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5．1 任意角和弧度制
第五章三角函数
5.1任意角和弧度制
例1在0°~360°范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
解：，所以在0°~360°范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角.
例2写出终边在y轴上的角的集合.
解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合，
而所有与270°角终边相同的角构成集合，
于是，终边在y轴上的角的集合
.
例3写出终边在直线上的角的集合S.S中满足不等式的元素有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线上的角的集合
.
S中适合不等式的元素有
，
，
，
，
，
.
例4按照下列要求，把化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
解：（1）因为，所以.
（2）利用计算器有
因此，.
例5将3.14换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.
解：利用计算器有
因此，.
例6利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）；
（2）；
（3）.
其中R是圆的半径，（）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.
证明：由公式可得.
下面证明（2）（3）.
半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是，，
将n°转换为弧度，得，
于是，.
将代入上式，即得.
5.1.1任意角
练习
1．锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2．今天是星期三，那么天后的那一天是星期几 天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
（1）；（2）；（3）；（4）.
4．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)；
(2)；
(3).
5．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：（1）；（2）.
5.1.2弧度制
练习
6．把下列角度化成弧度：
(1)；
(2)；
(3).
7．把下列弧度化成角度：（1）；（2）；（3）.
8．用弧度表示：（1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合.
9．利用计算工具比较下列各对值的大小：（1）和；（2）和.
10．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1 m的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）.
11．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数.
习题5.1
复习巩固
12．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
13．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
14．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.
15．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？
16．把下列角度化成弧度：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
17．把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）：
(1)
(2)
(3)1.4；
(4).
综合运用
18．已知是锐角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
19．若为第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
20．要在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为，那么圆心角是多少度（可用计算工具，精确到1°）？
21．已知弧长50 cm的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1cm）.
拓广探索
22．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积.
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，求与的比值；
（2）要使与的比值为，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？
23．（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）
24．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？2．1 等式性质与不等式性质
第二章一元二次函数 方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
例1比较和的大小.
分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.
解：因为
.
所以.
例2已知，，求证.
分析：要证明，因为.所以可以先证明.利用已知和性质3，即可证明.
证明：因为.所以，.
于是，
即.
由，得.
练习
1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系:
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;
(2)a与b的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.
2．比较和的大小.
3．已知,证明.
练习
4．证明不等式性质1,3,4,6.
5．用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么______;
(2)如果,,那么____;
(3)如果,那么____;
(4)如果,那么____.
习题2.1
复习巩固
6．举出几个现实生活中与不等式有关的例子
7．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.
8．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与.
9．一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
10．已知，，求的范围.
11．证明：，.
综合运用
12．已知，，，求证：．
13．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.
15．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
拓广探索
16．已知，求证.
17．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1);(2);(3)
【解析】由题意转化为不等关系即可
【详解】（1）；
（2）；
（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则
【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题
2．.
【分析】将两式作差即可比较大小.
【详解】解： -
=
=-3<0
所以
【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3．证明见解析
【解析】由,通过分别考查与的差、与的差与0的大小关系,即可证明
【详解】证明:因为,所以,,
所以,
所以,
因为,
所以,
综上,时,.
【点睛】本题考查利用作差法证明不等式,属于基础题
4．证明见解析
【解析】作差后利用差与0的关系及“同号得正，异号得负”即可判断两式大小,进而证明即可
【详解】证明:
①证明不等式性质1:
(1),,,,；
(2),,,,.
②证明不等式性质3:
,,,
③证明不等式性质4:
(1),,,,；
(2),,,,
④证明不等式性质6:
,,,,；
,,,,；
,即
【点睛】本题考查作差法证明不等式性质,考查“同号得正,异号得负”的应用
5． > < < <
【解析】根据不等式的性质依次填写即可
【详解】解析:(1),.,.
(2),.,,.
(3),,,,,
,即.
(4),所以,.于是,即,即.
,.
故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<
【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键
6．见解析
【解析】举生活中的儿童乘车票价和桥洞通道限高，答案不唯一.
【详解】解：（1）身高的儿童随同成年人乘坐火车，享受半价优惠，则享受半价优惠儿童的身高的范围.
（2）限高5m的桥洞通道.
【点睛】本题主要考查了生活中的不等关系，属于基础题.
7．
【解析】根据题意得出经过年之后，方案的总投入的表达式，解不等式，即可得出结论.
【详解】方案A：一次性投资500万元；
方案B：第一年投资100万元
两年后总投资为万元
三年后总投资为万元
……
n年后总投资为万元
由于n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，所以，即.
【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.
8．（1）.（2）.（3）.（4）.
【解析】利用作差法比较大小即可.
【详解】解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以当时，.
（4）因为，所以.
【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.
9．57
【解析】根据不等关系得出不等式组，求解即可得出结论.
【详解】解：由题意知，解得.
又
，∴所求的两位数为57.
【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.
10．
【分析】根据不等式的性质可得出答案.
【详解】解：，
，又，
.
11．证明见解析
【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.
【详解】证明：.故得证.
12．
【分析】通过可知，从而，求倒数可知，两边同时乘以负数即得结论．
【详解】，
，
又，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
13．B
【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.
【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；
B. 若，则，所以该选项正确；
C. 若，则，所以该选项错误；
D. 若，则，所以该选项错误.
故选：B
14．见解析
【解析】设圆的周长与正方形的周长均为x，由圆的面积以及正方形的面积公式求出圆和正方形的面积，利用作差法证明圆的面积大于正方形的面积，即可得出相同周长的圆和正方形的截面，圆的截面面积大.
【详解】证明，设圆的周长与正方形的周长均为x，则圆的面积，
正方形的面积，，.
∴相同材料制成的自来水管，截面为圆的截面面积大，因而出水快.
【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于中档题.
15．，证明见解析
【解析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可.
【详解】解：时，.
证明如下：
，
.
【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题.
16．见解析
【解析】利用作差法证明不等式即可.
【详解】证明：，
.
【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.
17．见解析
【解析】根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案，根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.
【详解】解：设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z
所以，所以
又因为，所以或或.
所以共有三种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢22节；
方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；
方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节.
当时，总运费（万元）此时运费较少.
【点睛】本题主要考查了线性规划的实际应用，属于中档题.5．1 任意角和弧度制
第五章三角函数
5.1任意角和弧度制
例1在0°~360°范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
解：，所以在0°~360°范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角.
例2写出终边在y轴上的角的集合.
解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合，
而所有与270°角终边相同的角构成集合，
于是，终边在y轴上的角的集合
.
例3写出终边在直线上的角的集合S.S中满足不等式的元素有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线上的角的集合
.
S中适合不等式的元素有
，
，
，
，
，
.
例4按照下列要求，把化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
解：（1）因为，所以.
（2）利用计算器有
因此，.
例5将3.14换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.
解：利用计算器有
因此，.
例6利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）；
（2）；
（3）.
其中R是圆的半径，（）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.
证明：由公式可得.
下面证明（2）（3）.
半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是，，
将n°转换为弧度，得，
于是，.
将代入上式，即得.
5.1.1任意角
练习
1．锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2．今天是星期三，那么天后的那一天是星期几 天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
（1）；（2）；（3）；（4）.
4．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)；
(2)；
(3).
5．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：（1）；（2）.
5.1.2弧度制
练习
6．把下列角度化成弧度：
(1)；
(2)；
(3).
7．把下列弧度化成角度：（1）；（2）；（3）.
8．用弧度表示：（1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合.
9．利用计算工具比较下列各对值的大小：（1）和；（2）和.
10．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1 m的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）.
11．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数.
习题5.1
复习巩固
12．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
13．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
14．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.
15．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？
16．把下列角度化成弧度：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
17．把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）：
(1)
(2)
(3)1.4；
(4).
综合运用
18．已知是锐角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
19．若为第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
20．要在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为，那么圆心角是多少度（可用计算工具，精确到1°）？
21．已知弧长50 cm的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1cm）.
拓广探索
22．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积.
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，求与的比值；
（2）要使与的比值为，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？
23．（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）
24．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角.
【解析】锐角是第一象角，第一象限角可以是锐角加的整数倍，所以不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角.
【详解】锐角，是第一象限角，是第一象限角不是锐角；
直角的终边在坐标轴上（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如；
钝角是第二象限角，是第二象限角，但不是钝角，
所以锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角.
【点睛】此题考查象限角轴线角与锐角钝角和直角之间的关系，关键在于掌握终边相同的角的表示方式的辨析.
2．每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三；100天后的那一天是星期五.
【解析】根据每周的周期性变化关系即可求解.
【详解】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；
天前的那一天仍然是星期三；
，所以100天后的那一天是星期五.
【点睛】此题考查周期性的实际应用，利用周期关系解决实际应用问题，关键在于准确建立模型将实际问题转化为数学问题.
3．（1）第一象限角，作图见解析；（2）第四象限角，作图见解析；（3）第二象限角，作图见解析；（4）第三象限角，作图见解析.
【解析】（1），与终边相同；
（2）按照负角作图；
（3）与终边相同；
（4）与终边相同
【详解】（1）如图①，是第一象限角；
（2）如图②，是第四象限角；
（3）如圈③，是第二象限角；
（4）如图④，是第三象限角.

① ② ③ ④
【点睛】此题考查任意角的概念的辨析，作出角的终边位置判断其所在象限，关键在于对基本概念的熟练掌握.
4．(1)，第四象限角
(2)，第一象限角
(3)，第三象限角
【分析】（1）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解；
（2）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解；
（3）根据题意，通过对已知角加上或减去的整数倍后得到的角在范围内，即可求解；
（1）
因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第四象限角.
（2）
因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第一象限角.
（3）
因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第三象限角.
5．（1），，；（2）
【解析】（1）终边相同的角的集合，分别令，即可得解；
（2）终边相同的角的集合，分别令，即可得解.
【详解】（1），分别令，得，，；
（2），分别令，得.
【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，以及找出在指定范围内的元素，关键在于准确表示，正确求解不等式.
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，结合弧度=角度，即可求解；
（2）根据题意，结合弧度=角度，即可求解；
（3）根据题意，结合弧度=角度，即可求解.
(1)
由题意得，.
(2)
由题意得，.
(3)
由题意得，.
7．1）；（2）；（3）.
【解析】(1)利用转化即可
(2) 利用转化即可
(3) 利用转化即可
【详解】(1).
(2).
(3).
【点睛】本题考查的是角度制和弧度制的相互转化，较简单.
8．（1）；（2）.
【解析】(1)将终边在x轴正半轴上的角的集合与终边在x轴负半轴上的角的集合取并集即可
(2)将终边在y轴正半轴上的角的集合与终边在y轴负半轴上的角的集合取并集即可
【详解】(1)；
(2).
【点睛】本题考查的是终边在坐标轴上的角的表示方法，较简单.
9．（1）；（2）.
【解析】(1)利用计算器求出和的值即可
(2)利用计算器求出和的值即可
【详解】(1)由计算器可算出，
所以
(2)由计算器可算出，
所以
【点睛】本题是一道比较三角函数值的题目，解答本题的关键是熟练掌握利用计算器求三角函数值的方法.
10．
【解析】利用公式和分别计算即可
【详解】角度制下：，，弧长.
弧度制下：，，弧长.
【点睛】本题考查的是角度制和弧度制下弧长公式的应用，较简单.
11．1.2
【解析】利用公式计算即可
【详解】，即该弧所对的圆心角的张度数为1.2.
【点睛】本题考查的是扇形有关公式的直接应用，较简单.
12．(1)，第二象限角
(2)，第一象限角
(3)，第三象限角
(4)，第四象限角
【分析】（1）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解；
（2）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解；
（3）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解；
（4）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解.
(1)
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第二象限角.
(2)
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第一象限角.
(3)
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第三象限角.
(4)
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第四象限角.
13．(1)； .
(2)；.
(3)；.
(4)；.
(5)； .
(6)；.
(7)；.
(8)；.
【分析】根据终边相同的角的概念直接表示，并求出集合中适合不等式的元素.
(1)
,其中适合不等式的元素有：.
(2)
,其中适合不等式的元素有：.
(3)
,其中适合不等式的元素有：.
(4)
,其中适合不等式的元素有：.
(5)
,其中适合不等式的元素有：.
(6)
,其中适合不等式的元素有：.
(7)
,其中适合不等式的元素有：.
(8)
,其中适合不等式的元素有：.
14．第一象限角：，；
第二象限角：，；
第三象限角：，；
第四象限角：，.
【解析】先用角度制写出四个象限角的集合，再用弧度制写出这四个象限角的集合即可．
【详解】解：用角度制写出象限角的集合是：
第一象限角：；
第二象限角：；
第三象限角：；
第四象限角：.
用弧度制写出象限角的集合是：
第一象限角：；
第二象限角：；
第三象限角：；
第四象限角：.
【点睛】本题考查了象限角的角度制与弧度制的表示方法问题，解题时应熟练地写出来，是基础题．
15．不等于，原因见解析
【解析】直接利用弧度数定义判断即可．
【详解】解：不等于1弧度，这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所对的弧比半径长.
【点睛】本题考查弧度制的应用，属于基础题．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用角度制与弧度制的转化公式直接计算即可.
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：；
（4）
解：.
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意，结合，即可求解；
（2）根据题意，结合，即可求解；
（3）根据题意，结合，即可求解；
（4）根据题意，结合，即可求解.
(1)
由题意得，.
(2)
由题意得，.
(3)
由题意得，.
(4)
由题意得，.
18．C
【分析】由题知，故，进而得答案.
【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括，故错误.
故选：C
19．D
【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k的取值即可.
【详解】因为为第一象限角，
所以，
所以，
当时，，属于第一象限角，排除B；
当时，，属于第三象限角,排除AC；
所以是第一或第三象限角
故选：D
20．
【解析】由弧长公式变形可得，化简即可．
【详解】解：设.
方法1：由，得，
解得，
方法2：由，得，解得.
【点睛】本题考查弧长公式，属于基础题．
21．
【解析】利用弧长公式即可得出；
【详解】解：方法一：,
由得,
.
方法二：由得，解得.
【点睛】本题考查了弧长公式，属于基础题．
22．（1）；（2）
【解析】（1）设的圆心角为，的圆心角为，从而由扇形的面积公式可计算的值．
（2）由（1）可得，从而可求得．
【详解】解：（1）设半径为所对圆心角分别为，且.
（2）设扇子的圆心角为.由，得,则.
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题．
23．（1）时针：，；分针：，.（2）不正确，理由见解析
【解析】（1）算出时针每小时转过的度数乘以4便是经过4小时时针转过的度数；分钟每分钟转过的度数乘以便是经过4小时分针转过的度数，然后将度数转换成弧度即可；
（2）可假设经过后，时针和分针第次重合，则有，可以求出，并且最后一次相遇经过的时间为，这样即可求出一天内时针和分针重合的次数，从而判断出这种说法的正误．
【详解】解：（1）因为时针按照顺时针方向旋转，故形成的角为负角，
经过4小时，时针转了，分针转了，分别等于弧度和弧度；
（2）分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第此重合，则：
；
，；
最后一次相遇经过了；
此时，即时针和分针相遇22次；
重合24次的说法不正确．
【点睛】考查对时针和分针运动情况的掌握，度数和弧度数的关系及转换，弄清楚分针和时针相遇时转过圈数的关系．
24．（1）；（2）.
【解析】（1）相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度；
（2）再通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得.
【详解】解：（1）相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
当大轮转动一周时，
大轮转动了48个齿，
小轮转动周，
即．
．
（2）当大轮的转速为时，
．
小轮转速为，
小轮周上一点每转过的弧度数为：．
小轮的半径为，
小轮周上一点每转过的弧长为：．
【点睛】本题考查了角度与弧度的关系的实际应用，本题难度不大，属于基础题
答案第1页，共2页3.4 函数的应用（一）
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式，再结合的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式.
解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得
.
令，得.
根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，.所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为.
结合3.1.2例8的解析式③，可得：
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以，函数解析式为. ④
（2）根据④，当时，.
所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元.
例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.
分析：当时间t在内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应.根据图，在时间段，，，，内行驶的平均速率分别为50，80，90，75，65，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述.
解：（1）阴影部分的面积为.
阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360.
（2）根据图，有
.
这个函数的图象如图所示.
练习
1．若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？
2．某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
3．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则：
（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；
（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.
习题3.4
综合运用
4．某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象．
5．要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？
6．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量．
拓广探索
7．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.
（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？
8．下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据：
描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．没有超速.
【分析】先根据题意得到函数的解析式，然后根据刹车后滑行距离为，求出相应的车速，与限速比较后可得结论．
【详解】由题意知点在函数的图象上，
∴，解得得，
∴，
当时，则有，
整理得，
∴．
∵，
∴这辆车没有超速行驶．
【点睛】本题考查二次函数模型在实际中的应用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式，考查应用能力和计算能力，属于基础题．
2．边长为的正方形时
【解析】设广告牌的长为，则宽为，根据矩形的面积公式配方即可求解.
【详解】解：设广告牌的长为，则宽为.
设广告牌的面积为.则.
当时，y取最大值.此时宽为.
∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大.
【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，注意定义域的取值范围，属于基础题.
3．（1），，，；（2）分析见解析
【解析】（1）根据题意并利用常见函数的模型即可列出关系式.
（2）作出的图像，由图像可得出公司的赢利与亏损.
【详解】解：（1）由题意，得，，，
.
（2）画出的图象如图.
由图象可知，当时，该公司亏损；
当时，公司不赔不赚；当时，公司赢利.
【点睛】本题考查了常见函数的模型：一次函数、反比例函数的应用，属于基础题.
4．见解析
【分析】根据分段函数写出x,v的表达式，作图即可
【详解】由题意得：路程表示为时间的函数：图像如图：
车速v()表示为时间的函数：图像如图
【点睛】本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题能力，着重考查分段函数的概念是基础题
5．长度应该在内
【解析】设水池的长为，宽为，总造价为元；从而可得，，从而求解二次不等式的解集．
【详解】解：设水池的长为，宽为；总造价为元；
则，故；
；
则；
解得，；
故水池的长在到时，才能使水池的总造价控制在万元以内．
【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．
6．
【分析】本题可设此户居民本月用水量为，然后分为、、三种情况进行讨论，结合计费方法即可得出结果.
【详解】设此户居民本月用水量为，
当时，，解得，不满足题意；
当时，，解得，满足题意；
当时，，解得，不满足题意，
综上所述，此户居民本月用水量为.
7．（1）点A见解析，点B见解析，射线AB见解析；（2）两种建议见解析
【解析】（1）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，即可得出结论．
（2）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据图象，即可得出合理的建立．
【详解】解：（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平；
射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利.
（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.
【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键．
8．图见解析，.
【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令，取点、代入函数解析式进行计算，即可得出结果.
【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：
结合函数图像选择一次函数建立函数模型，
设函数解析式为，
取点、代入函数解析式中，
得，解得，，
故函数解析式为，经检验满足题意.
答案第1页，共2页复习参考题2
复习参考题2
复习巩固
1．某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.
2．用不等号“>”或“<”填空：
（1）若，且，则ab_____________0；
（2）若，则_________；
（3）若，则__________.
3．（1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？
（2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？
4．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
综合运用
5．若正数a,b满足ab＝a＋b＋3.求ab的取值范围.
6．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
7．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
8．相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题.请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由.
相等关系 不等关系
相等关系的命题 不等关系的命题 判断正误
（1）若，则 （1）若，则. 正确
拓广探索
9．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.
10．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析
【解析】根据已知写出满足的不等式组得解.
【详解】解：设A型号帐篷有x顶，则B型帐篷有顶，由题得
【点睛】本题主要考查不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2． < > >
【解析】（1）直接化简和得解；（2）利用作差法比较和的大小；（3）利用作差法比较和的大小.
【详解】解：（1）.
.
（2）.
.
（3）.
,
.
【点睛】本题主要考查实数比较大小和不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．（1） （2）
【分析】（1）设扇形的半径为x，弧长为y，周长为z，所以扇形的周长，利用基本不等式求扇形的周长最小值；（2）设扇形的半径为x，弧长为y，面积为S，因为，
【详解】解：（1）设扇形的半径为x，弧长为y，周长为z.
因为，所以扇形的周长.
当，即时，z可以取到最小值，最小值为.
（2）设扇形的半径为x，弧长为y，面积为S，因为，所以扇形的面积为，再利用基本不等式求扇形的面积最大值.
所以扇形的面积为.
当，即时，S可以取到最大值.
所以半径为时，扇形的面积最大，最大值为.
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．（1） （2） （3）R （4）{或}.
【解析】（1）由题得，再写出不等式的解集；（2）先因式分解，再写出不等式的解集；（3）配方即得不等式的解集；（4）化简得，再写出不等式的解集.
【详解】解：（1）由得.
方程的根为.
∴原不等式的解集为；
（2），∴原不等式的解集为；
（3），∴原不等式的解集为R；
（4）将化为，即.∴原不等式的解集为{或}.
【点睛】本题主要考查不含参的一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．见解析
【分析】根据基本不等式化为关于二次不等式，解得范围，即得ab的取值范围.
【详解】由于，所以有，即，所以.
【点睛】本题考查利用基本不等式求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．
【解析】对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解.
【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立，
则二次函数的图象在x轴下方，
即，得.
当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立.
综上可知，.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．（1）20平方米 （2）变好了
【解析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解；（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.
【详解】解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.
因为，所以.又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
【点睛】本题主要考查不等式的应用，考查作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．详见解析
【解析】根据已知列出两组相等关系的命题和不等关系的命题，并判断正误，举出理由.
【详解】解：答案不唯一，示例如下：
相等关系 不等关系
相等关系的命题 不等关系的命题 判断正误 理由
（1）若则 （1）若，则 错误 时，正确，时，错误.
（2）若则 （2）若，则 错误 取，满足，但不成立.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识理解掌握水平.
9．时，S最小且元.
【解析】先求出，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由题意，有，又，有.
当且仅当，即时取“=”.
∴当时，S最小且元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．详见解析
【解析】求出两种方案购物的平均价格，再利用作差比较法比较它们的大小即得解.
【详解】解：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购，第二次购物时的价格为元/kg，仍购，两次购物的平均价格为；
若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为.
比较两次购的平均价格：.
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.
【点睛】本题主要考查不等式的应用，考查作差法比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
答案第1页，共2页2．2 基本不等式
第二章一元二次函数 方程和不等式
2.2基本不等式
例1已知，求的最小值.
分析：求的最小值，就是要求一个，使，都有.观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到.
解：因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2.
例2已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值.
证明：因为x，y都是正数，所以.
（1）当积等于定值P时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值.
（2）当和等于定值S时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.
例3（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆的长度为.
（1）由已知得.
由，
可得，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.
（2）由已知得，矩形菜园的面积为.
由，
可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81.
例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为m，m，水池的总造价为z元.根据题意，有
.
由容积为4800，可得，
因此.
所以，
当时，上式等号成立，此时.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
练习
1．已知、，求证：.
2．已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
3．当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？
4．已知，求的最大值.
5．已知直角三角形的面积等于，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
练习
6．用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
7．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
8．做一个体积为,高为2的长方形纸盒,底面的长与宽分别取什么值时用纸最少？
9．已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
习题2.2
复习巩固
10．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
11．（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
12．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
综合运用
13．已知、、都是正数，求证：.
14．已知，求证：的最大值是.
15．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
拓广探索
16．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
17．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.3．3 幂函数
第三章 函数的概念与性质
3．3 幂函数
例 证明幂函数是增函数.证明：函数的定义域是.
，，且，有
.
因为，，
所以，即幂函数是增函数.
练习
1．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式.
2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1），；（2），.
3．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性.
习题3．3
复习巩固
4．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
综合运用
5．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）.
6．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.4．4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．4 对数函数
4.4
例1 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）（，且）.
解：（1）因为，即，所以函数的定义域是.
（2）因为，即，所以函数的定义域是.
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x.
（1）该地的物价经过几年后会翻一番？
（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为，即（）.
由对数与指数间的关系，可得，.
由计算工具可得，当时，.
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
（2）根据函数，，利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.
例3 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），（，且）.
解：（1）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是增函数，且，所以.
（2）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是减函数，且，所以.
（3）和可看作函数的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.
当时，因为函数是增函数，且，所以；
当时，因为函数是减函数，且，所以.
例4 溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.
解：（1）根据对数的运算性质，有.
在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即减小.所以，随着的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当时，.所以，纯净水的是7.
练习
1．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．画出下列函数的图象：
（1）；
（2）.
3．已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是__________.
①；②；③；④.
4．4．2 对数函数的图象和性质
练习
4．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.
5．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
6．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.
（1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式；
（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？
4．4．3 不同函数增长的差异
练习
7．三个变量随变量变化的数据如下表：
0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
5 30 55 80 105 130 155
其中关于呈指数增长的变量是_____
8．（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围的图象，借助计算工具估算出使的的取值范围（精确到0.01）.
（1） （2） （3）
9．如图，对数函数的图象与一次函数的图象有A，B两个公共点，求一次函数的解析式.
10．函数的图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
习题 4．4
复习巩固
11．求下列函数的定义域:
(1);
(2).
12．比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:
(1);
(2);
(3);
(4).
13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
14．函数，，的图象如图所示，
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；
(3)从（2）的图中你发现了什么？
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m,游回产地产卵,研究链鱼的科学家发现链鱼的游速,(单位:)可以表示为,其中 O表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
16．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
综合运用
17．判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:
(1);
(2).
18．设表示某学校男生身高为时平均体重为,
(1)如果函数的反函数是,那么表示什么
(2)如果,那么求,并说明其实际意义.
19．某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低,要将当前的患病率降低一半,需要多少年
20．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
21．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.
0 5 10 15 20
万元 20 40
万元 20 40
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.
拓广探索
22．已知，，求实数a的取值范围.
23．比较下列各题中三个值的大小:
(1);
(2).2．3 二次函数与一元二次方程、不等
第二章一元二次函数 方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程 不等式
例1求不等式的解集.
分析：因为方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据函数图象得到的解集.
解：对于方程，因为，所以它有两个实数根.解得，.
画出二次函数的图象（图2.3-2），结合图象得不等式的解集为.
例2求不等式的解集.
解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得.
画出二次函数的图象（图2.3-3），结合图象得不等式的解集为.
例3求不等式的解集.
解：不等式可化为.
因为，所以方程无实数根.
画出二次函数的图象（图2.3-4）.
结合图象得不等式的解集为.
因此，原不等式的解集为.
例4一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：
.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得
.
移项整理，得.
对于方程，，方程有两个实数根，
画出二次函数的图象（图2.3-6），结合图象得不等式的解集为，
从而原不等式的解集为.
因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益
例5某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：）之间有如下关系：
.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1）？
解：根据题意，得.
移项整理，得.
对于方程，，方程有两个实数根，.
画出二次函数的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为.
因为车速，所以.而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80.
练习
1．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
2．当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0 大于0 小于0
(1);
(2);
(3);
(4).
练习
3．x是什么实数时,有意义
4．如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米
5．某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格
习题2.3
复习巩固
6．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
7．是什么实数时，下列各式有意义？
（1）；
（2）.
综合运用
8．已知，，求，.
9．一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中．
10．已知集合，，求.
拓广探索
11．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)或；
(2)
(3)
(4)无解
(5)或；
(6)R
【分析】利用一元二次不等式的解法求解.
（1）
解：，
解得或，
所以不等式的解集是或；
（2）
由，得，
即，解得，
所以原不等式的解集为：；
（3）
不等式的相应方程的两个根为，，
则不等式的解集为；
（4）
不等式，即为，
所以原不等式无解；
（5）
不等式即为，
则，解得或，
所以原不等式的解集为或；
（6）
其相应方程的判别式为，
所以不等式的解集为R；
2．(1)等于0,;大于0,或;小于0,.
(2)等于0,;大于0,;小于0,或.
(3)等于0,;大于0,R;小于0,.
(4)等于0,;小于0,;大于0,.
【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系,结合二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】（1）二次函数
令
由一元二次方程的求根公式可知
所以
结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与轴有两个交点,所以
当时,函数值等于0;
当或时,函数值大于0;
当时,函数值小于0.
（2）二次函数
令
解一元二次方程可知
所以
结合二次函数的图像与性质可知:
当时,函数值等于0;
当或时,函数值大于0;
当时,函数值小于0.
（3）二次函数
则
结合二次函数的图像与性质可知:
当函数值等于0时为;
当时,函数值大于0;
当函数值小于0时为;
（4）二次函数
则
结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与轴有一个交点,所以:
当时函数值等于0;
当时,函数值大于0;
当函数值小于0时为;
【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系,二次函数图像与性质的应用,属于基础题.
3．或
【解析】根据二次根式有意义条件可知根据二次不等式解法即可求得的取值范围.
【详解】由知,
解得或.
因此,当或时,有意义.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,一元二次不等式的解法,属于基础题.
4．大于等于1m,且小于3m.
【解析】设花卉带的宽度应为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求解.
【详解】设花卉带的宽度应为,则,
即,化简得
而
答:花卉带的宽度应大于等于1m,且小于3m.
【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.
5．销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)
【解析】设削笔器的销售价格定为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得削笔器的销售价格范围.
【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个
由题意得,即
∵方程的两个实数根为,
解集为
又
故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.
【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.
6．（1）；（2）；（3）或；（4）.
【解析】（1）将所求不等式变形为，解此不等式即可；
（2）利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；
（3）将所求不等式变形为，利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；
（4）将所求不等式变形为，计算，由此可得出该不等式的解集.
【详解】（1）原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是；
（2）原不等式的解集是；
（3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或；
（4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在求解时要将二次项系数化为正数，熟悉一元二次不等式的解法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
7．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意得出，解此不等式即可；
（2）由题意得出，解此不等式即可.
【详解】（1）要使有意义，需.
恒成立，所以不等式的解集为，
因此，时，有意义；
（2）要使有意义，需，即，.
因此时，有意义.
【点睛】本题考查利用二次根式有意义求未知数的取值范围，解题的关键就是利用偶次根式的被开方数非负建立不等式，考查计算能力，属于基础题.
8．或，或.
【解析】求出集合、，然后利用交集和并集的定义可求出集合，.
【详解】或，
或.
因此，或，或.
【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
9．
【分析】将已知数据代入公式中计算可得答案.
【详解】由已知得，化简得：，设方程的两个根为，则，
所以，
所以最多停留.
10．
【解析】解出集合、，然后利用并集的定义可求出集合.
【详解】，
或，
画数轴如图，可知.
【点睛】本题考查并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
11．13.7，15
【分析】设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，然后由求解.
【详解】如图所示：
设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，
若在点B处受到风暴的影响，
则OB=450，，
因为，
所以，
即，
解得，，
又，
所以从码头现在起大约小时后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约15个小时.4．1 指数
第四章 指数函数与对数函数
1．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
2．求值：；
3．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中）：
（1）；（2）.
4．计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）；（2）；（3）.
5．用根式的形式表示下列各式（）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
6．用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
7．计算下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
8．计算下列各式：
（1）；（2）.
9．利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：
（1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势；
（2）取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势.
10．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
一、选择题
11．设，则下列运算中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
12．设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
13．在，，，中最大的数是：___________；
14．按从小到大的顺序，可将重新排列为_________（可用计算工具）.
15．用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：
（1）；（2）；（3）.
16．计算下列各式（式中字母均为正数）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
17．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成_____________个.
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
19．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
20．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……
（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？
（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？
21．（1）当n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算的值；
（2）当n越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也会越来越大？有没有最大值？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题.
2．4；
【分析】根据指数的运算法则：求值，注意运算过程中应用、简化运算
【详解】
【点睛】本题考查了指数运算；运用指数运算法则化简求值
3．（1）；（2）.
【解析】将根式化为分式指数幂，然后利用指数幂的运算律可将（1）（2）中的代数式表示为的分数指数幂的形式.
【详解】（1）；
（2）.
【点睛】本题考查根式与指数幂的互化，同时也涉及了指数幂的运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可，但需注意底数相同的项对应指数相加减；
（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（3）将根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
【点睛】本题考查指数幂的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.
5．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的分数指数幂化为根式的形式.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题考查将分数指数幂化为根式，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
6．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的根式化为分数指数幂的形式.
【详解】（1）当时，；
（2）当时，，则；
（3）当时，；
（4）当时，.
【点睛】本题考查将根式化为分数指数幂，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
7．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（2）将各数化为和的指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（3）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（4）利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.
8．（1）；（2）.
【解析】（1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.
9．（1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大时，趋向于，值见解析；
（2）取正实数，使得的值逐渐增大，当的值趋向于无穷大时，的值趋向于，值见解析.
【解析】（1）分别取的值、、、、、、、、、、，利用计算器计算出对应的的值，列出表格，即可得出规律；
（2）分别取的值、、、、、、、、、、，利用计算器计算出对应的的值，列出表格，即可得出规律.
【详解】（1）
…
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00098 0.000244 0.0000305 …
由此可以看出，取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大时，趋向于；
（2）
…
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00098 0.000244 0.0000305 …
由此可以看出，取正实数，使得的值逐渐增大，当的值趋向于无穷大时，的值趋向于.
【点睛】本题考查指数幂的值的变化规律，计算时可充分利用表格的形式将数据呈现出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
10．（1）100；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）根据偶次根式运算法则可得；
（2）根据奇数次根式化简运算可得；
（3）根据偶次根式化简法则，考虑即可得解；
（4）根据偶次根式化简法则，考虑符号不确定，加绝对值即可得解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】此题考查根式的计算化简，关键在于准确判定代数式的符号.
11．D
【分析】利用幂的运算性质一一计算即可.
【详解】根据幂的运算性质可得：
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
12．A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】解：∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，
∴，正确，
显然a0＝1，正确，
而，∴正确，
故选：A．
13．
【分析】可看出，且，然后根据指数函数的单调性即可得出最大的数．
【详解】解：，，
最大的数是．
故答案为：．
14．
【解析】利用计算器算出每个指数幂的值，即可进行比较.
【详解】利用计算器
，
所以.
故答案为：
【点睛】此题考查指数幂的大小比较，利用计算器计算求解，也可根据函数单调性处理．
15．（1）1；（2）；（3）1.
【解析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算；
（2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算；
（3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
【点睛】此题考查根式与分数指数幂的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求值.
16．（1）；（2）；（3）；（4）·
【解析】（1）同底指数幂相乘，底数不变，指数相加；
（2）根据指数幂运算法则得，化简即可；
（3）根据指数幂运算法则求值；
（4）根据指数幂的运算法则求值即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】此题考查指数幂的运算法则，同底指数幂的乘法和除法运算，关键在于熟练掌握运算法则准确求解.
17．64
【解析】一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解.
【详解】由题：细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），
经过1h可分裂6次，可分裂成（个）.
故答案为：64
【点睛】此题考查利用指数幂的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问题转化为纯数学问题.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值；
（2）利用立方和公式化简因式分解再求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.
19．（1）7；（2）47.
【解析】（1）对等式两边同时平方即可得解；
（2）根据（1）对两边同时平方即可得解.
【详解】（1），∴两边平方得..
（2）由（1）知，两边平方得.
【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值.
20．（1）；（2）.
【解析】（1）每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，根据比例关系即可求解；
（2）结合第（1）问分析出的关系每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，即可得解.
【详解】（1）倒出1次后还剩，加满水后浓度为.
倒出2次后还剩，加满水后浓度为.
倒出3次后逐剩，加满水后浓度为.
倒出4次后还剩，加满水后浓度为.
倒出5次后还剩.
（2）由（1）知，连续进行了n次，容器中的线酒精还剩下.
【点睛】此题考查利用指数性质解实际应用题，关键在于建立恰当的函数模型求解.
21．（1）见解析；（2）是，没有.
【解析】（1）利用计算器依次计算求值；
（2）根据（1）的计算结果分析，越来越大，没有最大值.
【详解】（1）；
；
；
；
.
（2）由（1）知，当n越来越大时，的值也会越来越大，但没有最大值.
【点睛】此题考查利用计算机计算指数幂的值，根据指数幂的大小关系分析代数式的变化趋势，和最值的情况，体现了根据有限的事实与类比无限的思想.
答案第1页，共2页1.2 集合间的基本关系
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
例题
1．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
2．判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由.
（1），是8的约数}；
（2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}.
练习
3．写出集合的所有子集.
4．用适当的符号填空：
（1）a_____；（2）0____；（3）____；
（4）____N；（5）____；（6）____.
5．判断下列两个集合之间的关系：（1），；
（2），；
（3）是4与10的公倍数}，.
习题1．2
复习巩固
6．选用适当的符号填空：
（1）若集合，，则______， ______ ，______ ， ______
（2）若集合，则______，______ ，______ ，______；
（3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形
7．指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：
A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}.
综合运用
8．举出下列各集合的一个子集：
（1）A={是立德中学的学生}；
（2）B={是三角形}；
（3）；
（4）.
9．在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？
拓广探索
10．请解决下列问题：
（1）设，若，求的值；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．子集为，，，.真子集为，，.
【解析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可.
【详解】集合的所有子集为,,,.真子集为,,.
【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型.
2．（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析.
【解析】(1)根据8的约数判断即可.
(2)根据平行四边形的特殊性质判断即可.
【详解】（1）因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集.
（2）因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集.
【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型.
3．，，，，，，，.
【解析】根据子集的定义枚举列出即可.
【详解】集合的所有子集有：
,,,,,,,.
【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型.
4． = =
【解析】根据元素与集合,集合与集合的关系填空即可.
【详解】(1)元素属于集合,故.
(2)元素满足,故.
(3)因为在时无解,故
(4)因为0,1均属于自然数,故集合
(5)因为,故 .
(6)因为的根为.故.
故答案为：(1). (2). (3).= (4). (5). (6).=
【点睛】本题主要考查了元素与集合和集合与集合间的基本关系,属于基础题型.
5．（1） ；（2） ；（3）.
【解析】(1)根据数轴上的范围判断即可.
(2)根据集合表示的数分析即可.
(3)根据集合表示的数分析即可.
【详解】(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故 .
(2) 表示3的整数倍 ,
表示6的整数倍.故 .
(3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故
【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型.
6．
【分析】（1）求出集合，，由此能求出结果．（2）求出集合，由此能求出结果．（3）利用菱形与平行四边形的关系和等腰三角形与等边三角形的关系进行求解．
【详解】（1）∵集合，
∴．故答案为：．
（2）∵集合，∴，故答案为：．
（3）是菱形是平行四边形；是等边三角形是等腰三角形}．故答案为：．
7．D C B A，Venn图见解析.
【解析】根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案.
【详解】各集合之间的关系为D C B A用Venn图表示如图所示：
【点睛】本题考查了集合的包含关系，韦恩图，意在考查学生对于集合的理解和掌握.
8．（1）{是立德中学的女生}
（2）{是直角三角形}
（3）
（4）
【解析】根据子集的定义写出一个子集即可.
【详解】（1）{是立德中学的女生}
（2）{是直角三角形}
（3）
（4）
【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题.
9．D C
【解析】集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.
【详解】集合表示直线与直线交点的集合，
即. D C
【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.
10．（1）
（2）
【解析】（1）直接根据集合相等得到答案.
（2）根据集合的包含关系得到得到答案.
【详解】（1）由于，所以，且，.
（2），且，
如图所示.
【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力.
答案第1页，共2页3．2 函数的基本性质
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
例1 根据定义，研究函数（）的单调性.
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考察与0的大小关系.
解：函数（）的定义域是R.，，且，则
.
由，得.所以
①当时，.
于是，
即.
这时，是增函数.
②当时，.
于是，
即.
这时，是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.
分析：根据题意，只要证明函数（）是减函数即可.
证明：，，且，则.
由，，得；
由，得.
又，于是，
即.
所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.
例3 根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：，，且，有
.
由，，得，.
所以，.
又由，得.
于是，
即.
所以，函数在区间上单调递增.
例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
解：画出函数的图象如图显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数，我们有：
当时，函数有最大值.
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
例5 已知函数（），求函数的最大值和最小值.
分析：由函数（）的图象，如图可知，函数在区间上单调递减.所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：，，且，则
.
由，得，，
于是，
即.
所以，函数在区间上单调递减
因此，函在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4.
例6 判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）函数的定义域为R.
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数
（2）函数的定义域为R.
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数.
（3）函数的定义域为.
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数.
（4）函数的定义域为.
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数.
3.2.1单调性与最大（小）值
练习
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.
2．根据定义证明函数是增函数.
3．证明函数在区间上单调递增.
4．画出反比例函数的图象.
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.
练习
5．整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.
6．设函数的定义域为.如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个______.
7．已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值.
3.2.2奇偶性
练习
8．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整.

