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2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
解答题典型必刷练30题（培优题）
（解析版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在中，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若，求的度数和．
【答案】(1)见解析；
(2)
【思路引导】（1）要证四边形是菱形，已知是平行四边形，根据菱形定义，需证邻边相等．利用平行四边形面积公式（底高 ），结合、且，推出 ．
（2）先由平行四边形邻角互补得、与的关系，再结合垂直条件，分别表示出、，进而求它们的和．
【完整解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
又∵，
∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴ ．
∵，
∴，
在中， ．
同理，，，
∴ ，
∵，，
在中， ．
∴ ．
【考点评析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形面积公式、菱形判定定理及直角三角形两锐角互余是解题的关键．
2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将沿折叠得到．联结并延长交于
(1)当时，求的长；
(2)设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．
【答案】(1)
(2)关于的函数解析式为，函数的定义域为
【思路引导】本题考查了正方形折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、函数的解析式等知识，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题关键．
（1）连接，先根据正方形的性质可得，，再根据折叠的性质可得，，，然后证出，最后在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出，再同（1）可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得函数解析式，最后根据点是边长为6的正方形的边上的一点可得函数的定义域．
【完整解答】（1）解：如图，连接，
∵正方形的边长为6，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，即，
解得，
即．
（2）解：∵正方形的边长为6，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
在中，，即，
整理得：，
∵点是边长为6的正方形的边上的一点，
∴，
综上，关于的函数解析式为，函数的定义域为．
3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式．
(1)；
(2)若是的小数部分，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【思路引导】（1）观察材料可知是利用平方差公式对分母进行有理化，将原式分子分母同乘，把分母中的根式去掉来化简．
（2）先根据的取值范围确定其小数部分，再将代入，通过分母有理化和合并同类二次根式来计算．
本题主要考查了二次根式的分母有理化以及无理数的小数部分求解，熟练掌握平方差公式进行分母有理化和无理数取值范围的分析是解题的关键．
【完整解答】（1）解：；
（2）解：是的小数部分，
，
4．（24-25八年级下·四川巴中·期中）请用所学知识认真化简计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)3
(4)
【思路引导】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，
（1）先计算立方根，乘方，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再将分母通分，最后计算加减即可；
（3）分子提取公因式3计算即可；
（4）先将分母通分，计算得到，再提取公因式计算即可．
【完整解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
5．（24-25八年级下·河南漯河·期中）观果计算：
（1）_____
____
____（填“>” “<”“=”）
归纳发现：
（2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由．
实践应用：
（3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圆恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______．
【答案】（1）>，>，=；（2），理由见解析；（3）
【思路引导】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
（1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论；
（3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
【完整解答】解：（1）①，，
∵，
∴；
②，，
∵，
∴；
③，
∴
故答案为：>，>，=；
（2）猜想，理由如下：
当，时，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，则，
∴，
根据（2）的结论可得：．
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：
6．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）在中，，.点D在的延长线上，，，连接，.，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)四边形能否为正方形？如能，请求出此时的值；如不能，也请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)能，
【思路引导】（1）先证明是等腰直角三角形得，再证明，进而可依据“”判定得，再根据平行线性质得，继而得，由此可得出，然后再根据，由此即可得出结论；
（2）当时，四边形正方形，由得，再根据四边形是矩形即可得出四边形是正方形；过点A作于点H，设，则，则，，再根据当时，四边形正方形得，继而得，由此即可得出的值．
【完整解答】（1）证明：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：四边形能为正方形，理由如下：
∵点D在的延长线上，
∴当时，四边形正方形，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
