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2025年北票市九年级中考第三次质量调查
数学试卷
(试卷满分120分，答题时间120分钟）
温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分.
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求.）
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（　　）
A．0元 B．﹣5元 C．+5元 D．+10元
2．未来将是一个可以预见的AI时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是由5个大小相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗地球2.18亿千米的行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为2.18×10n，则n＝（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．下列算式中计算正确的是（　　）
A．x+x2＝x2 B．x6x3＝x18
C．﹣x3﹣（﹣x）3＝0 D．﹣x（x﹣1）＝﹣x2
6．如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　）
A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ
7．一元二次方程x2﹣x+4＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人随机出一张牌，记甲、乙牌中的数分别为m，n，使得﹣2≤m﹣n≤2的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　）
A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣1）＝4（x﹣4） D．3x﹣4＝4x﹣1
10．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD＝6，直线MN恰好经过点A，则BE的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．将点A（﹣2，﹣5）向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是 　 　 ．
12．因式分解：2x2﹣8＝　 　 ．
13．一元一次不等式3x﹣1＞2的解集是 　 　 ．
14．如图，△ABD和△DEC均为直角三角形，C为BD的中点，若AD⊥CE，AB＝4，ED＝12，则BC的长为 　 　 ．
15．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于 　 　 ．
三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字）
16．(10分)（1）计算：．
（2）计算：．
17．(8分)某校开展“垃圾分类，你我有责”主题活动，为更好地进行垃圾分类，准备购进A，B两种品牌的垃圾桶，已知购买3个A品牌垃圾桶和4个B品牌垃圾桶共需费用900元，购买3个A品牌垃圾桶的费用和购买2个B品牌垃圾桶费用相同．
（1）求A、B两种品牌垃圾桶的单价各是多少元？
（2）该校决定购进A、B两种品牌垃圾桶共20个，购买的总费用不超过2400元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
18．(8分)为了解某校八、九年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图和统计表．
睡眠情况分组表（单位：时）
组别 睡眠时间x
A 4.5≤x＜5.5
B 5.5≤x＜6.5
C 6.5≤x＜7.5
D 7.5≤x＜8.5
E 8.5≤x＜9.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）求统计图中的a；
（2）抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在C组的有多少人？
（3）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？
19．(8分)“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买加油卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
20．(8分)某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为27°，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得CE＝2米．已知测角仪的高度CD＝1.5米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．
（1）求tan∠AEB．
（2）求居民楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
21．(8分)如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，点D为OB上一点，过点D作DE⊥AB于点D，交AC的延长线于点E，点F为线段DE上一点，且CF＝EF．
求证：CF是⊙O的切线；
22．(12分)如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．直线y＝﹣x+3与抛物线交于点B与点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接OD，将线段OD绕O点逆时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线BC于F．求线段EF的最大值；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx+3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象．若直线y＝5x+n与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围．
23．(13分)在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D和点B位于直线AC异侧，且∠ADC+∠ABC＝90°，
【问题初探】（1）当α＝60°时，
①如图1，点D在BC的延长线上时，求证：AD2+CD2＝BD2，
数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题．
解题思路：如图2，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，DE．易证△ADE是等边三角形，易证CD＝BE，将线段AD，BD，CD之间的数量关系转化为线段ED，BD，BE之间的数量关系．
数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答；
②如图3，点D不在BC的延长线上时，连接BD，求证：AD2+CD2＝BD2．
【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答．
（2）当α＝90°时，
①发现点D在BC的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）．
②如图4，点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由．
【拓展提升】黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答．
当α＝60°，点D不在BC延长线上时，连接BD，若AB＝3，，求BD长.