9．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）．
10．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
(2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
习题3.2
复习巩固
11．根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
12．画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
（1）；
（2）.
13．证明：
（1）函数是减函数；
（2）函数在上单调递增；
（3）函数在上单调递增.
14．某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
15．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）.
综合运用
16．一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
17．已知函数，.
（1）求、的单调区间；
（2）求、的最小值.
18．（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增.
（2）讨论函数在区间上的单调性.
（3）讨论函数在区间上的单调性.
19．设函数的定义域为I，区间，记.证明：
（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；
（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.
20．如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽（单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？
21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式．
拓广探索
22．已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.
23．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.5．7 三角函数的应用
第五章 三角函数
5．7 三角函数的应用
例1 如图5.7-3，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.
（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：（1）由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是20℃.
（2）由图5.7-3可以看出，从6~14时的图象是函数
①
的半个周期的图象，所以
，.
因为，所以.
将，，，，代入①式，可得.
综上，所求解析式为，.
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.
例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
表5.7-2
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）.
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如的函数来刻画，其中x是时间，y是水深.根据数据可以确定A，，，h的值.
解：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图5.7-4）.根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：
，，，；
由，得.
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述.
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3）：
表5.7-3
（2）货船需要的安全水深为，所以当时就可以进港.令
，
.
由计算器可得
如图5.7-5，在区间内，函数的图象与直线有两个交点A，B，因此
，或.
解得，.
由函数的周期性易得：
，
.
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
（3）设在h时货船的安全水深为m，那么（）.在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点（图5.7-6）.
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.
练习
1．某简谐运动的图象如图所示,试根据图象回答下列问题:
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的函数解析式.
2．如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)的函数关系是,.
（1）当时,求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
（2）已知,要使沙漏摆动的周期是,线的长度应当是多少(精确到)
3．一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示.由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式.
练习
4．下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙点的位置将移至何处
5．自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11．5天、14天、16．5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界目的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力．
习题 5．7
综合运用
5．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.如图是一造父变星的亮度随时间的周期变化图，此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？
6．弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：.以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题.
（1）小球在开始振动时（即）的位置在哪里？
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（3）经过多少时间小球往复振动一次？
（4）每秒钟小球能往复振动多少次？
拓广探索
7．北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间．
（1）在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；
（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？
9．夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业单位拉闸限电，而到了零时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．1.3 集合的基本运算
第一章集合与常用逻辑用语
1.3集合的基本运算
例1设，，求.
解：
.
例2设集合，集合，求.
解：
.
如图1.3-2，还可以利用数轴直观表示例2中求并集的过程.
例3立德中学开运动会，设
是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学，
是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，
求.
解：就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，
是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.
例4设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系.
解：平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点 平行或重合.
（1）直线，相交于一点P可表示为；
（2）直线，平行可表示为；
（3）直线，重合可表示为.
例5设是小于9的正整数，，，求，.
解：根据题意可知，，所以
，
.
例6设全集是三角形，是锐角三角形，是钝角三角形，求，.
解：根据三角形的分类可知
，
是锐角三角形或钝角三角形，
是直角三角形.
练习
1．设，，求，.
2．设，，求，.
3．设是等腰三角形}，是直角三角形}，求，.
4．设是幸福农场的汽车}，是幸福农场的拖拉机}，求.
练习
5．已知，，，求，.
6．设是平行四边形或梯形}，是平行四边形}，是菱形}，是矩形}，求，，.
7．图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
（1）；
（2）.
习题1.3
复习巩固
8．已知集合， ，求A∩B，A∪B.
9．设是小于的正整数 ，.求.
10．学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200 m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
（1）；
（2）.
综合运用
11．已知集合，，求，，，.
12．设集合，，求，．
拓广探索
13．已知全集，试求集合B.复习参考题3
复习参考题3
复习巩固
1．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
2．已知函数，求：
（1）；
（2）.
3．设，求证：
（1）；
（2）．
4．已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围.
5．已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.
6．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数其中x是仪器的产量（单位：台）.
(1)将利润（单位：元）表示为产量x的函数（利润=总收益-总成本）；
(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
综合运用
7．已知函数，求的值.
8．证明：
（1）若，则.
（2）若，则.
9．请解决下列问题：
（1）已知奇函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？
（2）已知偶函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？
10．某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到区间（单位：元/（）内，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（）.
（1）写出本年度电价下调后电力部门的利润（单位：元）关于实际电价（单位，元/）的函数解析式；
（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？
拓广探索
11．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？

12．试讨论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.
13．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象.
14．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系.
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
（1）根据表中提供的数据描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；
（2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
答案第1页，共2页3.4 函数的应用（一）
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式，再结合的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式.
解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得
.
令，得.
根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，.所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为.
结合3.1.2例8的解析式③，可得：
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以，函数解析式为. ④
（2）根据④，当时，.
所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元.
例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.
分析：当时间t在内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应.根据图，在时间段，，，，内行驶的平均速率分别为50，80，90，75，65，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述.
解：（1）阴影部分的面积为.
阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360.
（2）根据图，有
.
这个函数的图象如图所示.
练习
1．若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？
2．某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
3．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则：
（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；
（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.
习题3.4
综合运用
4．某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象．
5．要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？
6．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量．
拓广探索
7．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.
（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？
8．下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据：
描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．3．3 幂函数
第三章 函数的概念与性质
3．3 幂函数
例 证明幂函数是增函数.证明：函数的定义域是.
，，且，有
.
因为，，
所以，即幂函数是增函数.
练习
1．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式.
2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1），；（2），.
3．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性.
习题3．3
复习巩固
4．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
综合运用
5．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）.
6．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】直接带点计算即可.
【详解】由已知，得，即.
2．（1）；（2）.
【分析】（1）根据的单调性比较大小；
（2）根据在上的单调性比较大小.
【详解】解：（1）设，则在R上为增函数.
，.
（2）设，则在上为减函数，
，.
【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.
3．证明见解析.
【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】证明：的定义域为R.
任取，且，则.
，且，，.
，即.
在上为增函数.
又，为奇函数.
【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.
4．图像见解析，偶函数，讨论见解析
【解析】将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据幂函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性.
【详解】解：
的图象如图所示，
设的定义域为R.
，
为偶函数.
当时，为增函数，证明如下：
设任意的，且，则.
，且即.
在上为增函数.
当时，为减函数，证明如下：
设任意的，且，则.
，且，即.
在上是减函数.
【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题.
5．（1）；（2）；（3）
【解析】（1））设比例系数为，由题意可得：．
（2）代入可得．
（3）利用（2）的表达式即可得出．
【详解】解：（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为.
（2）将与代入中，有.解得，
所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为.
（3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为.
【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．图像见解析，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析
【解析】函数，可得．可得定义域，，可得，可得值域；在求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可；
【详解】解：.
列表：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
… 1 1 …
描点，连线.图象如图所示.
定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数.
证明如下：设任意的，且.则.
.
，即，在上是增函数.
设任意的，且，则.
，
，即.
在上是减函数.
是偶函数.
【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题．
答案第1页，共2页1.2 集合间的基本关系
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
例题
1．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
2．判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由.
（1），是8的约数}；
（2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}.
练习
3．写出集合的所有子集.
4．用适当的符号填空：
（1）a_____；（2）0____；（3）____；
（4）____N；（5）____；（6）____.
5．判断下列两个集合之间的关系：（1），；
（2），；
（3）是4与10的公倍数}，.
习题1．2
复习巩固
6．选用适当的符号填空：
（1）若集合，，则______， ______ ，______ ， ______
（2）若集合，则______，______ ，______ ，______；
（3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形
7．指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：
A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}.
综合运用
8．举出下列各集合的一个子集：
（1）A={是立德中学的学生}；
（2）B={是三角形}；
（3）；
（4）.
9．在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？
拓广探索
10．请解决下列问题：
（1）设，若，求的值；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.5．3 诱导公式
第五章 三角函数
5．3 诱导公式
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）： （2）；
（3）； （4）.
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
例2 化简.
解：
，
，
所以 原式.
例3 证明：
（1）；
（2）.
证明：（1）
；
（2）
.
例4 化简.
解：原式
.
例5 已知，且，求的值.
分析：注意到，如果设，，那么，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题.
解：设，，那么，从而.于是.
因为，
所以.
由，得.
所以，
所以.
练习
1．将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:
(1)________;(2)________:(3)________;
(4)________;(5)________;(6)________.
2．利用公式求下列三角函数值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
(6)．
3．化简:
(1);
(2).
4．填表:
练习
5．用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(3)(4)(6)题精确到0.0001):
(1);(2);(3);
(4);(5);(6).
6．证明:(1);
(2);
(3);
(4).
7．化简:(1);
(2);
(3).
习题 5．3
复习巩固
8．用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第（2）（3）（4）（5）题精确到0．0001）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
9．求证：
（1）；
（2）；
（3）.
10．化简：
（1）；
（2）.
11．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，分别求角的正弦、余弦函数值.
综合运用
12．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
13．已知，计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）．
14．在中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
15．已知，且，求和的值.
拓广探索
16．化简下列各式，其中：
（1）；
（2）.
17．借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系 由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？1.4 充分条件与必要条件
第一章集合与常用逻辑用语
1.4充分条件与必要条件
例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若x，y为无理数，则为无理数.
解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件.
（4）由于，但，，所以p不是q的充分条件.
（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件
（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件.
例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若为无理数，则x，y为无理数.
解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.
（2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.
（3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件.
（4）显然，，所以，q是p的必要条件.
（5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件.
（6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件.
例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：，q：，；
（4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）.
解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.
（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.
（3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.
例4已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件.
分析：设p：，q：直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.
证明：设p：，q：直线l与相切.
（1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切.
（2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，.
由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件.
1.4.1充分条件与必要条件
练习
1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；
（2）若x是无理数，则也是无理数.
3．如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.
1.4.2充要条件
练习
4．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
（2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等；
（3）为空集，与B之一为空集.
5．分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
6．证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是.
习题1.4
复习巩固
7．举例说明:
(1)p是q的充分不必要条件;
(2)p是q的必要不充分条件;
(3)p是q的充要条件.
8．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，有实数根，;
(3);
(4);
(5).
9．判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)是的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.
综合运用
10．已知A={满足条件p},B={满足条件q},
(1)如果,那么p是q的什么条件
(2)如果,那么p是q的什么条件
(3)如果,那么p是q的什么条件
11．设证明:的充要条件是.
拓广探索
12．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件
【解析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案.
【详解】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件；
（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件；
（3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件.
【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题.
2．（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件
【解析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案.
【详解】（1）这是圆的切线定义，，所以q是p的必要条件；
（2）由于是无理数，但不是无理数，，
所以q不是p的必要条件.
【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.
3．充分条件和必要条件见解析
【解析】根据可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到.
【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到，
所以 “”的充分条件：，，；
因为可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，
所以“”的必要条件：，，.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于简单题.
4．（1）p是q的充要条件；（2）p不是g的充要条件；（3）p不是q的充要条件
【解析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充要条件，得到答案.
【详解】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以，所以p是q的充要条件；
在（2）中，内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，
因此，，所以p不是q的充要条件；
在（3）中，取，，
显然，，但与均不为空集，
因此，，所以p不是q的充要条件.
【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题.
5．见解析
【解析】根据三角形全等的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得到答案.
【详解】“两个三角形全等”的充要条件如下：
①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对边对应相等.
“两个三角形相似”的充要条件如下：
①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.
【点睛】本题考查写命题的充要条件，属于简单题.
6．证明见解析
【解析】先由梯形为等腰梯形，证明，验证必要性；再由证明梯形 为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.
【详解】证明：（1）必要性.
在等腰梯形中，，，
又∵，∴，∴ .
（2）充分性.
如图，过点作，交的延长线于点E.
∵，，∴四边形是平行四边形.∴ .
∵，∴，∴.
又∵，∴，∴ .
在和中，
∴.∴.
∴梯形为等腰梯形.
由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是.
【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
7．(1)“”是“”的充分不必要条件;
(2)“”是“”的必要不充分条件;
(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件
【解析】根据充分与必要条件的概念举例即可.
【详解】(1)可根据数轴上的关系举例：“”是“”的充分不必要条件;
(2)可根据方程的根的解举例：“”是“”的必要不充分条件;
(3)可根据定理举例：“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件
【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的理解,属于基础题型.
8．(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.
【解析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.
(2)根据二次方程的根分析
(3)根据集合的基本关系分析
(4)根据集合的基本关系分析
(5)举例说明分析
【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,
故p是q的必要不充分条件.
(2) 一元二次方程有实数根则判别式.
故p是q的充要条件.
(3)因为,故且；当时不一定成立.
故p是q的充分不必要条件.
(4) 因为,故或,所以不一定成立；
当时一定成立.
故p是q的必要不充分条件.
(5) 当时,满足但不成立.
当时,满足但不成立.
故p是q的既不充分又不必要条件.
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.
9．(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.
【解析】(1)根据点与圆的位置关系判断.
(2)举例说明即可.
(3)根据集合的关系直接判断
(4)举例说明即可.
【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件.
故(1)为真命题.
(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.
故(2)为假命题.
(3)是的充要条件.
故(3)为假命题.
(4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立.
当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立.
故(4)为真命题.
【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.
10．(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.
【解析】(1) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.
(2) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.
(3) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.
【详解】(1)如果,则满足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件.
(2)如果,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件.
(3)如果,则满足条件p满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件.
【点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型.
11．见解析
【解析】分别证明充分性与必要性即可.
【详解】证明:(1)充分性:如果,
那么,
.
(2)必要性:如果,
那么,
,.
由(1)(2)知,的充要条件是.
【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.
12．为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析
【解析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可.
【详解】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是.
证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1).
显然
,即.
充分性:在中,,不是直角.
假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D.
则
.
即,与“”矛盾.
故为锐角,即为锐角三角形.

