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2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末高频考点优选题汇编复习【2024新教材】
填空题典型必刷练30题（压轴题）
（解析版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（2025·北京昌平·二模）某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示：
木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸
M 2块／次 4块／次 8块／次
N 不能加工 3块／次 6块／次
其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材．例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材．某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材．
（1）加工这批木材，M款切割机至少要使用 次；
（2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少 元．
【答案】 2 235
【思路引导】该题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材，M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，即可得到答案；
（2）将3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材，全部转化为小尺寸木材，则需要加工小尺寸木材块，设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次，则，结合，均为正整数，据此求解即可．
【完整解答】解：∵需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材，
设加工这批木材，M款切割机使用x次，
则，解得：，
∵x为正整数，
∴加工这批木材，M款切割机至少使用 2 次，
故答案为：2；
（2）∵某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材．
全部转化为小尺寸木材，
则需要加工小尺寸木材块，
设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次，
则，即，
∵，均为正整数，
∴有以下方案：，此时加工成本为元；
，此时加工成本为元；
，此时加工成本为元；
，此时加工成本为元；
∴加工这批木材成本最低为元，
故答案为：235．
2．（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如图，在中，，，，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是；④点E到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①②④
【思路引导】本题考查了平移的性质，平行线的判定及性质，点到直线的距离等；①由平移的性质得向右平移得到，即可判断； ②由平行线的判定方法得，即可判断；③由平移的性质得，，即可判断；④由平移的性质得，，由点到直线的距离定义得点E到直线的距离是线段的长，即可判断；掌握平移的性质，平行线的判定及性质，点到直线的距离的定义是解题的关键．
【完整解答】解：①沿直线向右平移得到，
向右平移得到，
，
；
故此项正确；
②，
，
，
；
故此项正确；
③沿直线向右平移得到，
，
，
四边形的周长是：
，
故此项不正确；
④由平移得，
，
，
，
点E到直线的距离是线段的长，
点E到直线的距离是线段，
故此项正确；
故答案为：①②④．
3．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可．
【完整解答】解：
得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，若，，则 ．
【答案】/20度
【思路引导】此题考查平行线的性质.由某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，得，过点C作，则，由平行线的性质可得，，求出，继而求出，根据平行线的性质即可求解．
【完整解答】解：过点C作，
∵某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
5．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作．
（1）若，则 ；
（2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ．
【答案】 10 2
【思路引导】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键．
（1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，，据此代入t的值求解即可；
（2）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，，再根据建立方程求解即可．
【完整解答】（1）∵点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作，
，，
，
，，
，
故答案为：10．
（2）点在第二象限，
，，
，，
，
，
解得，
故答案为：2．
6．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足．
（1）若，则的值为 ；
（2）若m，n为有理数，则的值为 ．
【答案】 3
【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，代数式求值，运用了整体代入的思想．
（1）得，，得到，然后根据求解即可；
（2）得，，由得到，然后根据m，n为有理数，求出，，然后代数求解即可．
【完整解答】（1）
得，
∴
∵
∴；
（2）
得，
∵
∴
∵m，n为有理数，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：3，．
7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为 ．
【答案】/135度
【思路引导】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键；过点C作，则得；由平行线的传递性质得，由此即可求得结果．
