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湖北省巴东县神农中小学2023-2024学年八年级上册第二次月考数学试题
一、选择题
1．（2023八上·巴东月考）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对成图形的定义，"我"、"爱"、"国"都不是轴对称图形，"中"是轴对称图形。
故答案为：C。
【分析】根据轴对成图形的定义进行选择即可。
2．（2023八上·巴东月考）有下列条件：①；②；③．其中，能判定是直角三角形的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】根据题意可知， ① ，因为三角形内角和为180°，所以，即，所以，，可以判定 是直角三角形；
② ，内角中含有90°角，可以判定 是直角三角形；
③ ，因为三角形内角和为180°，所以，根据比例关系可得：，解得：，所以，可以判定 是直角三角形；
故选型A、B、C不符合题意；
选项D符合题意；
故答案为：D。
【分析】 直角三角形，是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种，直角三角形的三边符合勾股定理；
勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
三角形内角和为180°。
3．（2023八上·巴东月考）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棍的长为x，则8-7∴1∴第三根木棍不可能取15cm.
故答案为：A.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出第三根木棍长度的范围，进而进行判断.
4．（2023八上·巴东月考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即（2，4），故选项A、C、D不符合题意，故B选项符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．可直接得到答案．
(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x， y).
(2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为P″( x，y).
5．（2023八上·巴东月考）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原计算错误，本项不符合题意；
B、2x和3y不是同类项，不能合并，原计算错误，本项不符合题意；
C、原计算正确，本项符合题意；
D、原计算错误，本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，单项式乘多项式的法则，完全平方公式，分析选项即可知道答案.
6．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（　　）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
7．（2023八上·巴东月考）如图，在中，是的垂直平分线，，则的周长为（　　）
A．4 B．7 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，DE是AC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可知，∴AD=CD，
∵△ABD的周长为：AB+AD+BD，
∵AB=4，BC=7，
又∵BC=BD+DC，
∴AB+AD+BD=AB+BC=4+7=11；
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】三角形的周长为三边之和；
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
性质：
(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段；
(2)垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等；
(4)垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。
判定方法：
①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
8．（2023八上·巴东月考）如图，在中，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CO分别平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACB=2∠BCO，∠ACD=2∠ACE，
∵∠BOC+∠EOC=180°，∠BOC=115°，
∴∠EOC=65°，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴2（∠ACO+∠ACE）=180°，
∴∠ACO+∠ACE=90°，
∵∠COE+∠OCE+∠2=180°，
∴∠2=90°-65°=25°，
故答案为：B.
【分析】由角平分线定义得∠ACB=2∠BCO，∠ACD=2∠ACE，由邻补角定义得∠EOC=65°，∠ACO+∠ACE=90°，最后根据三角形内角和定理可算出∠2的度数.
9．（2023八上·巴东月考）从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（　　）.
A．15 B．17 C．19 D．13
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据任意n边形内角和：180°(n-2)，
∵一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，
∴去除的内角的度数为(n-2)180°-2580°，
∴0<(n-2)180°-2580°<180°，
解得：16∵n为正整数，
∴n=17，
故选项A、C、D不符合题意，故B符合题意；
故答案为B。
【分析】任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3，且为自然数 ，正n边形各内角为180°(n-2)÷n，n≥3且为自然数；
原因：因为任意n边形外角和总为为360°，一个内角和一个外角和为180°，n边形有n对内角外角，所以有任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3且为自然数
多边形内角取值范围为0到180°.