过点A作于点H，如图所示：
∴，
设，
在中，，
∴，则，
在中，由勾股定理得：，
∵当时，四边形正方形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【考点评析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某中学开展了“人工智能机器人”知识网上答题竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，，四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表：
组别
成绩（/分）
人数（人）
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生，______，并补全条形统计图：
(2)在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为______度；
(3)人工智能在跨境电商发展中起到关键作用，该校同学查阅到某数据中心给出的2019－2025年中国跨境电商出口规模及预测图，哪一年的同比增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条．
【答案】(1)；，作图见解析
(2)
(3)年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长
【思路引导】（1）由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用乘以等级人数所占的百分比得出等级所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去其他等级的人数，求出等级的人数，从而补全统计图；
（3）根据年中国跨境电商出口规模及预测图解答即可．
【完整解答】（1）解：本次共调查学生（名），
（名），
补全图形如下：
故答案为：；；
（2）扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为，
故答案为：；
（3）从年中国跨境电商出口规模及预测图中发现，年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长．
【考点评析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用频数分布表．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息．
8．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为．
【尝试初探】
（1）如图1，若，则_______．
【深入思考】
（2）如图2，连接．
①求证：平分；
②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，这个定值为1
【思路引导】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题的关键．
（1）根据折叠性质可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可；
（2）由可得，由折叠可得，由此证明；
作，容易证明，得，，进而可得；可得，，由在中，，可得，对等式变形即可得出结论．
【完整解答】解：（1）∵正方形的边长为，
∴，，
设，则，
∵在中，，，
∴，
解得：，
故答案为；
（2）①∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
②作，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
的值为定值，这个定值是1.
9．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，两点在反比例函数的图象上．
(1)求的值．
(2)求直线的函数解析式．
(3)过点作轴于点，过点作轴于点，是线段上一点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】本题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）求出，计算即可得到答案；
（2）设直线的函数解析式为，用待定系数法求函数解析式即可
（3）由题得，，设点，得到，求出，即可得到答案．
【完整解答】（1）解： ，两点在反比例函数的图象上，
将代入得，
解得：，
∴，
解得．
（2）解：设直线的函数解析式为，
将，代入得，
解得：，
直线的函数解析式为．
（3）解：由题意得，，
设点．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为．
10．（24-25八年级下·广东江门·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，
，
，
．．．．．．
(1)观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）．
(2)利用上面的规律，计算：．
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】(1)
(2)18
(3)
【思路引导】本题考查了二次根式的运算、数字类规律探究，找到变化规律是解题的关键．
（1）根据前几个等式的变化规律，即可写出第个等式；
（2）根据规律将各项分母有理化即可求解；
（3）先求倒数，再分母有理化，然后比较大小即可求解．
【完整解答】（1）解：根据前几个等式可得第n个等式为：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）解：由于，，
，
，
．
11．（24-25八年级下·福建漳州·期中）我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图象和性质，下面，我们研究函数的图象和性质，我们不妨特殊化，设，，即．
(1)函数的自变量的取值范围是 ；图象在第 象限；
(2)阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值；
(3)某隧道长，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长，相邻两车的距离与车速的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值．
【答案】(1)；一、三
(2)时，有最大值
(3)
【思路引导】本题主要考查反比例函数的应用，通过求自变量的取值范围，函数图象探究函数的基本性质，继而考查函数的应用，解题的关键是准确理解函数的图象特点，灵活使用函数性质．
（1）依据题意，借助分式分母不能为零求解，然后根据横纵坐标符号，可判断象限；
（2）依据题意，将代入表达式仿照时即可得解；
（3）依据题意，车队行驶的路程为，速度是，时间，列出解析式求最值．
