故答案为：7；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为：|x﹣2|；
故答案为：|x﹣2|；
（3）|x﹣2|＝5，
∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
∴x＝7或﹣3；
（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，且|x+3|+|x﹣1|＝4，
∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1；
故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；
（5）根据绝对值的几何意义可知：当x＜3或x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＞3，
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3，
综上所述，当3≤x≤6时，有最小值是3．
【点评】本题考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题、去绝对值的方法、去绝对值在数轴上的应用，解决本题的关键是理解数轴上两点的距离．
12．（2021秋 惠山区期末）【探索新知】
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC＝3，则AB＝　3π+3　；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC　＝　DB；（填“＝”或“≠”）
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与图中以O、C、D中某两点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，直接写出D点所表示的数．
【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；
（2）根据线段的大小比较即可；
（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM＝x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度；
（4）根据圆周率伴侣线段的定义可求D点所表示的数．
【解答】解：（1）∵AC＝3，BC＝πAC，
∴BC＝3π，
∴AB＝AC+BC＝3π+3．
故答案为：3π+3；
（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴BC＝πAC，AD＝πBD，
∴设AC＝x，BD＝y，则BC＝πx，AD＝πy，
∵AB＝AC+BC＝AD+BD，
∴x+πx＝y+πy，
∴x＝y
∴AC＝BD
故答案为：＝．
（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM＝x，
x+πx＝π+1，解得x＝1，
∴MN＝π+1﹣1﹣1＝π﹣1；
（4）D点所表示的数是1、π、π++2、π2+2π+1．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
13．（2021秋 鼓楼区校级月考）数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和6两点之间的距离是　4　，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是　5　．
②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　|x+3|　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　|x﹣6|　．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　5　．
④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的是　﹣1或0或1或2或3　．
⑤若x表示一个有理数，当x为　3　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为　6　．
【分析】①数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；
②数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；
③根据绝对值几何意义即可得出结论．
④分情况讨论计算即可得出结论；
⑤|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上某点到表示﹣2、3、4三点的距离之和，
【解答】解：①数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4，
数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5；
故答案为：4，5；
②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣3）|＝|x+3|，
数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；
故答案为：|x+3|，|x﹣6|；
③根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|有最小值5，
故答案为：5；
④当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，
解得：x＝﹣1，
此时不符合x＜﹣1，舍去；
当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，
此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；
当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，
解得：x＝3，
此时不符合x＞3，舍去；
故答案为：﹣1或0或1或2或3；
⑤：∵可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，
∴当x＝3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值．
∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．
故答案为3，6．
【点评】此题是绝对值题目，主要考查的是绝对值的应用，明确|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是解题的关键．
14．（2021秋 金坛区月考）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　﹣2.5　和 　1　，B，C两点间的距离是 　3.5　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　|x﹣（﹣1）|　；如果|AB|＝3，那么x为 　﹣4，2　；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 　﹣1　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　﹣5≤x≤2　．
【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点02 有理数与数轴的复杂应用题
1.通过数轴可以更直观地理解一些重要的概念，如正数和负数、相反数、绝对值等；
2.利用数轴可以比较有理数的大小；
3.数轴使得数和点能够相互转化，因此，数轴是数形结合的“桥梁”，是第一个数形结合体，是解决数学问题的一种重要工具．
一. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
二．数轴与相反数
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
三．数轴与绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋 钟楼区校级月考）如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点可能是（　　）
A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R
2．（2022秋 钟楼区校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2014的点与圆周上重合点的数字是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．解答题（共15小题）
3．（2022秋 邗江区月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣6表示的点与　 　表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①数字7表示的点与　 　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为78（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
4．（2022秋 兴化市期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
如图，线段AB、CD都在数轴上，且AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点B从M出发沿射线MN方向，以6个单位长度/秒的速度运动；同时，点C从N出发沿射线NM方向，以2个单位长度/秒的速度运动，在点B、C运动的过程中，线段AB、CD随之运动．已知点M在数轴上表示的数是﹣8，点N在数轴上表示的数是16．