10．（2023八上·巴东月考）如图，在中，，交于点，是角平分线，延长交的外角的平分线于点，点为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAN+∠CNM=90°，∠DAN +∠AMD =90°，
∵AN平分∠ACB，
∴∠CAN =∠DAN，∠CAB =2∠CAN，
∴∠CNM =∠AMD，
又∵∠AMD =∠CMN
∴∠CMN =∠CNM，故结论①正确；
②∵∠ACB =90°，∠CAB =2∠CAN
∴∠CBE =∠ACB+∠CAB =90°+2∠CAN，
∵BF是∠CBE的平分线，
∴∠CBF=∠CBE=45°+∠CAN，
∵∠CAN+∠ACB+∠CNA=180°，∠CBF +∠F+∠BNF =180°，
又∠CNA=∠BNF，
∴∠CAN +∠ACB =∠CBF +∠F，
即： ∠CAN+90°=45°+∠CAN+∠F，
∴∠F =45°，
∵∠FBH =45°，
∵∠BHF=180°-(∠F+∠FBH）=90°
即： BH⊥AF，故结论②正确；
③假设BN平分∠ABH，则
∴∠HBN =∠ABN
由结论②正确得：BH⊥AF，
∴∠BHN=90°，
∴∠BNH +∠HBN =90，
∵∠ACB=90°，
∴∠CNA+∠CAN =90°，
∵∠BNH=∠CNA，
∴∠HBN =∠CAN，
∴∠CAN =∠DAN =∠HBN=∠ABN，
即：∠CAB =2∠ABN，
∴∠CAB+∠ABN=90°，
∴∠ABN =30°，
根据已知条件无法判定∠ABN=30°，因此假设BN平分∠ABH是错误的，故结论③不正确；
④由结论①正确得：
∠CMN=∠CNM，
∵∠CMN+∠CNM+∠DCN=180°，
即：2∠CNM+∠DCN=180°
由结论②正确得：BH⊥AF，
∴∠BHN=90°，
∴∠HNB =90°-∠HBN，
∵∠HNB =∠CNM
∴∠CNM =90°-∠HBN
∴2(90°-∠HBN)+∠DCN=180°
∴∠NCD =2∠HBN，故结论④正确；
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由角平分线定义得∠CAN =∠DAN，由等角的余角相等得∠CNM =∠AMD，结合对顶角相等，得∠CMN =∠CNM，据此可判断①；由角平分线的定义及三角形外角性质得∠CBF=∠CBE=45°+∠CAN，由三角形的内角和定理结合对顶角相等得 ∠F =45°，再根据三角形内角和可求出∠BHF=90°，据此可判断②；由直角三角形量锐角互余、结合对顶角相等，由等角的余角相等得∠HBN =∠CAN，结合角平分线的定义得∠CAN =∠DAN =∠HBN=∠ABN，根据直角三角形的量锐角互余推出∠ABN =30°，根据已知条件无法判定∠ABN=30°，因此假设BN平分∠ABH是错误的，据此判断③；由①②得结论、三角形的内角和定理对顶角相等可推出2(90°-∠HBN)+∠DCN=180°，从而可判断④.
二、填空题
11．（2023八上·巴东月考）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为　 　.
【答案】54°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：另一个锐角的大小为：90°-36°=54°。
故第1空答案为：54°。
【分析】根据直角三角形的性质直接求出另一个锐角。
12．（2023八上·巴东月考）若 是完全平方式，则 的值等于　 　．
【答案】 或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：因为： ，
所以
解得： 或
故答案为： 或
【分析】由 ，
观察积的2倍项的系数特点得 可得答案．
13．（2023八上·巴东月考）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，ABD的周长比ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意可知△ABD的周长为：AB+BD+AD，△ADC的周长为：AC+CD+AD，
∵△ABD的周长比△ADC的周长多3，
∴AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=3，
∵ AD是边BC上的中线 ，
∴BD=CD，
∴AB-AC=3，
∴AC=AB-3，
∵AB与AC的和为13
∴AB+AC=13，
∴2AB-3=13，
∴AB=8；
故答案为：8.
【分析】由三角形中线定义及三角形周长计算方法可得AB-AC=3，进而结合AB+AC=13，可算出AB的长.
14．（2023八上·巴东月考）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为　 　.
【答案】2.4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：2.4.
【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.
15．（2023八上·巴东月考）如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为　 　 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解： 如图，连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且平分AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴CM=AM，
∴CM+MN=AM+MN，
由“垂线段最短”可得：AM+NM≥AD，
即当点M在线段AD上时，AM+NM为最小，最小值为线段AD的长，
∵△ABC的面积为6，BC=4，
∴S△ABC=
∴，
∴CM+ MN的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】先证出当点M在线段AD上时，AM+NM为最小，最小值为线段AD的长，再利用三角形的面积求出即可.
