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2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末高频考点优选题汇编复习【2024新教材】
解答题典型必刷练30题（压轴题）
（原卷版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知，点分别在上，，．求的度数．
小明：“如图2，通过作平行线，发现，，由已知，可以求出的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”
小华：“如图4，也能求出的度数．”
(1)根据他们的解法，______；
(2)请在图2，图3，图4中任选一个，求的度数，写出求解过程；
(3)老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法，解决问题：如图，，点分别在上，平分，，若，请直接写出与的数量关系______；（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）图2中，由平行线的性质可得，，由垂线的定义可得，则，据此可得答案；图3中，由平行线的性质可得，，由垂线的定义可得，则，据此可得答案；图4中，由平行线的性质可得，，由垂线的定义可得，则，据此可得答案；
（2）同（1）求解即可；
（3）设 ，过点作，由平行线的性质可得，，证明，得到，则．进而可得，据此可得答案．
【完整解答】（1）解：如图2，
，
，，
∵，
∴，
，
，
，
如图3，
，，
，，
，
，
，
．
如图4，
，，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，
，
，，
，
，
，
，
如图3，
，，
，，
，
，
，
．
如图4，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：设 ，过点作，
∴，
，
∴，
，
，
，
．
∵，
，
．
即．
2．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）解下列方程组或不等式组：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的求解，一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法为解题关键
（1）利用代入消元法进行求解方程组即可；
（2）利用加减消元法进行求解方程组即可；
（3）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可；
（4）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可．
【完整解答】（1）解：，
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：
方程组的解为；
（2），
得：，
解得：，
将代入①得，
解得：，
方程组的解为；
（3），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为：；
（4），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为：．
3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套B类玩具4套，需800元；A类玩具3套B类玩具2套，则需450元．
(1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元．
(2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少件？
【答案】(1)A、B两类玩具每套进价分别是100元，75元
(2)16件
【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设A、B两类玩具每套进价分别是x元，y元，根据A类玩具5套B类玩具4套，需800元；A类玩具3套B类玩具2套，则需450元建立方程组求解即可；
（2）设购进A类玩具m件，则购进B类玩具套，根据全部售出后所获得利润不少于1200元建立不等式求解即可．
【完整解答】（1）解：设A、B两类玩具每套进价分别是x元，y元，
由题意得，，
解得：
答：A、B两类玩具每套进价分别是100元，75元．
（2）解：设购进A类玩具m件，则购进B类玩具套，
由题意得，，
解得：，
∴m的最小值为16，
答：至少购进A类玩具16件．
4．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点作交的延长线于点F，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，由可求得；
（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；
（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【完整解答】（1）解：过点C作，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由：
过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
即．
5．（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧．
(1)图1，小红说：若平分，一定平分．
理由如下：
平分，
（角平分线的定义）．
，
________（垂直定义）
即________
________（对顶角相等）
________（等量代换）
平分
请补全小红的说理过程．
(2)小明说：当，，如图2，可以求的度数．请帮小明完成求解过程．
【答案】(1)，，，；
(2)，过程见解析
【思路引导】（1）要补全小红的说理，需依据角平分线定义、垂直定义、对顶角性质，通过角的等量代换，证明平分 ．利用已知平分和，逐步推导角之间的关系．
（2）求度数，先根据平角定义，结合已知与的度数算出，再依据得到，最后通过角的差求出 ．
【完整解答】（1）解：小红说：若平分，一定平分．
理由如下：
平分，
（角平分线的定义）．
，
（垂直定义）
即，
（对顶角相等）
（等量代换）
平分，
故答案为：，，，；
（2）解：，
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂直的定义、对顶角的性质以及角的和差计算，熟练掌握这些角的相关概念和性质，准确进行角的推导与运算，是解决此类角度证明与计算问题的关键．
6．（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解．
琪琪同学进行了板演，过程如图：
解：把①变形为：③…………第一步
把③代入②中得：…………第二步
解这个方程，得第三步…………第三步