【完整解答】（1）解：函数，根据分式分母不能为零得，；
当时，，点在第一象限；
当时，．点在第三象限，
故答案为：；一、三．
（2）解：由题意，当时，，
，
当，即时，有最大值．
（3）解：由题意，每辆车长，相邻两车的距离，从第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道车队走过路程为，
，
，
，
由题意知，当时，有最小值，此时解得，
的最小值为．
12．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，，即①
，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：_______；
第②步运用了乘法公式：________；（法则，公式都用式子表示）
【模仿应用】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值；
【举一反三】
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）
【思路引导】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键．
（1）根据分式加法的逆运算法则，完全平方公式的变形进行解答；
（2）仿照例题计算即可；
（3）将已知三个等式相加，得到，再利用倒数法解答．
【完整解答】（1）解：第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：；
第②步运用了乘法公式：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（24-25八年级下·江西赣州·期中）【特例感知】
化简：；
解：．
（1）请在横线上直接写出化简的结果：
①__________；
②__________．
【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：．
【答案】（1）①；②；（2），步骤见解析；（3）2023
【思路引导】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）利用分母有理化求解作答即可；
（2）根据，求解作答即可；
（3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可．
【完整解答】（1）①解：．
故答案为：．
②解：．
故答案为：．
（2）解：，
∴的化简结果为．
（3）解：
．
14．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且的周长比的周长小4．
(1)求边和的长；
(2)若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离．
【答案】(1)，
(2)
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质得到，，再结合题意可得，联立解方程组即可求出边和的长；
（2）根据题意可得，则有，设和之间的距离为，利用平行四边形的面积公式求出的值，即可解答．
【完整解答】（1）解：的对角线与相交于点，其周长为20，
，，
又的周长比的周长小4，
，
，
解得：，．
（2）解：，，，
，
，
设和之间的距离为，
，
，
和之间的距离为．
15．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知在平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标分别是另一个点横、纵坐标的，则称这个点是另一个点与原点连接线段的中点．
例：有点，若点的坐标为，则点为线段的中点．
根据以上材料解决下列问题：
如图，点在反比例函数上，点在反比例函数上．
(1)求、的值；
(2)点在反比例函数上，连接，分别交反比例函数图像于两点，连接．试猜想与的关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
【思路引导】（1）利用点在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，将点代入求，再将代入求；
（2）先求直线、解析式，联立求、坐标，根据中点定义及三角形中位线定理判断与关系 ．
【完整解答】（1）解：将点代入得，
将代入得，
（2）解：设直线解析式为，把代入得，即．
联立，
得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是中点．
设直线解析式为，把代入得，
∴．
联立，
得，，
∵，
∴，则，
∴，可知是中点．
根据三角形中位线定理，
∴， ．
16．（24-25八年级下·福建泉州·期中）综合与实践
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
(1)初步感知：函数的自变量x的取值范围是_____．
(2)作出图象步骤如下：
①列表：
x … 1 2 n 4 …
y … m 2 3 5 0 …
填空：_____，_____．
②描点：以表中各组x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
连线：如图，将图中y轴两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来，请画出图象．
(3)研究性质：
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数的图象通过某种平移转化而来的．已知反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为点，结合小明的分析，可知函数的图象的对称中心为点______．
(4)若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，点Q的纵坐标是q，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)①；3；②画函数的图象见解析
(3)
(4)．
【思路引导】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，正确记忆修改知识点是解题关键．
（1）根据分母不能为0，即可解决问题；
（2）①求得时的函数值，求得时的x的值，即可求得m、n的值；
②描点、连线画出图形即可；
（3）根据平移的性质，可得结论；
（4）求得直线函数的图象中心对称点，结合图象即可求解．
【完整解答】（1）解：∵，
∴函数的自变量x的取值范围是．
故答案为：；
（2）解：①时，，
∴，
当时，则，解得，
∴，
故答案为：；3；
②画出函数图象如图：
；
（3）解：观察图象发现，函数的图象的对称中心为点为；
故答案为：；
（4）解：∵，
则直线过定点，
∵函数的图象关于点中心对称，
∴则两函数交点P，Q关于对称，
∵点P的横坐标是p，
∴点Q的横坐标是，
又Q的纵坐标为q，
∴，
将代入，
∴，
整理得．