16．（2023八上·巴东月考）如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OH⊥AC于点H，OF⊥BC于点F，过点N作ND⊥BM于点D，
∵，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BD=MD=3，
设OE=x，
∵点O为△ABC内角平分线交点，
∴OE=OF=OH=x，
在Rt△BND中，BN =5，BD=3
∴ND=，
∴S△BMN=，
又∵S△BMN=S△OBM+S△OBN=，
解得：x=；
故答案为：.
【分析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OH⊥AC于点H，OF⊥BC于点F，过点N作ND⊥BM于点D，由等腰三角形的三线合一得BD=MD=3，由内心性质得OE=OF=OH=x，在Rt△BND中，由勾股定理算出ND，进而根据S△BMN=S△OBM+S△OBN结合三角形面积计算公式建立方程，求解可得答案.
三、解答题
17．（2023八上·巴东月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
（2）利用平方差公式运算即可.平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差 ，即：a2-b2=(a+b)(a-b).
18．（2023八上·巴东月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求a的值．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
解得：，
的值为4．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
的值为3．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】（1）本题考查同底数幂的乘法及乘方运算，4=22，8=23，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)，幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)，
（2）本题注意考查幂的乘方运算，，指数相同，根据积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)的逆运算，可写成，所以，原式=， 进而可求解.
19．（2023八上·巴东月考）如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠C=35°，AD是△ABC的角平分线.
（1）求∠ADC的度数.
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F.求∠AFE的度数.
【答案】（1）解：因为∠ABC=65°，∠C=35°，
根据三角形内角和，
可得∠BAC=80°，
由于AD是△ABC的角平分线，
则∠CAD=40°，
根据三角形的内角和可得
∠ADC=180°-∠C=35°∠CAD=40°=105°.
（2）解：由（1）可知∠ADC=105°，
因为BE⊥AD，
所以∠BED=∠AEF=90°，
根据三角形的内角和，
可得∠AFE=180°-∠AEF-∠CAD=50°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和，结合题意可得∠BAC，再由三角形内结合以及AD是△ABC的角平分线求出答案；（2）由（1）可知∠ADC的度数，因为BE⊥AD，所以∠BED=∠AEF=90°，再由三角形的内角和性质即可求解.
20．（2023八上·巴东月考）已知（x2＋mx）（x2﹣3x＋n）的乘积中不含x3项和x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式（﹣2m2n）2＋3（mn）0﹣m2022n2023
【答案】（1）解：
．
∵原式不含x与x3项，
∴，，
解得，；
（2）解：由（1）得，，
．
【知识点】多项式乘多项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】（1）本题主要考查多项乘法的相关内容，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；
（2）根据同底数幂乘法、幂的乘方和零次幂值相关计算法则计算即可.
21．（2023八上·巴东月考）如图，已知中，，，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
≌，
（2）解；，
，
．
．
．
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）分析题干，已知存在两对相等的角，又有一公共边，而问题所求的两边正是两三角形的对应边，易求两三角形全等，得出结论；
（2）根据三角形内角和180°可推出∠ADE和∠DFE，将∠CAD视为∠BAC-∠BAD，分别求解，即可完成解答.