【完整解答】解：如图，过点C作，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可．
【完整解答】解：∵，
∴，，
∴．
∵，x为的整数部分，y为的小数部分，
∴，．
∴．
故答案为：．
9．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ．
【答案】75或120或165
【思路引导】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，解题的关键在于数形结合，分类讨论．分情况讨论：当时，当时，当时，结合图形，根据平行线的性质，求出的度数即可．
【完整解答】解：如图，当时，
此时与重合，
∴；
如图，当时，
∴；
如图，当时，
∴，
∵，
∴；
综上，或或．
故答案为：75或120或165．
10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了二元一次方程的解，求整式的值；由二元一次方程的解得，整体代入整式，即可求解；理解二元一次方程的解，会用整体代入法求整式的值是解题的关键．
【完整解答】解：由题意得
，
；
故答案为：．
11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）设为实数，我们用表示不小于的最小整数，如：，．我们可以得出．那么满足的的取值是 ．
【答案】或
【思路引导】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，由新定义得，求出的取值范围，由是整数，即可求解；理解新定义，能根据题意得出一元一次不等式组是解题的关键．
【完整解答】解：由题意得
，
解得：，
，
是整数，
或，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
故答案为：或．
12．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】7
【思路引导】根据不等式组有解且只有3个偶数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据关于y的一元一次方程解为非负整数，确定a的值，求和即可．本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．
【完整解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．
∴该不等式组的三个整数解为8，6，4，
∴，
解得，
则
即，
∵a为整数
∴
∵，
∴
则
∴，
∵关于y的一元一次方程解为非负整数，
∴当时，则，符合题意；
∴当时，则，符合题意；
∴当时，则，不是整数，不符合题意；
∴当时，则，符合题意；
∴
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
13．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ．
【答案】2
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，解方程组，用表示，把代入中得到关于的方程是解题的关键．解方程组用表示，把代入中得到关于的方程，解方程即可．
【完整解答】解：，
得：，
把③代入②得：，
，
，
，
故答案为：2．
14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ．
【答案】或或
【思路引导】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．根据的平移过程，分点在上和点在的延长线上两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可．
【完整解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
由平移得到，
，
，
，
①当时，
设，则，
∵，
，
，
，
解得：，
，
②当时，
设，则，
，
，
，
解得：，
；
第二种情况：当点在外时，过点作，
由平移得到，
，
，
，
①当时，
设，则，
，
，
，
解得：，
②当时，
由图可知，，故不存在这种情况，
综上所述，或或．
故答案为：或或
15．（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则 ．
【答案】/
【思路引导】本题主要考查一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【完整解答】解：，
解得，
，
，
解得，
故答案为：．
16．（24-25七年级下·福建·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ．
【答案】16
【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，则，解不等式即可得到答案．
【完整解答】解：
得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，
∴，
∴，
∴，
∴满足题意的最小整数a是16，
故答案为：16．
17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）关于x，y的方程，其中是常数，若，则的值是 ．无论取何值，该方程始终成立，则的值是 ．
【答案】 4
【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题关键．先得，结合，得，再代入求解；因为不论，取何值，该方程始终成立，即令它们前的系数为0，进行列式计算，即可作答．
【完整解答】解：∵，
∴，
∴则，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵不论，取何值，该方程始终成立，且由（1）知，
∴，
解得，
则，
故答案为：，4．
18．（21-22九年级下·重庆·开学考试）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋 元．
【答案】50
【思路引导】设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋元，元，元，元，再列方程组，分别用含的代数式 再利用都为正整数，且 求解的范围，从而可得答案.
【完整解答】解：设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋元，元，元，元，
则
由①②得：
由②③得：
则
把代入①可得：
都为正整数，且
当时，
则
或
当时， 不合题意，舍去，
当时， 符合题意，
此时，
所以：腊排骨每袋50元.
故答案为：50
【考点评析】本题考查的是方程组的应用，方程组的正整数解问题，一元一次不等式组的应用，熟练的利用方程组与不等式组解决实际问题是解本题的关键.