（1）如图，当点B、C分别与点M、N重合时，则点A在数轴上表示的数是 　 　，点D在数轴上表示的数是 　 　．
（2）运动t秒后．
①点A在数轴上对应的数为 　 　，点D在数轴上对应的数为 　 　（用含t的代数式表示）．
②当运动到BC＝8（单位长度）时，求出此时点B在数轴上表示的数．
（3）若点P是线段AB上的任意一点，在整个运动过程中，是否存在PA+PC+PB+PD的值为定值？若存在，求出该定值以及定值所持续的时间；若不存在，请说明理由．
5．（2022秋 邗江区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 　 　；
（2）数轴上表示数x与﹣2两点之间的距离可以表示为 　 　，若距离是3，那么x＝　 　；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝　 　；
（4）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点向右出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过多少秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．
6．（2022秋 如东县期中）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数﹣8，点C表示的数为2，点B表示的数为6．
（1）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？
（2）如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即＝AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．
①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，＝3？
②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时＝3？直接写出t的值．
7．（2022秋 鼓楼区校级月考）【阅读】|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离．
（1）|4﹣（﹣1）|＝　 　；
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|＝4，则x＝　 　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是：　 　．
8．（2022秋 港闸区校级月考）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可化简为AB＝a﹣b．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：
（1）若点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，则a的值为 　 　；
（2）若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则|a﹣2|+|a+5|＝　 　；
（3）若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则|b﹣2|+|c+5|的最小值为 　 　；
（4）若a1＝a，a2＝a，a3＝a，…，a9＝a．则式子|a1﹣1|+2|a2+2|+3|a3﹣3|+…+9|a9﹣9|的最小值为 　 　．
9．（2022秋 洪泽区校级月考）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，试回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 　 　；
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是 　 　；
（3）若将数轴折叠，使点A与表示﹣3的点重合，则点B与表示数 　 　的点重合；
（4）若数轴上M，N两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是 　 　和 　 　．
10．（2022秋 丹徒区期中）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，请利用刻度尺或圆规画图．
（1）如图1，若a+b＝0，请在数轴上画出原点O；
（2）如图2，若a＝2b，请在数轴上画出原点O；
（3）如图3，若a﹣b＝2，在数轴上画出表示数a+b的点C；
（4）如图4，若a+b＝3，在数轴上画出表示数a﹣b的点D．
11．（2022秋 宜兴市期中）已知数轴上三点A，B，C表示的数分别为﹣12，﹣5，5，P，Q两点分别从A，C两点同时出发，相向而行，点P的速度为4个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒．
（1）点A与点C之间的距离为 　 　；
（2）P，Q在数轴上的相遇位置对应的数是 　 　；
（3）设点P运动时间为t（s），当点B到点Q的距离是点B到点P距离的2倍时，求t的值；
（4）当点P到A、B、C三点的距离之和为20个单位长度时，点P立即调头返回．速度不变．当P，Q两点在数轴上相遇时，相遇位置对应的数是 　 　．
12．（2022秋 江阴市校级月考）已知数轴上顺次有A、B、C三点，分别表示数a、b、c，并且满足|b|＝|c|＝5，b＜c，点A在点B的左边且与点B距离8个单位长度．一只电子小蜗牛从A点向正方向移动，速度为3个单位/秒．
（1）请求出A、B、C三点分别表示的数；
（2）运动多少秒时，小蜗牛到点B的距离为2个单位长度？
（3）设点P在数轴上点A的右边，且点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，那么点P所表示的数是多少？
13．（2022秋 广陵区校级月考）已知，a，b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0，分别对应着数轴上的A，B两点．
（1）a＝　 　，b＝　 　，并在数轴上画出A，B两点；
（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向数轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；
（3）数轴上还有一点C对应的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达点C后停止运动．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．
14．（2022秋 江都区月考）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们约定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k．例如：若点P表示0，点A表示﹣2，点B表示1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作：P[A，B]＝2．
（1）如图，A、B、P、Q、M、N为数轴上各点，如图图示，回答下面问题：
①P[A，B]＝　 　②M[N，A]＝　 　；
③若C[Q，B]＝1，则C表示的数为 　 　．
（2）若点A表示﹣1，点B表示5，点C是数轴上一点，且C[A，B]＝3，则点C所表示数为 　 　．
（3）数轴上，若点M表示﹣10，点N表示50，点K在点M和点N之间，且K[M，N]＝5．从某时刻开始，点M出发向右做匀速运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t（t＞0），当t为何值时，M[N，K]＝3．
15．（2022秋 钟楼区校级月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　 　．
A．（+4）+（+1）＝+5
B．（+4）+（﹣1）＝+3
C．（﹣4）﹣（+1）＝﹣5
D．（﹣4）+（+1）＝﹣3
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 　 　．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 　 　的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 　 　，B点表示 　 　．
③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣19、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A'落在点B的右边，并且A'B＝2，求点C表示的数．
16．（2022秋 靖江市月考）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　 　；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8
①第几次滚动后，小圆离原点最远？
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距6π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
17．（2022秋 鼓楼区校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？
（2）填空：
①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为　 　；
②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为　 　；
（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数；若不存在，请说明理由．
一．解答题（共14小题）