(2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是.
证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然:
.即.
充分性:在中,,
不是直角,假设为锐角,如图(1),
则
.即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.
【点睛】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,证明时注意用反证法,属于中等题型.
答案第1页，共2页4．2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
例1 已知指数函数（，且），且，求，，的值.
分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求a的值.
解：因为，且，则，解得，于是.
所以，，，.
例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则
，
.
利用计算工具可得，
当时，.
当时，.
结合图可知：
当时，，
当时，.
当时，.
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.
（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为.
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么.
当时，利用计算工具求得.
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
例3 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来.
解：（1）和可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数，所以指数函数是增函数.
因为，所以.
（2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数.
因为，所以.
（3）由指数函数的性质知，，
所以.
例4 如图，某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
4.2.1 指数函数的概念
练习
1．下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，且，，求函数的一个解析式.
3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
4.2.2 指数函数的图象和性质
练习
4．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.
5．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
6．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
习题4.2
复习巩固
7．求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；（4）.
8．一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式.
9．比较满足下列条件的m，n的大小：
（1）； （2）；
（3）；（4）.
10．设函数，且.
（1）求函数的增长率r；（2）求的值.
综合运用
11．求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数的数据如下表：
x 0 1 2
3.50 4.20 5.04
（2）函数的图象如图：
12．比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
13．当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？
14．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.
（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
拓广探索
15．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
16．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).
（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
（2）如果f(x)第二章一元二次函数 方程和不等式
2.2基本不等式
例1已知，求的最小值.
分析：求的最小值，就是要求一个，使，都有.观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到.
解：因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2.
例2已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值.
证明：因为x，y都是正数，所以.
（1）当积等于定值P时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值.
（2）当和等于定值S时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.
例3（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆的长度为.
（1）由已知得.
由，
可得，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.
（2）由已知得，矩形菜园的面积为.
由，
可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81.
例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为m，m，水池的总造价为z元.根据题意，有
.
由容积为4800，可得，
因此.
所以，
当时，上式等号成立，此时.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
练习
1．已知、，求证：.
2．已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
3．当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？
4．已知，求的最大值.
5．已知直角三角形的面积等于，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
练习
6．用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
7．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
8．做一个体积为,高为2的长方形纸盒,底面的长与宽分别取什么值时用纸最少？
9．已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
习题2.2
复习巩固
10．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
11．（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
12．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
综合运用
13．已知、、都是正数，求证：.
14．已知，求证：的最大值是.
15．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
拓广探索
16．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
17．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．证明见解析
【解析】利用作差法可证明出所证不等式成立.
【详解】，，即.
【点睛】本题考查利用作差法证明基本不等式的变形，考查推理能力，属于基础题.
2．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证；
（2）由基本不等式得，可得证.
【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
3．或时，取得最小值，最小值为.
【解析】利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出对应的的值，从而可得出结论.
【详解】，当且仅当，即时等号成立.
所以，当或时，取得最小值，最小值为.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
4．
【解析】分和两种情况讨论，在时，将代数式变形为，利用基本不等式的变形可求出的最大值，综合可得出结论.
【详解】当时，.
当时，，，，
当且仅当，即时取等号.
的最大值为，此时.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
5．20
【分析】设两条直角边分别为，，然后表示三角形的面积，最后根据基本不等式，求两条直角边的和.
【详解】解：设三角形两直角边分别为，，则面积，所以，
故，当且仅当时，取等号.
所以，当直角三角形直角边都为10时，两条直角边的和最小为20.
6．矩形的一边长为时，面积最大.
【解析】设该矩形的长 宽分别为，，由题中条件，得到，利用基本不等式，即可求出面积的最大值.
【详解】设该矩形的长 宽分别为，，则，
故该矩形的面积为，
当且仅当时，等号成立；
即矩形的一边长为时，面积最大为25.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7．当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
【解析】设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，由题意得出，利用基本不等式可求出菜园面积的最大值，利用等号成立的条件可求出矩形的边长，进而可得出结论.
【详解】设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，
则，.
由基本不等式得.
当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是.
因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要结合定值条件对所求代数式进行合理配凑，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
8．底面的长与宽都为4时用纸最少.
【分析】设底面的长为，则宽为，然后要使用纸最少，只需表示出表面积，利用基本不等式求出最值即可．
【详解】设底面的长为x，宽为，
当且仅当时，用纸最少为64.
底面的长与宽都为4时用纸最少．
【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，属于基础题．
9．矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.
【分析】首先设矩形的长为，宽为，根据矩形的周长可以得到，再写出旋转形成的圆柱的侧面积表达式，利用基本不等式即可求得侧面积的最大值，由此可得结果.
【详解】设矩形的长为，宽为，
∵矩形的周长为36，∴，∴，
而旋转形成的圆柱的侧面积为，
当且仅当，即时等号成立.
∴当矩形的长、宽均为9时，旋转形成的圆柱侧面积最大.
答：矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.
10．（1）；（2）.
【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值.
【详解】（1），，，
当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；
（2）由知.
当或时，；
当时，，由基本不等式可得.
当且仅当，即当时等号成立.
综上，的最大值为.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”.
11．（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81
【分析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；
（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．
【详解】设两个正数为a，b
（1），则，当且仅当等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2），则当且仅当等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
【点睛】本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．
12．当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
【解析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号求出对应的值，综合可得出结论.
【详解】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.
答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
13．见解析
【解析】由基本不等式可得出，，，然后利用不等式的性质可得出结论.
【详解】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性质可得，
当且仅当时等号成立.
【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，涉及不等式性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
14．见解析
【解析】利用基本不等式与不等式的性质可证明出结论.
【详解】，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最大值是.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
15．
【解析】设，，根据题中信息求出和的值，进而可得出两项费用之和关于的表达式，利用基本不等式可求出的最小值，由等号成立求出对应的值，进而可得出结论.
【详解】设，，当时，，，，，
，，两项费用之和为.
当且仅当时，即当时等号成立.
即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为万元.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
16．大于，理由见解析
【解析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金大于.
【点睛】本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．最大面积是，.
【解析】由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.
【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.5．2 三角函数的概念
第五章 三角函数
5．2 三角函数的概念
例题
1．求的正弦、余弦和正切值.
2．如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，求证：，，.
3．求证角为第三象限角的充要条件是
4．确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
（1）；（2）；（3）；（4）.
5．求下列三角函数值：
（1）（精确到0.001）；（2）；（3）.
6．已知，求，的值.
7．求证：．
5．2．1 三角函数的概念
练习
8．利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值.
9．利用三角函数定义，求的三个三角函数值．
10．已知角的终边过点，求角的三角函数值.
11．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s.求2 s时点P所在的位置.
练习
12．填表：
13．设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？
14．确定下列三角函数值的符号：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
15．对于，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是_____；
（2）角为第二象限角的充要条件是_____；
（3）角为第三象限角的充要条件是_____；
（4）角为第四象限角的充要条件是______.
16．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
5．2．2 同角三角函数的基本关系
练习
17．已知，且为第三象限角，求，的值.
18．已知，求，的值.
19．已知，求，的值（精确到）.
20．化简：
（1）；
（2）；
（3）.
21．求证：.
习题 5．2
复习巩固
22．用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求.
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
25．化简：
（1）；
（2）；
（3）.
（4）.
26．确定下列三角函数值的符号：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
27．（1）已知，且为第四象限角，求的值；
（2）已知，且为第二象限角，求的值；
（3）已知，求的值；
（4）已知，求的值（精确到0.01）.
综合运用
28．分别根据下列条件求函数的值：
（1）；
（2）.
29．确定下列式子的符号
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
30．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）；
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
31．求证：
（1）角为第二或第三象限角的充要条件是；
（2）角为第三或第四象限角的充要条件是；
（3）角为第一或第四象限角的充要条件是；
（4）角为第一或第三象限角的充要条件是.
32．已知，求的值.
33．已知，求的值.
34．已知角的终边不在坐标轴上，
（1）用表示；
（2）用表示.
35．求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
36．已知，求的值.
拓广探索
37．化简，其中为第二象限角.
38．是的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
39．（1）分别计算和的值，你有什么发现？
（2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？
（3）证明：.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，，
【解析】求出的终边与单位圆的交点即可
【详解】在直角坐标系中，作（如图），
易知的终边与单位圆的交点坐标为.
所以，，，.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
2．见解析
【解析】设角的终边与单位圆交于点，分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，利用即可证明.
【详解】如图，设角的终边与单位圆交于点.
分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，
则，，，，
因为
所以，即.因为与y同号，所以，即.
同理可得，
【点睛】只要知道角终边上任意一点P的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变.
3．见解析
【解析】根据象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号证明即可
【详解】因为角为第三象限角
所以，
反过来：
由得
由得
所以
所以角为第三象限角
所以角为第三象限角的充要条件是
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
4．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】判断出每个角所在的象限即可
【详解】（1）因为是第三象限角，所以；
（2）因为是第四象限角，所以；
（3）因为，而是第一象限角，所以；
（4）因为，而的终边在x轴上，所以.
【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.
5．（1）；（2）；（3）
【解析】由，，求出即可
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.
6．见解析
【解析】分角为第三和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数的基本关系可得解.
【详解】因为，，所以是第三或第四象限角.
由得.
如果是第三象限角，那么，于是，
从而；
如果是第四象限角，那么，.
综上所述，当是第三象限角时，，；当是第四象限角时，，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
7．证明见解析
【分析】方法一：式子左边分子分母同乘以，再利用平方关系，变形分子即可得证.
【详解】[方法一]：【最优解】
左边＝＝＝＝＝右边，等式成立.
[方法二]：
右边＝＝＝＝＝左边，等式成立.
[方法三]：
左边＝，
右边＝＝＝，∴左边＝右边，∴等式成立.
[方法四]：
∵－＝＝＝0.
∴等式成立.
[方法五]：
左边＝＝＝＝＝右边.
[方法六]：
∵(1－sin α)(1＋sin α)＝1－sin2α＝cos2α，∴＝.
[方法七]：
若证＝成立，只需证cos α·cos α＝(1－sin α)(1＋sin α)，
即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，∴原等式＝成立.
【整体点评】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；
方法二：利用平方关系，从右边证到左边；
方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；
方法四： 利用作差法证出；
方法五：利用平方关系，从左边证到右边；
方法六：根据平方关系变形证出；
方法七：根据分析法证出.
8．；；.；；不存在；
；；.；；不存在.
【解析】分别找出角0，，，与单位圆的交点即可
【详解】因为0的终边与单位圆的交点是
所以；；
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；不存在；
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；.
因为的终边与单位圆的交点是
所以；；不存在.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
9．，，．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的三个三角函数值．
【详解】解：在角的终边上任意取一点，，则，，，
，，．
10．；；
【解析】先算出，然后即得，，
【详解】
所以，，
【点睛】设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，则，，.
11．P
【解析】设P点坐标为，，由和即可得出答案.
【详解】设P点坐标为，.∵，∴，
∵，∴，∴点P的坐标为.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
12．见解析
【解析】根据三角函数的定义及诱导公式填表即可
【详解】
0 0
1 -1
0 0 -1
【点睛】本题考查的是三角函数的定义及诱导公式，较简单.
13．和有可能取负值
【分析】直接根据角所在象限确定正负值.
【详解】当是钝角时，和取负值，
当时，，此时和均为正值.
即是三角形的一个内角时，和有可能取负值.
14．（1）正；（2）负；（3）0；（4）负；（5）正；（6）正.
【解析】判断出每个角的终边所在象限即可
【详解】因为的第二象限角，所以的符号为正
因为，所以是第三象限角
所以的符号为负
因为，所以的终边在轴负半轴
所以
因为，所以是第四象限角
所以的符号为负
因为，所以是第二象限角
所以的符号为正
因为，所以是第三象限角
所以的符号为正.
【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.
15． ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ ②③或②⑥或③⑥或②③⑥
【解析】根据三角函数在各个象限中的符号即可填出答案
【详解】角为第一象限角的充要条件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤
角为第二象限角的充要条件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥
角为第三象限角的充要条件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤
角为第四象限角的充要条件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥
故答案为：(1). ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ (2). ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ (3). ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ (4). ②③或②⑥或③⑥或②③⑥
【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.
16．（1）0.8746；（2）；（3）0.5；（4）1.
【解析】利用诱导公式把每个角转化到即可
【详解】
【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数值，较简单.
17．，
【解析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可得解.
【详解】，且为第三象限角，，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
18．见解析
【解析】分角为第二和第四象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的商数关系和平方关系建立有关和的方程组，即可得出，的值.
【详解】，为第二或第四象限角，
又，.代入，得.
当为第二象限角时，，；
当为第四象限角时，，.
综上所述，当为第二象限角时，，；当为第四象限角时，，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，建立有关和的方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
19．见解析
【解析】分角为第一和第二象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系可求得，的值.
【详解】，为第一或第二象限角.
当为第一象限角时，，；
当为第二象限角时，，.
综上所述，当为第一象限角时，，；当为第二象限角时，，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，要注意对角的象限分类讨论，考查计算能力，属于基础题.
20．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由代入化简即可得解；
（2）将等式代入分式化简计算即可；
（3）由代入化简计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，考查计算能力，属于基础题.
21．证明见解析
【解析】在等式左边提公因式，结合化简计算即可证得所证等式成立.
【详解】左边右边.
【点睛】本题考查三角恒等式的证明，考查同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
22．(1)， ，;
(2)，，
(3)，，
(4)，，
【分析】对于各个角，直接利用诱导公式一和三角函数定义化简求解三个三角函数值即可．
(1)
解：；
；
．
(2)
解：；
；
；
(3)
解： ；
；
.
(4)
解：；
；
.
23．见解析
【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.
【详解】r＝＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝；
当a＜0时，r＝－5a，
∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= .
24．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
（2）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
（3）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
（4）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
【详解】（1）根据三角函数定义可得
（2）根据三角函数定义可得
（3）根据三角函数定义可得
（4）根据三角函数定义可得
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题.
25．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解.
（2）根据三角函数定义,分别求得的值, 代入即可求解.
（3）根据三角函数定义,分别求得的值, 代入即可求解.
（4）根据三角函数定义,分别求得的值, 代入即可求解.
【详解】（1）根据三角函数定义可得
（2）根据三角函数定义可得
.
（3）根据三角函数定义可得
.
（4）根据三角函数定义可得
.
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题.
26．(1)负
(2)负
(3)负
(4)正
(5)负
(6)负
【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可．
(1)
解：因为为第三象限角，所以为负；
(2)
解：因为为第二象限角，所以为负；
(3)
解：因为为第四象限角，所以为负；
(4)
解：因为为第一象限角，所以为正；
(5)
解：因为为第三象限角，所以为负；
(6)
解：因为为第二象限角，所以为负．
27．（1）；
（2）；
（3）当为第二象限角时，；当为第四象限角时，；
（4）当为第一象限角时，；当为第四象限角时，.
【解析】根据同角三角函数关系式,结合角的取值范围,即可求解.
【详解】（1）由,得
为第四象限角,
（2）由,得
为第二象限角
（3）
∴为第二或第四象限角
当为第二象限角时,；
当为第四象限角时,.
（4）
为第一或第四象限角
当为第一象限角时,；
当为第四象限角时,.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,在使用时要特别注意角的取值范围,属于基础题.
28．（1）1；（2）-1
【分析】（1）直接将代入计算即可；
（2）直接将代入计算即可.
【详解】解：（1）当时，
.
（2）当时，
29．（1）正；（2）负；（3）负；（4）正
【解析】根据角所在的象限,判断三角函数的符号,即可判断各自的符号.
【详解】（1）
∴原式为正；
（2）
∴原式为负；
（3）
∴原式为负；
（4）
∴原式为正.
【点睛】本题考查了三角函数在四个象限的符号判断,属于基础题.
30．（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045.
【解析】根据诱导公式将三角函数进行化简,借助计算器即可求解.
【详解】（1）
由计算器可得
（2）
（3）
由计算器可得
（4）.
由计算器可得
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的化简,计算器计算三角函数值,属于基础题.
31．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析
【解析】根据角所在的象限,可得三角函数的符号;同理根据三角函数符号,可判断角所在的象限,结合充要条件的判定方法即可证明.
【详解】（1）证明:当角为第二象限角时,,所以；
当角为第三象限角时,,所以.
所以当角为第二或第三象限角时,.
因为,所以；或.
当时,角为第二象限角
当时,角为第三象限角
所以当时,角为第二或第三象限角.
综上所述,原命题成立
（2）证明:当角为第三象限角时,,所以；
当角为第四象限角时,,所以.
所以当角为第三或第四象限角时,.
因为,所以；或.
当时,为第三象限角；
当时,为第四象限角
所以当时,角为第三或第四象限角.
综上所述,原命题成立.
（3）证明:当角为第一或第四象限角时,与同号,所以
当时,与同号
所以角为第一或第四象限角.综上所述,原命题成立.
（4）证明:当角为第一或第三象限角时,与同号,所以；
当时,与同号
所以角为第一或第三象限角,综上所述,原命题成立
【点睛】本题考查了三角函数在四个想象符号的判断,充分必要条件的证明,属于基础题.
32．为第三象限角，； 为第四象限角，.
【解析】讨论为第三象限角或第四象限角.结合同角三角函数关系式即可求解.
【详解】
为第三或第四象限角.
由可得
而
当为第三象限角时,
当为第四象限角时,
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,注意讨论角所在的象限,属于基础题.
33．
【解析】根据的值及的范围,可求得的值,进而求得的值即可.
【详解】
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数,特殊角三角函数值求法,属于基础题.
34．（1）见解析；（2）见解析
【解析】讨论角所在的象限,结合同角三角函数关系式,即可得解.
【详解】（1）当角是第一、二象限角时,.
当角是第三、四象限角时,.
（2）当角是第一、四象限角时,.
当角是第二、三象限角时,.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,属于基础题.
35．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析
【解析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明.
【详解】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得
而右边
所以原式得证.
（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得
而右边
原式得证.
（3）证明:
而右边
原式得证
（4）证明:由同角三角函数关系式可知
而右边
原式得证
【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.
36．3
【解析】根据同角三角函数关系式及齐次式的化简,即可求解.
【详解】
∴
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,齐次式形式的化简,属于基础题.
37．
【解析】根据角为第二象限角,结合同角三角函数关系式,化简即可得解.
【详解】为第二象限角,
∴
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式在三角函数式化简中的应用,注意角的范围对三角函数符号的影响,属于基础题.
38．见解析
【解析】根据,两边同时平方可得变形式;同时除以可得变形式.
【详解】由,两边同时平方可得
所以是的一个变形；
由,等式两边同时除以,可得,所以
是和的变形.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的变形应用,属于基础题.
39．（1）， 发现：.
（2），发现：.
（3）证明见解析
【解析】根据特殊角三角函数值求法,可解（1）（2）;根据同角三角函数式关系式,可证明（3）.
【详解】（1）根据特殊角三角函数值计算可知
所以
（2）取
则
所以.
（3）证明:
所以.
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的求法,三角函数式的简单证明,属于基础题.5．5 三角恒等变换
第五章 三角函数
5．5 三角恒等变换
例1 利用公式证明：
（1）； （2）.
证明：（1）
.
（2）
.
例2 已知，，，是第三象限角，求的值.
解：由，，得
.
又由，是第三象限角，得
.
所以
.
例3 已知，是第四象限角，求，，的值.
解：由，是第四象限角，得，
所以.
于是有
；
；
.
例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.
解：（1）由公式，得
.
（2）由公式，得
.
（3）由公式及，得
.
例5 已知，，求，，的值.
分析：已知条件给出了的正弦函数值.由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
解：由，得.
又，
所以.
于是
；
；
.
例6 在中，，，求的值.
解法1：在中，
由，，得，
所以，
.
又，
所以.
于是.
解法2：在中，
由，，得，
所以，
又，
所以，.
所以
.
例7 试以表示，，.
解：是的二倍角.在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以. ①
在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以. ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得.
例8 求证：
（1）；
（2）.
证明：（1）因为
，
将以上两式的左右两边分别相加，得，
即.
（2）由（1）可得. ①
设，，
那么，.
把，的值代入①，即得.
例9 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）； （2）.
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式.反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了.
解：（1）
.
因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2.
（2）设，则.
于是，，
于是，
所以.
取，则，.
由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为-5.
例10 如图5.5-2，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
分析：可先建立矩形的面积S与之间的函数关系，再求函数的最大值.
解：在中，，.
在中，.
所以，
.
设矩形的面积为S，则
.
由，得，所以当，即时，
.
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.
5．5．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习
1．利用公式证明：
（1）； （2）．
2．利用公式求的值.
3．已知，，求的值．
4．已知，是第二象限角，求的值.
5．已知，，，，求的值.
练习
6．利用和（差）角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
7．（1）已知，，求的值；
（2）已知，是第三象限角，求的值；
（3）已知，求值．
8．求下列各式的值：
(1)；
(2)
(3)
(4)；
(5)；
(6)．
9．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
10．已如，是第三象限角，求的值.
练习
11．已知，，求，，的值.
12．已知，求的值.
13．已知，，求的值.
14．已知，求的值.
15．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．5．2 简单的三角恒等变换
练习
16．求证：.
17．已知，且，试求和的值.
18．已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切.
19．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
20．求证：（1）；
（2）；
（3）.
练习
21．求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）；（2）.
22．要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
23．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R.求证.
习题 5．5
复习巩固
24．已知，，，，求的值.
25．已知都是锐角，，求的值.（提示：.）
26．已知，，求的值.
27．在中，，求的值.
28．已知，求的值.
29．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
30．已知，求的值（精确到0.01）.
31．求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
32．已知；
（1）求证：；（2）求证：．
33．已知，求证.
34．已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切.
35．化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
综合运用
36．在中，已知是x的方程的两个实根，求.
37．在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A． B． C． D．
38．求证：
（1）；
（2）.
39．是否存在锐角，使得：，同时成立？若存在，求出锐角的值；若不存在，说明理由.
40．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数的最大值和最小值.
拓广探索
41．观察以下各等式：
，
，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
42．你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
；
.
43．设.利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想x取一般值时的取值范围.5．6 函数 y=Asin(ωx+φ)
第五章 三角函数
5．6 函数
例1 画出函数的简图.
解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图5.6-7所示.
下面用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象.
令，则.列表（表5.6-1），描点画图（图5.6-8）.
表5.6-1
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.
解：如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，.
（2）当时，.
所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.
（3）如图5.6-10，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过min后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差
，
利用，可得，.
当（或），即（或22.8）时，h的最大值为.
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
练习
1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
（1）；（2）；（3）；（4）.
2．已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ）.
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
3．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点
A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变.
B．横坐标缩短为原来的倍， 纵坐标不变.
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变.
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.
4．已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
5．函数的图象与正弦曲线有什么关系？
6．函数，的图象与正弦曲线有什么关系？
习题 5．6
复习巩固
1．选择题
7．为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
8．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
9．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
10．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
11．说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）：
（1）；
（2）.
综合运用
12．函数在一个周期内的图象如下图，此函数的解析式为______．
13．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，求的解析式.
14．某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中．
15．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为.
（1）求的值（精确到0.0001）
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到0.01s）？
答案第1页，共2页复习参考题5
复习参考题5
复习巩固
1．写出与下列各角终边相同的角的集合S，并且把S中适合不等式的元素写出来：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）0.
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数（精确到1°）
3．（1）已知，求.
（2）已知，求角x的三个三角函数值.
4．已知，计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．计算（可用计算工具，第（2）（3）题精确到0.0001）
（1）；
（2）
（3）.
6．设，填表：
-1
7．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的x的集合
（1）；
（2）.
8．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数的图象经过怎样的变化得到.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
9．（1）用描点法画出函数的图象.
（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得到函数的图象？
（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得到函数（都是常数）的图象？
10．不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它们的图象:
（1）；
（2）.
11．（1）已知都是锐角，，求的值；
（2）已知，求的值
（3）已知都是锐角，，求的值.
12．（1）证明：；
（2）求的值；
（3）若，求的值.
（4）求的值.
13．化简：
（1）；
（2）
（3）；
（4）
14．（1）已知，求的值
（2）已知，求的值
（3）已知，求的值；
（4）已知，求的值.
15．（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
综合运用
16．证明
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
17．已知，，的值．
18．已知，，求的值．
19．已知，求证.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
21．已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的x的取值集合.
22．已知函数在区间上的最大值为6，
（1）求常数的值；
（2）当时，求函数的最小值，以及相应x的集合.
23．如图正方形的边长为,分别为边上的点,当的周长为时,求的大小.
拓广探索
24．已知，
（1）求的值；
（2）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？
25．如图，已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C.设.
（1）写出面积关于角的函数解析式.；
（2）画出上述函数的图象；
（3）由（2）中的图象求的最小值.
26．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算，就得到.试用你的计算工具计算，并与上述结果比较.
27．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.
（1）如图，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据，请根据数据完成下面的表格（计算结果精确到0.0001）；
观测站
A B C
观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角/度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度/度
太阳直射点的纬度平均值/度
（2）设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y,该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4392911，试利用（1）中的数据，估计的值（精确到）；
（3）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精确到00001）；
（4）利用（3）的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】根据终边相同的角的概念，写出与所求角的终边相同的角的集合，再求出中适合条件的元素值．
【详解】解：（1）与角终边相同的角的集合，
中适合不等式的元素是：、、；
（2）与角终边相同的角的集合，
中适合不等式的元素是：、、；
（3）与角终边相同的角的集合，
中适合不等式的元素是：、、；
（4）与角0终边相同的角的集合，
中适合不等式的元素是：、0、．
【点睛】本题考查了与已知角终边相同的角的概念的应用问题，属于基础题．
2．
【解析】设这个扇形中心角的弧度数为，半径为．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
【详解】解：设这个扇形中心角的弧度数为，半径为．
一个扇形的弧长与面积的数值都是5，
，，
解得．
所以
【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
3．（1）当为第一象限角时，；当为第四象限角时，；
（2）当x为第一象限角时，，当x为第三象限角时，，
【解析】（1）讨论在第一、四象限，运用同角三角函数的平方关系和商数关系，即可得到所求值．
（2）运用同角的基本关系式：平方关系和商数关系，即可得到所求的三角函数值．
【详解】（1），
是第一或第四象限角.
当为第一象限角时，，
；
同理当为第四象限角时，；
（2），
.
是第一或第三象限角.
解得或
所以当为第一象限角时，
，，
当为第三象限角时，，，
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的运用：求三角函数值，考查运算能力和转化思想，属于基础题．
4．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系将正余弦齐次式化为正切，再代入计算；
（2）根据平方关系，将变形为，再弦化切计算可得；
（3）将式子看作分母为的分数，将变形为，再弦化切计算可得；
（4）利用完全平方公式拆开，结合（3）即可计算.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
（4）原式.
【点睛】本题考查齐次式的计算，同角三角函数的应用，属于基础题.
5．（1）；（2）；（3）；
【解析】（1）先用诱导公式化简，再求值即可；
（2）利用科学型计算器求值即可；
（3）利用科学型计算器计算即可．
【详解】解:（1）原式
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了三角函数求值应用问题，属于基础题．
6．见解析
【解析】根据特殊角的三角函数及诱导公式计算可得.
【详解】解：
-1
0
1 不存在 -1
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值以及诱导公式的应用，属于基础题.
7．（1）最大值：， ；最小值：， .
（2）最大值为5， ；最小值为1， .
【解析】（1）直接根据时，该函数取得最值；
（2）根据，该函数取得最值，
【详解】解：（1）令，此时，，函数有最大值，
令，此时，，函数有最小值，
（2）令，此时，，函数有最大值，
令，此时，，函数有最小值，
【点睛】本题重点考查了正弦余弦函数的性质、函数的最值等知识，解题关键是熟练掌握正弦函数的图象，属于基础题．
8．（1）图像见解析，变化过程见解析；
（2）图像见解析，变化过程见解析；
（3）图像见解析，变化过程见解析；
（4）图像见解析，变化过程见解析；
【解析】依题意，根据函数的解析式，根据函数图象变换规律，写出图象变换过程即可得解．
【详解】解：（1）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：

变换过程：
（2）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：
变换过程：
（3）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：