22．（2023八上·巴东月考）已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点P的速度是，动点Q的速度是，当动点Q到达点C时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，是直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使线段把分成两部分的面积比为？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵等边三角形边长为，
∴，，
∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点P的速度是，动点Q的速度是，
∴，，
∴，
当是直角三角形时，有两种情况：
①时，如图，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
②时，如图，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
综上所述：当是直角三角形时，或；
（2）解：存在某一时刻，使线段PQ把三角形ABC的面积分为4∶5两部分，理由如下：
由题可得：，，，
∵Q从B至C用时，P从A至B用时，当Q到达C点时，P始终在边上，
∴，
如下图：作于M点，
∵，
∴，
∴，
∵等边三角形边长为，
∴，
当线段把分成两部分的面积比为时，
分两种情况：
①当时，
∴，
整理得：，
解得：，，
②当时
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
综上所述：使线段把分成两部分的面积比为时，．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质得AB=BC=8cm，∠B=60°，由题意易得AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=(8-t)cm，①当∠BPQ=90°时，由含30°角直角三角形的性质得BQ=2BP，据此建立方程可求出t的值；②当∠BQP=90°，由含30°角直角三角形的性质得BP=2BQ，据此建立方程可求出t的值，综上可得答案；
（2）存在某一时刻，线段PQ把三角形ABC的面积分为4∶5两部分，理由如下：由等边三角形性质得AB=BC=8cm，∠B=60°，由题意易得AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=(8-t)cm，，作PM⊥BC于点M，由∠B的正弦函数可表示出PM，然后根据三角形面积计算公式算出△BPQ及△ABC的面积，然后分类讨论：①当时，②当时，分别建立方程，求解判断即可得出答案.
23．（2023八上·巴东月考）阅读理解并解答：
（1） 【方法呈现】
我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是　 　，这时相应的的值是　 　．
（2） 【尝试应用】
求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
（3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：
，
∵
∴，
∴代数式有最大值，相应的的值为；
（3）解：∵a，，是的三边长，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
是中最长的边，
∴．
答：的取值范围为．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：(1)∵x2+2x+3=，
且，
∴x2+2x+3≥2，
∴其最小值为2，这时相应的x的值为-1.
故答案为：2，-1.
【分析】(1)把原式变形为，由此得出其最小值为2，相应的x的值为-1.
(2)根据(1)中的方法， 把变形为，即可求解.
(3)由变形为，根据非负数的性质得a，b的值，再根据三角形的三边关系即可求解.
24．（2023八上·巴东月考）如图， 和的角平分线，相交点P，．
（1）求；
（2）求证：；
（3）若，求证：．
【答案】（1）解：，分别平分和，
，，
．
（2）证明：如图，过P作，，，
，分别平分和，
∴，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）证明：如图，作的平分线交于点N，
∵中，，，
．
∵平分，
，
，BD平分，
．
∵平分，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠PAB=∠CAB，∠ABP=∠ABC，然后连续两次利用三角形的内角和定理可算出答案；
（2）由角平分线上的点到角两边的距离相等可推出PH=PG，由四边形的内角和定理、对顶角相等及（1）得结论可推出∠DPG=∠FPH，从而由ASA判断出△PDG≌△PFH，进而根据全等三角形的对应边相等可得PD=PF；
（3）作∠CBD的角平分线，交AC于点N，由三角形的内角和定理算出∠CAB=40°，然后根据角平分线的定义可得∠CBN=∠DAP=20°，∠CAB=∠ABD=40°，由等角对等边得AD=BD，进而根据三角形外角性质得∠DPA=∠C=60°，∠ANB=∠BDC=80°，由等角对等边得BD=BN，则AD=BN，从而用AAS可判断出△APD≌△CBN，由全等三角形的对应角相等得AP=BC.
1 / 1湖北省巴东县神农中小学2023-2024学年八年级上册第二次月考数学试题
一、选择题
1．（2023八上·巴东月考）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023八上·巴东月考）有下列条件：①；②；③．其中，能判定是直角三角形的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2023八上·巴东月考）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）
A． B． C． D．
4．（2023八上·巴东月考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八上·巴东月考）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（　　）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
7．（2023八上·巴东月考）如图，在中，是的垂直平分线，，则的周长为（　　）
A．4 B．7 C． D．
8．（2023八上·巴东月考）如图，在中，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2023八上·巴东月考）从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（　　）.
A．15 B．17 C．19 D．13
10．（2023八上·巴东月考）如图，在中，，交于点，是角平分线，延长交的外角的平分线于点，点为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．（2023八上·巴东月考）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为　 　.
12．（2023八上·巴东月考）若 是完全平方式，则 的值等于　 　．
13．（2023八上·巴东月考）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，ABD的周长比ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为　 　．
14．（2023八上·巴东月考）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为　 　.