1．（2021秋 溧水区期末）【数学概念】如图，A、B为数轴上不重合的两个点，P为数轴上任意一点，我们比较线段PA和PB的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．特别地，若线段PA和PB的长度相等，则将线段PA或PB的长度定义为点P到线段AB的“靠近距离”．
【概念理解】如图①，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点P表示的数是﹣2，则点P到线段AB的“靠近距离”为 　 　；
（2）若点P表示的数是m，点P到线段AB的“靠近距离”为3，则m的值为 　 　（写出所有结果）；
【概念应用】
（3）如图②，在数轴上，点P表示的数是﹣6，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为t秒，当点P到线段AB的“靠近距离”为2时，求t的值．
2．（2021秋 海陵区校级月考）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣8|＝0．
（1）点A表示的数为 　 　；点B表示的数为 　 　；
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝　 　；乙小球到原点的距离＝　 　；当t＝5时，甲小球到原点的距离＝　 　；乙小球到原点的距离＝　 　；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
3．（2021秋 宜兴市校级月考）如图，点A在数轴上所对应的数为2．
（1）点B在点A左侧且距点A为3个单位长度，则点B所对应的数为 　 　，请在数轴上标出点B的位置；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，当点A运动到5所在的点处时停止运动，同时点B也停止运动，求此时A，B两点间距离；
（3）在（2）的条件下，若点A不动，点B沿数轴开始向右运动，经过t秒A，B两点相距3个单位长度，求t值；
（4）在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度，点B以每秒2个单位长度同时沿数轴向左运动，当点B运动到所对应的数为m时停止运动，请直接写出此时点A所对应的数为 　 　；若点A继续运动，请直接写出当AB＝2时，点A继续运动的距离为 　 　．（用含m的式子表示）
4．（2021秋 崇川区校级月考）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 　 　；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 　 　；
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 　 　，此时x的取值是 　 　；
（3）已知|x+1|+|x﹣2|＝7时，x的取值是 　 　；
（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|的最小值为 　 　，此时x的取值是 　 　．
5．（2021秋 高港区校级月考）【操作感知】如图1，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 　 　．
【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点C与表示数b的点D重合，则折痕与数轴交点表示的数为 　 　．（用含a，b的代数式表示）
【问题解决】如图2，点P表示的数为﹣10，点Q表示的数为20，如果点M从点P的位置出发，以每秒2个单位的速度向点Q运动，当点M到达点Q时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点M到P，Q两点中一点的距离为到另一点距离的两倍，求t值．
（2）若点M从点P出发，同时点N从点Q开始运动，以每秒1个单位的速度向点P运动，并与点M同时停止，请求出当点M，N，P中其中一点到另外两点距离相等时t的值．
6．（2021秋 兴化市校级月考）如图，请回答问题：
（1）点B表示的数是 　 　，点C表示的数是 　 　．
（2）折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　 　重合．
（3）m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　 　．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　 　．
③当x＝　 　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
7．（2021秋 姜堰区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|b﹣a|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 　 　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　 　．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　．
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　 　，最小距离是 　 　．
（4）①若数轴上表示x的点位于﹣3与1之间，则|x﹣1|+|x+3|＝　 　.②若|x﹣3|+|x+1|＝8，则x＝　 　．
8．（2021秋 沛县校级月考）在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 　 　；数轴上表示数a的点与表示﹣2的点之间的距离表示为 　 　；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 　 　；
（3）数轴上有一个点表示数a，则|a+1|+|a﹣3|+|a+8|的最小值为 　 　；
（4）a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|等于 　 　．
9．（2021秋 如东县月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是 　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 　 　．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　 　，最小距离是 　 　．
（4）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x 5|＝7．则所有符合条件的整数x有 　 　个．
10．（2021秋 镇江期末）如图，线段AB＝28厘米，点D和点C在线段AB上，且AC：BC＝5：2，DC：AB＝1：4．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长度；
（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；
（3）当PQ＝7厘米时，求t的值．
11．（2021秋 射阳县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a﹣b|．因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值；|x﹣1|即数轴上x与1对应的点之间的距离，|x﹣2|即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 　 　．
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 　 　．
（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　 　．
（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是 　 　．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
12．（2021秋 惠山区期末）【探索新知】
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC＝3，则AB＝　 　；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC　 　DB；（填“＝”或“≠”）
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与图中以O、C、D中某两点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，直接写出D点所表示的数．
13．（2021秋 鼓楼区校级月考）数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和6两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是　 　．
②数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　 　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　 　．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　 　．
④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的是　 　．
⑤若x表示一个有理数，当x为　 　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为　 　．
14．（2021秋 金坛区月考）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　和 　 　，B，C两点间的距离是 　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　；如果|AB|＝3，那么x为 　 　；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