变换过程：
.
（4）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：
变换过程：
【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及函数图象之间的变化关系．本题属于中档题．
9．（1）图像见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）计算出几个特殊点的坐标，描点连线即可．
（2）利用正弦函数的对称性即可作图．
（3）利用函数的图象变换规律即可得解．
【详解】解：解：（1）取点列表如下：
0
0 0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.98 1
描点作图如下：
（2）由，可知的图象关于直线对称，据此可得出函数的图象；又由，可知函数的图象关于点对称，据此可得出函数的图象.
（3）把轴向右（当时）或向左（当时）平行移动个单位长度，再把轴向下（当时）或向上（当时）平移个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动个单位长度，并擦去之外的部分，就可得出函数的图象.
【点睛】本题主要考查了五点法作函数的图象，函数的图象变换规律，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
10．（1）振幅是1，周期是，初相是，方法见解析；（2）振幅是2，周期是，初相是0，方法见解析
【解析】根据三角函数中振幅，频率和初相的意义，利用图象平移法则，求解即可．
【详解】解：（1）函数的振幅为，最小正周期为，初相为；
把正弦曲线向左平行移动个单位长度，可以得出函数的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），就可得出函数的图象.
（2）函数的振幅为，最小正周期为，初相为；
把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），可以得出函数的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得出函数的图象.
【点睛】本题主要考查了三角函数，和的意义，以及三角函数图象变换问题，属于基础题．
11．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值．
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值．
（3）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
【详解】（1）已知，都是锐角，，．
，，
.
（2），
，
又，
，，
.
.
（3）已知，都是锐角，，，，，，
．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于中档题．
12．（1）证明见解析；（2）；（3）2（4）
【解析】分别根据两角和的正切公式即求出或证明．
【详解】（1）证明：
=右边，
（2）解：.
（3）解：
.
（4）解：，
．
【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了运算求解能力和转化与划归思想，属于中档题．
13．（1）4；（2）-1（3）-1；（4）1
【解析】（1）利用辅助角公式及二倍角公式计算可得；
（2）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；
（3）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；
（4）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【点睛】此题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
14．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）由，利用同角的三角函数关系求出，再计算的值；
（2）由，两边平方利用二倍角正弦公式求出的值；
（3）由，根据平方公式和二倍角公式求出的值；
（4）由，利用平方关系结合题意求得的值．
【详解】解：（1）由，，
得，
所以；
（2）由，
所以，
解得；
（3）由，
得，
解得，则；
（4）由，得：
．
【点睛】本题考查了三角函数的求值与应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，属于中档题．
15．（1）；（2）
【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简可求进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．
（2）将两边同时平方，再相加即可得解；
【详解】解：（1），
．
（2）因为，，
所以，，
上述两式相加得
即解得
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析
【解析】（1）利用二倍角公式即可证明；
（2）利用二倍角正弦公式及商数关系即可证明；
（3）利用两角和的正弦公式化简证明；
（4）利用二倍角余弦公式及完全平方公式化简证明；
【详解】证明：（1）左边
右边
（2）左边右边.
（3）左边
右边
（4）左边右边.
【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，三角恒等变换公式是的灵活应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
17．.
【分析】依题意可得，且，. 然后可得，，进而可得.
【详解】将平方得，所以，所以.
所以，从而.
联立，得.
所以，.
故.
18．
【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得，然后利用条件可求出答案.
【详解】［方法一］：根据已知角化简
，，，．
，．
［方法二］：直接展开求
，得，
平方得=，，
，原式=＝－．
［方法三］：【最优解】逆用两角和的正切公式和二倍角公式
因为，，所以，即
原式＝=，
，原式=．
［方法四］：整体法求
因为，，所以，
=，
又，所以=－，=7，原式＝－．
【整体点评】方法一：将所求式化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出；
方法二：直接根据两角和的余弦公式展开以及平方关系求，化切为弦求出；
方法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解；
方法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出，是该题的通性通法．
19．证明见解析
【解析】由，得到，把已知两等式代入，整理即可得证．
【详解】证明：，
，
把，代入得：，
即，
整理得：．
．
，
两边平方可得：．
【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
20．（1），（2），时
【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；
（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
故的最小正周期；
（2）由可得，，
当得即时，函数取得最小值．所以，时
21．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）利用两角和与差的公式化简成为的形式，根据三角函数的性质可得的值．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（3）根据三角函数的性质求解成立的的取值集合．
【详解】（1）由题意：函数，
化简得：
，
的最大值为1，
，解得：．
（2）由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：，．
即，
解得：，，
的单调递减区间为；
（3）由题意：，即，
可得：．
，．
解得：．
成立的的取值范围是．
【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．
22．（1）（2），.
【解析】（1）先利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据的范围求函数的最大值，然后让最大值等于6，求出的值；
（2）当时，根据正弦函数的性质求函数的最小值及取到最小值时的的值．
【详解】解：
，
，，
，
所以函数的最大值为，
，，
（2）由（1）得，
当时，函数的最小值为2，
此时，解得
即时取最小值．
【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，要注意的取值范围，属于基础题．
23．
【详解】试题分析：分析设出角，然后借助于正方形的性质得到
结合内角和为直角，间接法得到
进而表示所求的角的大小．
设则,则
即
考点：本题主要是考查运用三就爱哦函数表示边长，进而结合两角和差的关系式得到结论．
点评：解决该试题的关键是能根据边表示出的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．
24．（1）；（2）见解析
【解析】（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出的值，进而求出的值，联立求出与的值，即可确定出的值；
（2）求出的值．
【详解】解：（1）将已知等式①，两边平方得：，即，
，
，
，，即，
②，
联立①②得：，，
则；
（2）根据所给条件，可求得仅由表示的三角函数式的值，例如，等.
如，，
．
【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
25．（1）；（2）图像见解析；（3）
【解析】1）用，表示出，，得出；
（2）根据的单调性作出图象；
（3）根据图象得出最小值．
【详解】解：（1），，，
，，
，
，，
．
（2）作出函数的图象如图：
（3）由（2）中图象可知：当，即时，取最小值，的最小值为.
【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数图象与函数最值，属于基础题．
26．见解析
【解析】用前5项计算，即
【详解】解：依题意，用前5项计算，即
．
与用前三项计算的结果比较可以发现，用前5项计算的结果精确度更高，同时可知，当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求．
【点睛】本题主要考查对新定义的理解应用能力．本题属基础题．
27．（1）见解析；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）根据所给公式及数据计算可得；
（2）在中，，且过点代入利用反三角计算可得；
（3）根据周期公式计算可得；
（4）由（3）即可得到方程，计算可得
【详解】解：（1）由，且第
观测站
A B C
观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角/度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度/度
太阳直射点的纬度平均值/度
（2）在中，，且过点
（3）
（4）设应设定个闰年，则平年有个
解得
【点睛】本题考查三角函数的应用，借助计算工具得以实现，属于中档题.
答案第1页，共2页5．2 三角函数的概念
第五章 三角函数
5．2 三角函数的概念
例题
1．求的正弦、余弦和正切值.
2．如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，求证：，，.
3．求证角为第三象限角的充要条件是
4．确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
（1）；（2）；（3）；（4）.
5．求下列三角函数值：
（1）（精确到0.001）；（2）；（3）.
6．已知，求，的值.
7．求证：．
5．2．1 三角函数的概念
练习
8．利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值.
9．利用三角函数定义，求的三个三角函数值．
10．已知角的终边过点，求角的三角函数值.
11．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s.求2 s时点P所在的位置.
练习
12．填表：
13．设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？
14．确定下列三角函数值的符号：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
15．对于，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是_____；
（2）角为第二象限角的充要条件是_____；
（3）角为第三象限角的充要条件是_____；
（4）角为第四象限角的充要条件是______.
16．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
5．2．2 同角三角函数的基本关系
练习
17．已知，且为第三象限角，求，的值.
18．已知，求，的值.
19．已知，求，的值（精确到）.
20．化简：
（1）；
（2）；
（3）.
21．求证：.
习题 5．2
复习巩固
22．用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求.
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
25．化简：
（1）；
（2）；
（3）.
（4）.
26．确定下列三角函数值的符号：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
27．（1）已知，且为第四象限角，求的值；
（2）已知，且为第二象限角，求的值；
（3）已知，求的值；
（4）已知，求的值（精确到0.01）.
综合运用
28．分别根据下列条件求函数的值：
（1）；
（2）.
29．确定下列式子的符号
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
30．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）；
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
31．求证：
（1）角为第二或第三象限角的充要条件是；
（2）角为第三或第四象限角的充要条件是；
（3）角为第一或第四象限角的充要条件是；
（4）角为第一或第三象限角的充要条件是.
32．已知，求的值.
33．已知，求的值.
34．已知角的终边不在坐标轴上，
（1）用表示；
（2）用表示.
35．求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
36．已知，求的值.
拓广探索
37．化简，其中为第二象限角.
38．是的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
39．（1）分别计算和的值，你有什么发现？
（2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？
（3）证明：.4．3 对数
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；（5）；
（6）.
例2 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.又，所以.
（3）因为，所以，，
于是.
（4）因为，所以，，
于是.
例3 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）；
（2）
.
例4 用，，表示.
解：
.
例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.
由，可得
，.
于是，
.
利用计算工具可得，.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
4.3.1 对数的概念
练习
1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
2．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
3．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
4.3.2对数的运算
练习
4．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
5．用表示下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
6．.化简下列各式：
（1）；
（2）.
习题4.3
复习巩固
7．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
8．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,且
9．对数与互为相反数，则有（ ）
A． B． C． D．
10．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
11．求满足下列条件的x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
综合运用
12．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
13．求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
14．证明：
（1）；
（2）.
15．某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？
拓广探索
16．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
17．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据指数与对数的关系（且）计算可得；
(1)
解：因为，所以；
(2)
解：因为，所以；
(3)
解：因为，所以；
(4)
解：因为，所以；
(5)
解：因为，所以；
(6)
解：因为，所以；
2．(1)2
(2)0
(3)-1
(4)-3
【分析】利用对数的运算求解.
(1)
解：；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
3．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据指数与对数的关系（且）计算可得；
(1)
解：因为，所以；
(2)
解：因为，所以，所以，因为且，所以；
(3)
解：因为，所以，所以；
(4)
解：因为，所以，即，所以，所以
4．(1)7
(2)1
(3)0
(4)-1
【分析】利用对数的运算求解.
(1)
解：；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
5．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）由对数运算法则：，即可得出表达式；
（2）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
（3）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
（4）由对数运算法则：和，即可得出表达式；
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题主要考查对数的运算，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于基础题型.
6．（1）1；（2）
【解析】根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简即可得解.
【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得
（2）根据对数的运算性质,化简可得
【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,换底公式的用法,属于基础题.
7．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（2）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（3）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（4）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（5）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（6）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（7）利用指数式与对数式的转化可得出结果；
（8）利用指数式与对数式的转化可得出结果.
(1)
解：因为，则.
(2)
解：因为，则.
(3)
解：因为，则.
(4)
解：因为，则.
(5)
解：因为，则.
(6)
解：因为，则.
(7)
解：因为，则.
(8)
解：因为，则.
8．D
【解析】根据对数的定义得到不等式组解得.
【详解】解：
解得，即且.
故选：
【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.
9．C
【分析】由题得，化简即可得答案.
【详解】解：由已知得，即，则.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.
10．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【解析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质，换底公式的应用，属于中档题.
11．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.
【详解】解：（1）
，
（2），
（3），
（4），，，
【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质的应用，属于基础题.
12．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】利用对数的运算法则及对数的性质计算可得.
【详解】，
解：（1）.
（2）
（3）.
（4）.
【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质的应用，属于基础题.
13．（1）；（2）
【解析】（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得；
（2）根据对数恒等式计算可得.
【详解】解：（1）
，
；
（2），.
【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.
14．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】利用换底公式及对数的性质即可证明
【详解】证明：（1）.
故.
（2），
【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题.
15．12
【分析】设某地GDP今年为a，x年后GDP会翻两番，则由题知，解得x的值即可.
【详解】设某地GDP今年为a，x年后GDP会翻两番，
则由题知，
解得，
故12年后 GDP会翻两番
16．（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天
【解析】（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得.
（2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得.
【详解】解：（1）.
∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍
（2）由得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得.
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得解得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题.
17．5
【分析】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，列不等式，即可解得.
【详解】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则，
∴，∴，
∴他至少经过5个小时才能驾驶汽车.
答案第1页，共2页2．1 等式性质与不等式性质
第二章一元二次函数 方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
例1比较和的大小.
分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.
解：因为
.
所以.
例2已知，，求证.
分析：要证明，因为.所以可以先证明.利用已知和性质3，即可证明.
证明：因为.所以，.
于是，
即.
由，得.
练习
1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系:
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;
(2)a与b的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.
2．比较和的大小.
3．已知,证明.
练习
4．证明不等式性质1,3,4,6.
5．用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么______;
(2)如果,,那么____;
(3)如果,那么____;
(4)如果,那么____.
习题2.1
复习巩固
6．举出几个现实生活中与不等式有关的例子
7．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.
8．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与.
9．一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
10．已知，，求的范围.
11．证明：，.
综合运用
12．已知，，，求证：．
13．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.
15．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
拓广探索
16．已知，求证.
17．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？4．4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．4 对数函数
4.4
例1 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）（，且）.
解：（1）因为，即，所以函数的定义域是.
（2）因为，即，所以函数的定义域是.
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x.
（1）该地的物价经过几年后会翻一番？
（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为，即（）.
由对数与指数间的关系，可得，.
由计算工具可得，当时，.
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
（2）根据函数，，利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.
例3 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），（，且）.
解：（1）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是增函数，且，所以.
（2）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是减函数，且，所以.
（3）和可看作函数的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.
当时，因为函数是增函数，且，所以；
当时，因为函数是减函数，且，所以.
例4 溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.
解：（1）根据对数的运算性质，有.
在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即减小.所以，随着的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当时，.所以，纯净水的是7.
练习
1．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．画出下列函数的图象：
（1）；
（2）.
3．已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是__________.
①；②；③；④.
4．4．2 对数函数的图象和性质
练习
4．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.
5．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
6．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.
（1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式；
（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？
4．4．3 不同函数增长的差异
练习
7．三个变量随变量变化的数据如下表：
0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
5 30 55 80 105 130 155
其中关于呈指数增长的变量是_____
8．（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围的图象，借助计算工具估算出使的的取值范围（精确到0.01）.
（1） （2） （3）
9．如图，对数函数的图象与一次函数的图象有A，B两个公共点，求一次函数的解析式.
10．函数的图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
习题 4．4
复习巩固
11．求下列函数的定义域:
(1);
(2).
12．比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:
(1);
(2);
(3);
(4).
13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
14．函数，，的图象如图所示，
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；
(3)从（2）的图中你发现了什么？
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m,游回产地产卵,研究链鱼的科学家发现链鱼的游速,(单位:)可以表示为,其中 O表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
16．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
综合运用
17．判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:
(1);
(2).
18．设表示某学校男生身高为时平均体重为,
(1)如果函数的反函数是,那么表示什么
(2)如果,那么求,并说明其实际意义.
19．某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低,要将当前的患病率降低一半,需要多少年
20．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
21．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.
0 5 10 15 20
万元 20 40
万元 20 40
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.
拓广探索
22．已知，，求实数a的取值范围.
23．比较下列各题中三个值的大小:
(1);
(2).
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；
（2）利用对数的真数大于零、分母不为零可求得原函数的定义域；
（3）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；
（4）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.
(1)
解：对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
(2)
解：对于函数，有，解得且，
故函数的定义域为.
(3)
解：对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
(4)
解：对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
2．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）化简为，，再作图．
（2）化简为，，再作图．
【详解】（1），图象如图
（2），图象如图.
【点睛】本题考查作函数图象，解题时需先化简函数解析式，同时要注意函数的定义域．
3．①③
【解析】验证按照这个函数关系是定义域，是值域，或是定义域，是值域．还有就是一对一，两个不同的自变量对应的函数值不相同．
【详解】①当时，的值域为B.
②当时，，但.
③当时，的值域为A.
④当时，.
∴能体现A，B对应关系的是①③.
故答案为：①③
【点睛】本题考查函数的概念，考查一一对应的概念．属于基础题．
4．见解析
【解析】由取同一个值时，对应的值是相反数说明两函数图象关于轴对称．
【详解】图象如图.
相同点：两图象都位于轴的右侧，都经过点，这说明两函数的定义域都是；两函数的值域都是.
不同点：的图象是上升曲线，的图象是下降曲线，这说明前者在定义域上是增函数，后者在定义域上是减函数.
由于，所以两函数图象关于轴对称．
【点睛】本题考查对数函数的图象与性质．属于基础题．
5．（1）；（2）；（3）当时，，当时，．
【解析】（1）由函数的单调性确定；
（2）由函数的单调性确定；
（3）分类讨论，分和．
【详解】（1）为增函数，.
（2）为减函数，.
（3）当时，为增函数. .
当时，为减函数. .
【点睛】本题考查对数函数的单调性，掌握对数函数单调性是解题基础．
6．（1）；（2）约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币.
【解析】（1）根据平均增长率问题得函数解析式，注意定义域；
（2）由，求，可取对数计算．
【详解】（1）由题意.
（2）令，得，
∴约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币.
【点睛】本题考查指数函数的应用．在指数式中已知幂要求指数时，可取对数计算．
7．
【分析】根据指数函数的性质得到答案.
【详解】指数型函数呈“爆炸式”增长.
从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着的增加都是越来越大，
但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化.
故答案为：
8．
【解析】从图象可以看出，有两个解，一个在上，一个在上，可用二分法求解．
【详解】记，计算，，，
，，，，，近似解取，
，，，，，近似解取，
故估算范围是
【点睛】本题考查指数函数的图象，考查二分法求近似解．属于基础题．
9．
【解析】由对数函数求出两点的坐标，然后设，代入两点的坐标，可得．
【详解】由题意.
设，则.
【点睛】本题考查对数函数，考查待定系数法求函数解析式．属于基础题．
10．C
【解析】用排除法，由函数值如，排除B，排除A，D是一次函数也排除，只有C符合．
【详解】由图象过知B不正确，
由知A不正确，由图象为曲线知D不正确，
所以应选C.
故答案为：C
【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题方法是排除法，由图象提供的信息，如函数的性质，特殊的函数值等，验证各函数式进行排除．
11．(1).(2)
【解析】(1)根据对数中真数大于0求解即可.
(2)根据根号下大于等于0与对数的定义域求解即可.
【详解】解:(1)由条件知,故定义域为.
(2)由条件知,
即.故此函数的定义域为.
【点睛】本题主要考查了定义域的运算与对数不等式的求解,属于基础题.
12．(1);(2);(3);(4).
【解析】(1)根据为增函数判定即可.
(2)根据为减函数判定即可.
(3)根据为减函数判定即可.
(4)根据为增函数判定即可.
【详解】(1)因为为增函数,故；
(2)因为为减函数,故；
(3)因为为减函数,故；
(4)因为为增函数,故；
【点睛】本题主要考查了根据对数函数的单调性判断大小关系的方法,属于基础题.
13．
【分析】由即可解出．
【详解】令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍．
14．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴判断即可；
（2）根据可知与关于轴对称，同理画出的图象即可；
（3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可.
(1)
当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数.
(2)
.
(3)
从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称.
15．(1)(2)
【解析】(1)代入计算即可.
(2)静止时,再代入公式计算即可.
【详解】解:(1)当时,.
(2)当时,.
【点睛】本题主要考查了对数函数的实际模型与计算等,属于基础题.
16．B
【分析】根据在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
【详解】解：在在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B．
故选：B．
17．(1)互为反函数. 的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
(2)互为反函数.的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
【解析】根据反函数的求解方法判断分析即可.
【详解】(1)求的反函数有.故,且互为反函数.
的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
(2)求的反函数有.故互为反函数.
的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
【点睛】本题主要考查了指对数的反函数的求解与定义域值域的判定,属于基础题.
18．(1)表示该校男生体重为时,平均身高为.
(2).说明该校某男生身高为170cm时,体重为.说明该校某男生体重为时,身高为170cm.
【解析】(1)根据表示某学校男生身高为时平均体重为,反过来判定反函数表达的意义即可.
(2)根据(1)中的函数意义辨析即可.
【详解】(1)因为表示某学校男生身高为时平均体重为,则其反函数自变量与因变量交换,即表示该校男生体重为时,平均身高为.
(2)由(1)可得.且说明该校某男生身高为170cm时,体重为.说明该校某男生体重为时,身高为170cm.
【点睛】本题主要考查了反函数的实际意义辨析,属于基础题.
19．4年
【解析】根据题意设今年的患病率为a,经x年后的患病率为当前的一半.则,再求解即可.
【详解】解:设今年的患病率为a,经x年后的患病率为当前的一半.则,即.∴大约需要4年.
【点睛】本题主要考查了指数函数的模型运用与对数的运算,属于基础题.
20．(1)(2)
【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
21．（1）（2）（3）详见解析
【解析】（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可
【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设,
由,,
可得,
即.
（2）因为是按指数增长的房价,设,
由,
可得,
即.
（3）由（1）和（2）,当时,；
当时,；当时,,
则表格如下:
0 5 10 15 20
万元 20 30 40 50 60
万元 20 40 80
则图像为:
根据表格和图像可知:
房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力
22．
【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．
【详解】解:,
当时成立；
②当时，解得．
又,
∴a的取值范围是．
23．(1) (2)
【解析】(1)利用换底公式分析即可.
(2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可.
【详解】解:(1) 因为,
且,故
(2)
,
同理可证.
【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题.
答案第1页，共2页5．5 三角恒等变换
第五章 三角函数
5．5 三角恒等变换
例1 利用公式证明：
（1）； （2）.
证明：（1）
.
（2）
.
例2 已知，，，是第三象限角，求的值.
解：由，，得
.
又由，是第三象限角，得
.
所以
.
例3 已知，是第四象限角，求，，的值.
解：由，是第四象限角，得，
所以.
于是有
；
；
.
例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.
解：（1）由公式，得
.
（2）由公式，得
.
（3）由公式及，得
.
例5 已知，，求，，的值.
分析：已知条件给出了的正弦函数值.由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
解：由，得.
又，
所以.
于是
；
；
.
例6 在中，，，求的值.
解法1：在中，
由，，得，
所以，
.
又，
所以.
于是.
解法2：在中，
由，，得，
所以，
又，
所以，.
所以
.
例7 试以表示，，.
解：是的二倍角.在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以. ①
在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以. ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得.
例8 求证：
（1）；
（2）.
证明：（1）因为
，
将以上两式的左右两边分别相加，得，
即.
（2）由（1）可得. ①
设，，
那么，.
把，的值代入①，即得.
例9 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）； （2）.
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式.反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了.
解：（1）
.
因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2.
（2）设，则.
于是，，
于是，
所以.
取，则，.
由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为-5.
例10 如图5.5-2，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
分析：可先建立矩形的面积S与之间的函数关系，再求函数的最大值.
解：在中，，.
在中，.
所以，
.
设矩形的面积为S，则
.
由，得，所以当，即时，
.
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.
5．5．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习
1．利用公式证明：
（1）； （2）．
2．利用公式求的值.
3．已知，，求的值．
4．已知，是第二象限角，求的值.
5．已知，，，，求的值.
练习
6．利用和（差）角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
7．（1）已知，，求的值；
（2）已知，是第三象限角，求的值；
（3）已知，求值．
8．求下列各式的值：
(1)；
(2)
(3)
(4)；
(5)；
(6)．
9．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
10．已如，是第三象限角，求的值.
练习
11．已知，，求，，的值.
12．已知，求的值.
13．已知，，求的值.
14．已知，求的值.
15．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．5．2 简单的三角恒等变换
练习
16．求证：.
17．已知，且，试求和的值.
18．已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切.
19．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
20．求证：（1）；
（2）；
（3）.
练习
21．求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）；（2）.
22．要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
23．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R.求证.
习题 5．5
复习巩固
24．已知，，，，求的值.
25．已知都是锐角，，求的值.（提示：.）
26．已知，，求的值.
27．在中，，求的值.
28．已知，求的值.
29．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
30．已知，求的值（精确到0.01）.
31．求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
32．已知；
（1）求证：；（2）求证：．
33．已知，求证.
34．已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切.
35．化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
综合运用
36．在中，已知是x的方程的两个实根，求.
37．在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A． B． C． D．
38．求证：
（1）；
（2）.
39．是否存在锐角，使得：，同时成立？若存在，求出锐角的值；若不存在，说明理由.
40．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数的最大值和最小值.
拓广探索
41．观察以下各等式：
，
，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
42．你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
；
.
43．设.利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想x取一般值时的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．证明见解析；
【分析】直接利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】证明：根据，
所以（1）．
（2）
2．
【解析】将转化为，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
3．
【分析】首先利用平方关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为，所以
所以
4．
【解析】由平方关系得出，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由，是第二象限角，得
所以
【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
5．
【解析】由平方关系得出，的值，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由，，得
由，，得
所以
【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.
6．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用两角差的正弦公式计算即可求解；
（2）利用两角和的余弦公式计算即可求解；
（3）利用两角和的正弦公式计算即可求解；
（4）利用两角差的正切公式计算即可求解.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
7．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）首先利用平方关系求出，再根据两角和的正弦公式计算可得；
（2）首先利用平方关系求出，再根据两角和的余弦公式计算可得；
（3）直接利用两角和的正切公式计算可得；
【详解】解：（1）因为，，所以，因为，所以，所以
（2）因为，，所以，因为是第三象限角，所以，所以
（3）因为，所以
8．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题．
(1)
解：；
(2)
解：；
(3)
解：；
(4)
解：；
(5)
解：；
(6)
解：
．
9．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）将原式变形为，逆用两角和的余弦公式化简即可；
（2）将原式变形为，逆用两角和的正弦公式化简即可；
（3）将原式变形为，逆用两角差的正弦公式化简即可；
（4）将原式变形为，逆用两角和的余弦公式化简即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】本题主要考查了逆用两角和与差的正弦，余弦公式，属于中档题.
10．
【解析】逆用两角差的正弦公式以及诱导公式得出，根据平方关系得出，结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，又是第三象限角，∴.
因此.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式以及平方关系，属于中档题.
11．，，
【解析】由的范围，确定所在象限，利用平方关系以及商数关系得出，，利用二倍角公式得出，，的值.
【详解】因为，所以.
又由，得，，
所以，
，
.
【点睛】本题主要考查了利用平方关系，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.
12．
【解析】由诱导公式得出，结合二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】由，得，
所以.
【点睛】本题主要考查了利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题.
13．
【解析】由二倍角的正弦公式得出，利用平方关系以及商数关系化简得出的值.
【详解】由，且，可得.又由，
得，所以.
【点睛】本题主要考查了利用二倍角的正弦公式，平方关系，商数关系化简求值，属于基础题.
14．
【解析】由二倍角的正切公式化简得出，解方程即可得出答案.
【详解】由，得，所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了二倍角的正切公式，属于基础题.
15．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）将原式变形为，逆用二倍角的正弦公式求解即可；
（2）逆用二倍角的余弦公式求解即可；
（3）将原式变形为，逆用二倍角的正切公式求解即可；
（4）逆用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】本题主要考查了逆用二倍角公式化简求值，属于中档题.
16．证明见解析
【解析】利用二倍角公式对代数式进行变形，即可得证.
【详解】.
.
所以
【点睛】此题考查三角恒等式的证明，关键在于熟练掌握二倍角公式的应用，根据公式进行化简变形.
17．；
【解析】根据得，根据半角公式求值.
【详解】∵，∴，∴，.
∴；.
【点睛】此题考查半角公式的应用，根据公式化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，半角公式在使用的过程中需要注意考虑正余弦值的取值范围.
18．
【解析】设等腰三角形顶角为，一个底角为，则底角，根据即可求解.
【详解】设等腰三角形顶角为，一个底角为，则底角，由题意知.
∴，，∴，∴这个角形的一个底角的正切为.
【点睛】此题以等腰三角形为背景求底角的正切值，其本质在于利用三角恒等变换进行化简求值.
19．证明见解析；
【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简等式的左侧，证明即可．
【详解】证明：（1）
；
（2）
；
（3）
等式成立．
20．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】（1）处理，利用两角和差的正弦公式求证；
（2）处理即可得证；
（3）处理即可得证.
【详解】（1）
.
（2）.
=
即
（3）
.
【点睛】此题考查三角恒等式的证明，关键在于准确构造角的关系，熟练掌握两角和差的正余弦公式进行化简.
21．（1）最小正周期为，，（2）最小正周期为，，
【解析】（1）利用辅助角公式化简即可求得周期和最值；
（2）利用辅助角公式化简即可求得周期和最值
【详解】（1），
∴最小正周期为，，.
（2），
∴最小正周期为，，.
【点睛】此题考查求函数的周期和最值，关键在于熟练掌握辅助角公式进行三角恒等变换，根据公式化简求值.
22．截取矩形的长为，宽为时，花坛面积最大.
【解析】设圆心为O，长方形面积为S，设，表示出面积，即可求得最值.
【详解】如图，设圆心为O，长方形面积为S，
设，则，，
∴，
∴当时，花坛的面积最大，.此时，，.
∴截取矩形的长为，宽为时，花坛面积最大，最大值为.
【点睛】此题考查利用三角函数求解应用题，关键在于合理建立函数模型，根据函数性质求解最值和最值取得的条件.
23．证明见解析
【解析】根据正n边形的内切圆与边的切点结合外接圆半径找出直角三角形关系，利用直角三角形三角函数值的关系即可得证.
【详解】设O是内切圆圆心，OB、OA分别是内切圆半径，外接圆半径，
则，，∴，.
在中，，即，∴，
,即，∴，
∴
.
【点睛】此题考查正n边形的内切圆外接圆半径关系的证明，关键在于准确找出相应图形中的等量关系.
24．
【解析】利用同角三角函数的平方关系求出和，再利用差角的余弦公式，代入计算即可.
【详解】∵，且，∴；
又∵，且，∴.
∴.
【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系和角的范围，考查差角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
25．
【解析】根据都是锐角，，运用同角三角函数的平方关系，可以求出的值，再根据题中的提示运用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】解：由是锐角，得.
因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了两角差的余弦公式，考虑到角之间的和差关系是解题的关键，考查了数学运算能力.
26．.
【分析】由知，依条件得值，代入计算即可.
【详解】，，
又，，
则
.
【点睛】本题考查给值求值问题，考查了两角差的余弦公式，同角的三角函数基本关系式，考查了学生的运算求解能力.
27．
【解析】根据，A,B为的内角，利用同角三角函数的平方关系，可以求出的值，分类讨论，利用两角和的正弦公式和余弦公式求出的值.
【详解】解：且A,B为的内角，
.
当时，，
，不合题意，舍去，，
.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了两角和的正弦公式、余弦公式，考查了数学运算能力.
28．，
【解析】根据，，利用两角和、差的正切公式直接求正切值即可.
【详解】解：
.
【点睛】本题考查了两角和、差的正切公式，考查了数学运算能力.考虑到角之间的和差关系是解题的关键.
29．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【解析】（1）用诱导公式把题目中的角都化到小于等于的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可；
（2）用诱导公式把题目中的角都化到小于等于的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可；
（3）结合诱导公式、逆用两角和的正弦公式直接求解即可；
（4）结合诱导公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可；
（5）结合诱导公式、逆用两角差的正切公式直接求解即可；
（6）根据两角和的正弦公式和余弦公式展开计算，再逆用两角差的正弦和余弦公式化简，最后根据同角三角函数的商数关系化简即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）；
（6）.
【点睛】本题考查了正用、逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式，考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了同角三角函数的商数关系.
30．，
【解析】运用同角三角函数的平方关系，结合已知求出的值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式求解即可.
【详解】解：由，得，
，.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.
31．见解析
【解析】（1）将等式的左边运用完全平方差的公式展开，再逆用二倍角的正弦公式即可证明出等式的左边等于等式的右边；
（2）将等式的左边用两角和差的正切公式展开，然后通分，最后逆用二倍角的正切公式即可证明出等式的左边等于等式的右边；
（3）根据同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，可以证明出等式的左边等于等式的右边；
（4）等式的左边运用同角三角函数的平方关系、二倍角的余弦公式，完全平方和平方差公式，最后利用同角三角函数的商数关系可以证明出等式的左边等于等式的右边；
（5）等式的左边运用二倍角的余弦公式、同角三角函数的商数关系可证明出等式的左边等于等式的右边；
（6）等式的左边运用二倍角的余弦公式、正弦公式、同角三角函数的商数关系可证明出等式的左边等于等式的右边.
【详解】证明：（1）左边右边；
（2）左边右边；
（3）左边右边；
（4）左边右边；
（5）左边右边；
（6）左边右边.
【点睛】本题考查了三角恒等式的证明，考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了公式的恒等变形能力.
32．（1）利用两角和差公式化简求证即可（2）化弦为切即可证明
【详解】试题分析：（1）∵，，∴……①
∵，∴……②
联立①②解得，∴，得证
（2）由得，∴，得证
考点：本题考查了两角和差公式的运用
点评：三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式” ，变角：它决定变换的方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解；
33．证明见解析
【解析】通过已知可以求出的值，运用二倍角的正切公式计算等式左边代数式的值，再运用两角和的正切公式计算等式右边的值即可.
【详解】证明：由已知可解得.
于是，
，
.
【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了二倍角的正切公式，考查了数学运算能力.
34．正弦、余弦、正切值分别为或.
【解析】根据同圆或等圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，根据同角三角函数的平方关系，分类讨论，结合半角公式求解即可.
【详解】解：设这段圆弧所对的圆心角为，圆周角为
则，且，
均为正值，由，得.
当时，.
当时，.
∴这段弧所对圆周角的正弦、余弦、正切值分别为或.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、商数关系，考查了圆周角和圆心角的关系，考查了数学运算能力.
35．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】运用辅助角公式对四个三角式直接化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查特殊角的三角函数值的应用，考查了数学运算能力.
36．
【解析】利用一元二次方程的根与系数关系，结合两角和的正切公式直接求解即可.
【详解】解：是x的方程，
即的两个实根.
，
.
由于.
【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了三角形内角和定理，考查了数学运算能力.
37．C
【详解】试题分析：设
,故选C.
考点：解三角形.
38．（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）对等式的左边运用二倍角的余弦公式进行运算即可证明出等式的左边等于等式的右边；
（2）对等式的左边运用切化弦、逆用两角差的正弦公式、辅助角公式可以证明出等式的左边等于等式的右边.
【详解】证明：（1）左边
右边；
（2）左边
右边.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、同角三角函数的商数关系，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
39．存在，
【分析】利用两角和的正切公式可得，结合可求及，求出后可得的值.
【详解】假设存在锐角使得，
同时成立.
得，所以.
又因为，所以.
因此可以看成是方程的两个根.
解该方程得.
若，则.这与为锐角矛盾.
所以，
故，因为为锐角，
所以.
所以满足条件的存在，且.
【点睛】三角方程的求解的基本方法是消元法，也可以利用三角变换公式把三角方程化简为角的三角函数的方程，求出它们的值后可得角的大小，化简三角方程时要关注三角方程的结构形式便于找到合理的三角变换方法.
40．（1）周期为，单调递增区间为. （2）最大值为，最小值为
【解析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可；
（2）利用辅助角公式直接求解即可.
【详解】解：（1）
，最小正周期为；
由，得，∴单调递增区间为.
（2），其中，的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查了用辅助角公式求解正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值，考查了数学运算能力.
41．
【详解】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化 思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．
证明：
42．证明见解析
【解析】取线段AB的中点M，求出它的坐标，再利用圆的几何性质和锐角三角函数中正弦的定义和余弦的定义证明即可.
【详解】证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，.
在中，.
于是有，.
【点睛】本题考查了利用单位圆、锐角三角函数中正弦的定义、余弦的定义证明三角恒等式，考查了数形结合思想.
43．猜想，当时，.
【解析】根据同角三角函数的平方关系，二倍角的正弦公式，分别求出当时，的取值范围，然后猜想出x取一般值时的取值范围.
【详解】解：当时，；
当时，，此时有；
当时，，此时有，由此猜想，当时，.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了正弦的二倍角的公式，考查了正弦函数的值域，运用代数式的恒等变形是解题的关键.
答案第1页，共2页复习参考题5
复习参考题5
复习巩固
1．写出与下列各角终边相同的角的集合S，并且把S中适合不等式的元素写出来：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）0.
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数（精确到1°）
3．（1）已知，求.
（2）已知，求角x的三个三角函数值.
4．已知，计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．计算（可用计算工具，第（2）（3）题精确到0.0001）
（1）；
（2）
（3）.
6．设，填表：
-1
7．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的x的集合
（1）；
（2）.
8．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数的图象经过怎样的变化得到.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
9．（1）用描点法画出函数的图象.
（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得到函数的图象？
（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得到函数（都是常数）的图象？
10．不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它们的图象:
（1）；
（2）.
11．（1）已知都是锐角，，求的值；
（2）已知，求的值
（3）已知都是锐角，，求的值.
12．（1）证明：；
（2）求的值；
（3）若，求的值.
（4）求的值.
13．化简：
（1）；
（2）
（3）；
（4）
14．（1）已知，求的值
（2）已知，求的值
（3）已知，求的值；
（4）已知，求的值.
15．（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
综合运用
16．证明
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
17．已知，，的值．
18．已知，，求的值．
19．已知，求证.
20．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
21．已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的x的取值集合.
22．已知函数在区间上的最大值为6，
（1）求常数的值；
（2）当时，求函数的最小值，以及相应x的集合.
23．如图正方形的边长为,分别为边上的点,当的周长为时,求的大小.
拓广探索
24．已知，
（1）求的值；
（2）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？
25．如图，已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C.设.
（1）写出面积关于角的函数解析式.；
（2）画出上述函数的图象；
（3）由（2）中的图象求的最小值.
26．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算，就得到.试用你的计算工具计算，并与上述结果比较.
27．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.
（1）如图，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据，请根据数据完成下面的表格（计算结果精确到0.0001）；
观测站
A B C
观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角/度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度/度
太阳直射点的纬度平均值/度
（2）设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y,该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4392911，试利用（1）中的数据，估计的值（精确到）；
（3）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精确到00001）；
（4）利用（3）的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.
答案第1页，共2页4．5 函数的应用（二）
第四章指数函数与对数函数
4.5函数的应用（二）
例1求方程的实数解的个数.
分析：可以先借助计算工具画出函数的图象或列出x，y的对应值表，为观察 判断零点所在区间提供帮助.
解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表（表），并画出图象（图）.
由表和图可知，，，则.由函数零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点.
容易证明，函数，是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.
例2借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.
解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图4.5-4），并列出它的对应值表（表）.
观察图或表，可知，说明该函数在区间内存在零点.
取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以.
再取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以.
同理可得，，.
由于，
所以，原方程的近似解可取为1.375.
例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
表是1950~1959年我国的人口数据资料：
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量和年平均增长率r.
解：（1）设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为，，…，.由，
可得1951年的人口增长率.
同理可得，，，，，，，，.
于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为.
令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为，.
根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数（）的图象（图4.5-6）.
由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将代入，
由计算工具得.
所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.
例42010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（，且；，且）建立数学模型.
解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p（），经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型：
（，且；；）.
由碳14的半衰期为5730年，得.
于是，
所以.
由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，，
即.
解得.
由计算工具得.
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的.
例5假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数（）进行描述；方案二可以用函数（）进行描述；方案三可以用函数（）进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（表）.
再画出三个函数的图象（图）
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二 方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一 方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一 方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元
下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下（表）.
因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
例6某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即.
不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
解：借助信息技术画出函数，，，的图象（图）.观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断.
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求；
对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求；
对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有，即成立.
令，，利用信息技术画出它的图象（图）.
由图象可知函数在区间上单调递减，因此，
即.
所以，当时，，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型确实能符合公司要求.
4.5.1函数的零点与方程的解
练习
1．图（1）（2）（3）分别为函数在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象，得出函数在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
（1）（2）（3）
2．利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4.5.2用二分法求方程的近似解
练习
3．借助信息技术,用二分法求函数在区间(0,1)内零点的近似值(精确度为0.1)
4．借助信息技术,用二分法求方程在区间(2,3)内的近似解(精确度为0.1).
4.5.3函数模型的应用
练习
5．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍 什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
6．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？
7．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？（碳14的半衰期为5730年）
练习
8．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数。结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
9．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加，2008-2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：
时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
肉鸡数量/吨 7690 7850 8000 8150 8310 8460 8620 870 8920 9080 9230
同期该地的人口数如下：
时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
人口数/万 100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110. 111.3 112.7
（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；
（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？
（3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议
习题4.5
复习巩固
10．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是______.（填写上所有符合条件的图号）