把代入①中，得…………第四步
所以，方程组的解为…………第五步
(1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法；
(2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步；
(3)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)代入
(2)第一步
(3)
【思路引导】本题考查代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据代入消元法解二元一次方程组求解作答即可；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组求解过程作答即可；
（3）根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【完整解答】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法，
故答案为：代入；
（2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号，
故答案为：第一步；
（3）解：把①变形为：③
把③代入②中得：
解这个方程，得第三步
把代入①中，得
所以，方程组的解为．
7．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【课题学行线的“等角转化”
问题1：如图1，已知，，，则_____；
问题2：如图2，已知在四边形中，平分，平分，且，求证：；
问题3：如图3，已知，为直线上方一定点，为延长线上一点，是射线上的点，平分，过点作，且，，，直接写出的大小______（用含，的式子表示）．
【答案】问题1：
问题2：证明见解析
问题3：或
【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质的应用，角平分线，角的计算，正确认识图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
问题1：通过作，利用平行线的性质，得到结果；
问题2：过点作，交于点，利用角平分线，结合平行线的性质，得到，即可证得结果；
问题3：根据题意，作出图形，分类讨论2种情况，结合图形，计算得到结果．
【完整解答】解：问题1：如图1，过点作，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：；
问题2：证明：如图2，过点作，交于点，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
又，
；
问题3：当点在点左侧时，如图3，过点作，
令，
，，
则，
，
平分，
，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，
，，
；
当点在点右侧时，如图4，过点作，
设，
，
，
，平分，
，
，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
综上所述，或，
故答案为：或．
8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数．
(1)【阅读与思考】
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，
两边平方得，
即_______．①
故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
设（s是正整数），代入①得，_______．
所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾．
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
(2)【运用并解决】
类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数．
(3)【迁移与应用】
长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)她的想法不可行，理由见解析
【思路引导】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）按照步骤作答即可；
（2）类比（1）的步骤作答即可．
（3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可．
【完整解答】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，
两边平方得，
即．①
故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
设（s是正整数），代入①得，．
所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾．
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
（2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，
两边立方得，
即．①
故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数．
设，代入①得，．
即．
所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾．
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
（3）她的想法不可行，理由如下：
设长方形的长为，宽为，
∴，
∴，
∴宽为，
∵圆的半径为，
∴圆的直径为；
∵，
∴她的想法不可行．
9．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，B，C的对应点分别是．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标：__________；
(2)是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为____；
(3)为网格中线段上一点，且，则的坐标为____．
【答案】(1)见解析，
(2)
(3)
【思路引导】本题主要考查平移变换，正确得出对应点的位置是解答本题的关键．
（1）先根据题意求出平移方向和距离，从而求出的坐标，再顺次连接即可得出，并写出点的坐标；
（2）由（1）的平移方向和距离逆推可得结论；
（3）由中点坐标可得结论．
【完整解答】（1）解：如图，即为所作，
点的坐标为.
（2）解：由题意得，先向左平移6格，再向下平移3格即可得到，
∵点的对应点的坐标为，
∴点的坐标为：.
（3）解：∵为网格中线段上一点，且，
∴D为的中点，
∵，，
∴D点坐标为，即.