17．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求A，B两点的坐标及反比例函数的表达式．
(2)若P为x轴上的一动点，且，求点P的坐标．
(3)观察图象，直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，该反比例函数的表达式为
(2)点P的坐标为或
(3)x的取值范围为或
【思路引导】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图像求不等式的解集的等知识点，掌握两函数图像的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键．
（1）先根据两函数图像的交点情况确定a、b的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答；
（2）设点P的坐标为，直线与x轴交点为C，求出点C的坐标，根据，即可解答．
直接根据函数图像即可解答．
【完整解答】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点．
∴，，
∴，
∴A点坐标为，点B点坐标为．
∴，
∴反比例函数．
（2）设点P的坐标为，直线与x轴交点为C，如图
当时，，
解得，
∴，
∵A点坐标为，点B点坐标为．
∴
解得或，
点P的坐标为或．
（3）如图：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A，B两点．
∴当时，x的取值范围或．
18．（24-25八年级下·福建泉州·期中）下面是王林同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后，解答下列问题．
王林的作业： 第一步 第二步 第三步 第四步
(1)王林的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)二；不应该去分母
(2)
【思路引导】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的加减运算法则即可解答；
（2）先根据分式的运算法则化简，由得到，再整体代入求值即可．
【完整解答】（1）解：王林的作业是从第二步开始出现错误的，错误的原因是不应该去分母．
故答案为：二；不应该去分母．
（2）解：
，
，
，
原式．
19．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）概念阅读：
如图1，在四边形中，如果对角线和相等，那么我们把这样的四边形称为“和谐四边形”．
问题提出：
（1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“和谐四边形”的是__________（填写图形名称）若“和谐四边形”的中点四边形（各边中点顺次连接而成的四边形）是正方形，那么对角线还需要满足的条件是_________．
问题探究：
（2）如图2，已知中，，，请你在图中找一点D，满足，且使四边形是“和谐四边形”，并求四边形的面积．
【答案】（1）矩形；；（2）图见解析，
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据矩形，菱形，平行四边形的性质可得第一空答案；如图所示，分别是的中点，由三角形中位线定理可得，由正方形的性质可得，则；
（2）取的中点E，过点E作的垂线，在这个垂线上截取一点D使得，连接，则四边形即为所求；先由勾股定理得到，再利用勾股定理求出的长，再由列式计算即可．
【完整解答】解：（1）在菱形，矩形，平行四边形中，对角线一定相等的只有矩形，故只有矩形一定是“和谐四边形”；
如图所示，分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
；
（2）如图所示，取的中点E，过点E作的垂线，在这个垂线上截取一点D使得，连接，则四边形即为所求；
在中，，，
，
∵四边形是等角线四边形，
，
在中，，
．
∴四边形的面积为
20．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与实践
【问题情境】综合与实践课上，王老师提出了一个有关正方形中“十字型”的问题：
如图1，在正方形中，边长为，，分别是边，上的点，．
【独立思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（2）阳光小组在王老师的问题上继续思考．如图，记与的交点为，若阴影部分的面积之和为，求的面积．
【实践探究】（3）缤纷小组进一步探究，如图3，连接并延长，交的延长线于点．已知，，请直接写出的长．
【答案】[独立思考] ；[问题解决]；[实践探究]
【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，解决问题的关键是运用面积法寻求线段之间的关系．
独立思考 可证得，从而；
问题解决 可推出，根据，进而求得结果；
实践探究 连接，作，交的延长线于，设，可推出，从而，进而得出，从而，进而得出，从而得出，根据，设在中，根据勾股定理列出方程，进一步得出结果．
【完整解答】[独立思考 解：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
（），
；
[问题解决]
，
，
，
，
，
，
[实践探究] 如图，
连接，作，交的延长线于，
，
设，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
设
在中，由勾股定理得，，
解得：（负值舍去）
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，，
，
21．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
(3)连接、，若，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)1
【思路引导】（1）证明即可；
（2）连接交于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即；
（3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积．
【完整解答】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是菱形，是菱形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在菱形中，连接交于点P，则，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴
∴；
（3）解：如图：
设
∵，
∴，
∴
∵菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵
∴，
∴，而
∴，
∴．
【考点评析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是合理利用菱形的性质．