11．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？
12．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解.
13．利用信息技术，用二分法求函数的零点（精确度为0.1）.
14．利用信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.
15．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存（）？
综合运用
16．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
17．已知函数.
（1）求函数的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数的图象；
（3）求函数的零点（精确度为0.1）
18．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间1（单位：月）的关系为.关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
19．一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药，果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h）？
20．人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从升到乃至级别，国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年的数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年的数量更是高达1.82 ZB，而到了2020年，预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍，为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数和中选择一个，并求出解析式.
21．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.
身高/ 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/ 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据表格提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？试写出这个函数模型的关系式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为，体重为的在校男生的体重是否正常？
拓广探索
22．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同学给出了如下解答：由，解得.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.
23．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的下列数据：
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？1.1 集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么.
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成等.
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为.
方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为.
（2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.
大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
.
练习
1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.
2．用符号“”或“”填空：
0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.
3．用适当的方法表示下列集合：
（1）由方程的所有实数根组成的集合；
（2）一次函数与图象的交点组成的集合；
（3）不等式的解集.
习题1.1
复习巩固
4．用符号“”或“”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
（2）若，则-1_____________A；
（3）若，则3________________B；
（4）若，则8_______________C，9.1____________C.
5．用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
综合运用
6．把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）；
（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
（3）；
（4）中国古代四大发明
7．用适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）反比例函数的自变量组成的集合；
（3）不等式的解集
拓广探索
8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．
康托尔（Georg Cantor，1845—1918）
答案第1页，共2页5．3 诱导公式
第五章 三角函数
5．3 诱导公式
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）： （2）；
（3）； （4）.
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
例2 化简.
解：
，
，
所以 原式.
例3 证明：
（1）；
（2）.
证明：（1）
；
（2）
.
例4 化简.
解：原式
.
例5 已知，且，求的值.
分析：注意到，如果设，，那么，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题.
解：设，，那么，从而.于是.
因为，
所以.
由，得.
所以，
所以.
练习
1．将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:
(1)________;(2)________:(3)________;
(4)________;(5)________;(6)________.
2．利用公式求下列三角函数值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
(6)．
3．化简:
(1);
(2).
4．填表:
练习
5．用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(3)(4)(6)题精确到0.0001):
(1);(2);(3);
(4);(5);(6).
6．证明:(1);
(2);
(3);
(4).
7．化简:(1);
(2);
(3).
习题 5．3
复习巩固
8．用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第（2）（3）（4）（5）题精确到0．0001）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
9．求证：
（1）；
（2）；
（3）.
10．化简：
（1）；
（2）.
11．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，分别求角的正弦、余弦函数值.
综合运用
12．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
13．已知，计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）．
14．在中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
15．已知，且，求和的值.
拓广探索
16．化简下列各式，其中：
（1）；
（2）.
17．借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系 由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.
2．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）用余弦的诱导公式化简后计算；
（2）用正弦的诱导公式化简后计算；
（3）用正切的诱导公式化简后计算；
（4）用余弦的诱导公式化简后计算；
（5）用正切的诱导公式化简后计算；
（6）用正弦的诱导公式化简后计算；
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
．
3．（1）（2）
【解析】利用诱导公式对所求式子直接进行化简，即可得到答案.
【详解】(1)原式;
(2)原式
.
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.
4．见解析
【解析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.
【详解】
-1 1 1
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.
5．(1);(2);(3)-0.2116;(4)-0.7587;(5);(6)0.8496.
【解析】利用诱导公式将任意角转化为锐角的三角函数，非特殊角再借助计算器求值.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限这一口诀的应用.
6．（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析
【解析】对角度进行变形，利用前面学过的诱导公式进行证明推导.
【详解】(1)左边右边;
(2)左边右边;
(3)左边右边;
(4)左边右边.
【点睛】本题考查诱导公式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用诱导公式2-4进行证明诱导公式5和6.
7．（1）（2）（3）
【解析】利用诱导公式直接进行化简，即可得到答案.
【详解】(1)原式;
(2)原式.
(3)原式.
【点睛】本题考查诱导公式的直接应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限的应用.
8．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）由余弦的诱导公式化简后求值；
（2）由正弦的诱导公式化简后求值；
（3）由正弦的诱导公式化简后求值；
（4）由余弦的诱导公式化简后求值；
（5）由余弦的诱导公式化简后求值；
（6）由正弦的诱导公式化简后求值；
(1)
；
(2)
；
(3)
(4)
(5)
(6)
．
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】运用与、与的诱导公式进行证明即可.
【详解】证明：（1）左边右边；
（2）左边右边；
（3）左边右边.
【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于基础题.
10．（1）；（2）0
【解析】运用诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】解：（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
11．；；
【解析】根据三角函数的定义，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】解：∵角的终边与单位圆的交点为，
.
，
，
.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.
12．B
【分析】根据，利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】因为，
，
所以，
故选：B
13．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】直接利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】因为，
所以，
（1）；
（2）；
（3）
（4）．
14．（1）不成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；（4）不成立，理由见解析
【解析】根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可.
【详解】解：（1）不成立，，
不成立；
（2）成立，成立；
（3）不成立.不成立；
（4）不成立不成立.
【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了三角形内角和定理的应用，考查了数学运算能力.
15．；
【解析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】解：，又，
.
；
.
【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
16．（1）见解析；（2）见解析
【解析】根据整数与4的余数的大小，结合诱导公式进行分类讨论求值即可.
【详解】解：当时，
.
当时，；
.
当时，；
.
当时，
.
【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.
答案第1页，共2页复习参考题4
复习参考题4
复习巩固
1．选择题
1．函数与的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
2．如图所示，①②③④中不属于函数的一个是（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
3．如图所示，①②③④中不属于函数的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．用“<”“≥”“=”填空：
（1）______； （2）_______；
（3）______； （4）lge_________ln0.8；
（5）______； （6）_________.
5．借助信息技术，用二分法求：
（1）方程的最大的根（精确度为0.01）；
（2）函数和交点的横坐标（精x确度为0.1）.
6．已知函数，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围.
综合运用
5．选择题
7．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
11．指数函数的图象如图所示，求二次函数图象顶点的横坐标的取值范围.
12．1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩百分之几？（参考数据）
13．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么：
（1）10h后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？
（3）画出P关于t变化的函数图象.
14．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有62℃的物体，放在15 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52℃.
（1）求k的值（精确到0.01）；
（2）若要将物体的温度降为42 ℃，32 ℃，求分别需要冷却的时间.
拓广探索
15．已知，，且
（1）求的定义域.
（2）判断的奇偶性，并说明理由.
16．对于函数.
（1）探索函数的单调性，
（2）是否存在实数a使函数为奇函数？
17．如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成.
（1）写出函数的一个解析式；
（2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题.
答案第1页，共2页5．6 函数 y=Asin(ωx+φ)
第五章 三角函数
5．6 函数
例1 画出函数的简图.
解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图5.6-7所示.
下面用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象.
令，则.列表（表5.6-1），描点画图（图5.6-8）.
表5.6-1
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.
解：如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，.
（2）当时，.
所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.
（3）如图5.6-10，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过min后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差
，
利用，可得，.
当（或），即（或22.8）时，h的最大值为.
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
练习
1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
（1）；（2）；（3）；（4）.
2．已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ）.
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
3．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点
A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变.
B．横坐标缩短为原来的倍， 纵坐标不变.
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变.
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.
4．已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
5．函数的图象与正弦曲线有什么关系？
6．函数，的图象与正弦曲线有什么关系？
习题 5．6
复习巩固
1．选择题
7．为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
8．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
9．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
10．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
11．说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）：
（1）；
（2）.
综合运用
12．函数在一个周期内的图象如下图，此函数的解析式为______．
13．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，求的解析式.
14．某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中．
15．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为.
（1）求的值（精确到0.0001）
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到0.01s）？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析（4）作图见解析
【解析】（1）将的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的得到图像.
（2）将的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的得到图像.
（3）将的图像向右平移个单位得到图像.
（4）将的图像向右平移个单位，纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的得到图像.
【详解】各函数的简图分别如图：
【点睛】本题考查了利用三角函数的平移和伸缩变换得到函数图像，意在考查学生对于三角函数图像的理解和掌握.
2．C
【解析】根据三角函数的平移得到答案.
【详解】把的图像向右平移个单位长度，
得到的图像.
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的平移，属于简单题.
3．B
【解析】根据两函数解析式的特点，可以分析出这种变换是周期变换，所以按照正弦型函数的周期变换的特点，从四个选项中选出正确的答案.
【详解】函数的图象为，通过变换得到函数的图象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的变为，因此只需横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变即可，故本题选B.
【点睛】本题考查了正弦型函数的周期变换，通过解析式之间的关系，判断出哪种变换或哪几种变换是解题的关键.
4．C
【解析】根据三角函数的伸缩变换得到答案.
【详解】把的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
得到的图像.
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的伸缩变换，属于简单题.
5．详见解析
【解析】根据三角函数的平移变换和伸缩变换得到答案.
【详解】的图像可以通过正弦曲线的平移、伸缩而得到.
的图像向右平移个单位得到的图像；
横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到的图像；
纵坐标缩短为原来的，横坐标不变得到的图像.
【点睛】本题考查了三角函数的平移和伸缩变换，意在考查学生对于函数变换的掌握.
6．详见解析
【解析】直接根据三角函数的平移得到答案.
【详解】把的图像向左平移个单位长度，再只保留的部分图像，即可得到，的图像.
【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于函数图像平移的理解.
7．C
【解析】根据三角函数图象变换规律确定选项.
【详解】因为向左平行移动个单位长度得，
故选：C
【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.
8．A
【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．
【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，
纵坐标不变，得到函数的图象．
故选：．
9．D
【解析】根据三角函数图象变换规律确定选项.
【详解】因为纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到
故选：D
【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.
10．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.
【解析】根据五点作图法分别作四个函数在一个周期的闭区间上的简图.
【详解】(1)
0 4 0 -4 0
描点连线得如图①，
(2)
0 0
描点连线得如图②，
(3)
0 3 0 -3 0
描点连线得如图③，

