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普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（ ）
A. 2个 B. 3.个 C. 4个 D. 5个
2. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知数列的前项和为，设甲：，乙：数列为等比数列，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A. 12 B. 9 C. D.
5. 已知角是锐角，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（ ）
A. 24 B. 18 C. 16 D. 12
7. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是棱上一点，且，，，，，则当最大时，四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知对于，，，，且，则（ ）
A. B. C. 1 D. 0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. 有两个极值点 D. 有两个零点
10. 定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则（ ）
A. 排成的“三位凹数”共有168个
B. 排成“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等
C. 从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为
D. 从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为
11. 已知边长为l的等边的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（ ）
A. B. C. 5 D. 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________.
13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为，过点作倾斜角为的直线，与双曲线交于，两点，记为坐标原点，则的余弦值为__________.
14. 若数列是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列是“项优待数列”.若等差数列是“项优待数列”，，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长；
（3）求面积的取值范围.
16. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
不超过35周岁 30 20 50
超过35周岁 15 35 50
合计 45 55 100
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？
（2）根据列联表信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值；
（3）现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望.
附：，其中
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10828
17. 已知函数.
（1）试判断函数的单调性与极值；
（2）已知，若有两个极值点，证明：.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）过的直线与交于，两点，求证：；
（3）已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
19. 圆柱的标准方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圆柱任意一点的坐标.已知圆柱的方程为，如图，点，分别为上、下底面圆的圆心，四边形是圆柱的一个轴截面，点，，分别为，，的中点，点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）.
（1）证明：平面；
（2）若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，求的取值范围；
（3）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值.
普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【16题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2），.
（3）分布列见解析，
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）在，
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）

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