19．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是，则这个正方体容器的内部底面积是 ；若该正方体容器内水深，现将三条棱长分别为、、（）的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面，则长方体铁块的棱长 （用含x的代数式表示）．
【答案】 x＋2或40 5x
【思路引导】利用正方体体积公式即可求得，根据体积关系确定y与x之间的关系．
【完整解答】解：这个正方体容器的内部底面积为：20×20＝400（cm2），
放入铁块后水深为：（y 2）cm或10 2＝8cm．
∴10×10（y 2）＋400x＝400（y 2）或10y×8＋400x＝400×8．
∴y＝x＋2或y＝40 5x．
故答案为：400，x＋2或40 5x．
【考点评析】本题考查认识立体图形，代入法求二元一次方程组，通过体积关系确定x与y的关系是求解本题的关键．
20．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张．
【答案】7
【思路引导】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解．
【完整解答】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，
则有方程，x、y、z均为正整数，
则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数；
当x=0时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：，即，
55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片；
当z=0时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即，
55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片；
从题目所求可知，不必讨论当y=0时的情况，
综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张，
则有，即，
即B型纸张最多用了7张，
故答案为：7．
【考点评析】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大．
21．（21-22七年级下·重庆九龙坡·期末）小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次.小明套10次共得61分，问：小鸡被套中 次．
【答案】5
【思路引导】设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，根据题意列出三元一次方程组，解方程组时，根据、、都是正整数来确定它们的取值．
【完整解答】解：设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，
根据题意，得，
①②，消去，得，
解得，，
，
，
解得：，
的取值只能是1，2，3，4，5，
，是整数，
必须是3的倍数，
或5，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，．
小鸡被套中5次，
故答案为：5．
【考点评析】本题考查的是三元一次不定方程的解法，根据题意列出方程，并讨论符合条件、、都是整数）的未知数的取值是解题的关键．
22．（22-23九年级上·重庆丰都·期末）春节即将到来，花店老板对玫瑰、牡丹和菊花进行混合包装，推出了甲、乙两种花束．花束的成本是花束中所有玫瑰，牡丹和菊花的成本与花束包装成本之和，每束甲种花有5枝玫瑰、1枝牡丹和2枝菊花，每束乙种花有6枝玫瑰，2枝牡丹和4枝菊花，每束甲中所有玫瑰、牡丹和菊花的成本之和是1枝玫瑰的10倍，每束乙种花束的包装成本是每束甲种花束包装成本的倍，每束乙种花束的利润率为，每束乙种花束的售价是甲种花束售价的2倍，当该店销售这两种花束的总销售额为6240元，总利润率为时，销售甲种花束的总利润是 元
【答案】640
【思路引导】设玫瑰的成本单价为元，则牡丹的成本单价为元，菊花的成本单价为元，根据题意得每束甲种花束的鲜花成本，得到，每束乙种花束的鲜花成本是：，求出每束乙种花束的包装成本和鲜花成本都是每束甲种花束包装成本和和鲜花成本的倍，设每束甲种花束的成本为m元，求出两种花束的成本和售价，设该店销售甲花束束，销售乙花束束，根据根据总利润率为得到方程，化简得，再根据该店销售这两种花束的总销售额为6240元，得到，从而求出结果．
【完整解答】解：设玫瑰的成本单价为元，则牡丹的成本单价为元，菊花的成本单价为元，
根据题意得：每束甲种花束的鲜花成本是，化简得：，
每束乙种花束的鲜花成本是：，
∵，
∴每束乙种花束的鲜花成本是每束甲种花束的鲜花成本的倍，
∵每束乙种花束的包装成本是每束甲种花束包装成本的倍，
∴设每束甲种花束的成本为m元，则每束乙种花束的成本为元，
∴乙每束的售价为：，
∵每束乙种花束的售价是甲种花束售价的2倍，
∴甲每束的售价为：，
设该店销售甲花束束，销售乙花束束，
根据总利润率为得，，
化简得：，
根据该店销售这两种花束的总销售额为6240元，
∴，
∴，
化简得：，
∴销售甲种花束的总利润是：元，
故答案为：640．
【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的综合应用，解题关键是整体思想．
23．（22-23八年级上·重庆巴南·期末）第五届中国国际进口博览会于11月5日至10日在上海举行本届进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，284家世界500强和行业龙头企业参展．11月5日当天，某饮品公司推出了、、三种饮品参展试销，当天、、三种饮品的销售量（单位：件，下同）之比为．在11月8日，该公司停止销售、、三种饮品，并重新推出、两种饮品，且种饮品的单价（单位：元，下同）是种饮品的单价的，种饮品的单价与种饮品的单价相同，结果11月8日的总销售量在11月5日的总销售量的基础上增加了，且种饮品的销售量减去11月5日种饮品的销售量的后等于11月5日种饮品的销售量倍，11月8日总的销售额（单位：元，下同）与种饮品的销售额的比为，若11月8日总的销售额与11月5日总的销售额相等，则11月5日种饮品的销售额与11月5日、8日两天总的销售额的比为 ．
【答案】