22．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【问题初探】
（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？直接判断：______（填“”或“”）；
【问题迁移】
（2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论；
【问题延伸】
（3）如图3，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：；
【问题拓展】
（4）如图4，在边长为4的正方形中，是的中点．是上的动点，过点作，分别交，于点，．直接写出的最小值为______．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）详见解析
（4）40
【思路引导】（1）证明，得到
（2），理由如下，作，交于点，由（1）得，推出，可证明四边形是平行四边形，得到，即可得到结论；
（3）连接，求出，得到 ， 由（2）得，推出，即可得到结论；
（4）过点作，过点作，连接，推出四边形是平行四边形，得到，，，推出当三点共线时的值最小，由（2）知，得到，根据勾股定理求出，，得到的最小值为，求得的最小值为，即可得到答案．
【完整解答】（1）解：正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
如图，作，交于点，
，
，
由（1）得，
，
正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（3）证明：如图，连接，
是正方形对角线上一点，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）得，
，
；
（4）解：过点作，过点作，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
当三点共线时的值最小，
由（2）知，
，
正方形，
，
，
，
，
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【考点评析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键．
23．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平而直角坐标系中，直线： 与坐标轴交于A，B两点，点C为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒．
(1)直接写出点C的坐标为______；
(2)如图2，过点D作轴，过点C作轴．证明： ；
(3)如图3，连接，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或或．
【思路引导】（1）根据一次函数的解析式分别求出与x，y轴的交点，再根据中点坐标公式求出点C的坐标即可；
（2）要想证明三角形全等，需要证明三个条件，通过四边形是平行四边形易得两个条件，再根据一个垂直得到一组角相等，即可解决问题；
（3）根据平行四边形的对边相等，求出点D的坐标，再分类讨论点D在三条边即是在三条直线上，分别把点D的横纵坐标代入直线解析式，求得t值即可；
【完整解答】（1）解：∵直线与坐标轴交于A，B两点，
当时，，当时，，
点A的坐标是，点B的坐标是
∵点C为的中点，
点
故答案为：
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：或或
∵，
∴，
∵点，点，点，
∴，
∴，
∴点，
当点D落在直线上时，则，即，
当点D落在直线上时，
∵点，
∴直线解析式为： ，
∴，
∴，
当点D落在上时，
∵直线解析式为： ，
∴
∴，
综上所述：或或．
【考点评析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，中点坐标公式，全等三角形的判断和性质，平行四边形的性质等知识点，解决此题的关键是要能正确的求出点D的坐标．
24．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）反比例函数的图象经过点和点．

(1)求、的值；
(2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围；
(3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)点所在的函数表达式为
(3)矩形的面积为6
【思路引导】（1）将点和点代入，解答即可．
（2）作轴，轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可．
（3）在上取点，使得，作轴，轴，根据旋转性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可．
【完整解答】（1）解：将点和点代入，得：
，
解得．
（2）解：作轴，轴，

根据题意，得
，
，
轴，轴，
，
，
，
设，则，
设，
，
点所在的函数表达式为．
（3）解：方法①：

在上取点，使得，作轴，轴，
由旋转得，
，
，
即四边形和四边形为矩形，
，
设，
矩形的面积矩形的面积．
方法②：

设，作，交延长线于点，
为等腰直角三角形，
点，
直线的函数表达式为，
设，
，
，
，
，
，
，
矩形的面积
．
【考点评析】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键．
25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【初步理解】
如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形；
【尝试运用】
如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”；
【拓展延伸】
如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积．
【答案】（1）一定
（2）四边形是“等邻边四边形”
（3）或或
【思路引导】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论；
（2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可；
（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【完整解答】解：（1）∵四边形的邻边相等，
∴矩形一定是正方形；
故答案为：一定；
（2）如图②，四边形是等邻四边形；
理由：连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是等邻四边形，
．（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
①当时，
．
②当时，设，
∵，在中，，
∴，
∴，即，
∴．
③当时，点与重合，此时,