(4)
2 0 -2 0 2
描点连线得如图④，
【点睛】本题考查根据五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.
11．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）先根据三角函数图象变换得图象，再根据定义域去掉不满足的部分，即得结果；
（2）先根据三角函数图象变换得图象，再根据定义域去掉不满足的部分，即得结果
【详解】（1）先将正弦曲线上所有点向右平移个单位长度，得到的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到的图象；然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到的图象；最后将所得函数的图象在y轴左侧的部分去掉，就得到的图象.
（2）先将正弦曲线上所有点向左平移个单位长度，得到的图象；再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象；然后将所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），得到的图象；最后将所得函数的图象在y轴左侧的部分去掉，就得到的图象.
【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．
【分析】根据所给的图象，可以看出图象的振幅是2，得到，看出半个周期的值，得到，根据函数的图象过定点，把点的坐标代入求出的值，得到三角函数的解析式．
【详解】解：由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过，这一点，
把点的坐标代入三角函数的解析式，
，
，
三角函数的解析式是
故答案为：.
13．
【解析】根据三角函数图象变换规律得结果.
【详解】将函数的图象向左平移后得到,所以
【点睛】本题考查根据三角函数图象变换求解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
【解析】由题意可以先写出秒针转过的角度，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果．
【详解】设，过点作，垂足为，则，即，
当时，，；
当时，，，
综上，，.
故答案为：.
【点睛】本题是一个实际应用问题，为了学生掌握这一部分的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力．
15．(1) ； ； ； (2)15.30
【解析】（1）根据实际含义分别求的值；
（2）根据题意列方程，解简单三角方程得结果
【详解】（1）振幅即为半径，即；
因为逆时针方向每分转1.5圈，所以；
；
（2）令
（s）
【点睛】本题考查实际问题中三角函数解析式及其应用，考查综合分析求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页复习参考题2
复习参考题2
复习巩固
1．某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.
2．用不等号“>”或“<”填空：
（1）若，且，则ab_____________0；
（2）若，则_________；
（3）若，则__________.
3．（1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？
（2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？
4．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
综合运用
5．若正数a,b满足ab＝a＋b＋3.求ab的取值范围.
6．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
7．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
8．相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题.请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由.
相等关系 不等关系
相等关系的命题 不等关系的命题 判断正误
（1）若，则 （1）若，则. 正确
拓广探索
9．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.
10．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？答案第1页，共2页复习参考题4
复习参考题4
复习巩固
1．选择题
1．函数与的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
2．如图所示，①②③④中不属于函数的一个是（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
3．如图所示，①②③④中不属于函数的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．用“<”“≥”“=”填空：
（1）______； （2）_______；
（3）______； （4）lge_________ln0.8；
（5）______； （6）_________.
5．借助信息技术，用二分法求：
（1）方程的最大的根（精确度为0.01）；
（2）函数和交点的横坐标（精x确度为0.1）.
6．已知函数，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围.
综合运用
5．选择题
7．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
11．指数函数的图象如图所示，求二次函数图象顶点的横坐标的取值范围.
12．1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩百分之几？（参考数据）
13．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么：
（1）10h后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？
（3）画出P关于t变化的函数图象.
14．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有62℃的物体，放在15 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52℃.
（1）求k的值（精确到0.01）；
（2）若要将物体的温度降为42 ℃，32 ℃，求分别需要冷却的时间.
拓广探索
15．已知，，且
（1）求的定义域.
（2）判断的奇偶性，并说明理由.
16．对于函数.
（1）探索函数的单调性，
（2）是否存在实数a使函数为奇函数？
17．如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成.
（1）写出函数的一个解析式；
（2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】令，则，由与的图象关于原点对称即可得解.
【详解】解：令，则
与的图象关于原点对称，
与的图象关于原点对称.
故选：
【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.
2．B
【解析】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断.
【详解】解：已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点，图象②不过点.
故选：
【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.
3．C
【解析】根据函数的单调性及特殊值可判断.
【详解】解：，都是上的减函数，只有在上为增函数.
又时，，所以③不满足.
故选：C
【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题.
4．
【分析】根据指数函数的单调性，对数函数的单调性，利用中间量“”、“”比较大小即可．
【详解】解：（1），，
（2），
（3），为减函数.
又，
（4），，
（5），，
（6），为上的增函数.
又，
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
5．（1）2.5234375；（2）2.5625
【解析】（1）令，利用计算机软件画出函数图象，根据图象判断函数的最大零点在区间内，再用二分法求出函数在内的零点的近似值.
（2）构造函数判断函数的单调性，再根据特殊值可判断函数在存在零点，再由二分法求出零点的近似值.
【详解】（1）令，函数图象如图所示，函数分别在区间,和区间内有一个零点，所以方程的最大的根应在区间内.
取区间的中点，用计算器可算得，因为，所以.
再取的中点，用计算器可算得.
因为，所以，.同理，可得,
，，
因为，所以方程的
精确度为的最大根可取为.
（2）构造函数，根据与的单调性知在上为增函数，列出的对应值表：
x 1 2 3
-1 -0.199 0.144
通过上表可知方程的根在内，即函数与的交点在区间内，设方程的根为，取区间的中点，得，取，得.
取，得.
取，得..
∴函数和交点的横坐标可取为.
【点睛】本题考查二分法求函数的零点和方程的解，借助信息技术和计算器得以实现，属于中档题.
6．答案不唯一，见解析
【解析】作出的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数，数形结合即可得解.
【详解】解：作出的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数.
当时，，函数在上单调递减，上单调递增，，
当时，，函数在上单调递增.
∴当实数解的个数为时，；
当实数解的个数为时，或；
当实数解的个数为时，.
【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于基础题.
7．A
【解析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为对数函数为增函数，当时，，即，
因为指数函数为减函数，当时，，即，
因此，.
故选：A.
8．D
【解析】作出的图象，结合图象可知在上为减函数，即可得到，再由对数的运算比较、的关系，即可得解.
【详解】解：，作出的图象如图
在上为减函数.
，即.
又
故选：
【点睛】本题考查对数函数的应用，属于中档题.
9．B
【解析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
10．（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【分析】（1）根据指数幂的运算可证；
（2）根据指数幂的运算可证；
（3）根据指数幂的运算可证．
【详解】（1）；
（2），又，；
（3），又
．
11．
【解析】由图象知函数为减函数，可得，再表示出顶点的横坐标即可得解.
【详解】解：由图可知，函数在定义域上单调递减，
，顶点坐标为
顶点的横坐标为
顶点的横坐标的取值范围是
【点睛】本题考查指数函数的性质，二次函数的性质，属于中档题.
12．
【解析】根据题意得出年后的含量，计算即可．
【详解】解：设年后的锶90的剩余含量为，
则，
．
将上式两边取常用对数，，
.
【点睛】本题考查指数函数的应用，函数值的计算，属于基础题.
13．（1）81%；（2）33h；（3）见解析
【解析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；
（2）令，根据指数运算性质求出的值；
（3）求出的解析式，根据指数函数单调性作出大致图象．
【详解】（1）当时，，当时，，即.
，当时，，
即10h后，还剩81%的污染物.
（2）设污染物减少50%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得.
，即污染物减少50%大约需要花33h.
（3）图象大致如图所示.
【点睛】本题考查了函数值的计算，指数与对数的运算性质，属于基础题．
14．（1）；（2）冷却约2min后，物体的温度为42 ℃；冷却约4min后，物体的温度为32℃.
【解析】（1）代入公式计算的值；
（2）令函数值分别等于42，32，计算的值即可．
【详解】（1）将代入中，得.
，两边取对数，得.
.
（2），
.把代入上式，
得.当时,.
当时,.
答：，冷却约2min后，物体的温度为42 ℃；冷却约4min后，物体的温度为32℃.
【点睛】本题考查了函数值的计算，属于基础题．
15．（1）；（2）偶函数，理由见解析.
【分析】（1）根据对数的真数大于零可求得和的定义域，取交集可得定义域；
（2）整理可得，验证得，得到函数为偶函数.
【详解】（1）令得： 定义域为
令得： 定义域为
的定义域为
（2）由题意得：，
为定义在上的偶函数
【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.
16．（1）在R上为增函数；（2）存在实数
【解析】（1）根据题意，分析函数的定义域，由作差法分析可得结论；
（2）根据题意，假设存在实数使函数为奇函数，则有，即，分析可得的值．
【详解】（1）函数的定义域为，而为增函数，为减函数，故是增函数.
证明如下：任取，且，则，
.
.故在上为增函数.
（2）假设存在实数a，使为奇函数，则，，
即，
，故存在实数，使函数为奇函数.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出的值，属于基础题．
17．（1）；（2）见解析
【解析】（1）根据图象，要求写出函数的一个解析式；因此当时，可能是二次函数的图象，当时，可能是一元一次函数的图象，用待定系数法求得解析式即可；
（2）物理中位移与时间函数关系复合此图象，可设计关于，两地运动的题目，符合要求．
【详解】解：（1）当时，设，由图知， ，；．
当时，设，由图知，，，
，，
；
．
（2）例如，一辆车从甲地到乙地去办事，时间用（小时）表示，位移用（公里）表示，去时匀加速前进，用时2小时，回来时，匀速直线运动，用时3小时，图象如图所示，求位移关于时间的函数关系式．
【点睛】本题考查了分段函数解析式求法，待定系数法求函数解析式，函数与实际问题的联系等，属于中档题．
答案第1页，共2页复习参考题1
复习参考题1
复习巩固
1．用列举法表示下列集合：
（1）；
（2） ；
（3）.
2．设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
(1)(A,B是两个不同定点)；
(2)(O是定点)
3．设平面内有，且P表示这个平面内的动点，指出属于集合的点是什么.
4．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：
(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的_______；
(2)是的___________；
(3)是的__________；
(4)x,y为无理数是为无理数的_________.
5．已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假：
(1)“”是“”的充分条件；
(2)“”是“”的必要条件；
(3)“”是“”的充分条件；
(4)“”是“”的必要条件.
6．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：
(1)任意实数的平方大于或等于0；
(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；
(3)存在整数x，y，使得；
(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.
7．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1)，一元二次方程有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3)；
(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于.
综合运用
8．已知集合,求,并解释它们的几何意义.
9．已知集合,是否存在实数a,使得 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
10．把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:
(1)勾股定理;
(2)三角形内角和定理.
拓广探索
11．学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
12．根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:
(1).
(2)如图,在中,AD,BE与CF分别为BC,AC与AB边上的高,则AD,BE与CF所在的直线交于一点O.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1) ；(2) ；(3).
【分析】(1)解方程即可；
(2)根据求解；.
(3)接方程即可；
【详解】(1)由得，,因此.
(2)由，且,，,得，因此.
(3)由得，.因此.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法以及一元二次方程的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．(1)线段AB的垂直平分线；(2)以点O为圆心,3cm长为半径的圆.
【解析】(1)指平面内到距离相等的点的集合；
(2)指平面内到定点的距离为的点的集合．
【详解】(1) 指平面内到距离相等的点的集合，这样的点在线段的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段的垂直平分线；
(2) 指平面内到定点的距离为的点的集合，这样的点在以为圆心，以为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点为圆心,长为半径的圆．
【点睛】本题考查描述法表示集合，是基础题．
3．三条边的垂直平分线的交点.
【解析】利用平面内到两定点的距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上来解决问题．
【详解】解:,点P到的三个顶点的距离相等,即点P是的外心,即为三条边的垂直平分线的交点.
【点睛】本题考查集合内点的轨迹以及交集的运算，是基础题．
4． 充分不必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件
【解析】(1)利用全等三角形来判断；
(2)利用并集的概念来判断；
(3)利用交集的概念来判断；
(4)可举反例来判断.
【详解】(1)如图：
由，得，所以，则为等腰三角形，满足充分性，
但是如果为等腰三角形，边上的高不一定等于边上的高，不满足必要性，
故三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充分不必要条件；
(2)当时，有；反之当时，不一定有，故是的充分不必要条件；
(3) 当时，不一定有，因为有可能；反之当时，必有，故是的必要不充分条件；
(4)当时，为有理数，当时，，故x,y为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件.
故答案为：充分不必要条件；充分不必要条件；必要不充分条件；既不充分也不必要条件.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.
5．(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题
【解析】(1) (2)利用来判断；(3) (4)利用来判断.
【详解】解:(1)假命题,因为；
(2)假命题,因为；
(3)假命题,因为,依据为可能为0；
(4)真命题,因为.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.
6．(1).真命题；
(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；
(3)假命题；
(4)，真命题.
【解析】利用符号“”与“”的意义改写，并判断真假.
【详解】(1)，是真命题；
(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；
(3)假命题,因为必为偶数；
(4).真命题,例如.
【点睛】本题考查特称全称命题及其真假判断，是基础题.
7．(1),一元二次方程没有实根,假命题.
(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题.
(3)，假命题.
(4)任意四边形ABCD,其内角和等于360°,真命题.
【解析】根据特称命题，全称命题的否定的书写规律来写，并逐一判断真假.
【详解】(1),一元二次方程没有实根,假命题，因为，方程恒有根；
(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题，因为任何正方形都是平行四边形；
(3)，假命题，因为时，；
(4)任意四边形ABCD,其内角和等于,真命题.
【点睛】本题考查特称命题，全称命题的否定，是基础题.
8．,几何意义是直线与相交于点;,几何意义是直线与平行,无交点.
【解析】将集合中的方程按照问题联立，解方程组可得结果.
【详解】解:
.
.
的几何意义是直线与相交于点;
的几何意义是直线与平行,无交点.
【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.
9．存在,
【解析】，分，讨论，并满足互异性，列式求解.
【详解】解:，
或，
，
∴存在实数，使得.
【点睛】本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题.
10．(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;
(2)所有三角形的内角和都是180°.
【解析】根据量词的意义来书写.
【详解】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；
(2)所有三角形的内角和都是180°.
【点睛】本题考查全称量词的概念及书写，是基础题.
11．3人,9人
【解析】利用韦恩图列方程计算即可.
【详解】解:如图.
设同时参加田径和球类比赛的有x人,则,
,
即同时参加田径和球类比赛的有3人,
而只参加游泳一项比赛的有(人).
【点睛】本题考查韦恩图解决集合问题，是基础题.
12．(1);
(2)任意三角形的三条高交于一点.
【解析】观察，发现规律，再根据量词的意义来书写.
【详解】(1);
(2)任意三角形的三条高交于一点.
【点睛】本题考查全称量词的概念及书写，是基础题.
答案第1页，共2页4．3 对数
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；（5）；
（6）.
例2 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.又，所以.
（3）因为，所以，，
于是.
（4）因为，所以，，
于是.
例3 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）；
（2）
.
例4 用，，表示.
解：
.
例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.
由，可得
，.
于是，
.
利用计算工具可得，.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
4.3.1 对数的概念
练习
1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
2．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
3．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
4.3.2对数的运算
练习
4．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
5．用表示下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
6．.化简下列各式：
（1）；
（2）.
习题4.3
复习巩固
7．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
8．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,且
9．对数与互为相反数，则有（ ）
A． B． C． D．
10．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
11．求满足下列条件的x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
综合运用
12．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
13．求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
14．证明：
（1）；
（2）.
15．某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？
拓广探索
16．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
17．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？1.4 充分条件与必要条件
第一章集合与常用逻辑用语
1.4充分条件与必要条件
例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若x，y为无理数，则为无理数.
解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件.
（4）由于，但，，所以p不是q的充分条件.
（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件
（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件.
例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若为无理数，则x，y为无理数.
解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.
（2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.
（3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件.
（4）显然，，所以，q是p的必要条件.
（5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件.
（6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件.
例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：，q：，；
（4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）.
解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.
（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.
（3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.
例4已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件.
分析：设p：，q：直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.
证明：设p：，q：直线l与相切.
（1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切.
（2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，.
由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件.
1.4.1充分条件与必要条件
练习
1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；
（2）若x是无理数，则也是无理数.
3．如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.
1.4.2充要条件
练习
4．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
（2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等；
（3）为空集，与B之一为空集.
5．分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
6．证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是.
习题1.4
复习巩固
7．举例说明:
(1)p是q的充分不必要条件;
(2)p是q的必要不充分条件;
(3)p是q的充要条件.
8．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，有实数根，;
(3);
(4);
(5).
9．判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)是的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.
综合运用
10．已知A={满足条件p},B={满足条件q},
(1)如果,那么p是q的什么条件
(2)如果,那么p是q的什么条件
(3)如果,那么p是q的什么条件
11．设证明:的充要条件是.
拓广探索
12．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.5．4 三角函数的图象与性质
第五章三角函数
5.4三角函数的图象与性质
例1画出下列函数的简图：
（1），；
（2），.
解：（1）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：
（2）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：
例2求下列函数的周期：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期.
对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，；
对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，.
解：（1），有.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
（2）令，由得，且的周期为，即，
于是，
所以，.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
（3）令，由得，且的周期为，即，
于是，
所以.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
例3下列函数有最大值 最小值吗？如果有，请写出取最大值 最小值时自变量x的集合，并求出最大值 最小值.
（1），；
（2），；
解：容易知道，这两个函数都有最大值 最小值.
（1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的x的集合；
使函数，取得最小值的x的集合，就是使函数，取得最小值的x的集合.
函数，的最大值是；最小值是.
（2）令，使函数，取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合.
由，得.所以，使函数，取得最大值的x的集合是.
同理，使函数，取得最小值的x的集合是.
函数，的最大值是3，最小值是-3.
例4不通过求值，比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2）与.
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解：（1）因为，
正弦函数在区间上单调递增，所以.
（2），
.
因为，且函数在区间上单调递减，所以，
即.
例5求函数，的单调递增区间.
分析：令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.
解：令，，则.
因为，的单调递增区间是，且由，
得.
所以，函数，的单调递增区间是.
例6求函数的定义域 周期及单调区间.
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量x的取值应满足，，
即，.
所以，函数的定义域.
设，又，
所以，
即.
因为都有，
所以，函数的周期为2
由，解得，.
因此，函数在区间，上都单调递增.
5.4.1正弦函数 余弦函数的图象
练习
1．在同一直角坐标系中,画出函数,,,的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.
2．用五点法分别画下列函数在上的图象:
(1);
(2).
3．想一想函数与的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.
4．函数y=1+cosx，的图象与直线y=t（t为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 E．4个
5.4.2正弦函数 余弦函数的性质
练习
5．等式是否成立 如果这个等式成立,能否说是正弦函数,的一个周期 为什么
6．求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
7．下列函数中,哪些是奇函数 哪些是偶函数
(1);
(2);
(3);
(4).
8．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值.
练习
9．观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x所在的区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
10．求使下列函数取得最大值 最小值的自变量的集合,并求出最大值 最小值.
(1),;
(2),.
11．下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是.
A．在上单调递增,在上单调递减
B．在上单调递增,在上单调递减
C．在及上单调递增,在上单调递减
D．在上单调递增,在及上单调递减
12．不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)与;
(2)与.
13．求函数的单调递减区间．
5.4.3正切函数的性质与图象
练习
14．借助函数的图象解不等式，.
15．观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：
（1）；
（2）；
（3）．
16．求函数的定义域.
17．求下列函数的周期：
（1），；（2），.
18．不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：
（1）与；
（2）与
习题5.4
复习巩固
19．画出下列函数的简图：
（1）；
（2）.
20．求下列函数的周期：
（1）；
（2）．
21．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
22．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）；
（2）.
（3）；
（4）.
23．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）与；
（2）与.
（3）与；
（4）与.
24．求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
25．求函数的定义域.
26．求函数的周期.
27．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
综合运用
28．求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
29．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合.
（1）；
（2）.
30．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
31．若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：
（1）；
（2）.
32．求函数的单调区间.
33．已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值.
34．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
拓广探索
35．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并画出其图象
36．已知周期函数的图象如图所示，
（1）求函数的周期；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的解析式.
37．容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析
【解析】根据五点作图法画出图像,再直观分析即可.
【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.
【点睛】本题主要考查了正余弦函数图像之间的关系,属于基础题.
2．（1）见解析（2）见解析
【解析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.
【详解】解:
x 0
0 1 0 -1 0
3 2 1 2 3
【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题.
3．见解析
【解析】分析可知当时与的图象相同,当时, 与的图象关于轴对称,再分析即可.
【详解】解:把的图象在轴下方的部分翻折到x轴上方,连同原来在x轴上方的部分就是的图象,如图所示.
【点睛】本题主要考查了绝对值图像与原图像之间的关系,属于基础题.
4．ABC
【分析】画出在的图象，即可根据图象得出.
【详解】画出在的图象如下：
则可得当或时，与的交点个数为0；
当或时，与的交点个数为1；
当时，与的交点个数为2.
故选：ABC.
5．见解析
【解析】成立，再利用函数的周期的定义说明不能说是正弦函数,的一个周期.
【详解】等式成立,但不能说是正弦函数,的一个周期.
因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x,不一定等于,如,所以不是正弦函数,的一个周期.
【点睛】本题主要考查周期函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．(1)周期为.见解析(2)周期为.见解析(3)周期为.见解析(4)周期为.见解析
【解析】利用周期函数的定义证明函数的周期，再作出函数的图象得解.
【详解】解:(1)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：
(2)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：
(3)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：
(4)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：
【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．(1)(3)(4)是奇函数;(2)是偶函数.
【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】(1),函数的定义域为R， ，
所以函数是奇函数；
(2)，函数的定义域为R，，
所以函数是偶函数；
(3)，函数的定义域为R，，
所以函数是奇函数；
(4)，函数的定义域为R，
所以函数是奇函数.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．,
【解析】直接利用函数的周期求解.
【详解】解:由题意可知,;
.
【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．(1);
(2);
(3);
(4)
【解析】观察正弦曲线和余弦曲线得解.
【详解】(1),观察正弦曲线得；
(2)，观察正弦曲线得；
(3)，观察余弦曲线得；
(4)，观察余弦曲线得.
【点睛】本题主要考查正弦曲线和余弦曲线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．(1)当时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2.
(2)当时,函数取得最大值3;当时,函数取得最小值1.
【解析】（1）利用取得最大值和最小值的集合与正弦函数取最大值最小值的集合是一致的求解；（2）利用取得最大值和最小值的集合与余弦函数取最小值最大值的集合是一致的求解.
【详解】（1）当即时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2；
(2)当即即时,函数取得最大值3;
当即即当时,函数取得最小值1.
【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．C
【解析】利用正弦函数的单调性分析判断得解.
【详解】因为,，
所以函数的单调性和正弦函数的单调性相同，
所以函数在及上单调递增,在上单调递减.
故选：C
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．(1)(2)
【解析】（1）利用在内为减函数判断它们的大小；（2）利用在内为减函数判断它们的大小.
【详解】解:(1),∵,且在内为减函数,
∴,即.
(2)∵,且在内为减函数,
∴.
【点睛】本题主要考查正弦余弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．和.
【分析】根据正弦型函数的性质有时函数单调递减，即可求出的递减区间，进而讨论k值确定上的递减区间即可.
【详解】∵上单调递减，
∴上单调递减，
当：；当：；
∴、为的单调递减区间.
14．
【解析】画出和的图象，观察图象即可.
【详解】在同一坐标系中画出和的图象，如下：
当时，，
由图象可知不等式的解集为.
【点睛】本题考查了正切函数不等式，考查了用数形结合法，属于基础题.
15．（1）；（2）；（3）；
【分析】画出的函数图象，通过图象判断（1）、（2）、（3）对应自变量的取值范围即可.
【详解】
（1）：；
（2）：；
（3）：；
16．
【解析】令，解出x的范围即可求得定义域.
【详解】令，得，
所以函数的定义域为.
【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题.
17．（1）周期为（2）周期为
【解析】（1）由诱导公式，得，即，问题得解；
（2）由诱导公式，得，即，问题得解；
【详解】（1）令，因为，
所以函数，的周期为.
（2）令，因为，
所以函数，的周期为.
【点睛】本题考查了诱导公式，函数周期性定义，属于中档题.
18．（1）；（2）
【解析】（1）根据在的单调性进行比较，得到答案；（2）根据正切函数的周期对所求的值进行化简，再根据在的单调性进行比较，得到答案.
【详解】解：（1），
且在内为增函数，
.
（2），
，
，
且在内为增函数，
，故.
【点睛】本题考查根据正切函数的单调性比较函数值的大小，属于简单题.
19．（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）根据五点作图法作图法作图；
（2）根据五点作图法作图法作图.
【详解】解：（1）
1 0 1 2 1
描点连线得如图①，
（2）
4 1 1 4
描点连线得如图②.
【点睛】本题考查考查五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.
20．（1）；（2）.
【分析】利用正余弦的性质，结合可求（1）（2）中三角函数的最小正周期，进而可写出函数的周期.
【详解】（1）由题设知：，故最小正周期为，即的周期为；
（2）由题设知：，故最小正周期为，即的周期为；
21．（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数.
【解析】（1）根据奇偶性定义进行判断；
（2）根据奇偶性定义进行判断；
（3）根据奇偶性定义进行判断；
（4）根据奇偶性定义进行判断；
【详解】（1）定义域为R,且，所以是偶函数；
（2）定义域为R,且，所以是偶函数；
（3）定义域为R,且，所以是奇函数；
（4）定义域为,
但，所以既不是奇函数，也不是偶函数.
【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.
22．（1）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
（2）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
（3）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
（4）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
【解析】（1）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；
（2）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围；
（3）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；
（4）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围.
【详解】（1）由得使y取得最大值的x的集合是；
由使y取得最小值的x的集合是.
（2）由得使y取得最大值的x的集合是；
由得使y取得最小值的x的集合是.
（3）由得使y取得最大值的x的集合是；
由得使y取得最小值的x的集合是.
（4）由得使y取得最大值的x的集合是；
由得使y取得最小值的x的集合是.
【点睛】本题考查正余弦函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
23．（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）根据正弦函数单调性判断大小；
（2）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小；
（3）先根据诱导公式化简，再根据正弦函数单调性判断大小；
（4）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小.
【详解】解：（1），且在内为减函数，.
（2）.
，且在内为减函数.
，即.
（3）.
，且在内为减函数，
，即.
（4），.
，且在内为减函数，
，即.
【点睛】本题考查诱导公式以及正余弦函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
24．（1）单调递增区间为；单调递减区间为.（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
【解析】（1）根据正弦函数单调性求单调区间；
（2）根据余弦函数单调性求单调区间
【详解】（1）当时； 单调递增；
因为，所以单调递增区间为；
当时； 单调递减；
因为，所以单调递减区间为；
（2）当时； 单调递增；
因为，所以单调递增区间为；
当时； 单调递减；
因为，所以单调递减区间为.
【点睛】本题考查正余弦函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．
【解析】根据正切函数性质列式求解，即得结果.
【详解】解：由，得，
∴原函数的定义域为.
【点睛】本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
26．
【解析】根据周期定义或正切函数周期公式求解.
【详解】解法一：
∴所求函数的周期为.
解法二：所求函数的周期.
【点睛】本题考查正切函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.
27．（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；
（2）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；
（3）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；
（4）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小
【详解】解：（1）.
，且在上为增函数，
.
（2），
.
，且在上为增函数，
，即.
（3）.
，且在上为增函数，
，即.
（4）.
，且在上为增函数，
，即.
【点睛】本题考查周期函数单调性以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
28．（1）；（2）.
【解析】（1）根据正弦函数单调性求值域；
（2）根据余弦函数单调性求值域.
【详解】（1）当时单调递增，；
当时单调递减，；
因此的值域为；
（2）当时，，单调递减，；
因此的值域为；
【点睛】本题考查根据正余弦函数单调性求值域，考查基本分析求解能力，属基础题.
29．（1）；（2）.
【解析】（1）先作一个周期的图象，再根据图象写结果；
（2）先作一个周期的图象，再根据图象写结果.
【详解】（1）
所以成立的x的取值集合为
（2）
所以成立的x的取值集合为
【点睛】本题考查根据正余弦函数图象解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
30．A
【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.
【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递减；
故选：A
【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
31．（1）；（2）.
【解析】（1）根据正切函数单调性求解三角不等式；
（2）根据正切函数单调性求解三角不等式.
【详解】（1）
，即所求集合为；
（2））
，即所求集合为
【点睛】本题考查根据正切函数单调性解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
32．单调递减区间为；无单调递增区间.
【解析】根据正切函数单调性列不等式，解得结果.
【详解】当时， 单调递减，
即
所以的单调递减区间为；无单调递增区间.
【点睛】本题考查正切函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.
33．，
【解析】根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果.
【详解】解：由题意可得，
.
.
【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
34．（1） （2）最大值为，最小值为
【解析】（1）根据正弦函数周期公式求解；
（2）根据正弦函数单调性求最值.
【详解】解：（1）最小正周期为.
（2），
.
即在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
35．，图象见解析
【解析】根据三角函数定义可得点B的纵坐标y关于x的函数解析式，利用五点作图法可画图.
【详解】解：三角函数定义可得，
0 2 0 -2 0
描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：
【点睛】本题考查三角函数定义以及五点作图法，考查基本分析求解能力，属基础题.
36．（1）.（2）见解析 （3）
【分析】（1）根据周期定义结合图象求得结果；
（2）把向左平移一个单位得的图象；
（3）根据一次函数解析式得在一个周期上的解析式，再根据周期得结果.
【详解】解：（1）.
（2）把向左平移一个单位得的图象，即如图所示
（3）
所以.
【点睛】本题考查函数周期、图象变换以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
37．见解析
【解析】根据正弦函数、余弦函数以及正切函数性质即可得到结果.
【详解】解：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为.
能.
由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为，对称轴的方程是，
正切曲线的对称中心坐标为，正切曲线不是轴对称图形.
【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数以及正切函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5．4 三角函数的图象与性质
第五章三角函数
5.4三角函数的图象与性质
例1画出下列函数的简图：
（1），；
（2），.
解：（1）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：
（2）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：
例2求下列函数的周期：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期.
对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，；
对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，.
解：（1），有.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
（2）令，由得，且的周期为，即，
于是，
所以，.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
（3）令，由得，且的周期为，即，
于是，
所以.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
例3下列函数有最大值 最小值吗？如果有，请写出取最大值 最小值时自变量x的集合，并求出最大值 最小值.
（1），；
（2），；
解：容易知道，这两个函数都有最大值 最小值.
（1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的x的集合；
使函数，取得最小值的x的集合，就是使函数，取得最小值的x的集合.
函数，的最大值是；最小值是.
（2）令，使函数，取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合.
由，得.所以，使函数，取得最大值的x的集合是.
同理，使函数，取得最小值的x的集合是.
函数，的最大值是3，最小值是-3.
例4不通过求值，比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2）与.
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解：（1）因为，
正弦函数在区间上单调递增，所以.
（2），
.
因为，且函数在区间上单调递减，所以，
即.
例5求函数，的单调递增区间.
分析：令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.
解：令，，则.
因为，的单调递增区间是，且由，
得.
所以，函数，的单调递增区间是.
例6求函数的定义域 周期及单调区间.
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量x的取值应满足，，
即，.
所以，函数的定义域.
设，又，
所以，
即.
因为都有，
所以，函数的周期为2
由，解得，.
因此，函数在区间，上都单调递增.
5.4.1正弦函数 余弦函数的图象
练习
1．在同一直角坐标系中,画出函数,,,的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.
2．用五点法分别画下列函数在上的图象:
(1);
(2).
3．想一想函数与的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.
4．函数y=1+cosx，的图象与直线y=t（t为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 E．4个
5.4.2正弦函数 余弦函数的性质
练习
5．等式是否成立 如果这个等式成立,能否说是正弦函数,的一个周期 为什么
6．求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
7．下列函数中,哪些是奇函数 哪些是偶函数
(1);
(2);
(3);
(4).
8．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值.
练习
9．观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x所在的区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
10．求使下列函数取得最大值 最小值的自变量的集合,并求出最大值 最小值.
(1),;
(2),.
11．下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是.
A．在上单调递增,在上单调递减
B．在上单调递增,在上单调递减
C．在及上单调递增,在上单调递减
D．在上单调递增,在及上单调递减
12．不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)与;
(2)与.
13．求函数的单调递减区间．
5.4.3正切函数的性质与图象
练习
14．借助函数的图象解不等式，.
15．观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：
（1）；
（2）；
（3）．
16．求函数的定义域.
17．求下列函数的周期：
（1），；（2），.
18．不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：
（1）与；
（2）与
习题5.4
复习巩固
19．画出下列函数的简图：
（1）；
（2）.
20．求下列函数的周期：
（1）；
（2）．
21．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
22．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）；
（2）.
（3）；
（4）.
23．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）与；
（2）与.
（3）与；
（4）与.
24．求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
25．求函数的定义域.
26．求函数的周期.
27．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
综合运用
28．求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
29．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合.
（1）；
（2）.
30．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
31．若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：
（1）；
（2）.
32．求函数的单调区间.
33．已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值.
34．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
拓广探索
35．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并画出其图象
36．已知周期函数的图象如图所示，
（1）求函数的周期；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的解析式.
37．容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题.复习参考题3
复习参考题3
复习巩固
1．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
2．已知函数，求：
（1）；
（2）.
3．设，求证：
（1）；
（2）．
4．已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围.
5．已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.
6．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数其中x是仪器的产量（单位：台）.
(1)将利润（单位：元）表示为产量x的函数（利润=总收益-总成本）；
(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
综合运用
7．已知函数，求的值.
8．证明：
（1）若，则.
（2）若，则.
9．请解决下列问题：
（1）已知奇函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？
（2）已知偶函数在上单调递减，那么它在上单调递增还是单调递减？
10．某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到区间（单位：元/（）内，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（）.
（1）写出本年度电价下调后电力部门的利润（单位：元）关于实际电价（单位，元/）的函数解析式；
（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？
拓广探索
11．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？

12．试讨论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.
13．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象.
14．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系.
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
（1）根据表中提供的数据描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；
（2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）且
【分析】要使函数有意义，则偶次方根的被开方数大于等于零，分母不为零，即可得到不等式组，解得即可，需注意定义域为集合，需写成集合或区间的形式；
【详解】解：（1）要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域为．
（2）要使函数有意义，则，即，解得且，故函数的定义域为且．
2．（1）
（2）.
【解析】（1）直接代入数据化简得到答案.
（2）直接代入数据化简得到答案.
【详解】（1）
（2）.
【点睛】本题考查了求函数表达式，属于简单题.
3．（1）证明见详解；（2）证明见详解
【分析】（1）将代入，所得表达式与比较即可得证.
（2）将代入，所得表达式与比较即可得证.
【详解】（1）.
所以；
（2），
所以.
【点睛】本题主要考查函数解析式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
4．
【分析】由题意结合二次函数的单调性与对称性，即可得到结果.
【详解】由题意得，或，解得，或，
故的范围．
5．，函数的图象见解析，既不是奇函数也不是偶函数，在上递减.
【解析】设，代入点得到函数解析式，再画出图像，判断奇偶性和单调性得到答案.
【详解】依题意设，则，解得，所以.
函数的图像如图，
既不是奇函数也不是偶函数，函数在上递减.
【点睛】本题考查了幂函数的解析式，图像，奇偶性，单调性，意在考查学生对于幂函数知识的综合应用.
6．(1)
(2)当时，利润有最大值为.
【分析】（1）考虑和两种情况，根据利润公式计算得到函数解析式.
（2）分别计算和的最值，比较大小得到答案.
(1)
当时，；
当时，.
故.
(2)
当时，，
故当时，函数有最大值为；
当时，.
综上所述：当时，利润有最大值为.
7．.
【解析】讨论和，直接代入数据计算得到答案.
【详解】.
当即时，.
当即时，.
【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
8．（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）直接代入数据化简得到证明.
（2）代入数据得到
，根据得到证明.
【详解】（1）.
（2）
.
因为，
即，
则.
所以.
【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生的计算能力.
9．（1）奇函数在上也是减函数
（2）偶函数在上是增函数
【解析】（1）奇函数在上也是减函数，任取，则，计算得到证明.
（2）偶函数在上是增函数，任取，则，计算得到证明.
【详解】（1）奇函数在上也是减函数，
证明如下：任取，则.
因为在上是减函数，所以.
又为奇函数，所以，于是，即.
所以在上是减函数.
（2）偶函数在上是增函数，
证明如下：任取，则.
因为在上是减函数，所以.
又是偶函数，所以.于是.
所以在上是增函数.
【点睛】本题考查了函数单调性的判断和证明，意在考查学生的推断能力.
10．（1），；（2）0.6元/（）时.
【分析】（1）根据题意，结合反比例的定义进行求解即可；
（2）根据题意得到不等式组，解不等式组进行求解即可.
【详解】（1），
（2）当时，
由题意可得：
整理得：，解得
所以当电价最低定为0.6元/（）时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了一元二次不等式的解法应用，考查了数学运算能力.
11．见解析.
【解析】根据随着产品数量的上升，单价的变化情况得到答案.
【详解】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线；
题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线.
从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线；
而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解和掌握.
12．定义域为，值域为R. 在，上为增函数， 奇函数，图像见解析
【解析】计算函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，画出函数图像得到答案.
【详解】定义域为，值域为R.
，且，则.
，即.
在上为增函数.
，且，则.
，且.
，即.在上为增函数.
设.
是奇函数.
的图像如图.
【点睛】本题考查了函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，图像，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
13．，函数图象见解析；
【分析】在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．
【详解】解：（1）当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，
又，，
（2）当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，
又，
（3）当时，
综上所述
14．（1）
（2），销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元
【解析】（1）猜想y与x是一次函数关系，设，代入数据计算得到答案.
（2），根据二次函数的单调性得到最值.
【详解】（1）如图，猜想y与x是一次函数关系，设.
将代入得,解得.
∴y与x的一次函数解析式为.
（2），当时，.
∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.
【点睛】本题考查了求函数解析式，函数图像，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的应用能力.
答案第1页，共2页3．1 函数的概念及其表示
第三章函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数（）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系 一定密度的物体的质量与体积的关系 圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数.
如果对x的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么.
其中，x的取值范围是，y的取值范围是.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积.
例2已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求，的值.
（3）当时，求，的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是.所以，这个函数的定义域是，
即.
（2）将-3与代入解析式，有
；
.
（3）因为，所以，有意义.
；
.
例3下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
（1）；（2）；
（3）；（4）.
解：（1）（），它与函数（）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
（2）（），它与函数（）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数（）是同一个函数.
（3），它与函数（）的定义域都是实数集R，但是当时，它的对应关系与函数（）不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
（4）（}，它与函数（）的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
例4某种笔记本的单价是5元，买x（）个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集.
用解析法可将函数表示为
，.
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为图
例5画出函数的图象.
解：由绝对值的概念，我们有.
所以，函数的图象如图所示.
例6给定函数，，，
（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
（2），用表示，中的较大者，记为.
例如，当时，.
请分别用图象法和解析法表示函数.
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象（图）.
（2）由图中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数M（x）的图象（图）.
由，得.
解得，或.
结合图3.1-5，得出函数的解析式为.
例7表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
例8依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额 税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表.
（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求，并画出图象；
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳或者住房租金 赡养老人的基本养老保险 基本医疗保险 失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%专项扣除 专项附加扣除1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除之外，由国务院决定以扣是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：
第一步，根据②计算出应纳税所得额t；
第二步，由t的值并根据表得出相应的税率与速算扣除数
第三步，根据①计算出个税税额y的值.
由于不同应纳税所得额t对应不同的税率与速算扣除数，所以y是t的分段函数.
解：（1）根据表3.1-5，可得函数的解析式为
，③
函数图象如图所示.
（2）根据②，小王全年应纳税所得额为
.
将t的值代入③，得.
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元.
3.1.1函数的概念
练习
1．一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.
2．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.
（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.
3．集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.
练习
5．求下列函数的定义域：
（1）；（2）.
6．已知函数，
（1）求，，的值；（2）求，，的值.
7．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数和二次函数；
（2）和.
3.1.2函数的表示法
练习
8．如图，把直截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：），把y表示为x的函数.
9．画出函数的图象.
10．给定函数，，，
（1）画出函数，的图象；
（2），用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.
练习
11．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A. B.
C. D.
12．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里),票价2元；
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.
习题3.1
复习巩固
13．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．下列哪一组中的函数与是同一个函数？
（1）；
（2）；
（3）.
15．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
16．已知函数，求的值.
17．已知函数g(x)＝，
(1)点(3，14)在函数的图像上吗？
(2)当x＝4时，求g(x)的值；
(3)当g(x)＝2时，求x的值.
18．若，且，，求的值.
19．画出下列函数的图象：
（1）
（2）.
综合运用
20．如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
21．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm.现在以的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x（单位：cm）关于注入溶液的时间t（单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.
22．一个老师用5分制对数学作业评分，一次作业中，第一小组同学按座位序号1，2，3，4，5，6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5，你会怎样表示这次作业的得分情况？用x，分别表示序号和对应的得分，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？
23．函数的图象如图所示，
(1)函数的定义域 值域各是什么？
(2)r取何值时，只有唯一的值与之对应？图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交.
24．画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？
25．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.
26．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.
拓广探索
27．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离，请将t表示为x的函数.
（2）如果将船停在距点P 4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？
28．给定数集，方程，①
（1）任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断是否为函数；
（2）任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断是否为函数.
29．探究是否存在函数满足条件：
（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同.
30．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由．1.5 全称量词与存在量词
第一章集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
例1判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数①都是奇数；
（2），；
（3）对任意一个无理数x，也是无理数.
分析：要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.②
①如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.
②这个方法就是“举反例”.
解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.
（2），总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题.
（3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题.
例2判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x，使；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
分析：要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立即可；如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.
解：（1）由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
例3写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）对任意，的个位数字不等于3.
解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
（3）该命题的否定：，的个位数字等于3.
例4写出下列存在量词命题的否定：
（1），；
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数
解：（1）该命题的否定：，.
（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
例5写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）任意两个等边三角形都相似；
（2），.
解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
（2）该命题的否定：，.因为对任意，，
所以这是一个真命题.
1.5.1全称量词与存在量词
练习
1．判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）是无理数}，是无理数.
2．判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
练习
3．写出下列命题的否定：（1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.
4．写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.
习题1.5
复习巩固
5．判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数的平方是正数;
(4)梯形的对角线相等
6．判断下列存在量词命题的真假:
(1)有些实数是无限不循环小数;
(2)存在一个三角形不是等腰三角形;
(3)有些菱形是正方形;
(4)至少有一个整数是4的倍数.
7．写出下列命题的否定:
(1);
(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
(3);
(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
综合运用
8．判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交;
(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;
(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;
(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.
9．将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:
(1)平行四边形的对角线互相平分;
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形;
(4)一元二次方程不总有实数根.
拓广探索
10．在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如:
①若,则;(假命题)
②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)
这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.
(1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗 如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.
(2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.复习参考题1
复习参考题1
复习巩固
1．用列举法表示下列集合：
（1）；
（2） ；
（3）.
2．设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
(1)(A,B是两个不同定点)；
(2)(O是定点)
3．设平面内有，且P表示这个平面内的动点，指出属于集合的点是什么.
4．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：
(1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的_______；
(2)是的___________；
(3)是的__________；
(4)x,y为无理数是为无理数的_________.
5．已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假：
(1)“”是“”的充分条件；
(2)“”是“”的必要条件；
(3)“”是“”的充分条件；
(4)“”是“”的必要条件.
6．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：
(1)任意实数的平方大于或等于0；
(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；
(3)存在整数x，y，使得；
(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.
7．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1)，一元二次方程有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3)；
(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于.
综合运用
8．已知集合,求,并解释它们的几何意义.
9．已知集合,是否存在实数a,使得 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
10．把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:
(1)勾股定理;
(2)三角形内角和定理.
拓广探索
11．学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
12．根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:
(1).
(2)如图,在中,AD,BE与CF分别为BC,AC与AB边上的高,则AD,BE与CF所在的直线交于一点O.
答案第1页，共2页1.3 集合的基本运算
第一章集合与常用逻辑用语
1.3集合的基本运算
例1设，，求.
解：
.
例2设集合，集合，求.
解：
.
如图1.3-2，还可以利用数轴直观表示例2中求并集的过程.
例3立德中学开运动会，设
是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学，
是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，
求.
解：就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，
是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.
例4设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系.
解：平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点 平行或重合.
（1）直线，相交于一点P可表示为；
（2）直线，平行可表示为；
（3）直线，重合可表示为.
例5设是小于9的正整数，，，求，.
解：根据题意可知，，所以
，
.
例6设全集是三角形，是锐角三角形，是钝角三角形，求，.
解：根据三角形的分类可知
，
是锐角三角形或钝角三角形，
是直角三角形.
练习
1．设，，求，.
2．设，，求，.
3．设是等腰三角形}，是直角三角形}，求，.
4．设是幸福农场的汽车}，是幸福农场的拖拉机}，求.
练习
5．已知，，，求，.
6．设是平行四边形或梯形}，是平行四边形}，是菱形}，是矩形}，求，，.
7．图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
（1）；
（2）.
习题1.3
复习巩固
8．已知集合， ，求A∩B，A∪B.
9．设是小于的正整数 ，.求.
10．学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200 m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
（1）；
（2）.
综合运用
11．已知集合，，求，，，.
12．设集合，，求，．
拓广探索
13．已知全集，试求集合B.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，
【解析】根据交集和并集定义直接求解即可.
【详解】由交集定义知：；由并集定义知：
【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.
2．，.
【解析】根据一元二次方程的解法分别求得集合，由并集和交集的定义直接得到结果.
【详解】，
，
【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，涉及到一元二次方程的求解问题，属于基础题.
3．是等腰直角三角形，是等腰三角形或直角三角形
【解析】根据交集和并集定义直接求解即可.
【详解】由交集定义知：是等腰直角三角形
由并集定义知：是等腰三角形或直角三角形
【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.
4．是幸福农场的汽车或拖拉机}
【解析】根据并集的定义可直接得到结果.
【详解】由并集定义知：是幸福农场的汽车或拖拉机
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
5．，.
【解析】根据补集定义首先求得和，由交集定义可求得结果.
【详解】，
，
【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题.
6．是正方形}，是邻边不相等的平行四边形或梯形}，是梯形}.
【解析】根据平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，结合交集与补集的定义即可得到结果.
【详解】由交集定义得：既是菱形又是矩形是正方形
由补集定义得：是邻边不相等的平行四边形或梯形；是梯形
【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，属于基础题.
7．（1）图象见解析；（2）图象见解析.
【解析】根据补集、交集和并集的定义，利用图表示出来即可.
【详解】如下图阴影部分所示.
【点睛】本题考查图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题.
8．,
【分析】先对集合进行化简，然后与集合分别取交集和并集即可．
【详解】由题得：集合，而集合，
所以，.
【点睛】本题考查了集合的交集与并集，以及不等式的求解运算，属于基础题．
9．，，，.
【分析】先计算集合，再利用集合运算法则计算得到答案.
【详解】，，，
，，，.
【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生对于集合运算的掌握情况.
10．；（1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学；（2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学
【解析】（1）根据并集的定义得到答案.
（2）根据交集的定义得到答案.
【详解】这项规定用集合表示：
（1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学；
（2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学.
【点睛】本题考查了交集和并集的定义的理解，属于简单题.
11．答案见解析.
【分析】直接利用集合的交、并、补运算即可求解
【详解】因为，，
所以,所以；
因为，，
所以,所以；
因为，，
所以，所以；
因为，，
所以，所以.
12．答案见解析
【分析】首先化简集合B，然后根据集合、分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案．
【详解】解：因为
所以
又因为，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当且且时，所以，
13．
【解析】计算，根据计算得到答案.
【详解】，，
.故.
【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.
答案第1页，共2页1.1 集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么.
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成等.
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为.
方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为.
（2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.
大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
.
练习
1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.
2．用符号“”或“”填空：
0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.
3．用适当的方法表示下列集合：
（1）由方程的所有实数根组成的集合；
（2）一次函数与图象的交点组成的集合；
（3）不等式的解集.
习题1.1
复习巩固
4．用符号“”或“”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
（2）若，则-1_____________A；
（3）若，则3________________B；
（4）若，则8_______________C，9.1____________C.
5．用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
综合运用
6．把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）；
（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
（3）；
（4）中国古代四大发明
7．用适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）反比例函数的自变量组成的集合；
（3）不等式的解集
拓广探索
8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．
康托尔（Georg Cantor，1845—1918）
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.
【解析】（1）与定点A，B等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；
（2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.
【详解】（1）与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.
（2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.
【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题.
2．
【解析】根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.
【详解】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则；
是有理数，则；是无理数，则
故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)
【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.
3．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）求出方程的根，用列举法表示即可；
（2）求出交点，用列举法表示即可；
（3）化简不等式，用描述法表示即可.
【详解】（1），则该方程所有实数根组成的集合为；
（2）由解得：，则图象的交点组成的集合为；
（3）不等式可化为，则该集合为
【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题.
4．（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）根据国家的地理位置直接得到答案.
（2）计算得到，再判断关系.
（3）计算得到，再判断关系.
（4）计算得到，再判断关系.
【详解】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国，美国，印度，英国；
（2），故；
（3），故；
（4），故；
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）
【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可；
（2）求出一元二次方程的解，即可得出结果；
（3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果.
（1）
大于1且小于6的整数组成的集合为；
（2）
（3）
6．（1）{且}
（2）
（3）
（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}
【解析】（1）用描述法写出集合得到答案.
（2）用列举法写出集合得到答案.
（3）用列举法写出集合得到答案.
（4）用列举法写出集合得到答案.
【详解】（1）{且}.
（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数：
.
（3）.
（4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}
【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握.
7．（1）
（2）
（3）
【解析】（1）求二次函数的值域得到答案.
（2）求反比例函数的定义域得到答案.
（3）解不等式得到答案.
【详解】（1）二次函数的函数值为y，
∴二次函数的函数值y组成的集合为.
（2）反比例函数的自变量为x
∴反比例函数的自变量组成的集合为.
（3）由，得，∴不等式的解集为.
【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.4．1 指数
第四章 指数函数与对数函数
1．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
2．求值：；
3．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中）：
（1）；（2）.
4．计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）；（2）；（3）.
5．用根式的形式表示下列各式（）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
6．用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
7．计算下列各式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
8．计算下列各式：
（1）；（2）.
9．利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：
（1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势；
（2）取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势.
10．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
一、选择题
11．设，则下列运算中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
12．设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
13．在，，，中最大的数是：___________；
14．按从小到大的顺序，可将重新排列为_________（可用计算工具）.
15．用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：
（1）；（2）；（3）.
16．计算下列各式（式中字母均为正数）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
17．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成_____________个.
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
19．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
20．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……
（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？
（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？
21．（1）当n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算的值；
（2）当n越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也会越来越大？有没有最大值？4．2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
例1 已知指数函数（，且），且，求，，的值.
分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求a的值.
解：因为，且，则，解得，于是.
所以，，，.
例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则
，
.
利用计算工具可得，
当时，.
当时，.
结合图可知：
当时，，
当时，.
当时，.
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.
（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为.
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么.
当时，利用计算工具求得.
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
例3 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来.
解：（1）和可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数，所以指数函数是增函数.
因为，所以.
（2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数.
因为，所以.
（3）由指数函数的性质知，，
所以.
例4 如图，某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
4.2.1 指数函数的概念
练习
1．下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，且，，求函数的一个解析式.
3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
4.2.2 指数函数的图象和性质
练习
4．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.
5．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
6．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
习题4.2
复习巩固
7．求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；（4）.
8．一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式.
9．比较满足下列条件的m，n的大小：
（1）； （2）；
（3）；（4）.
10．设函数，且.
（1）求函数的增长率r；（2）求的值.
综合运用
11．求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数的数据如下表：
x 0 1 2
3.50 4.20 5.04
（2）函数的图象如图：
12．比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
13．当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？
14．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.
（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
拓广探索
15．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
16．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).
（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
（2）如果f(x)试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】根据指数函数的图象与性质选择．
【详解】由于（，且），所以A，B，D都不正确，故选C.
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．如指数函数图象恒过点，值域是．
2．
【解析】用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论．
【详解】由己知得，，，
，
，又.
【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．
3．6.16倍
【解析】根据平均增长率问题可得．
【详解】设现在的蓝藻量为，经过30天后的蓝藻量为，则，
，∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.
【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是．
4．见解析
【解析】根据指数函数图象与性质作图，由图观察对称性．
【详解】和的图象如图，和的图象关于y轴对称
【点睛】本题考查指数函数的图象，属于基础题．
5．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由函数的单调性比较；
（2）由函数的单调性比较；
（3）与中间值 1比较．
【详解】（1）函数在上是增函数，
.
（2）函数在上为减函数，
.
（3）.
【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小．
6．见解析
【解析】定义域是．是增函数，开始图象较平缓，后来急剧上升，结合指数函数图可得．
【详解】经时间，癌细胞数量为，图象如图.
【点睛】本题考查增长问题，考查指数函数的应用．
7．（1）R；（2）R；（3）R；（4）.
【解析】根据指数幂成立的条件即可求函数的定义域．
【详解】解：（1）函数的定义域为；
（2）函数的定义域为；
（3）函数的定义域为；
（4）要使函数有意义，则，则函数的定义域为．
【点睛】本题主要考查指数型函数的定义域，属于基础题．
8．
【解析】由题意可知函数模型为指数型，由此可得函数解析式．
【详解】解：由题意，今后年内，年产量随时间变化的增长率为，
又原来的年产量是a件，
∴．
【点睛】本题主要考查函数模型的建立，属于基础题．
9．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】根据指数函数的单调性即可比较大小．
【详解】解：（1）∵函数在上单调递增，且，
∴；
（2）∵函数在上单调递减，且，
∴；
（3）∵函数在上单调递减，且，
∴；
（4）∵函数在上单调递增，且，
∴．
【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．
10．（1）0.15；（2）.
【解析】（1）由题意得，由此可求得答案；
（2）代入解析式即可求出．
【详解】解：（1）由已知得，解得.
所以增长率r约为0.15.
（2）由（1）知，，
∴.
【点睛】本题主要考查指数的运算，属于基础题．
11．（1）；（2）．
【解析】（1）通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数，设，再代入其中两点即可算出答案；
（2）由图象可知函数模型为指数型，设，代入两点坐标即可求出答案．
【详解】解：（1）设.
把代入得，
，解得，
为可能的解析式；
（2）设，将代入，得
，解得，
∴为一个可能的解析式．
【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型，属于开放性的基础题．
12．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】（1）由单调递增，，所以；
（2）由单调递减，，所以；
（3）由单调递增，，所以；
（4）由单调递减，，所以.
13．能
【解析】碳14的含量呈指数型变化，由此可得出结论．
【详解】解：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为，
所以能探测到．
【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．
14．（1）.（2）（元）.
【解析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式；
（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和．
【详解】解：（1）根据题意可得；
（2）由（1）可知，当时，
，
∴5期后的本利和约为元．
【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．
15．（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数.
【解析】（1）由函数图象过原点可得，又由图象无限接近直线可得，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；
（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．
【详解】解：（1）由题意知，，，
，
∴，图象如图：