【思路引导】设11月5日，销售量为件，的单价为元，根据题意，求得相关量的值，找到等量关系，列出方程，求解即可．
【完整解答】解：设11月5日，销售量为件，的单价为元，
由题意：11月5日，销售量为件，销售量为件，总销售量为件，
的单价为元，的单价为元，
则11月8日总销售量为件，
的销售量为件，
的销售量为件，销售额为
11月5日总销售额为，11月8日的总销售额为：
由题意可得：，
由可得
将代入可得，，，
则11月5日种饮品的销售额与11月5日、8日两天总的销售额的比为
故答案为：
【考点评析】此题考查了三元一次方程组的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程．
24．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为 单．
【答案】1233
【思路引导】设甲每一单的配送费为元，则乙每一单的配送费为元，丙每一单的配送费为元，则丁每一单的配送费为元，设甲的配送量为单，乙的配送量为单，丙的配送量为单，根据题意可得①，设第二周乙的配送量为单，丙的配送量为单，则甲第二周的配送量为单，由题意可得，整理得，，再由，整理得，，根据第二周的配送费可得②，联立①②可得，由题意可得，配送费且均为整数，求出或，当时，，解得（舍；当时，，解得，则第二周四位外卖员配送量之和为（单．
【完整解答】解：设甲每一单的配送费为元，则乙每一单的配送费为元，丙每一单的配送费为元，则丁每一单的配送费为元，
第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，
设甲的配送量为单，乙的配送量为单，丙的配送量为单，
，
①，
设第二周乙的配送量为单，丙的配送量为单，
甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，
甲增大的配送量为单，则甲第二周的配送量为单，
丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，
，
整理得，，
甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，
，
整理得，，
第二周丙的配送量为单，甲的配送量为单，
他们共获得配送费7660元，
，
整理得，②，
联立①②可得，
丁每单配送费高于4元且不超过8元，
，
，
配送费且均为整数，
或，
当时，，解得（舍；
当时，，解得，
第二周四位外卖员配送量之和为：（单，
故答案为：1233．
【考点评析】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，根据所给的条件梳理出各量之间的关系，并能列出方程是解题的关键．
25．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等．下列几个命题中：
（1）是“回文数”；
（2）所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；
（3）任意四位数的“回文数”是的倍数；
（4）如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称为“平方回数”．若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，若，且s是一个“平方回数”，则．
其中，真命题有 ．（填序号）
【答案】（1）（3）（4）
【思路引导】根据“回文数”的定义进行分析即可求解．
【完整解答】解：（1）根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；（1）是真命题；
（2）两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；
三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；（2）是假命题；
（3）设任意四位数的“回文数”千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，则，
根据定义，，，
∴，
∴是的倍数；（3）是真命题；
（4）若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，设百位和十位上的数字为，
则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵是一个“平方回数”，
∴，
∴，
解得：，
∴；（4）是真命题；
故答案为：（1）（3）（4）．
【考点评析】本题考查了因式分解，新定义，不等式的性质等，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
26．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）在传统佳节春节即将来临之际，糖果店推出三种糖果礼盒，每种礼盒都有劲仔小鱼、旺旺糖、小小酥、果冻4种糖果．礼盒一：劲仔小鱼4袋，旺旺糖3袋，小小酥2袋，果冻a袋；礼盒二：劲仔小鱼6袋，旺旺糖2袋，小小酥6袋，果冻3a袋；礼盒三：旺旺糖4袋，小小酥4袋，果冻6袋，已知劲仔小鱼每袋成本为a元，所有糖果成本均为整数，每种礼盒的成本费由糖果总成本和10元加工费组成．礼盒一成本费50元；礼盒二成本费70元；礼盒三成本费69元．则礼盒三中劲仔小鱼的数量是 袋．
【答案】5
【思路引导】本题考查的是方程组的应用．首先设旺旺糖每袋成本为元，小小酥每袋成本为元，果冻每袋成本为元，列方程，解得、、、的值，然后根据礼盒三的设置，列方程求解即可．
【完整解答】解：设旺旺糖每袋成本为元，小小酥每袋成本为元，果冻每袋成本为元，
由题意可知：，
解得，
所有糖果成本均为整数，
，，
，，
设礼盒三中劲仔小鱼的数量为袋，
由题意得：，
解得，
故答案为：5．
27．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟．
【问题】
（1）小明游玩行走速度为 米/分钟．
（2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟．
【答案】 60 45
【思路引导】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
（1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，求出的值，再利用路程除以时间求出速度即可；