∴．
综上：四边形的面积为或或．
【考点评析】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
26．（24-25八年级下·福建漳州·期中）综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N．
特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？
探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①或；②
【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类．
（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果；
（2）可证明，从而得出结论；
（3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果；
②根据旋转的性质进行计算即可．
【完整解答】（1）解：，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，
，
即：，
由旋转知，；
在和中，
，
，
；
（3）解：①如图1，
当时，，
，，
，
，
如图2，
当时，，
，
如图3，
当时，，
，
此时和重合，这种情形不存在．
综上所述：或．
②如图：
当时，
，
，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
，
，
旋转角为．
27．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为．
(1)求双曲线对应的函数表达式；
(2)不等式的解集为_____；
(3)当的面积与面积相等时，求点的坐标；
(4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或或或；
(4)或．
【思路引导】（1）先求出点的坐标，再根据待定系数法求出的值即可；
（2）先求出直线与双曲线的两个交点的横坐标，再结合图象找出直线在双曲线上方部分对应的自变量取值范围即可；
（3）过点作直线，则直线，由平行线间距离相等可知，直线与双曲线的交点为点，联立直线和双曲线，求出交点；在轴上截取，过点作直线，同理求出交点即可；
（4）讨论两个临界点：①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时，设，过点作轴于点，过点作延长线于点，证明，得到，，从而得到点的坐标，求出的值；②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时，即可求解．
【完整解答】（1）解：点在直线的图象上，且纵坐标为3，
则，解得：，
，
点在双曲线的图象上，
，
双曲线对应的函数表达式为；
（2）解：联立，整理得：，
解得：，，
即直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为和，
由图象可知，当或时，直线在双曲线上方，
即不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：的面积与面积相等，
点到直线的距离等于点到直线的距离，
如图，过点作直线，则直线，
平行线间距离相等，
直线与双曲线的交点为点，
联立，整理得：，
解得：，
点的坐标为或；
如图，在轴上截取，过点作直线，
令，则，
，
，
，
直线，
联立，整理得：，
解得：，
点的坐标为或；
综上可知，点的坐标为或或或；
（4）解：由旋转的性质可知，，，
①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时，
设，
过点作轴于点，过点作延长线于点，则，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点在直线上，
，
解得：，
则当时， 与直线有交点，
②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时，
则当时， 与直线有交点，
综上可知，与直线有交点时，的取值范围为或．
【考点评析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
28．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）综合与实践
如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在y轴负半轴上，，点D在y轴正半轴上，过点B作轴，过点D作交于点C，点E坐标为，．
(1)分别求出点A、点B的坐标；
(2)连结，，取的中点F，连结并延长交直线于点H．
①当t为何值时，四边形为平行四边形？
②当是以为腰的等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)A的坐标为，点B的坐标为
(2)①；②或或
【思路引导】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）①根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可求解；
②根据点E的位置进行分类讨论即可．
【完整解答】（1）解：∵，，，
∴，解得：（负值舍去），
∴，点B的坐标为
∴A的坐标为；
（2）①∵，，
∴，
∴点，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
即点E是的中点，
∴，
∴当时，四边形为平行四边形．
②如图，当时，，
∴，
，
当点E在线段上时，，
∴，
当点E在延长线上时，，
∴，
如图，
当时，
连结，
∵，，
∴，
∴，，
又，
，
，
，
即，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵并延长交直线于点H，，
，
又，
∴，
∴，
∴点E与点O重合，
∴，
综上所述，当或或时，存在以为腰的等腰三角形．
【考点评析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形的判定等知识点，解题关键是进行分类讨论．
29．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：；
（2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：．
（3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【思路引导】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
（1）证明 由全等三角形的性质得出；
（2）延长交于， 交于，证明， 由全等三角形的性质得出， 则可得出结论；
（3）过点作， 且使， 连接，， 过点作， 交的延长线于点，证明， 由全等三角形的性质得出，， 即当， ， 三点共线时，的最小值为，求出即可得出答案.