．数学参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C B D B A D
填空题（每小题3分，共15分）
11. 　（1，﹣5）． 12．　2（x+2）（x﹣2）．
13．x＞1． 14．　2．　 15．45°．
三、解答题（共8题，共75分）
16.(10分)（1）． （2）＝m．
17 (8分)解：（1）设A种品牌垃圾桶的单价是x元，B种品牌垃圾桶的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种品牌垃圾桶的单价是100元，B种品牌垃圾桶的单价是150元；
（2）设该校此次可购买m个B种垃圾桶，则购买（20﹣m）个A种垃圾桶，
由题意得：100（20﹣m）+150m≤2400，
解得：m≤8，
答：该校此次最多可购买8个B品牌垃圾桶．
18.(8分)解：（1）a＝1﹣10%﹣25%﹣35%﹣25%＝5%，即统计图中a的值是5%；
（2）由题意得，（6+19+17+10+8）×35%＝60×35%＝21（人）．
答：抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在C组的有21人；
（3）八年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：；
九年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：5%+25%＝30%＝0.3．
19.(8分)解：（1）由题意知，1000×0.9＝900（元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）由题意知，y＝0.9（x﹣0.30），
整理得y＝0.9x﹣0.27，
∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x﹣0.27；
（3）当x＝7.30时，y＝0.9×7.30﹣0.27＝6.30，
∵7.30﹣6.30＝1.00，
∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．
20. (8分)解：（1）根据题意，可得∠DEC＝∠AEB．
∴，
∴；
（2）过点D作DM⊥AB，交AB于点M．
∵∠ADM＝27°．
由（1），可得，设AB＝3x，BE＝4x，
则DM＝CB＝CE+BE＝2+4x，AM＝AB﹣BM＝3x﹣1.5．
∴，
解得x≈2.63，
∴AB＝3x＝3×2.63≈7.9（米）．
答：高度约为7.9米．
21.(8分)（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵CF＝EF，
∴∠E＝∠FCE，
∵DE⊥AB于点D，
∴∠ODE＝90°，
∴∠A+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，
∵∠OCA+∠OCF+∠FCE＝180°，
∴∠OCF＝90°，即OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
22 (12分)解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设点D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
过点D和点E作DG⊥x轴，EH⊥x轴，垂足分别为点G，H，
得OG＝m，DG＝﹣m2+2m+3，
由线段OD绕O点逆时针旋转90°，得OE＝OD，∠DOE＝90°，
∵∠DOE＝∠DGO＝90°，
∴∠DOG+∠EOH＝90°，∠DOG+∠ODG＝90°，
∴∠EOH＝∠ODG，
∵∠EHO＝∠OGD＝90°，OE＝OD，
∴△EOH≌△ODG（AAS），
∴EH＝OG＝m，OH＝DG＝﹣m2+2m+3，
∴点E的坐标为（m2﹣2m﹣3，m），
∵EF∥x轴，
∴点F的坐标为（﹣m+3，m），
∴EF＝（﹣m+3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+6，
当m时，EF取得最大值，最大值为；
（3）由翻折可知，x轴下方的抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3），
当y＝5x+n与y＝﹣x2+2x+3只有一个交点时，y＝5x+n与新图象只有一个交点，
联立，
得5x+n＝﹣x2+2x+3，
整理得x2+3x+n﹣3＝0，
得Δ＝32﹣4 1 （n﹣3）＝0，
解得，
得，
解得，
得y＝5x+n与y＝﹣x2+2x+3的交点在点A的左侧，
将直线向下平移直至y＝5x+n经过点B之前时，y＝5x+n与新图象有2个交点，
当y＝5x+n经过点B时，15+n＝0，
解得n＝﹣15，
联立，
解得，（不合题意，舍去），
∴当y＝5x+n经过点B时，直线与新图象仍有2个交点，
将直线继续向下平移直至直线与y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）只有一个交点时，
联立，
得5x+n＝x2﹣2x﹣3，
整理得x2﹣7x﹣n﹣3＝0，
得Δ＝（﹣7）2﹣4 1 （﹣n﹣3）＝0，
解得，
得，
解得，
交点位于点B的右侧上方部分，
∴此时直线与新图象仍有2个交点，
继续往下平移，y＝5x+n与新图象有2个交点，
综上所述，当时，直线y＝5x+n与新图象有且只有两个交点．
23.(13分)（1）①证明：将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，DE，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，∠AED＝60°．
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠BEA＝∠ADC＝30°．
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°．
∴△BED为直角三角形，
∴BE2+ED2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2．
②将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，DE，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，∠AED＝60°．
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠BEA＝∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°．
∴△BED为直角三角形，
∴BE2+ED2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2．
（2）（1）②中的结论不成立，正确的结论为：2AD2+CD2＝BD2，理由：
将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DEAD，∠AED＝45°．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠BEA＝∠ADC＝45°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°．
∴△BED为直角三角形，
∴BE2+ED2＝BD2，
∴2AD2+CD2＝BD2．
（3）①过点C作CE⊥AD于点E，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝3，∠ABC＝60°，
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∴CECD，
∴DE，AE，
∴AD＝AE+DE＝6．
由（1）②的结论可得：AD2+CD2＝BD2，
∴BD3．
②过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB＝AC＝3，α＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝3
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝90°，
∴BD6．
综上，BD的长为6或3．

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