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江苏省通州高级中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B．3 C． D．
2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
3．已知在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
5．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（ ）
A．6 B． C．24 D．44
6．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
7．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若面积为，则，则
D．若则
10．已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则是实数 D．若，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，F为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ）
A．动点F的轨迹长为
B．三棱锥的外接球表面积为
C．三棱锥的体积为
D．若Q为上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题
12．若复数z满足，其中是虚数单位，则的虚部为 ．
13．如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为 .
14．如图，四边形是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为 ，四棱锥的体积的最大值为 ．
四、解答题
15．已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求向量与的夹角.
16．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点．

(1)若点，求的值；
(2)若，求．
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面⊥底面，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面；
(3)若，求证：平面；
18．在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，
(1)求二面角的大小；
(2)求线段FG的长度；
(3)求点C到平面DEF的距离．
19．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求和面积之差的最大值.
江苏省通州高级中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性测试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C C A D D ACD ACD
题号 11
答案 BCD
1．D
【详解】
故选：D
2．D
【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；
若，，有可能在面内，故B错误；
若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．
若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．
故选D.
3．C
【详解】
如图，因，则
.
故选：C.
4．C
【详解】 是边长为2的正三角形，其面积为：
因为三棱锥的体积为1 和底面积 ，
得：解得：
设直线 与平面 所成角为，所以
故选：C
5．C
【详解】如图，过作平面，作，连接，
根据题意得，，所以，
所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形，
所以侧面积为.
故选：.

6．A
【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F，
因为均为等边三角形，故，
故为二面角的平面角；

又平面，故平面，
而平面，故，
又，平面，
故平面，则点A到平面的距离为，
又为等边三角形，边长为2，故，
故在中，，则，即，
故二面角的大小为，
故选：A
7．D
【详解】过作圆台的轴截面，如图所示
为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍，
不妨设圆的半径，则圆的半径
依题意，
，，
，
故选：D.
8．D
【详解】取的中点，分别连接
在正方形中，因为分别为的中点，
，
可得，
所以，因为，
所以，
所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
又因为且平面，
所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为4，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以，
所以截面的面积为
.
故选：D.
9．ACD
【详解】对于A，因为，由正弦定理得，所以，故A正确；
对于B，，则，
因为，所以，即角为锐角，但不一定为锐角三角形，故B不正确；
对于C，若面积为，因为，则，
所以，则，由于，则，故C正确；
对于D，若，由正弦定理得，
则，因为，则，所以，故，故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【详解】若，则或，故A正确；
若， ，满足，但，故B错误；
若，则是实数，故C正确；
若，则，得或，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【详解】对于A，如图，分别取的中点，连接，
因为为的中点，易得，
则得四边形是平行四边形，故，
因平面，平面，故平面，
又因，，则得四边形是平行四边形，
故，又因为，故，
因平面，平面，故平面，
又，平面，故平面平面，
又因平面，故平面，故点的轨迹为线段，
又，所以动点F的轨迹长为，故A错误；
对于B，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因正方体的棱长为2，
则其外接球的直径为，故三棱锥的外接球表面积为，故B正确；
对于C，由A项分析，点的轨迹为线段，因平面，
故平面，则点到平面的距离即为到平面的距离，
过点作于，因为平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面，
易得，又，所以，
所以，
所以
，
所以三棱锥的体积为，故C正确；
对于D，如图，设平面与平面交于，点在上，
因平面平面，平面平面，故，
同理可证，即得是平行四边形，故点为的中点.
在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为；
设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形，
则的边上的高为面对角线长的一半，为，又，
故，而，
由，可得：，
代值解得，综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】由可得.
故z的虚部为.
故答案为：.
13．
【详解】连接相交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
可得.
故答案为：.
14． /
【详解】
如图，连接.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得
所以.
由正弦定理可知外接圆的直径，
所以圆台的下底面半径，上底面半径，
圆台的侧面积，
上底面面积，下底面面积，
所以圆台的表面积.
在四边形中，
，
在中，由余弦定理可知，
即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的面积，
即底面面积的最大值为，
四棱锥的高，
所以四棱锥的体积的最大值为.
故答案为；
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），，
则；
（2）因为，
若，则，解得，
所以实数的值为；
（3）因为，
若，则，解得，
可得，，则，
且，所以向量与的夹角.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为是锐角，且在单位圆上，

所以，
所以．
（2）因为，所以，
且，
所以，可得，且，
所以
．
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因底面是矩形，则，
又侧面底面，侧面底面，底面，
则平面，
因为平面，所以；
（2）取PD中点为G，连接FG，GA，因是的中点，
则.又是的中点，,
则，从而四边形是平行四边形.
则，又平面，平面，则平面；
（3）因，又G为PD中点，则.
由（1）可得平面，又平面，则.
又平面，，则平面.
由（2）可得，则平面.
18．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）取的中点，连接，
因为，
所以，
因此是二面角的平面角，又，
故，
由余弦定理得，
又，所以，
所以二面角的大小为，
（2）依题意，直线平面，而平面，则，
由，得，由为正三角形，得，则，
又为正三角形，即，因此.
（3）由（1）知，平面，而平面，
则平面平面，
在平面内过点作于，又平面平面，
于是平面，，
则点到平面距离，
由（2）知的面积，，
，显然，
则，，在中，，
，的面积，
设点到平面的距离为，由，得，
因此，
所以点到平面的距离为.
19．(1)2
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由正弦定理得，，
则，即，
又，则，
则，即.
（2）（ⅰ）由，
因为为外接圆圆心，即外心，
所以，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
则，
由，解得，
所以，则，
所以.
（ⅱ）设外接圆半径为，则，
且，即，
因为，，
所以，
，
所以，
由（ⅰ）知，，令，
则，
所以当时，取得最大值.

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