【完整解答】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
；
（2）证明： 延长交于， 交于，
∵四边形为正方形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
（3）过点作， 且使， 连接，， 过点作， 交的延长线于点，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∴， 即当， ，三点共线时，的最小值为，
∵，
，
，
的最小值为．
30．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接，
(1)如图1，若，为边上的高，
①求的长；
②求证：四边形为矩形；
(2)只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹；
(3)在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）．
【答案】(1)①，②见详解
(2)见详解
(3)
【思路引导】（1）①根据题意可得，再利用等边三角形性质可得；
②由等边三角形性质可得：，，进而证得四边形是平行四边形，再由，即可证得四边形是矩形；
（2）延长、交于点G，连接交于点M，根据，，得四边形是平行四边形，结合对角线互相平分，故点M是的中点；
（3）由四边形是平行四边形，则， ，当最小时，最小，当且仅当时，最小，再利用等边三角形性质和三角形中位线定理即可求得答案．
【完整解答】（1）解：①如图1，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵为边上的高，
∴；
②∵和是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵为边上的高，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图2，点M即为所求；
（3）解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴， ，
当最小时，最小，当且仅当时，最小，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点评析】本题是四边形综合题，考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等，熟练掌握平行四边形的判定和性质等是解题关键．2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末高频考点优选题汇编复习
解答题典型必刷练30题（培优题）
（原卷版）
同学你好，该份练习结合课本内容同步选题制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在中，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若，求的度数和．
2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将沿折叠得到．联结并延长交于
(1)当时，求的长；
(2)设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．
3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式．
(1)；
(2)若是的小数部分，求的值．
4．（24-25八年级下·四川巴中·期中）请用所学知识认真化简计算：
(1) (2)
(4)
5．（24-25八年级下·河南漯河·期中）观果计算：
（1）_____
____
____（填“>” “<”“=”）
归纳发现：
（2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由．
实践应用：
（3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圆恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______．
6．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）在中，，.点D在的延长线上，，，连接，.，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)四边形能否为正方形？如能，请求出此时的值；如不能，也请说明理由.
7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某中学开展了“人工智能机器人”知识网上答题竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，，四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表：
组别
成绩（/分）
人数（人）
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生，______，并补全条形统计图：
(2)在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为______度；
(3)人工智能在跨境电商发展中起到关键作用，该校同学查阅到某数据中心给出的2019－2025年中国跨境电商出口规模及预测图，哪一年的同比增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条．
8．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为．
【尝试初探】
（1）如图1，若，则_______．
【深入思考】
（2）如图2，连接．
①求证：平分；
②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值．
9．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，两点在反比例函数的图象上．
(1)求的值．
(2)求直线的函数解析式．
(3)过点作轴于点，过点作轴于点，是线段上一点，当时，求点的坐标．
10．（24-25八年级下·广东江门·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，
，
，
．．．．．．
(1)观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）．
(2)利用上面的规律，计算：．
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
11．（24-25八年级下·福建漳州·期中）我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图象和性质，下面，我们研究函数的图象和性质，我们不妨特殊化，设，，即．
(1)函数的自变量的取值范围是 ；图象在第 象限；
(2)阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值；
(3)某隧道长，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长，相邻两车的距离与车速的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值．
12．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，，即①
，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：_______；
第②步运用了乘法公式：________；（法则，公式都用式子表示）
【模仿应用】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值；
【举一反三】
已知，，，求的值．
13．（24-25八年级下·江西赣州·期中）【特例感知】
化简：；
解：．
（1）请在横线上直接写出化简的结果：
①__________；
②__________．
【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：．
14．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且的周长比的周长小4．
(1)求边和的长；
(2)若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离．