10．（24-25七年级下·四川巴中·期中）阅读材料：
把关于的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，像与这样的方程是互为共轭二元一次方程；像二元一次方程组，这样由互为共轭二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于的方程组，为共轭二元一次方程组，则　　，　　　．
(2)解共轭二元一次方程组：．
解：由得：，由得：，由得：．
∴ 是原方程组的解，
仿照上面方程组的解法解方程组：；
(3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则之间的数量关系是　　　　　　．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（）由“共轭二元一次方程组”定义列出方程组，然后解方程即可；
（）仿照上面方程组的解法解方程组即可；
（）将代入得，然后解方程组即可．
【完整解答】（1）解：由题意可知：
，解得：，
故答案为：，；
（2）解：由得：，
由得：，
解得：，
由得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（3）解：将代入得，
得，
∵，
∴，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题：已知一个整数的立方是59319，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？①由，确定是一个两位数；②由于0到9十个数字中只有9的立方末位为9，确定的个位上的数是9；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，确定的十位上的数是3，∴．
(1)若一个整数的立方是12167，直接写出这个整数个位上的数字________；
(2)若一个整数的四次方是4100625，类比上述方法，求这个整数的值；
(3)若，其中m为整数，，求的值．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【思路引导】本题考查了立方根和四次方根的求解方法，通过对已知数的范围分析、末尾数字特征以及剩余数字与对应次方数的比较来确定方根的值．
（1）根据题意得， 是一个两位数，到十个数字中只有的立方末位为，可判断其个位是；
（2）类比题目中给定的判断方法，由到十个数字中只有的四次方末位为可知 的个位数字是， 再由划去后面的四位得到数， 而可得的十位数字是，从而可确定该整数；
（3）由 而与非常接近，故，（由可确认该范围) ，从而可得，再根据为整数， 求出，的值，代入计算解题．
【完整解答】（1）解：，
是一个两位数，
∵到十个数字中只有的立方末位为，
的个位上的数是，
故答案为：；
（2）解：，
是一个两位数，
∵到十个数字中只有的四次方末位为，
的个位数字是，
划去后面的四位得到数， 而，
的十位数字是，
，
即该整数的值为；
（3）解：，
，
，
即，
∵为整数，，
，，
．
12．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读与思考
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值．
小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得．
李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．
请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题．
(1)已知二元一次方程组，则________，________；
(2)已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的值．
【答案】(1)2，16；
(2)．
【思路引导】本题考查了二元一次方程组，整体思想的运用；
（1）将两个方程相加或变形后相减，即可求解；
（2）利用加减消元法即可求出，根据题意，即可求解．
【完整解答】（1）解：
得，；
得，
故答案为：2，16；
（2）
，得，
∴
∵，
∴，
∴．
13．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
(1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
(2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
(3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数．
【答案】(1)图①中，即；图②中，；证明见解析
(2)
(3)
【思路引导】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得，再利用平行线的性质即可得到结论；
（2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案；
（3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论．
【完整解答】（1）解：如图①，过作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
如图②，过作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图③，延长，交于点，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图④，
由（1）的结论可得：，，
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．
(1)请你直接写出两点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查非负数的性质，坐标与图形，解二元一次方程组．正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据平方、算术平方根的非负性求解；
（2）连接，作轴于轴于，由可得，再根据得出，结合，解二元一次方程组可得；再根据可得点D的坐标．
【完整解答】（1）解：∵，，
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图，连接，作轴于轴于，
，
，
，
，
又，
，
，
又∵，
，
，
，
，
．
15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①，，，，求的度数；
（2）如图②，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【思路引导】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数以及探究角度之间的关系，作平行线是解题的关键．
（1）过点作．根据平行线的性质得出．最后根据角的和差关系即可求解．
（2）过点作．，．最后根据角的和差关系即可求解．