15．（2023八上·巴东月考）如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为　 　 ．
16．（2023八上·巴东月考）如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为　 　．
三、解答题
17．（2023八上·巴东月考）计算：
（1）
（2）
18．（2023八上·巴东月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求a的值．
19．（2023八上·巴东月考）如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠C=35°，AD是△ABC的角平分线.
（1）求∠ADC的度数.
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F.求∠AFE的度数.
20．（2023八上·巴东月考）已知（x2＋mx）（x2﹣3x＋n）的乘积中不含x3项和x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式（﹣2m2n）2＋3（mn）0﹣m2022n2023
21．（2023八上·巴东月考）如图，已知中，，，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2023八上·巴东月考）已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点P的速度是，动点Q的速度是，当动点Q到达点C时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，是直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使线段把分成两部分的面积比为？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，请说明理由．
23．（2023八上·巴东月考）阅读理解并解答：
（1） 【方法呈现】
我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是　 　，这时相应的的值是　 　．
（2） 【尝试应用】
求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
（3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
24．（2023八上·巴东月考）如图， 和的角平分线，相交点P，．
（1）求；
（2）求证：；
（3）若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对成图形的定义，"我"、"爱"、"国"都不是轴对称图形，"中"是轴对称图形。
故答案为：C。
【分析】根据轴对成图形的定义进行选择即可。
2．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】根据题意可知， ① ，因为三角形内角和为180°，所以，即，所以，，可以判定 是直角三角形；
② ，内角中含有90°角，可以判定 是直角三角形；
③ ，因为三角形内角和为180°，所以，根据比例关系可得：，解得：，所以，可以判定 是直角三角形；
故选型A、B、C不符合题意；
选项D符合题意；
故答案为：D。
【分析】 直角三角形，是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种，直角三角形的三边符合勾股定理；
勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
三角形内角和为180°。
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棍的长为x，则8-7∴1∴第三根木棍不可能取15cm.
故答案为：A.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出第三根木棍长度的范围，进而进行判断.
4．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即（2，4），故选项A、C、D不符合题意，故B选项符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．可直接得到答案．
(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x， y).
(2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为P″( x，y).
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原计算错误，本项不符合题意；
B、2x和3y不是同类项，不能合并，原计算错误，本项不符合题意；
C、原计算正确，本项符合题意；
D、原计算错误，本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，单项式乘多项式的法则，完全平方公式，分析选项即可知道答案.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，DE是AC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可知，∴AD=CD，
∵△ABD的周长为：AB+AD+BD，
∵AB=4，BC=7，
又∵BC=BD+DC，
∴AB+AD+BD=AB+BC=4+7=11；
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】三角形的周长为三边之和；
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
性质：
(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段；
(2)垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等；
(4)垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。
判定方法：
①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
8．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CO分别平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACB=2∠BCO，∠ACD=2∠ACE，
∵∠BOC+∠EOC=180°，∠BOC=115°，
∴∠EOC=65°，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴2（∠ACO+∠ACE）=180°，
∴∠ACO+∠ACE=90°，
∵∠COE+∠OCE+∠2=180°，
∴∠2=90°-65°=25°，
故答案为：B.
【分析】由角平分线定义得∠ACB=2∠BCO，∠ACD=2∠ACE，由邻补角定义得∠EOC=65°，∠ACO+∠ACE=90°，最后根据三角形内角和定理可算出∠2的度数.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据任意n边形内角和：180°(n-2)，
∵一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，
∴去除的内角的度数为(n-2)180°-2580°，
∴0<(n-2)180°-2580°<180°，
解得：16∵n为正整数，
∴n=17，
故选项A、C、D不符合题意，故B符合题意；
故答案为B。
【分析】任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3，且为自然数 ，正n边形各内角为180°(n-2)÷n，n≥3且为自然数；
原因：因为任意n边形外角和总为为360°，一个内角和一个外角和为180°，n边形有n对内角外角，所以有任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3且为自然数
多边形内角取值范围为0到180°.