（2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间，即可．
【完整解答】解：（1）由图象可知：小明游玩行走的时间为（分钟），
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
，
解得：，
∴小明游玩行走的速度为（米/分钟）；
故答案为：60．
（2）由题意，得：小亮游玩行走的时间为（分钟）；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为，
∴，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）；
∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为（分钟），
∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少（分钟）；
故答案为：45．
28．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解．
【完整解答】解：如图所示，过点作于点，连接，
设，，
∴
∵，
∴，，
∴，，
联立
∴
∵
∴
∴当时，最小为
故答案为：．
29．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）对于任意一个四位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，那么称这个四位数为“等和数”．例如：6172，因为，所以6172是“等和数”．将一个“等和数”的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后得到一个新的四位数字，记．例如：．设“等和数”，则 （用含，的代数式表示）；若是一个“等和数”，且满足能被11整除，则满足条件的所有中，的最小值是 ．
【答案】 / 2198
【思路引导】本题主要考查了数的整除性、新定义运算等知识点，理解“等和数”的定义并利用代数式的值进行相关分类讨论是解题的关键．
根据“等和数”和的定义即可求得；且，则，然后求得，再代入可得，根据能被11整除，进而得到能被11整除；由可得，然后代入化简可得；要使S最小，千位的m应尽量最小，从1开始尝试，从而确定m、j的值，进而确定n、h的值即可解答．
【完整解答】解：设“等和数”，，且
则
；
且，同理可得：，
，
∵能被11整除，
∴
，
∴能被11整除，
∵，
∴，
∴，
要使S最小，千位的m应尽量最小，从1开始尝试：
当时，
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
当时，
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，不能被11整除；
若时，，能被11整除；
此时，，；
∵，
∴，
要使S最小，n取最小，即，，
所以S的最小值为2198．
故答案为：，2198．
30．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
【答案】或或
【思路引导】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解．
【完整解答】解：依题得：，
分两种情况考虑：
（1）点在线段上，过点作，如下图：
，
，
，
，，
，
又，
；
，
，
又，
；
（2）点在外时，过点作，如下图：
，
，
，，
，
又，
，
即；
，
由图可知，，
此情况不成立；
综上，或或．
故答案为：或或．
【考点评析】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质．2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末高频考点优选题汇编复习【2024新教材】
填空题典型必刷练30题（压轴题）
（原卷版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（2025·北京昌平·二模）某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示：
木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸
M 2块／次 4块／次 8块／次
N 不能加工 3块／次 6块／次
其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材．例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材．某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材．
（1）加工这批木材，M款切割机至少要使用 次；
（2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少 元．
2．（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如图，在中，，，，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是；④点E到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写序号）
3．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围为 ．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，若，，则 ．
5．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作．
（1）若，则 ；
（2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ．
6．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足．
（1）若，则的值为 ；
（2）若m，n为有理数，则的值为 ．
7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为 ．
8．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ．