（2）∵，
∴，
为偶函数，
又，
∴在上为减函数，在上为增函数．
【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．
16．（1）答案见解析；（2）当a>1时，x的取值范围是；当0【分析】（1）由题意按照a>1、0（2）由题意转化条件得，按照a>1、0【详解】（1）当a>1时，f (x)=ax是R上的增函数，
由于0<<1，所以g(x)=是R上的减函数；
当0由于>1，所以g(x)=是R上的增函数；
（2），
当a>1时，x<0；当00.
∴当a>1时，x的取值范围是；
当0【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.
答案第1页，共2页2．3 二次函数与一元二次方程、不等
第二章一元二次函数 方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程 不等式
例1求不等式的解集.
分析：因为方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据函数图象得到的解集.
解：对于方程，因为，所以它有两个实数根.解得，.
画出二次函数的图象（图2.3-2），结合图象得不等式的解集为.
例2求不等式的解集.
解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得.
画出二次函数的图象（图2.3-3），结合图象得不等式的解集为.
例3求不等式的解集.
解：不等式可化为.
因为，所以方程无实数根.
画出二次函数的图象（图2.3-4）.
结合图象得不等式的解集为.
因此，原不等式的解集为.
例4一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：
.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得
.
移项整理，得.
对于方程，，方程有两个实数根，
画出二次函数的图象（图2.3-6），结合图象得不等式的解集为，
从而原不等式的解集为.
因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益
例5某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：）之间有如下关系：
.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1）？
解：根据题意，得.
移项整理，得.
对于方程，，方程有两个实数根，.
画出二次函数的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为.
因为车速，所以.而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80.
练习
1．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
2．当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0 大于0 小于0
(1);
(2);
(3);
(4).
练习
3．x是什么实数时,有意义
4．如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米
5．某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格
习题2.3
复习巩固
6．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
7．是什么实数时，下列各式有意义？
（1）；
（2）.
综合运用
8．已知，，求，.
9．一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中．
10．已知集合，，求.
拓广探索
11．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？5．7 三角函数的应用
第五章 三角函数
5．7 三角函数的应用
例1 如图5.7-3，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.
（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：（1）由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是20℃.
（2）由图5.7-3可以看出，从6~14时的图象是函数
①
的半个周期的图象，所以
，.
因为，所以.
将，，，，代入①式，可得.
综上，所求解析式为，.
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.
例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
表5.7-2
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）.
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如的函数来刻画，其中x是时间，y是水深.根据数据可以确定A，，，h的值.
解：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图5.7-4）.根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：
，，，；
由，得.
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述.
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3）：
表5.7-3
（2）货船需要的安全水深为，所以当时就可以进港.令
，
.
由计算器可得
如图5.7-5，在区间内，函数的图象与直线有两个交点A，B，因此
，或.
解得，.
由函数的周期性易得：
，
.
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
（3）设在h时货船的安全水深为m，那么（）.在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点（图5.7-6）.
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.
练习
1．某简谐运动的图象如图所示,试根据图象回答下列问题:
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的函数解析式.
2．如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)的函数关系是,.
（1）当时,求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
（2）已知,要使沙漏摆动的周期是,线的长度应当是多少(精确到)
3．一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示.由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式.
练习
4．下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙点的位置将移至何处
5．自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11．5天、14天、16．5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界目的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力．
习题 5．7
综合运用
5．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.如图是一造父变星的亮度随时间的周期变化图，此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？
6．弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：.以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题.
（1）小球在开始振动时（即）的位置在哪里？
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（3）经过多少时间小球往复振动一次？
（4）每秒钟小球能往复振动多少次？
拓广探索
7．北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间．
（1）在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；
（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？
9．夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业单位拉闸限电，而到了零时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）振幅是3,周期是4,频率是;（2）.
【解析】（1）根据振幅、周期与频率的定义,结合函数图像,即可求得答案;
（2）设简谐运动的函数解析式为:,结合（1）即可求得答案.
【详解】（1）根据图像可知:,
根据,可得.
振幅是3,周期是4,频率是
（2）设简谐运动的函数解析式为:
根据（1）,
根据最小正周期计算公式为:,可得
可得
根据中点坐标公式可求得:中点为
可得: 的一个顶点坐标为:
故,解得,
当时:
【点睛】本题考查了求解余弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握余弦型函数的图像特征和的最小正周期计算公式为: ,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2．（1）（2）
【解析】（1） 因为,可得的最大值为,设偏角为,可得最大偏角满足,通过计算器,即可求得答案;
（2）根据的最小正周期计算公式为:,即可求得答案.
【详解】（1）
可得的最大值为
设偏角为
可得最大偏角满足
根据计算器计算结果可得:
（2）根据的最小正周期计算公式为:
,即
即,故
解得:.
【点睛】本题考查了求解余弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握余弦型函数的图像特征和的最小正周期计算公式为: ,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
3．振幅为,周期为,频率为,
【解析】电压关于时间函数是正弦函数,根据图像可求得振幅和,即可求得答案.
【详解】电压关于时间函数是正弦函数
根据图像可求得振幅,
根据
根据最小正周期计算公式: ,解得
根据,代入,
函数图像过点,可得
综上所述, 振幅为,周期为,频率为,
【点睛】本题考查了求解正弦函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦函数的图像特征和基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
4．乙点位置将移至它关于x轴的对称点处
【解析】波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点,在波的传播过程中,绳上各点、只是上下振动,纵坐标在变,横坐标不变,即可求得答案.
【详解】波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点.
又在波的传播过程中,绳上各点、只是上下振动,纵坐标在变,横坐标不变,
即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同.
经过周期,乙点位置将移至它关于x轴的对称点处,
【点睛】本题考查了三角函数图像平移,解题关键是掌握三角函数图像的特征和平移前后点坐标之间的关系,考查了分析能力,属于基础题.
5．周期为5.5天，最亮时约是3.7等星，最暗时约是4.4等星.
【解析】根据图象确定周期以及最值时对应自变量.
【详解】根据图象得周期为5.5-0=5.5
最亮时约是3.7等星，最暗时约是4.4等星.
【点睛】本题考查三角函数图象与性质，考查基本分析识图能力，属基础题.
6．（1）（2）见解析；（3）经过秒往复运动一次（4）次
【分析】（1）代入解析式求解
（2）利用图像直接求解
（3）利用图像得周期
（4）利用求解
【详解】函数在上的图象如图：
（1）时，，即小球在开始振动时的位置.
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是.
（3）小球往复运动一次，就是一个周期，秒，即经过秒往复运动一次.
（4）每秒钟往复运动的次数.
【点睛】本题考查三角函数图像的实际应用，考查读题转化能力，是基础题
答案第1页，共2页1.5 全称量词与存在量词
第一章集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
例1判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数①都是奇数；
（2），；
（3）对任意一个无理数x，也是无理数.
分析：要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.②
①如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.
②这个方法就是“举反例”.
解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.
（2），总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题.
（3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题.
例2判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x，使；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
分析：要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立即可；如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.
解：（1）由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
例3写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）对任意，的个位数字不等于3.
解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
（3）该命题的否定：，的个位数字等于3.
例4写出下列存在量词命题的否定：
（1），；
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数
解：（1）该命题的否定：，.
（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
例5写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）任意两个等边三角形都相似；
（2），.
解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
（2）该命题的否定：，.因为对任意，，
所以这是一个真命题.
1.5.1全称量词与存在量词
练习
1．判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）是无理数}，是无理数.
2．判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
练习
3．写出下列命题的否定：（1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.
4．写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.
习题1.5
复习巩固
5．判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数的平方是正数;
(4)梯形的对角线相等
6．判断下列存在量词命题的真假:
(1)有些实数是无限不循环小数;
(2)存在一个三角形不是等腰三角形;
(3)有些菱形是正方形;
(4)至少有一个整数是4的倍数.
7．写出下列命题的否定:
(1);
(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
(3);
(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
综合运用
8．判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交;
(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;
(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;
(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.
9．将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:
(1)平行四边形的对角线互相平分;
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形;
(4)一元二次方程不总有实数根.
拓广探索
10．在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如:
①若,则;(假命题)
②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)
这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.
(1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗 如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.
(2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题
【解析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.
【详解】（1）真命题.
连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，
而一个三角形的内角和180°，
所以四边形的内角和都是360°是真命题；
（2）假命题.
因为负数没有算术平方根，
所以任何实数都有算术平方根是假命题；
（3）假命题，
因为是无理数，是有理数，
所以是无理数}，是无理数是假命题.
【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.
2．（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题
【解析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案.
【详解】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；
（2）假命题，因为若为整数，则必为偶数；
（3）真命题，因为是无理数，是无理数.
【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题.
3．（1），；（2）存在一个奇款的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.
【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.
【详解】（1）该命题的否定：，；
（2）该命题的否定：存在一个奇款的平方不是奇数；
（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形.
【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.
4．（1）任意三角形都不是直角三角形；（2）所有的梯形都不是等腰梯形；（3）任意一个实数，它的绝对值都是正数.
【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.
【详解】（1）该命题的否定：任意三角形都不是直角三角形；
（2）该命题的否定：所有的梯形都不是等腰梯形；
（3）该命题的否定：任意一个实数，它的绝对值都是正数.
【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.
5．(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.
【解析】(1)根据整数的知识判断即可.
(2)根据平面几何的知识判断即可.
(3)根据平方的性质判断即可.
(4)举出反例判断即可.
【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.
(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.
(3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题
(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.
6．(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.
【解析】(1)根据实数的定义分析即可.
(2)根据等腰三角形的定义分析即可.
(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.
(4)利用反证法证明是假命题即可.
【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如等.故为真命题.
(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.
(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.
(4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题.
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.
7．(1);
(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;
(3);
(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.
【解析】(1)根据全称命题的否定写出即可.
(2)根据全称命题的否定写出即可.
(3)根据特称命题的否定写出即可.
(4) 根据特称命题的否定写出即可.
【详解】(1)“”为全称命题,故否定为：“”;
(2)“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”为全称命题,
故否定为：“存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0”
(3)“”为特称命题,故否定为：“”;
(4) “存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为特称命题,
故否定为：“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.”
【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定,属于基础题型.
8．(1)假命题;命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交;
(2)真命题;命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;
(3)假命题;命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°;
(4)真命题;命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上,
【解析】(1)举出反例即可判定.且原命题为全称命题,故其否定为特称命题.
(2)根据二次函数图像性质可以判定. 且原命题为全称命题, 故其否定为特称命题.
(3)根据三角形性质判定.且原命题为特称命题, 故其否定为全称命题.
(4)举出对应的反例即可. 且原命题为特称命题, 故其否定为全称命题.
【详解】(1)举出反例：函数与x轴不相交.故原命题为假命题.
命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交;
(2)因为二次函数均有对称轴, 故原命题为真命题.
命题的否定: 存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;
(3)因为三角形内角和为180°.故原命题为假命题.
命题的否定: 任意一个三角形,它的内角和不小于180°;
(4)举出例子说明：有一个角为60°的菱形满足四个顶点不在同一个圆上.故原命题为真命题.
命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上.
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及全称命题与特称命题的否定,属于基础题型.
9．(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;
(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;
(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;
(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.
【解析】(1)原命题为全称命题,否定为特称命题.
(2)原命题为全称命题,否定为特称命题.
(3)原命题为特称命题,否定为全称命题.
(4)原命题为特称命题,否定为全称命题.
【详解】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;
它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;
(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;
它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;
(3)存在一个三角形不是中心对称图形;
它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;
(4)存在一个一元二次方程没有实数根;
它的否定:任意一元二次方程都有实数根.
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题及其否定,属于基础题型.
10．(1)不对,见解析(2)见解析
【解析】(1)因为省略了量词的全称量词命题,故补全全称量词再判定即可.
(2)根据初中小学学过的数与形的知识点举例即可.
【详解】解: (1)不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等.
(2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题.
命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题.
【点睛】本题主要考查了“若p,则q”形式的全称量词命题及其否定的辨析,属于基础题型.
答案第1页，共2页3．1 函数的概念及其表示
第三章函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数（）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系 一定密度的物体的质量与体积的关系 圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数.
如果对x的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么.
其中，x的取值范围是，y的取值范围是.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积.
例2已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求，的值.
（3）当时，求，的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是.所以，这个函数的定义域是，
即.
（2）将-3与代入解析式，有
；
.
（3）因为，所以，有意义.
；
.
例3下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
（1）；（2）；
（3）；（4）.
解：（1）（），它与函数（）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
（2）（），它与函数（）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数（）是同一个函数.
（3），它与函数（）的定义域都是实数集R，但是当时，它的对应关系与函数（）不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
（4）（}，它与函数（）的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.
例4某种笔记本的单价是5元，买x（）个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集.
用解析法可将函数表示为
，.
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为图
例5画出函数的图象.
解：由绝对值的概念，我们有.
所以，函数的图象如图所示.
例6给定函数，，，
（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
（2），用表示，中的较大者，记为.
例如，当时，.
请分别用图象法和解析法表示函数.
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象（图）.
（2）由图中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数M（x）的图象（图）.
由，得.
解得，或.
结合图3.1-5，得出函数的解析式为.
例7表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
例8依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额 税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表.
（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求，并画出图象；
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳或者住房租金 赡养老人的基本养老保险 基本医疗保险 失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%专项扣除 专项附加扣除1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除之外，由国务院决定以扣是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：
第一步，根据②计算出应纳税所得额t；
第二步，由t的值并根据表得出相应的税率与速算扣除数
第三步，根据①计算出个税税额y的值.
由于不同应纳税所得额t对应不同的税率与速算扣除数，所以y是t的分段函数.
解：（1）根据表3.1-5，可得函数的解析式为
，③
函数图象如图所示.
（2）根据②，小王全年应纳税所得额为
.
将t的值代入③，得.
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元.
3.1.1函数的概念
练习
1．一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.
2．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.
（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.
3．集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.
练习
5．求下列函数的定义域：
（1）；（2）.
6．已知函数，
（1）求，，的值；（2）求，，的值.
7．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数和二次函数；
（2）和.
3.1.2函数的表示法
练习
8．如图，把直截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：），把y表示为x的函数.
9．画出函数的图象.
10．给定函数，，，
（1）画出函数，的图象；
（2），用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.
练习
11．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A. B.
C. D.
12．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里),票价2元；
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.
习题3.1
复习巩固
13．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．下列哪一组中的函数与是同一个函数？
（1）；
（2）；
（3）.
15．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
16．已知函数，求的值.
17．已知函数g(x)＝，
(1)点(3，14)在函数的图像上吗？
(2)当x＝4时，求g(x)的值；
(3)当g(x)＝2时，求x的值.
18．若，且，，求的值.
19．画出下列函数的图象：
（1）
（2）.
综合运用
20．如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
21．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm.现在以的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x（单位：cm）关于注入溶液的时间t（单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.
22．一个老师用5分制对数学作业评分，一次作业中，第一小组同学按座位序号1，2，3，4，5，6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5，你会怎样表示这次作业的得分情况？用x，分别表示序号和对应的得分，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？
23．函数的图象如图所示，
(1)函数的定义域 值域各是什么？
(2)r取何值时，只有唯一的值与之对应？图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交.
24．画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？
25．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.
26．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.
拓广探索
27．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离，请将t表示为x的函数.
（2）如果将船停在距点P 4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？
28．给定数集，方程，①
（1）任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断是否为函数；
（2）任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断是否为函数.
29．探究是否存在函数满足条件：
（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同.
30．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．定义域为，值域为，描述见解析.
【解析】根据题目中实际情境，时间t为定义域，炮弹距地面的高度h为值域，h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.
【详解】定义域为，值域为，
对于数集中的任一个数t，
在数集中都有唯一确定的数与之对应.
【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.
2．（1）定义域为，值域为；（2）.
【解析】（1）由图可知，定义域为时间，值域为温度；
（2）根据图象，12时位于11时至14时对应的直线段上，由此计算12时所对应的温度.
【详解】（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t的温度为，
则定义域为，值域为.
（2）由图知，11时的温度为，14时的温度为，
12时的温度约为.
【点睛】本题考查函数图象与性质，通过函数图象确定函数定义域、值域、特殊点函数值，属于基础题.
3．见解析.
【解析】根据题目所示图可以看出A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是函数，定义域是，值域.
【详解】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，
所以是从A到B的函数.
定义域是，值域.
【点睛】本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题.
4．见解析.
【解析】根据变量关系的解析式，可设x为正方形面积，y为正方形的边长，写出定义域值域即可.
【详解】设面积为x的正方形的边长为y，则，
定义域为，值域为.
【点睛】本题考查函数解析式的应用，通过解析式来构建问题情境，考查逆向思维和对函数概念的灵活运用，属于基础题.
5．（1）；（2）.
【解析】（1）根据分母不为0，求出函数的定义域即可；
（2）根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【详解】（1）由，得，
∴函数的定义域.
（2）由，且，得，
∴函数的定义域为.
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，函数定义域等价于令函数有意义的自变量的取值范围，因此可根据题目列关于自变量的不等式（组）求解即可，属于基础题.
6．（1），，；（2），，.
【解析】（1）直接代入数值计算即可；
（2）直接代入计算可得.
【详解】（1），，；
（2），，.
【点睛】本题考查函数的值，已知函数解析式，代入自变量计算求解，属于基础题.
7．（1）不相等，理由见解析；（2）不相等，理由见解析.
【解析】分别判断函数定义域和对应法则是否相同，相同则为同一函数，不同则不是同一函数.
【详解】（1）不相等，前者的定义域为，而后者的定义域为R.
（2）不相等，前者的定义域为R，而后者的定义域为.
【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数，如果定义域、值域、对应法则有一个不同，函数就不同，注意中，属于基础题.
8．（0【分析】先表示出矩形的另一边长，即可表示出矩形的面积.
【详解】依题意可得圆的直径为50cm,则该矩形的另一边长为,其中0即将y表示为x的函数为（09．见解析.
【解析】分类讨论去绝对值，进而画出函数图像，或者利用翻折法画含绝对值的函数图像.
【详解】解法1：由绝对值的概念，知
所以函数的图象如图所示.
解法2：（翻折法）先画出的图象，然后把图象中位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上面，其他不变.
【点睛】本题考查含绝对值函数的图像的画法，是基础题.
10．（1）见解析；（2）图象见解析，.
【解析】（1）分别画出函数，的图象即可；
（2）将，的图象画在一个直角坐标系中，取图像中低的部分即可画出，根据图像可得函数的解析式.
【详解】解：（1）的图象如图（1）；的图象如图（2）.
（2）图象法：在同一坐标来中画出，的图象，如图（3），
结合函数的定义，可得函数的图象，如图（4）.
由，得或，
结合图（4）得
【点睛】本题考查图像法和解析式法表示函数，关键是图像法的应用，是基础题.
11．见解析.
【解析】根据时间和离开家距离的关系逐一进行判断.
【详解】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D）；
（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A）；
（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B）.
剩下的图象（C）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢.
【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对3个图象进行分析，即可得到答案.
12．，图像见解析．
【分析】实际问题，根据实际情况确定分段函数的取值，及图像.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上：函数解析式为
按照分段函数画出图像，如下图：
【点睛】实际问题中注意自变量的取值范围，使分段函数的定义域做到不重不漏.
13．（1）；（2）R；（3），且；（4）且
【解析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可
【详解】解：（1），
，定义域为；
（2）不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；
（3），
，且，定义域为，且；
（4）且.
∴定义域为且.
【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题.
14．（1）不是；（2）不是；（3）是
【解析】根据同一函数的定义，从定义域、对应关系两方面判断即可.
【详解】解：（1）定义域为R，定义域为，
∵定义域不同，与不是同一函数.
（2）定义域为R，定义域为，
∵定义域不同，
与不是同一函数.
（3），与定义域与对应关系都相同，与是同一函数.
【点睛】本题考查了同一函数的定义，属于基础题.
15．(1)答案见解析.
(2)答案见解析.
(3)答案见解析.
(4)答案见解析.
【分析】根据基本初等函数的图像特征，直接画出图像，写出定义域和值域.
（1）
一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
（2）
反比例函数的图形如图所示，定义域为，值域为.
（3）
一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
（4）
二次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为.
16．；；；
【解析】直接代入解析式求值即可.
【详解】解： ；
；
；
.
【点睛】本题考查了求函数值，考查了代入思想，考查了数学运算能力.
17．（1）不在；（2）；（3）.
【分析】将 分别代入即可得所求.
【详解】(1) ，故点不在函数的图像上.
(2) .
(3)
18．8
【分析】将,代入解析式即可求得的值,求得解析式再代入即可求得的值.
【详解】因为,且,
则,解方程组可得
则
所以
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数求值,属于基础题.
19．（1）图像见解析；（2）图像见解析
【解析】根据函数的类型直接画图即可.
【详解】解：（1）函数是一个分段函数，函数图象如图（1）所示.
（2）函数的图象是三个离散的点，如图（2）所示.