10．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAN+∠CNM=90°，∠DAN +∠AMD =90°，
∵AN平分∠ACB，
∴∠CAN =∠DAN，∠CAB =2∠CAN，
∴∠CNM =∠AMD，
又∵∠AMD =∠CMN
∴∠CMN =∠CNM，故结论①正确；
②∵∠ACB =90°，∠CAB =2∠CAN
∴∠CBE =∠ACB+∠CAB =90°+2∠CAN，
∵BF是∠CBE的平分线，
∴∠CBF=∠CBE=45°+∠CAN，
∵∠CAN+∠ACB+∠CNA=180°，∠CBF +∠F+∠BNF =180°，
又∠CNA=∠BNF，
∴∠CAN +∠ACB =∠CBF +∠F，
即： ∠CAN+90°=45°+∠CAN+∠F，
∴∠F =45°，
∵∠FBH =45°，
∵∠BHF=180°-(∠F+∠FBH）=90°
即： BH⊥AF，故结论②正确；
③假设BN平分∠ABH，则
∴∠HBN =∠ABN
由结论②正确得：BH⊥AF，
∴∠BHN=90°，
∴∠BNH +∠HBN =90，
∵∠ACB=90°，
∴∠CNA+∠CAN =90°，
∵∠BNH=∠CNA，
∴∠HBN =∠CAN，
∴∠CAN =∠DAN =∠HBN=∠ABN，
即：∠CAB =2∠ABN，
∴∠CAB+∠ABN=90°，
∴∠ABN =30°，
根据已知条件无法判定∠ABN=30°，因此假设BN平分∠ABH是错误的，故结论③不正确；
④由结论①正确得：
∠CMN=∠CNM，
∵∠CMN+∠CNM+∠DCN=180°，
即：2∠CNM+∠DCN=180°
由结论②正确得：BH⊥AF，
∴∠BHN=90°，
∴∠HNB =90°-∠HBN，
∵∠HNB =∠CNM
∴∠CNM =90°-∠HBN
∴2(90°-∠HBN)+∠DCN=180°
∴∠NCD =2∠HBN，故结论④正确；
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由角平分线定义得∠CAN =∠DAN，由等角的余角相等得∠CNM =∠AMD，结合对顶角相等，得∠CMN =∠CNM，据此可判断①；由角平分线的定义及三角形外角性质得∠CBF=∠CBE=45°+∠CAN，由三角形的内角和定理结合对顶角相等得 ∠F =45°，再根据三角形内角和可求出∠BHF=90°，据此可判断②；由直角三角形量锐角互余、结合对顶角相等，由等角的余角相等得∠HBN =∠CAN，结合角平分线的定义得∠CAN =∠DAN =∠HBN=∠ABN，根据直角三角形的量锐角互余推出∠ABN =30°，根据已知条件无法判定∠ABN=30°，因此假设BN平分∠ABH是错误的，据此判断③；由①②得结论、三角形的内角和定理对顶角相等可推出2(90°-∠HBN)+∠DCN=180°，从而可判断④.
11．【答案】54°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：另一个锐角的大小为：90°-36°=54°。
故第1空答案为：54°。
【分析】根据直角三角形的性质直接求出另一个锐角。
12．【答案】 或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：因为： ，
所以
解得： 或
故答案为： 或
【分析】由 ，
观察积的2倍项的系数特点得 可得答案．
13．【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意可知△ABD的周长为：AB+BD+AD，△ADC的周长为：AC+CD+AD，
∵△ABD的周长比△ADC的周长多3，
∴AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=3，
∵ AD是边BC上的中线 ，
∴BD=CD，
∴AB-AC=3，
∴AC=AB-3，
∵AB与AC的和为13
∴AB+AC=13，
∴2AB-3=13，
∴AB=8；
故答案为：8.
【分析】由三角形中线定义及三角形周长计算方法可得AB-AC=3，进而结合AB+AC=13，可算出AB的长.
14．【答案】2.4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：2.4.
【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解： 如图，连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且平分AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴CM=AM，
∴CM+MN=AM+MN，
由“垂线段最短”可得：AM+NM≥AD，
即当点M在线段AD上时，AM+NM为最小，最小值为线段AD的长，
∵△ABC的面积为6，BC=4，
∴S△ABC=
∴，
∴CM+ MN的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】先证出当点M在线段AD上时，AM+NM为最小，最小值为线段AD的长，再利用三角形的面积求出即可.