9．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ．
10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）设为实数，我们用表示不小于的最小整数，如：，．我们可以得出．那么满足的的取值是 ．
12．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
13．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ．
14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ．
15．（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则 ．
16．（24-25七年级下·福建·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ．
17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）关于x，y的方程，其中是常数，若，则的值是 ．无论取何值，该方程始终成立，则的值是 ．
18．（21-22九年级下·重庆·开学考试）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋 元．
19．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是，则这个正方体容器的内部底面积是 ；若该正方体容器内水深，现将三条棱长分别为、、（）的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面，则长方体铁块的棱长 （用含x的代数式表示）．
20．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张．
21．（21-22七年级下·重庆九龙坡·期末）小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次.小明套10次共得61分，问：小鸡被套中 次．
22．（22-23九年级上·重庆丰都·期末）春节即将到来，花店老板对玫瑰、牡丹和菊花进行混合包装，推出了甲、乙两种花束．花束的成本是花束中所有玫瑰，牡丹和菊花的成本与花束包装成本之和，每束甲种花有5枝玫瑰、1枝牡丹和2枝菊花，每束乙种花有6枝玫瑰，2枝牡丹和4枝菊花，每束甲中所有玫瑰、牡丹和菊花的成本之和是1枝玫瑰的10倍，每束乙种花束的包装成本是每束甲种花束包装成本的倍，每束乙种花束的利润率为，每束乙种花束的售价是甲种花束售价的2倍，当该店销售这两种花束的总销售额为6240元，总利润率为时，销售甲种花束的总利润是 元
23．（22-23八年级上·重庆巴南·期末）第五届中国国际进口博览会于11月5日至10日在上海举行本届进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，284家世界500强和行业龙头企业参展．11月5日当天，某饮品公司推出了、、三种饮品参展试销，当天、、三种饮品的销售量（单位：件，下同）之比为．在11月8日，该公司停止销售、、三种饮品，并重新推出、两种饮品，且种饮品的单价（单位：元，下同）是种饮品的单价的，种饮品的单价与种饮品的单价相同，结果11月8日的总销售量在11月5日的总销售量的基础上增加了，且种饮品的销售量减去11月5日种饮品的销售量的后等于11月5日种饮品的销售量倍，11月8日总的销售额（单位：元，下同）与种饮品的销售额的比为，若11月8日总的销售额与11月5日总的销售额相等，则11月5日种饮品的销售额与11月5日、8日两天总的销售额的比为 ．
24．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为 单．
25．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等．下列几个命题中：
（1）是“回文数”；
（2）所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；
（3）任意四位数的“回文数”是的倍数；
（4）如果一个“回文数”是另外一个正整数的平方，则称为“平方回数”．若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，若，且s是一个“平方回数”，则．
其中，真命题有 ．（填序号）
26．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）在传统佳节春节即将来临之际，糖果店推出三种糖果礼盒，每种礼盒都有劲仔小鱼、旺旺糖、小小酥、果冻4种糖果．礼盒一：劲仔小鱼4袋，旺旺糖3袋，小小酥2袋，果冻a袋；礼盒二：劲仔小鱼6袋，旺旺糖2袋，小小酥6袋，果冻3a袋；礼盒三：旺旺糖4袋，小小酥4袋，果冻6袋，已知劲仔小鱼每袋成本为a元，所有糖果成本均为整数，每种礼盒的成本费由糖果总成本和10元加工费组成．礼盒一成本费50元；礼盒二成本费70元；礼盒三成本费69元．则礼盒三中劲仔小鱼的数量是 袋．
27．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟．
【问题】
（1）小明游玩行走速度为 米/分钟．
（2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟．
28．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为 ．
29．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）对于任意一个四位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，那么称这个四位数为“等和数”．例如：6172，因为，所以6172是“等和数”．将一个“等和数”的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后得到一个新的四位数字，记．例如：．设“等和数”，则 （用含，的代数式表示）；若是一个“等和数”，且满足能被11整除，则满足条件的所有中，的最小值是 ．
30．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．

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