15．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知在平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标分别是另一个点横、纵坐标的，则称这个点是另一个点与原点连接线段的中点．
例：有点，若点的坐标为，则点为线段的中点．
根据以上材料解决下列问题：
如图，点在反比例函数上，点在反比例函数上．
(1)求、的值；
(2)点在反比例函数上，连接，分别交反比例函数图像于两点，连接．试猜想与的关系，并说明理由．
16．（24-25八年级下·福建泉州·期中）综合与实践
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
(1)初步感知：函数的自变量x的取值范围是_____．
(2)作出图象步骤如下：
①列表：
x … 1 2 n 4 …
y … m 2 3 5 0 …
填空：_____，_____．
②描点：以表中各组x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
连线：如图，将图中y轴两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来，请画出图象．
(3)研究性质：
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数的图象通过某种平移转化而来的．已知反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为点，结合小明的分析，可知函数的图象的对称中心为点______．
若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，点Q的纵坐标是q，直接写出的值．
17．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求A，B两点的坐标及反比例函数的表达式．
(2)若P为x轴上的一动点，且，求点P的坐标．
(3)观察图象，直接写出当时，x的取值范围．
18．（24-25八年级下·福建泉州·期中）下面是王林同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后，解答下列问题．
王林的作业： 第一步 第二步 第三步 第四步
(1)王林的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______．
(2)已知，求的值．
19．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）概念阅读：
如图1，在四边形中，如果对角线和相等，那么我们把这样的四边形称为“和谐四边形”．
问题提出：
（1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“和谐四边形”的是__________（填写图形名称）若“和谐四边形”的中点四边形（各边中点顺次连接而成的四边形）是正方形，那么对角线还需要满足的条件是_________．
问题探究：
如图2，已知中，，，请你在图中找一点D，满足，且使四边形是“和谐四边形”，并求四边形的面积．
20．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与实践
【问题情境】综合与实践课上，王老师提出了一个有关正方形中“十字型”的问题：
如图1，在正方形中，边长为，，分别是边，上的点，．
【独立思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（2）阳光小组在王老师的问题上继续思考．如图，记与的交点为，若阴影部分的面积之和为，求的面积．
【实践探究】（3）缤纷小组进一步探究，如图3，连接并延长，交的延长线于点．已知，，请直接写出的长．
21．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
(3)连接、，若，，，求的面积．
22．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【问题初探】
（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？直接判断：______（填“”或“”）；
【问题迁移】
（2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论；
【问题延伸】
（3）如图3，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：；
【问题拓展】
（4）如图4，在边长为4的正方形中，是的中点．是上的动点，过点作，分别交，于点，．直接写出的最小值为______．
23．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平而直角坐标系中，直线： 与坐标轴交于A，B两点，点C为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒．
(1)直接写出点C的坐标为______；
(2)如图2，过点D作轴，过点C作轴．证明： ；
(3)如图3，连接，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
24．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）反比例函数的图象经过点和点．

(1)求、的值；
(2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围；
(3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积．
25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【初步理解】
如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形；
【尝试运用】
如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”；
【拓展延伸】
如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积．
26．（24-25八年级下·福建漳州·期中）综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N．
特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？
探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数．
27．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为．
(1)求双曲线对应的函数表达式；
(2)不等式的解集为_____；
(3)当的面积与面积相等时，求点的坐标；
(4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围．
28．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）综合与实践
如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在y轴负半轴上，，点D在y轴正半轴上，过点B作轴，过点D作交于点C，点E坐标为，．
(1)分别求出点A、点B的坐标；
(2)连结，，取的中点F，连结并延长交直线于点H．
①当t为何值时，四边形为平行四边形？
②当是以为腰的等腰三角形时，求t的值．
29．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：；
（2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：．
（3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值．
30．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接，
(1)如图1，若，为边上的高，
①求的长；
②求证：四边形为矩形；
(2)只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹；
(3)在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）．

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