（3）过点作．，．进一步得出，再根据角平分线的定义得出，再结合（2）中的结论进一步即可得出答案．
【完整解答】解：（1）如图①，过点作．
因为，，
所以，．
所以．
因为，，
所以．
（2），理由如下：
如图②，过点作．
因为，
所以．
所以，．
所以．
即．
所以
（3）如图③，过点作．
因为，，
所以．
所以，．
所以．
所以．
又因为，分别是与的平分线，
所以，．
所以．
由（2）知，，
所以．
所以
．
即．
16．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)是轴上（除去点）的动点．
连接，，使，求符合条件的点坐标；
如图，是线段上一定点，连接，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)
(2)①或；②或，理由见解析
【思路引导】本题主要考查了坐标与图形性质、平移的性质、平行线的性质等知识点，作出图形、利用分类讨论的思想和数形结合思想是解题的关键．
（1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标求出点C、D的坐标即可；
（2）①设P点坐标为，根据坐标与图形性质结合，得到，即可求得点P的坐标；②分点P在点B左侧和右侧两种情况，分别作出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可．
【完整解答】（1）解：∵点A，的坐标分别为，，将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，
∴，即．
故答案为：．
（2）解：①∵点A，的坐标分别为，，
∴，
∴，
设P点坐标为，则，
∵，
∴，解得：或10．
∴点P点坐标为或．
②或．理由如下：
如图，当点P在点B左侧时，过点Q作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点P在点B右侧时，过点Q作，则，
∵，
∴，
∴，
∴∠．
综上所述，与的数量关系为或．
17．（24-25七年级下·江西赣州·期中）王老师依据各章学习情况，将七年级数学兴趣小组分别取名为平行线组、实数组、坐标系组．在一次数学探究活动中，王老师只给出题干，要求各小组依据题干进行出题，然后互相解答．现请你参加本次活动，解答各小组的问题
王老师给出的题干：如图（1），在平面直角坐标系中，，过点C作轴于点B，连接．
(1)实数组：若，则______，______；
(2)平行线组：如图（2）若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，请求的度数；
(3)坐标系组在实数组的基础上提出以下思考：在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【思路引导】（1）根据实数的非负性求解即可；
（2）过E作，根据平行线的性质得出，，则可求出．根据平行线的传递性得出则可得，得出，，然后结合角平分线的定义即可求解；
（3）分两种情况：①当P在y轴正半轴上；②当P在y轴负半轴上时，根据面积公式列方程求解即可．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：如图2中，过E作．
轴，
轴，，
．
又，
，
．
，
，
，．
∵，分别平分，，
，，
．
（3）解：，，
，．
，
，
，，
，
①当P在y轴正半轴上时，如图3中．
设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，则，，，．
，
，
，
解得，即点P的坐标为．
②当P在y轴负半轴上时，如图4，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N．
设点，则，，．
，
，
解得，
∴点P的坐标为．
综上所述，P点的坐标为或
【点睛】此题考查平方的性质及算术平方根的性质，角平分线的性质，直角坐标系与几何图形，利用面积公式求图形的面积，三角形的面积计算公式，直角梯形的面积计算公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
18．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”．
例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）；
(2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围；
(3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围．
【答案】(1)③
(2)
(3)
【思路引导】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断；
（2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可；
（3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出．
【完整解答】（1）解：，解得：，
，故①不成立；
，故②不成立；
，故③成立，
故答案为：③；
（2）∵是方程与不等式组的“调和解”，
∴，，
解得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）不等式组，解得：，
将代入，得，解得：，
∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，
∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组．
19．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图①，是直线，内部一点，，连接，．
(1)探究猜想：
①若，，则________________.
②猜想图①中，，的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．
(2)拓展应用：
如图②，射线与，交于分别交于点、，，，，，分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域，位于直线上方，是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系（任写出两种，可直接写答案）．
【答案】(1)①；②，证明见解析
(2)在区域，，在区域，，在区域，，在区域，
【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）①过E作，根据平行线的性质求出，代入求出即可；②根据①中的方法可得出结论；
（2）有四种情况，分别画出图形，运用平行线的性质与三角形的内角和定理去分析解答即可．
【完整解答】（1）解：①过E作，
，，，
，
，，
，
故答案为：；
②，理由如下：
方法一：
证明：如图，延长交于F，
，
，
，
；
．
方法二：
过E作，
，
，
，，
；
（2）解：当P在a区域时，如图，
，
，
，
∴，
，
；
当P点在b区域时，如图，
，
，
同理可得：，
；
当P点在区域c时，如图，
过P点作，
，
，
，，
，
当P点在区域d时，如图，
过P点作，
，
，
，，
，
.