【点睛】本题考查画函数图象的能力，属于基础题.
20．见解析
【解析】根据矩形面积，可以知道长宽的关系，进而可以求出对角线、周长，利用可以求出函数解析式.
【详解】解：答案不唯一.如：，这是y关于x的函数，其中，
这是关于x的函数，其中，，这是d关于x的函数，其中.
【点睛】本题考查了根据具体几何背景求函数关系，属于开放试题.
21．，，
【解析】利用圆柱的体积公式和题意直接写出函数解析式，进而再求出定义域和值域.
【详解】解：∵容器内液体的体积，
.定义域，值域.
【点睛】本题考查了依托几何背景求函数的解析式，属于基础题.
22．用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数，定义域是，值域是，对应关系见解析
【解析】根据函数的定义进行判断即可，如果是根据函数的定义直接写出定义域、值域和对应关系
【详解】解：用列表法表示：
序号 1 2 3 4 5 6
分数 5 3 4 2 4 5
用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数，其中，定义域是，值域是，对应关系如上表所示.
【点睛】本题考查了函数的定义，考查了函数的定义域、值域，对应关系.
23．(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数的图象，分析出自变量和函数值的范围，可得值域和定义域；
（2）根据函数的图象，即可得到结果．
(1)
解：由函数的图象可得，函数的定义域为：，值域为：；
(2)
解：由已知中函数的图象可得：当时，只有唯一的值与之对应．
24．（1）答案为唯一，见解析；（2）在线段，和线段上的点不在图象上.
【解析】（1）根据所给的定义域和值域的特征，可以画出线性型函数即可.
（2）根据所给的定义域和值域的特征，结合本问已知可以知道不在图象上的点.
【详解】（1）由题意可知：定义域为，且，值域为，图象可以是如下图所示：
（2）由题意可知中：线段，和线段上的点不在图象上如下图所示：
【点睛】本题考查了已知函数的定义域和值域画图象，属于开放题.
25．解析式见解析，图象见解析
【解析】根据所给函数的定义进行分类讨论，画图函数的图象.
【详解】解：
函数图象如图所示：
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了画函数图象，属于基础题.
26．静止状态的物体作自由落体运动，经x秒时的位移为y，则
【解析】根据物理中的自由落体运动描述即可.
【详解】在不考虑空气阻力的情况下，一个物理从空中从静止状态作自由落体运动，经x秒时的位移为y，则.
【点睛】本题考查了已知函数的解析式，建构一个问题情境，属于开放题.
27．（1）（2）.
【解析】（1）利用勾股定理，结合速度、路程、时间的关系，根据题意可以求出t关于x的函数的解析式；.
（2）代入求值即可.
【详解】解：（1）如图，此人坐船所用时间为，步行所用时间为.
（2）当时，.
【点睛】本题考查了根据实际背景求函数的解析式，考查数学阅读能力，考查了数学建模思想.
28．（1）是；（2）不是
【解析】根据函数的定义进行判断即可.
【详解】解：（1），对于任意，有唯一的与之对应，所以是函数.
（2）取，则，即对于，A中有两个数与v对应，所以不是函数.
【点睛】本题考查了函数的定义，属于基础题.
29．（1）存在；（2）存在
【解析】根据所学过的函数如一次函数、二次函数，可以写出满足条件的函数解析式.
【详解】解（1），定义域与值域分别相同，但对应关系不同.
（2）.
【点睛】考查了数学探究问题，属于基础题.
30．答案见解析.
【分析】根据函数的定义即可求解.
【详解】根据函数的定义可知，每一个圆周率小数点后第n位上的数字是唯一的y，即n对应唯一的y，故y是n的函数.
定义域为，值域为，
对应关系：数位n对应数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
答案第1页，共2页4．5 函数的应用（二）
第四章指数函数与对数函数
4.5函数的应用（二）
例1求方程的实数解的个数.
分析：可以先借助计算工具画出函数的图象或列出x，y的对应值表，为观察 判断零点所在区间提供帮助.
解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表（表），并画出图象（图）.
由表和图可知，，，则.由函数零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点.
容易证明，函数，是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.
例2借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.
解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图4.5-4），并列出它的对应值表（表）.
观察图或表，可知，说明该函数在区间内存在零点.
取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以.
再取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以.
同理可得，，.
由于，
所以，原方程的近似解可取为1.375.
例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
表是1950~1959年我国的人口数据资料：
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量和年平均增长率r.
解：（1）设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为，，…，.由，
可得1951年的人口增长率.
同理可得，，，，，，，，.
于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为.
令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为，.
根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数（）的图象（图4.5-6）.
由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将代入，
由计算工具得.
所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.
例42010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（，且；，且）建立数学模型.
解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p（），经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型：
（，且；；）.
由碳14的半衰期为5730年，得.
于是，
所以.
由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，，
即.
解得.
由计算工具得.
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的.
例5假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数（）进行描述；方案二可以用函数（）进行描述；方案三可以用函数（）进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（表）.
再画出三个函数的图象（图）
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二 方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一 方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一 方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元
下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下（表）.
因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
例6某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即.
不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
解：借助信息技术画出函数，，，的图象（图）.观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断.
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求；
对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求；
对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有，即成立.
令，，利用信息技术画出它的图象（图）.
由图象可知函数在区间上单调递减，因此，
即.
所以，当时，，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型确实能符合公司要求.
4.5.1函数的零点与方程的解
练习
1．图（1）（2）（3）分别为函数在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象，得出函数在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
（1）（2）（3）
2．利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4.5.2用二分法求方程的近似解
练习
3．借助信息技术,用二分法求函数在区间(0,1)内零点的近似值(精确度为0.1)
4．借助信息技术,用二分法求方程在区间(2,3)内的近似解(精确度为0.1).
4.5.3函数模型的应用
练习
5．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍 什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
6．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？
7．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？（碳14的半衰期为5730年）
练习
8．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数。结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
9．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加，2008-2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：
时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
肉鸡数量/吨 7690 7850 8000 8150 8310 8460 8620 870 8920 9080 9230
同期该地的人口数如下：
时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
人口数/万 100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110. 111.3 112.7
（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；
（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？
（3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议
习题4.5
复习巩固
10．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是______.（填写上所有符合条件的图号）

11．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？
12．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解.
13．利用信息技术，用二分法求函数的零点（精确度为0.1）.
14．利用信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.
15．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存（）？
综合运用
16．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
17．已知函数.
（1）求函数的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数的图象；
（3）求函数的零点（精确度为0.1）
18．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间1（单位：月）的关系为.关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
19．一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药，果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h）？
20．人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从升到乃至级别，国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年的数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年的数量更是高达1.82 ZB，而到了2020年，预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍，为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数和中选择一个，并求出解析式.
21．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.
身高/ 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/ 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据表格提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？试写出这个函数模型的关系式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为，体重为的在校男生的体重是否正常？
拓广探索
22．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同学给出了如下解答：由，解得.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.
23．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的下列数据：
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．不能，理由见解析
【解析】根据零点存在性定理只能判断存在零点，但零点个数需要借助函数的单调性进行判断，由此可判断结果.
【详解】解：不能，如仅依据图（1）易得出在（-200，200）内仅有一个零点的错误结论，
要证明函数在某区间上只有一个零点，除证明该函数在区间端点的函数值异号外，
还需证明该函数在该区间上是单调的.
【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需掌握零点存在性定理只能判断是否有零点，不能判断零点个数，属于基础题.
2．（1）图像见解析，；
（2）图像见解析，；
（3）图像见解析，；
（4）图像见解析，（-4，-3），（-3，-2），（2，3）上各有一个零点；
【解析】作出各个函数的图像，利用零点存在性定理即可判断函数的零点所在的区间.
【详解】作出函数图象（如图）.
因为，，
所以在区间（1，1.5）上有一个零点.
又因为是上的减函数.
所以在上有且仅有一个零点.
作出函数图象（如图），
因为，，
所以在区间（3，4）上有一个零点，
又因为在上是增函数，
所以在上有且仅有一个零点
作出函数图象（如图），
因为，，
所以在区间（0，1）上有一个零点.
又因为在上是增函数，
所以在上有且仅有一个零点.
（4）作出函数图象（如图）.
因为，，，，，
所以在（4，3），（3，2），（2，3）上各有一个零点.
【点睛】本题考查了零点存在性定理，需熟记定理的内容，属于基础题.
3．0.625.
【解析】利用计算机软件画出函数图象，可判断函数在区间内有一个零点，再用二分法依次计算，直到求出想要的精度为止.
【详解】解:利用计算机软件画出函数图象如图所示：
由题设可知,,
于是.又因为函数在内单调递增,
所以函数在区间内有一个零点.
下面用二分法求函数在区间内的零点
取区间的中点,用计算器可算得.
因为,所以.
再取区间的中点,用计算器可算得.
因为,所以.
同理可得,.
由于,所以原方程的近似解可取为.
【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，关键是信息技术的应用，属于基础题.
4．2.5625.
【解析】原方程即,令，再用二分法依次计算，直到求出想要的精度为止.
【详解】解:原方程即,令,
函数图象如图所示：
用计算器可算得
,,于是,
又因为函数在内单调递增,所以这个方程在区间内有一个解.
下面用二分法求方程在区间的近似解.
取区间的中点,用计算可算得.
因为,所以.
再取区间的中点,用计算器可算得
因为,所以.
同理可得,.
由于.
所以原方程的近似解可取为.
【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，关键是信息技术的应用，属于基础题.
5．（1）1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍；
（2）指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况．
【分析】（1）设1650年后年，人口是1650年的2倍，即有；设1970年后年，人口是1970年的2倍，即有，两边取对数，计算即可得到所求值；
（2）由题意可得此指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况．
【详解】解：（1）设1650年后年，人口是1650年的2倍，
即有，
两边取常用对数，可得，
即有；
设1970年后年，人口是1970年的2倍，
即有，
两边取常用对数，可得，
即有．
则有1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍；
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；
而2003年世界人口还没有达到72亿．
由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况．
6．大约需要23年.
【解析】设经过年后的1万只野兔有只，根据倍增期为21个月可得，令可得所求的年数.
【详解】设经过年后的野兔有只，由题意知，
，令，即，则.
两边取常用对数得，.
所以大约需要23年.
【点睛】本题考查指数函数在实际中的应用，注意根据倍增期来计算函数模型中的参数，本题属于基础题.
7．大概是公元前1892年的.
【解析】设这批古建筑群距今已t年，初始量为，则现存量，由可求时间.
【详解】设这批古建筑群距今已t年，初始量为，则现存量，
由题设得，所以，
.
而.
所以大概是公元前1892年的.
【点睛】本题考查指数函数模型在实际中的应用，注意利用半衰期求函数关系式，本题属于容易题.
8．采用模型与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际.
【解析】根据各月对应的患病人数算出函数解析式，再预测4月，5月，6月份的患病人数，与实际数比较后根据误差的大小决定更优模型.
【详解】若按模型，将代入
得解得，所以.
若按模型，将代入，
解得所以.
模型比较：
4 5 6
73 76 77
73.4 77.7 81
实际人数 74 78 83
比较发现，采用模型与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际.
【点睛】本题考查二次函数、指数型函数在实际中的应用，注意较优函数的选择要依据误差的大小来考虑，本题属于中档题.
9．（1），； （2）2018年能满足市场的需求； （3）保持现状即可.
【解析】（1）画出两组数据对应的散点图，根据散点图可选择一次函数来拟合，用待定系数法可求函数的解析式.
（2）计算出2017年人均消费的肉鸡数量和2018人均费的肉鸡数量后比较它们的大小后可得正确的结论.
（3）因2017、2018人均消费的肉鸡数量基本保持平衡，故保持现状即可.
【详解】（1）取自变量x为0，1，2，…，10，…，对应年份为2008，2009，2010，2018，…，肉鸡数量为，人口万，依据表画出与，与的对应点的散点图，如图1、图2.
由图1、图2知，与x，与x均大数为线性关系.
设，将代入，
得，解得，所以.
将代入，得，解得，
所以.
（2）2017年人均消费肉鸡，
2018年人均消费肉鸡，所以2018年能满足市场的需求.
（3）保持现状即可.
【点睛】本题考查一次函数在实际中的应用，此题最后一问为开放性问题，可从不同角度分析（如从人均消费的肉鸡数量或从健康的角度减少人均消费的肉鸡数量）均可，它考查了学生的数学建模的数学素养，本题属于中档题.
10．①③
【解析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：①③
【点睛】本题考查二分法的应用问题，关键是明确二分法只能用来求“变号零点”，属于基础题.
11．在区间内有零点，理由见解析
【解析】根据零点存在定理可确定结果.
【详解】由对应值表可得：，，
由零点存在定理可知：分别在区间，，内有零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.
12．见解析
【解析】令，由零点存在定理可确定在内至少有两个零点，由此可得结论.
【详解】由得：
令
则，，
，
在内至少有一个零点，在内至少有一个零点
在内至少有两个零点，即方程在内至少有两个实数解
【点睛】本题考查利用零点存在定理确定方程在给定区间内解的个数的问题，关键是能够将问题转化为函数在区间内的零点个数的问题，利用零点存在定理来进行求解.
13．2.375
【解析】由零点存在定理可确定零点所在区间为，根据二分法的原理来不断确定零点所在区间，直到满足精确度为止，从而得到结果.
【详解】，
在区间内存在一个零点
下面用二分法求函数在区间内的零点
取区间的中点，用计算器可算得
，所以
再取的中点，用计算器可算得
因为
同理可得：，
函数的零点为
【点睛】本题考查利用二分法求解函数的零点问题，关键是能够利用零点存在定理确定零点所在区间，再根据二分法原理来进行求解.
14．0.8125
【解析】将方程化为，可令，根据零点存在定理确定方程在区间内有解；利用二分法不断确定方程解所在区间，直到满足精确度为止.
【详解】原方程可化为：，令
用计算器算得，
这个方程在区间内有解
下面用二分法求方程在区间内的近似解
取区间的中点，用计算器可算得

再取的中点，用计算器可算得
因为
同理可得：
原方程的近似解可取为
【点睛】本题考查利用二分法求解方程的解的问题，关键是能够利用零点存在定理确定零点所在区间，再根据二分法原理来进行求解.
15．分钟
【分析】每过一个3分钟，所占内存是原来的2倍，故个3分钟后，所占内存是原来的倍，再利用指数的运算性质可解
【详解】解：因为开机时占据内存，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，
所以3分钟后占据内存，两个3分钟后占据内存，三个3分钟后占据内存，
故个3分钟后，所占内存是原来的倍，
则应有，，，
故45分钟后该病毒会占据64MB内存；
16．见解析
【解析】由可得到，由此化简得到，确定，可知与中至少有一个为正；利用零点存在定理可证得结论.
【详解】
又
与中至少有一个为正
又 或
∴函数在内至少有一个零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，关键是能够通过确定区间端点处的函数值的正负，从而利用零点存在定理确定是否存在零点.
17．（1）；（2）图见解析；（3）-2.75或-0.25
【解析】（1）将代入整理即可得到结果；
（2）利用计算机可画出函数图象；
（3）根据图象确定零点所在区间，由二分法原理不断确定零点位置，直到满足精确度为止.
【详解】（1）由题意得：
（2）函数图象如下图所示：
（3）由图象可知，函数分别在区间和区间内各有一个零点
取区间的中点，用计算器可算得

再取的中点，用计算器可算得

同理可得：，
因为
原方程在区间内的近似解可取为
同理可求得函数在区间内的零点可取为
函数满足精确度的零点为或
【点睛】本题考查函数解析式和函数图象、二分法求解函数零点的问题；关键是能够通过函数图象确定函数零点所在区间，进而通过二分法原理确定结果.
18．C
【解析】由图象过可求得函数解析式为；由知①正确；由知②正确；验算可知，知③错误；利用对数运算可证得，知④正确.
【详解】图象过点 ，即
每月的增长率为，①正确；
当时，，②正确；
第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，③错误；
，， ，，
，④正确.
故选：
【点睛】本题考查利用给定函数模型求解实际问题；关键是能够通过函数图象所经过点确定函数的解析式，涉及到指数和对数运算的问题，考查了函数的实际应用.
19．应该在用药小时后，小时以前补充药
【解析】根据题意建立起含药量与注射后的时间的函数关系式，从而构造不等式，解不等式求得的范围，从而得到结论.
【详解】血液中含药量与注射后的时间的关系式为：，
则由得：
故应该在用药小时后，小时以前补充药
【点睛】本题考查建立拟合的函数模型求解实际问题，关键是能够通过已知关系建立起合适的函数模型，进而通过模型来构造不等式.
20．
【解析】根据已知可列出数据表，由数据表画出散点图，从而确定所选函数模型；代入两点坐标构造方程可求得参数，进而得到所求结果.
【详解】设年分别对应第年，第年，第年，第年，，第年，由已知列表如下：
画出散点图如下：
由散点图知，个点在一条曲线上，应选择函数
将数据代入得：，解得：
【点睛】本题考查函数模型的求解问题，关键是能够通过散点图确定所选的函数模型，进而代入已知点构造方程求得函数解析式.
21．（1）；（2）这个男生偏胖.
【解析】（1）画出散点图，考虑作为函数模型，代入数据计算得到答案.
（2）根据函数解析式，代入数据得到，计算得到答案.
【详解】（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，
根据点的分布特征，可考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
取其中的两组数据，，代入得：
用计算器算得，.
这样，我们就得到一个函数模型：.
将已知数据代入上述函数关系式，或作出上述函数的图像，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将代入，得，由计算器算得.
由于，所以，这个男生偏胖.
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.
22．不正确，理由见解析
【解析】当零点不是“变号零点”时，无法用零点存在定理来确定，由此可知原解法有错误；当时，函数为一次函数，解得零点后可知满足题意；当时，函数为二次函数，分别在和两种情况下，求得恰有一个零点时的值，进而得到结果.
【详解】上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论和两种情况；而时，在区间内的零点可能不是“变号零点”
正确解答如下：
（1）当时，
令得：，解得：
∴当时，在内恰有一个零点.
（2）当时，
①若，即，则函数的图象与轴交于点
是内的唯一零点
②若，即
则i.，解得：
ii.当，即时，，解得：，
是内的唯一零点
iii.当时，即时，，解得：，
是内的唯一零点
综上可得，的取值范围是
【点睛】本题考查根据函数在区间内的零点个数求解参数范围问题，重点考查了二次函数根的分布问题；易错点是忽略在区间内的零点不是“变号零点”的情况，即的情况，造成求解错误.
23．（1）；（2）的速度
【解析】（1）根据表中数据画出散点图，根据散点图可确定所选模型；代入三个已知点的坐标，构成方程组，解方程组即可求得结果；
（2）构造总耗油量与行驶速度的函数关系式，得到一个二次函数的形式，利用二次函数的性质可求得结果.
【详解】（1）画出散点图如图
由图知应选择函数
将代入函数解析式得：
，解得：
（2）从甲地到乙地共需小时，设总耗油量为
则
当时，y取最小值
从甲地到乙地，这辆车应以的速度行驶才能使总耗油量最少
【点睛】本题考查了函数模型的应用问题，涉及到选取函数模型、函数模型的求解、利用函数模型求解最值的问题等知识.
答案第1页，共2页3．2 函数的基本性质
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
例1 根据定义，研究函数（）的单调性.
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考察与0的大小关系.
解：函数（）的定义域是R.，，且，则
.
由，得.所以
①当时，.
于是，
即.
这时，是增函数.
②当时，.
于是，
即.
这时，是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.
分析：根据题意，只要证明函数（）是减函数即可.
证明：，，且，则.
由，，得；
由，得.
又，于是，
即.
所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.
例3 根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：，，且，有
.
由，，得，.
所以，.
又由，得.
于是，
即.
所以，函数在区间上单调递增.
例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
解：画出函数的图象如图显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数，我们有：
当时，函数有最大值.
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
例5 已知函数（），求函数的最大值和最小值.
分析：由函数（）的图象，如图可知，函数在区间上单调递减.所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：，，且，则
.
由，得，，
于是，
即.
所以，函数在区间上单调递减
因此，函在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4.
例6 判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）函数的定义域为R.
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数
（2）函数的定义域为R.
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数.
（3）函数的定义域为.
因为，都有，且，
所以，函数为奇函数.
（4）函数的定义域为.
因为，都有，且，
所以，函数为偶函数.
3.2.1单调性与最大（小）值
练习
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.
2．根据定义证明函数是增函数.
3．证明函数在区间上单调递增.
4．画出反比例函数的图象.
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.
练习
5．整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.
6．设函数的定义域为.如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个______.
7．已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值.
3.2.2奇偶性
练习
8．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整.

9．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）．
10．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
(2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
习题3.2
复习巩固
11．根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
12．画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
（1）；
（2）.
13．证明：
（1）函数是减函数；
（2）函数在上单调递增；
（3）函数在上单调递增.
14．某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
15．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）.
综合运用
16．一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
17．已知函数，.
（1）求、的单调区间；
（2）求、的最小值.
18．（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增.
（2）讨论函数在区间上的单调性.
（3）讨论函数在区间上的单调性.
19．设函数的定义域为I，区间，记.证明：
（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；
（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.
20．如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽（单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？
21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式．
拓广探索
22．已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.
23．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析.
【解析】根据函数图象分析生产效率与生产线上工人数量间的关系.
【详解】解：该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数，当工人数为零时，生产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率随之升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而随之降低.
【点睛】本题考查函数图象的实际意义，属于基础题.
2．见解析.
【解析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.
【详解】证明：，且，则.
，，，即.
∴函数在上是增函数.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题.
3．见解析.
【解析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.
【详解】证明：，且，
则.
，.
又，.
，即.
∴函数在区间上单递增.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题.
4．（1）定义域为；（2）见解析.
【解析】（1）分和两种情况分别画出图象，根据图象即可得到函数的定义域.
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.
【详解】解：当时，图象如图（1）.当时，图象如图（2）.

（1）定义域为.
（2）当时，在，上都是减函数.
当时，在，上都是增函数.
证明如下：当时，且，则.
，，..，即.
∴当时，在上是减函数，类似地，可以证明其他三种情况.
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，属于基础题.
5．图见解析，单调增区间：，；单调减区间：，.
【解析】依题意得到函数的大致图象，结合图象分析单调性.
【详解】解：依题意可得函数的一个可能图象如下图所示.
单调增区间：，；单调减区间：，.
【点睛】本题考查函数图象以及函数的单调性及应用，属于基础题.
6．最小值.
【解析】根据函数的最大（小）值的定义即可得解.
【详解】解析：依题意，在区间上单调递减，在区间上单调递增
从函数图象上可得，图象在上从左至右下降，在上从左至右上升，从而可得在上的大数图象如图所示.
由图可知是函数的一个最小值
故答案为：最小值.
【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的概念，属于基础题.
7．，.
【解析】首先证明函数在给定的区间上的单调性，即可得到函数的最值.
【详解】解：，且，则.
，.
又，.，即.
在上是减函数，
，.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，函数单调性的应用，属于基础题.
8．见解析
【解析】利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解.
【详解】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示.

【点睛】本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.
【分析】（1）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论；
（2）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数；
（2）函数的定义域为，
，则且，
所以，函数为非奇非偶函数.
10．(1)见解析(2)见解析
【解析】先证明充分性，再证明必要性，即得证.
【详解】证明:(1)充分性:若的图象关于y轴对称,设为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点仍在该图象上,即.
所以为偶函数,
必要性:若为偶函数,设为图象上任意一点,M关于y轴的对称点为,由于为偶函数,所以,所以在的图象上,所以的图象关于y轴对称.
(2)充分性:若的图象关于原点对称,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点仍在该图象上,所以,所以为奇函数.
必要性:若为奇函数,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为,由于为奇函数,所以,所以仍在的图象上,所以的图象头于原点对称.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．单调区间为：；在区间和上单调递增，在区间和上单调递减.
【解析】根据图象写出单调区间以及每一单调区间上的单调性.
【详解】由图象可知
该函数的单调区间为：；
其中在区间和上单调递增，在区间和上单调递减.
【点睛】本题主要考查了根据函数图象判断函数的单调性，属于基础题.
12．（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】根据二次函数的性质画出函数的图象，由图象说出函数的单调区间以及单调性.
【详解】解：（1）函数的图象如图（1）所示.
由图象可知：单调区间有.
其中在区间上是减函数，在区间上是增函数.

（2）函数的图象如图（2）所示.
由图象可知：单调区间有.
其中在区间上是增函数，在区间上是减函数.
【点睛】本题主要考查了根据函数图象判断函数的单调性，属于基础题.
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】利用函数单调性的定义证明即可.
【详解】证明：（1）且，
则，即.
是减函数.
（2），则.
，即，
在上单调递增.
（3），则.
，
，即.
在上单调递增.
【点睛】本题主要考查了根据函数单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题.
14．4050元，最大月收益307050元
【解析】将函数化为顶点式，由二次函数的性质即可得出结论.
【详解】解：，∴当时，.即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元.
【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题，属于中等题.
15．（1）偶函数；（2）奇函数.
【解析】根据奇偶函数的定义证明即可.
【详解】解：（1）定义域为R，，
为偶函数.
（2）定义域为R，，
为奇函数.
【点睛】本题主要考查了证明函数的奇偶性，属于基础题.
16．图像见解析
【解析】以服药的时间作为横坐标，以心率作为纵坐标，根据题意，画出图象即可.
【详解】解：心率关于时间的一个可能的图象如图所示.
【点睛】本题主要考查了根据实际问题作函数图象，属于基础题.
17．（1）函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为；
（2）函数的最小值为，函数的最小值为.
【分析】（1）分析二次函数图象的开口方向和对称轴，可得出函数的减区间和增区间，以及函数的增区间；
（2）由函数和函数的单调性可得出这两个函数的最小值.
【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为；
（2）由（1）知，函数在处取得最小值，
由于函数在定义域上单调递增，则函数在处取得最小值.
【点睛】本题考查二次函数的单调区间与最值的求解，解题时要分析二次函数的图象的开口方向和对称轴及函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
18．（1）证明见解析（2）讨论见解析（3）讨论见解析
【解析】利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可.
【详解】（1）证明且，
则.
.
又即.
在区间上单调递增.
（2）解：且.
.
①当时，，又，
即.在上为减函数.
②当时，，又.
即在上为增函数.
（3）且，
则.
①当时，，又，即.
在上为减函数.
②当时，又，，即.
在上为增函数.
【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递增，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递增，得出，即可证明；
（2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递减，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递减，得出，即可证明；
【详解】证明：（1）充分性：不妨设，则
即在D上单调递增.
必要性：若在D上单调递增.
则，不妨设，则.
.
即，都有.
（2）充分性：不妨设，则，
，即，
在D上单调递减.
必要性：若在D上单调递减.
，不妨设，则.
即，都有.
【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.
20．当时，
【详解】，当时，
21．图像见解析，
【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示
当时，，所以当时，，则，
整理有，所以的解析式为
【点睛】本题考查由奇偶性求函数的解析式，属于简单题．
22．单调递增，证明见解析
【解析】任取，则，根据函数在的单调性，得出，结合函数的奇偶性，得出，由函数单调性的定义作出判断即可.
【详解】解：在上单调递增
任取，则.
在上单调递减，.
是偶函数，.
，故在上单调递增.
【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义以及函数奇偶性的应用，属于中档题.
23．（1）；（2）见解析
【解析】（1）将函数的解析式经过适当的变形，得出，构造函数，利用奇偶性的定义证明为奇函数，根据题设条件即可得出函数图象的对称中心；
（2）将“函数的图象关于点成中心对称图形”，类比为“函数的图象关于直线成轴对称图形”，再将“函数为奇函数”，类比为“函数为偶函数”，即可写出结论.
【详解】解：（1）.
设，则.
为奇函数.
的图象关于点对称.
即的图象的对称中心是点.
（2）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的证明以及函数的对称性，属于中档题.
答案第1页，共2页

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