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2024-2025学年吴淞中学高一数学5月月考卷
一、填空题（共12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）
1.代数式（其中）可化简为____________
【解析】
已知，，，则　　．
【解析】
已知不等式的解集为，则实数 ．
【解析】3
若，则 　 ．
【解析】
在中，，，，则　　．
【解析】
设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”　 ．(填充分不必要条件,必要不充分条件,充分必要条件 ,既不充分也不必要条件)
【解析】必要不充分条件
已知虚数是1的一个四次方根，复数，，用列举法表示满足条件的组成的集合为 　　．
【解析】
设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.
【解析】
9、若定义在区间上的函数对于上的任意个值总满足，
则称为上的凸函数，现已知在（0，）上是凸函数，则在锐角中，的最大值是_______
【解析】
10.已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ．
1． 2． 3． 4．
【解析】
11.已知函数，，则满足不等式的实数的取值范围是
）　　　　　
12.某同学对函数进行研究后,得出以下结论：
①函数的图像是轴对称图形；
②对任意实数,均成立；
③函数的图像与直线有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等；
④当常数满足时,函数的图像与直线有且仅有一个公共点.
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
二、选择题（共4题，满分12分，每题3分）
13.已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

B． C． D．
【解析】
14.现有下列四个结论：
①对任意向量、，有；②对任意向量，有；
③对任意复数，有；④对任意复数，有．
其中正确的个数为　　故选：．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
15.已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量、、、满足：，、2、、．若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是　　个．
A．2 B．3 C．4 D．无数
【解析】
16.已知，则方程的实数根个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解析】
解答题（共5题，满分46分，17题6分，18题8分，19、20题10分，21题12分）
17.已知，其中是虚数单位，为实数．
（1）当为纯虚数时，求的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围．
【解析】
（1）为纯虚数，，解得；
（2）在复平面内对应的点位于第二象限，
，解得或．的取值范围是，，．
18.已知集合，
(1)命题命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)函数的定义域为，若,实数的取值范围.
【解析】（1）解不等式，即，则；
解不等式，即，解得.
所以 ．由于p是q的必要非充分条件，则是的真子集，
所以等号不同时成立且，解得，因此，实数的取值范围是.
（2）因为，在内有解.
，令，
则，所以.
19.已知函数的最小正周期是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为3，求边长的值．
【解析】
（Ⅰ）
．
的最小正周期为，且，，．．
将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，
得到函数的图象，故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，．
的面积为3，，又，，得．
由．得．
20.已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，．
（1）用表示，并证明为定值；
（2）求的取值范围．
【解析】
（1）根据题意，；
，，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
，整理得，所以为定值；
（2）根据题意，由（1），
，，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
的取值范围为．
21.如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数的“阶梯点”．
(1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由；
(2)判断函数是否有唯一“阶梯点”,并说明理由；
(3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围．
【解析】
（1）假设有“阶梯点”，则是方程的解，
而方程可化为，该方程无实根，
所以函数无“阶梯点”．
（2）假设是的“阶梯点”，则是方程的解．方程化为考虑函数，显然函数是上的单调增函数，且，故有唯一“阶梯点”.
（3）综上所述：的取值范围是．2024-2025学年吴淞中学高一数学5月月考卷
一、填空题（共12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）
1.代数式（其中）可化简为____________
已知，，，则　　．
已知不等式的解集为，则实数 ．
若，则 　 ．
在中，，，，则　　．
设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”　 ．(填充分不必要条件,必要不充分条件,充分必要条件,既不充分也不必要条件)
已知虚数是1的一个四次方根，复数，，用列举法表示满足条件的组成的集合为 　　．
设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.
9、若定义在区间上的函数对于上的任意个值总满足，
则称为上的凸函数，现已知在（0，）上是凸函数，则在锐角中，的最大值是_______
10.已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ．
1． 2． 3． 4．
11.已知函数，，则满足不等式的实数的取值范围是　　
12.某同学对函数进行研究后,得出以下结论：
①函数的图像是轴对称图形；
②对任意实数,均成立；
③函数的图像与直线有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等；
④当常数满足时,函数的图像与直线有且仅有一个公共点.
其中所有正确结论的序号是 ．
二、选择题（共4题，满分12分，每题3分）
13.已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

B． C． D．
14.现有下列四个结论：
①对任意向量、，有；②对任意向量，有；
③对任意复数，有；④对任意复数，有．
其中正确的个数为　　故选：．
A．0 B．1 C．2 D．3
15.已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量、、、满足：，、2、、．若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是　　个．
A．2 B．3 C．4 D．无数
16.已知，则方程的实数根个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
解答题（共5题，满分46分，17题6分，18题8分，19、20题10分，21题12分）
17.已知，其中是虚数单位，为实数．
（1）当为纯虚数时，求的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围．
18.已知集合，
(1)命题命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)函数的定义域为，若,实数的取值范围.
19.已知函数的最小正周期是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为3，求边长的值．
20.已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，．
（1）用表示，并证明为定值；
（2）求的取值范围．
21.如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数的“阶梯点”．
(1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由；
(2)判断函数是否有唯一“阶梯点”,并说明理由；
(3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围．

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