20．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为/秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
(3)如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)
【思路引导】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论；
（3）设旋转的时间为秒，由题知，，根据周角得到，列方程即可得到结论．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点逆时针旋转的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
（3）解：设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴
，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是秒．
21．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且
(1)请直接写出点的坐标；
(2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间；
(3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【思路引导】（1）由算术平方根的性质求出，，得出，，即可得出答案；
（2）设点的运动时间为，则，由面积关系得出，得出即可；
（3）由（2）得，①当点在点的上方时，由面积关系得出，求出，则，得出；②当点在点的下方时，由面积关系得出，求出，则，得出即可．
【完整解答】（1），
，，
，
，
轴，轴，
，，
；
（2）设点的运动时间为，则，如图1所示：
，，
，
，
解得：，
点的运动时间为；
（3）存在；理由如下：
由（2）得：，
①当点在点的上方时，如图2所示：
，
，
，
，
；
②当点在点的下方时，如图3所示：
，
，
，
，
；
综上所述，点的坐标为：或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形面积、算术平方根的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和面积关系是解题的关键．
22．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，为两直线间的一点．
(1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数；
(2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？
(3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，即可得出结论；
（2）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由平角的定义即可得出结论；
（3）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由四边形内角和即可得出结论．
【完整解答】（1）解：如答图①，过点C作，．
∵，
∴，
∴，，，．
∵与的平分线相交于点D，
∴，，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
理由如下：如答图②，过点C作，．
∵，
∴，
∴，，，．
∵与的平分线相交于点D，
∴，，
∴
，
∴．
（3）解：．
理由如下：如答图③，过点C作，．
∵，
∴，
∴，，，．
∵的平分线与的平分线所在的直线相交于点D，
∴，．
∵
，
∴．
23．（24-25七年级下·广东广州·期中）若点的坐标满足，我们称点为“横和点”．
(1)已知点为“横和点”，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点，点，点，点为“横和点”，点的横坐标为．
①若点为“横和点”，且三角形的面积为8，求点的坐标；
②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由．
【答案】(1)q的值为4
(2)①或；②点是“横和点”，理由见解析
【思路引导】本题主要考查坐标系中点的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解题的关键在于理解“横和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换．
（1）直接代入“横和点”的定义方程求解．
（2）①利用平移向量确定点的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解．
②通过平移确定点的坐标，验证是否满足“横和点”的条件．
【完整解答】（1）∵点是“横和点”，
，
．
∴q的值为4．
（2）①∵点和点是“横和点”，
，
，，
，
，
点和点的纵坐标相同，
轴
，
点的横坐标为
点，点分别对应点和点，
，
，解得：，
当时，
当时，
或．
②点是“横和点”，
理由：点，点分别对应点和点，
，
，
，
点的对应点，
，
，
，
点是“横和点”．
24．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于．
(1)___________，___________，三角形的面积___________；
(2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数；
(3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________．
【答案】(1)，5，20
(2)
(3)或
【思路引导】（1）根据非负数的性质确定的值，进而可知点的坐标，即可求得三角形的面积；
（2）过点作，结合角平分线的定义、平行线的性质，分别证明，，利用角平分线性质求解即可；
（3）设点，分当点在轴上方和点在轴下方两种情况讨论，过点作，过点作于点，过点作于点，利用求解即可．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三角形的面积．
故答案为：，5，20；
（2）过点作，如下图，
∵，，
∴，
∴
∴，
同理，，
又∵平分，平分 ，
∴，
∴；
（3）设点，分两种情况讨论：
当点在轴上方时，如图，
过点作，过点作于点，延长交于点，
由题意，
则，，，，
∵，
∴，
解得，即；
当点在轴下方时，如图，
过点作，过点作于点，延长交于点，
由题意，，
则，，，，
∵，
∴，
解得，即．
综上所述，点坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平行线的性质、角分线的定义以及一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
25．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点，满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；
(2)点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，
(3)不变，定值为3
【思路引导】本题考查非负性，坐标与图形，坐标与平移，正确的求出点的坐标，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）非负性求出的值，进而得到的坐标，平移求出坐标即可；
（2）过D作的延长线，垂足为H，设M点坐标为，连接，根据，列出方程进行求解即可；
（3）分当点N在线段上和点N运动到线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵平移，
∴，，即：，；
（2）解：存在
过D作的延长线，垂足为H，如图所示：
∵点C和点D的坐标分别为和，
，
设M点坐标为，连接，
，
，
，即，解得，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变
理由如下：
当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为t秒，，
过D作的延长线，垂足为H，连接，
，
，
当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为t秒，，连接，
；
为定值3，故其值不会变化．
26．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知，两块直角三角板和．
(1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °．
(2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
①直角三角板和固定不动，作平分，当时，求t的值；
②若直角三角板旋转的同时直角三角板也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)120；30
(2)①或；②的值为，，，
【思路引导】（1）根据，，求出，根据角平分线定义求出；根据平行线的性质求出．
（2）①分两种情况：当在右方时，当在左方时，分别画出图形进行求解即可；
②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解．
【完整解答】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
∵，
∴．
（2）解：①当在右方时，如图所示：
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
解得：；
当在左方时，如图所示：
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
解得：；
综上分析可知：此时或；
②当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗
【知识回顾】直线与是否平行 如果是，请你说明理由．
【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直 若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由．
【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行 若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】【知识回顾】：平行，理由见解析；【问题推广】：存在，；【拓展提升】存在，或
