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江苏省2024-2025学年高一下学期百校联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，正方形的边长为2cm，它是用斜二测画法画出的一个平面图形水平放置的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．12cm B．16cm
C． D．
2．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ）
A． B．3 C． D．6
4．在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正方体的棱长为，点在线段上运动，则（ ）
A． B．直线一定与共面
C．的最小值为 D．的最小值为
10．在中，内角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则面积的最大值为
C．若，则 D．若，则
11．已知函数，若存在非零常数，都有成立，我们就称为“不减函数”，若，都有成立，我们就称为“严格增函数”.下列说法正确的是（ ）
A．函数是“不减函数”
B．若函数，则一定不是“严格增函数”
C．函数为“严格增函数”
D．若函数是“不减函数”，则的取值范围为
三、填空题
12．若两个单位向量满足，则与的夹角是 .
13．已知，则 .
14．在锐角中，分别是内角的对边，，且的面积为3，过点分别作于点于点，则 ．
四、解答题
15．已知平面向量满足，且.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)若，求实数的值.
16．如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
17．在中，角所对的边分别为，且.
(1)若，求；
(2)求面积的最大值.
18．如图，在中，，且与CE交于点.设.
(1)求的值；
(2)分别求向量和向量的模；
(3)求的值.
19．在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且.
(1)若，求面积的取值范围；
(2)已知，.
（i）求BC边上的高；
（ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值.
江苏省2024-2025学年高一下学期百校联考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D D C C A AD BD
题号 11
答案 ABD
1．B
【详解】从直观图可得，
原图形为：
则四边形OABC为平行四边形，，
，
所以其周长为cm.
故选：B
2．D
【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误；
同理可知，错误；
若，可知与交于一点，且，所以，即D正确.
故选：D
3．C
【详解】依题意，，
，则，
则，故.
故选：C.
4．D
【详解】在中，由正弦定理得，而，则是锐角，
因此，.
故选：D
5．D
【详解】由，得
，所以.
故选：D
6．C
【详解】如图，设的中点，的中点，的中点，连结，，，
所以，，且，，
则（或其补角）为异面直线与所成角，
由于，，
所以在等边中，，
同理在等边中，，故，
所以为等边三角形，故，
所以在中，，，，
由余弦定理可得：，
则，
则，
由于异面直线的夹角范围为，
所以异面直线与所成角为的补角，
则异面直线与所成角的正切值为.
故选：C.
7．C
【详解】因为，，所以是等边三角形，所以，
因为，所以，所以，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
所以．
故选：C.
8．A
【详解】由正弦定理可得,
又
所以，
由两角和正弦公式可得，，
又，所以，所以，
即，
又，所以，所以即，
设，则，
∵，，
∴，
即，化简得，即，
又，解得或（舍去），
所以，
又，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即面积的最小值为.
故选：A
9．AD
【详解】对于A选项，如下图所示：
因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，因此，A对；
对于B选项，当点与点重合时，与既不平行也不相交，此时与异面，B错；
对于C选项，因为平面，设平面，
因为，，故三棱锥为正三棱锥，
所以为等边的中心，
因为平面，故，如下图所示：
当时，的长取最小值，
因为为等边的中心，所以，，
此时为的中点，且，
由，故，
所以，即的最小值为，C错；
对于D选项，将和延展为一个平面，如下图所示：
当、、三点共线时，取最小值，
此时，在和中，，，，
所以，所以，所以，
此时，，则为的中点，
所以，，
，故的最小值为，D对.
故选：AD.
10．BD
【详解】对于A，由，可得，，则，故A错误；
对于B，，又由余弦定理结合重要不等式可得
，当且仅当取等号.
则，故B正确；
对于C，由A可知，又，则，则由正弦定理，
，则再由余弦定理可得：
或（舍），故C错误；
对于D，，
又由正弦定理可得：，则，
故D正确.
故选：BD
11．ABD
【详解】A：，则，
，
当时，，所以，
所以函数是“T不减函数”，故A正确；
B：，根据正弦型函数的性质可知，
不论取何值，由于正弦型函数的周期性和波动性，总会存在使得，
不满足“严格增函数”定义，所以一定不是“严格增函数”，故B正确；
C：函数，则，
得
，
由，得，所以，
所以即在上不恒成立，
故函数不是“严格增函数”，故C错误；
D：因为函数是“不减函数”，所以对恒成立，
对恒成立，
得，
即对恒成立，
又，所以，
则，即实数k的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】由题意知：，，
所以，所以，
所以，所以，
所以向量与的夹角是.
故答案为：.
13．
【详解】
即，
由题意，
所以
又所以，
所以，
故答案为：
14．
【详解】
因为，所以，
又，所以，进而，
因为，所以，
在中，，
在中，，
由得，，
过点作，垂足分别为，则，
所以，
同理可得，
因为，
所以，
故答案为：．
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，且，
两边平方得，解得，
所以在方向上的投影向量为.
（2）因为所以
化简得
所以
解得.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）分别是的中点，是矩形，
，且，
四边形是平行四边形，则.
又平面平面，
平面.
（2）如图，连接.
正方形ABCD的边长为，
，
则.
又平面平面ABCD，.
由底面ABCD为正方形可得，
又平面平面，
平面.
又平面，，
又平面平面，
平面.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）（方法一）由正弦定理和已知可得，
，化简可得.
又，
.
（方法二）由正弦定理及已知可得，
.
又，即，
两式平方相加可得，
故当时，.
（2）由（1）知，又，
则，化简可得，
即.
由余弦定理得，得，
，
当且仅当时，的面积取得最大值.
故的面积最大值为.
18．(1)0
(2)，
(3)
【详解】（1）由，，
得，
所以.
又三点共线，三点共线，
所以，，
两式相减得.
（2）由（1）知，，
则，
，
所以，
则，
，
则.
（3）由（2）知，，，
，
所以，
所以.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由及正弦定理，
得.
因为，，所以，，
所以，又，所以.
由正弦定理得，，.
由，得，
即.
由余弦定理得，解得，
所以，，
，
因为为锐角三角形，所以且，
即，所以，
所以，所以.
故面积的取值范围为.
（2）（i）因为，所以，
而，即，由正弦定理有：
所以，
其中为外接圆的半径，所以，即，
由余弦定理有：，
则，所以，
其中为BC边上的高，故.
（ii）由上面可以解出，，是的平分线，
由角平分线定理有：，
则，
所以，，所以的值为.

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