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数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A D C C A C D
11． 12． 13．
14．/0.25 15．/4.5 16．/
17.解：
4分
． 6分
18.解：
3分
， 4分
当，时，原式． 6分
19.解：由题意可知，，，，
，
，
米， 2分
在中，米， 4分
米，
答：该建筑物BC的高度约为米． 6分
20.（1）解：班级总人数为（人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为，
故答案为：50，144； 2分
（2）解：补全条形统计图如下：
3分
（3）解：（人），
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人． 5分
（4）解：列表如下：
小山小坪 五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，
两人同一日期看音乐剧的概率为． 8分
21.（1）证明：点C是线段的中点，
，
在和中，
，
； 4分
（2）解：，
，
，，
，
，
，
的面积． 8分
1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； 4分
（2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得：
，
解得：，
答：最多购进A种奖品40个 9分
23.（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形； 4分
（2）解：∵四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
，
，
． 6分
，
而 =5CE
所以CE=
因为OA=OE，所以
所以sin== 9分
24．(1)√，×，√ 3分
2）设“必胜点”坐标为，
当时，得y=4x+1，
代入解析式y=4x+1得：3m=4m+1，
解得m=-1，
此时(-1,-3)，此时是“中考必胜函数”，有一个“必胜点”； 4分
当时，把代入解析式y=a+(a+4)x+1得：
，
此时，
当a时，方程有两个相等实数根，即m有两个个值，符合题意，
故当a且时，函数是“中考必胜函数”，此时有两个“必胜点”； 5分
当a=1时，方程有两个相等实数根，即m有一个值，符合题意，
故当a=1时，函数是“中考必胜函数”，此时有1个“必胜点”； 6分
3）∵抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，，
∴抛物线的对称轴为，
∵抛物线顶点P为“开心点”，
∴；
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
解得，
∴， 7分
∴，
∵点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E，
故，， 8分
∴，，，
∴，
∴，
根据题意，得，
∴， 9分
∴是t的二次函数，且抛物线开口向下，
∴对称轴，
∵，
∴，
∴，
∴随t的增大而减小，
故当时，取得最大值，
∴，
解得（舍去），
故． 10分
25（1）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
∵弦于点，
∴，即，
∴，即． 3分
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴相似比为，
∴，即，
∵和是等高三角形，
∴，即，
∴，
∴与之间的函数关系式． 6分
（3）解：在中，，
∵，
∴，即：，解得：，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，即最小值为
∴，
∴的最大值为． 10分明德雨花实验中学九年级中考模拟考试 数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．-2025 B． C．2025 D．
2．美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，直线经过点且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．47，48 B．47.5，48 C．48，48 D．48，49
7．下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．y的值随着x增大而减小 B．函数图象与y轴的交点坐标为
C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限
8．如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
第8题 第9题
9．如图，在中，∠B=90°，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　）
A． B． C． D．
10．张、王、李、赵四位同学有一人在校外做好事受到表扬，经询问，张说：“是李做的”，王说：“是张做的”，李说：“王说的不对”，赵说：“不是我做的”．经调查，其中只有一个人说的话正确，那么受表扬的同学是（ ）
A．张 B．王 C．李 D．赵
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
12．如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是 ．
13．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为 ．
第13题 第15题 第16题
14．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
15．如图，已知函数（k为常数，）的图象经过点A，作轴于点B，连接，若的面积为，则k的值为 ．
16．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
先化简，再求值：，其中，．
“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）
20．坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下：
(1)班级总人数为_______________人，__________________°；
(2)补全条形统计图；
(3)若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？
(4)坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
21．如图：已知点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与分别交于E，
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
22．第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．
(1)每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？
(2)该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？
23．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长及的值．
24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“中考必胜函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“必胜点”．
(1)判断以下函数上是否是“中考必胜函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”；
①________ ②________ ③________
(2)关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”吗？如果是，指出有多少个“必胜点”，如果不是，请说明理由；
(3)若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“必胜点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值．
25．如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求与之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下即，求的最大值．

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