【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答．
知识回顾：由，得到，即可判断；
问题推广：设射线、交点为，过点作，得到，推出，，结合，可得，即可求解；
拓展提升：分两种情况：①当射线，在直线不同侧时，②当射线，在直线同侧时，根据平行线的性质和旋转的特点列方程，即可求解．
【完整解答】解：【知识回顾】，理由如下：
，，
，
；
【问题推广】解：设射线、交点为，过点作，
，，
，
，，
，
，
，
解得：；
【拓展提升】①当射线，在直线不同侧时，
，，
，，
，
，
，
解得：；
②当射线，在直线同侧时，
，，
，
，
，
，
解得：；
综上所述：的值为或．
28．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
(1)若点在线段上，
①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程．
②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由．
(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)
【思路引导】本题考查了平行线的性质，解的和差运算，作出平行线的辅助线是解题的关键．
（1）①过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解；
②过点C作，则得，从而求得；再由得，进而即可得到答案；
（2）过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解；
【完整解答】（1）解：①如图，过点C作，
则；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图，过点C作，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴；
（2）解：；理由：
如图，过点C作，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
29．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、．
(1)如图1，若，试说明；
(2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数；
(3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【思路引导】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论；
（2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解；
（3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案．
【完整解答】（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∴；
（3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧），
∵的延长线为的三等分线，
有以下两种情况：
①当时，如图所示：
设，则，
∴，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，如图所示：
设，则，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
同①得：，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上所述：或．
故答案为：或．
30．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）．
(1)求点、、的坐标．
(2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．
【答案】(1)点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
(2)或
(3)的度数不变，
【思路引导】（1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标．
（2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可；
（3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案．
【完整解答】（1）解： ，，，，
，，，
解得，，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：存在，
理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
∴，
∴
设点的坐标为，
由题意得，，，
的面积，
依题意，
解得：
∴或
点坐标的坐标为或．
（3）解：的度数不发生变化，
理由如下：过点作，如图2，
∵，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线，坐标与图形，三角形的面积计算、非负数的性质，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末高频考点优选题汇编复习【2024新教材】
解答题典型必刷练30题（压轴题）
（原卷版）
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1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知，点分别在上，，．求的度数．
小明：“如图2，通过作平行线，发现，，由已知，可以求出的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”
小华：“如图4，也能求出的度数．”
(1)根据他们的解法，______；
(2)请在图2，图3，图4中任选一个，求的度数，写出求解过程；
(3)老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法，解决问题：如图，，点分别在上，平分，，若，请直接写出与的数量关系______；（用含的式子表示）．
2．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）解下列方程组或不等式组：
(1) (2)
(4)
3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套B类玩具4套，需800元；A类玩具3套B类玩具2套，则需450元．
(1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元．
(2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少件？
4．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点作交的延长线于点F，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
5．（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧．
(1)图1，小红说：若平分，一定平分．
理由如下：
平分，
（角平分线的定义）．
，
________（垂直定义）
即________
________（对顶角相等）
________（等量代换）
平分
请补全小红的说理过程．
小明说：当，，如图2，可以求的度数．请帮小明完成求解过程．
6．（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解．
琪琪同学进行了板演，过程如图：
解：把①变形为：③…………第一步
把③代入②中得：…………第二步
解这个方程，得第三步…………第三步
把代入①中，得…………第四步
所以，方程组的解为…………第五步
(1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法；
(2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步；
(3)请写出正确的解答过程．
7．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【课题学行线的“等角转化”
问题1：如图1，已知，，，则_____；
问题2：如图2，已知在四边形中，平分，平分，且，求证：；
问题3：如图3，已知，为直线上方一定点，为延长线上一点，是射线上的点，平分，过点作，且，，，直接写出的大小______（用含，的式子表示）．
8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数．
(1)【阅读与思考】
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，
两边平方得，
即_______．①
故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
设（s是正整数），代入①得，_______．
所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾．
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
(2)【运用并解决】
类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数．
(3)【迁移与应用】
长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由．
9．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，B，C的对应点分别是．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标：__________；
(2)是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为____；
(3)为网格中线段上一点，且，则的坐标为____．
10．（24-25七年级下·四川巴中·期中）阅读材料：
把关于的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，像与这样的方程是互为共轭二元一次方程；像二元一次方程组，这样由互为共轭二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于的方程组，为共轭二元一次方程组，则　　，　　　．
(2)解共轭二元一次方程组：．
解：由得：，由得：，由得：．
∴ 是原方程组的解，
仿照上面方程组的解法解方程组：；
发现：若共轭二元一次方程组的解是，则之间的数量关系是　　　　　　．
11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题：已知一个整数的立方是59319，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？①由，确定是一个两位数；②由于0到9十个数字中只有9的立方末位为9，确定的个位上的数是9；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，确定的十位上的数是3，∴．
(1)若一个整数的立方是12167，直接写出这个整数个位上的数字________；
(2)若一个整数的四次方是4100625，类比上述方法，求这个整数的值；
(3)若，其中m为整数，，求的值．
12．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读与思考
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值．
小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得．
李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．
请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题．
(1)已知二元一次方程组，则________，________；
(2)已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的值．
13．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
(1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
(2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数．
14．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．
(1)请你直接写出两点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标．
15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①，，，，求的度数；
（2）如图②，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
16．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个
单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)是轴上（除去点）的动点．
连接，，使，求符合条件的点坐标；
如图，是线段上一定点，连接，请直接写出与的数量关系．
17．（24-25七年级下·江西赣州·期中）王老师依据各章学习情况，将七年级数学兴趣小组分别取名为平行线组、实数组、坐标系组．在一次数学探究活动中，王老师只给出题干，要求各小组依据题干进行出题，然后互相解答．现请你参加本次活动，解答各小组的问题
王老师给出的题干：如图（1），在平面直角坐标系中，，过点C作轴于点B，连接．
(1)实数组：若，则______，______；
(2)平行线组：如图（2）若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，请求的度数；
(3)坐标系组在实数组的基础上提出以下思考：在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”．
例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）；
(2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围；
(3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围．
19．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图①，是直线，内部一点，，连接，．
(1)探究猜想：
①若，，则________________.
②猜想图①中，，的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．
(2)拓展应用：
如图②，射线与，交于分别交于点、，，，，，分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域，位于直线上方，是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系（任写出两种，可直接写答案）．
20．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
(1)在图1中， ；
(2)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为/秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
(3)如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
21．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且
(1)请直接写出点的坐标；
(2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间；
(3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，为两直线间的一点．
(1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数；
(2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？
(3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？
23．（24-25七年级下·广东广州·期中）若点的坐标满足，我们称点为“横和点”．
(1)已知点为“横和点”，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点，点，点，点为“横和点”，点的横坐标为．
①若点为“横和点”，且三角形的面积为8，求点的坐标；
②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由．
24．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于．
(1)___________，___________，三角形的面积___________；
(2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数；
(3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________．
25．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点，满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；
(2)点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
26．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知，两块直角三角板和．
(1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °．
(2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
①直角三角板和固定不动，作平分，当时，求t的值；
②若直角三角板旋转的同时直角三角板也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．
27．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗
【知识回顾】直线与是否平行 如果是，请你说明理由．
【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直 若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由．
【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行 若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由．
28．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
(1)若点在线段上，
①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程．
②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由．
若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．
29．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、．
(1)如图1，若，试说明；
(2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数；
(3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________．
30．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）．
(1)求点、、的坐标．
(2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．

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