16．【答案】
【知识点】点到直线的距离；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OH⊥AC于点H，OF⊥BC于点F，过点N作ND⊥BM于点D，
∵，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BD=MD=3，
设OE=x，
∵点O为△ABC内角平分线交点，
∴OE=OF=OH=x，
在Rt△BND中，BN =5，BD=3
∴ND=，
∴S△BMN=，
又∵S△BMN=S△OBM+S△OBN=，
解得：x=；
故答案为：.
【分析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OH⊥AC于点H，OF⊥BC于点F，过点N作ND⊥BM于点D，由等腰三角形的三线合一得BD=MD=3，由内心性质得OE=OF=OH=x，在Rt△BND中，由勾股定理算出ND，进而根据S△BMN=S△OBM+S△OBN结合三角形面积计算公式建立方程，求解可得答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
（2）利用平方差公式运算即可.平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差 ，即：a2-b2=(a+b)(a-b).
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
解得：，
的值为4．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
的值为3．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】（1）本题考查同底数幂的乘法及乘方运算，4=22，8=23，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)，幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)，
（2）本题注意考查幂的乘方运算，，指数相同，根据积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)的逆运算，可写成，所以，原式=， 进而可求解.
19．【答案】（1）解：因为∠ABC=65°，∠C=35°，
根据三角形内角和，
可得∠BAC=80°，
由于AD是△ABC的角平分线，
则∠CAD=40°，
根据三角形的内角和可得
∠ADC=180°-∠C=35°∠CAD=40°=105°.
（2）解：由（1）可知∠ADC=105°，
因为BE⊥AD，
所以∠BED=∠AEF=90°，
根据三角形的内角和，
可得∠AFE=180°-∠AEF-∠CAD=50°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和，结合题意可得∠BAC，再由三角形内结合以及AD是△ABC的角平分线求出答案；（2）由（1）可知∠ADC的度数，因为BE⊥AD，所以∠BED=∠AEF=90°，再由三角形的内角和性质即可求解.
20．【答案】（1）解：
．
∵原式不含x与x3项，
∴，，
解得，；
（2）解：由（1）得，，
．
【知识点】多项式乘多项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】（1）本题主要考查多项乘法的相关内容，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；
（2）根据同底数幂乘法、幂的乘方和零次幂值相关计算法则计算即可.
21．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
≌，
（2）解；，
，
．
．
．
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）分析题干，已知存在两对相等的角，又有一公共边，而问题所求的两边正是两三角形的对应边，易求两三角形全等，得出结论；
（2）根据三角形内角和180°可推出∠ADE和∠DFE，将∠CAD视为∠BAC-∠BAD，分别求解，即可完成解答.
22．【答案】（1）解：∵等边三角形边长为，
∴，，
∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点P的速度是，动点Q的速度是，
∴，，
∴，
当是直角三角形时，有两种情况：
①时，如图，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
②时，如图，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
综上所述：当是直角三角形时，或；
（2）解：存在某一时刻，使线段PQ把三角形ABC的面积分为4∶5两部分，理由如下：
由题可得：，，，
∵Q从B至C用时，P从A至B用时，当Q到达C点时，P始终在边上，
∴，
如下图：作于M点，
∵，
∴，
∴，
∵等边三角形边长为，
∴，
当线段把分成两部分的面积比为时，
分两种情况：
①当时，
∴，
整理得：，
解得：，，
②当时
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
综上所述：使线段把分成两部分的面积比为时，．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质得AB=BC=8cm，∠B=60°，由题意易得AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=(8-t)cm，①当∠BPQ=90°时，由含30°角直角三角形的性质得BQ=2BP，据此建立方程可求出t的值；②当∠BQP=90°，由含30°角直角三角形的性质得BP=2BQ，据此建立方程可求出t的值，综上可得答案；
（2）存在某一时刻，线段PQ把三角形ABC的面积分为4∶5两部分，理由如下：由等边三角形性质得AB=BC=8cm，∠B=60°，由题意易得AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=(8-t)cm，，作PM⊥BC于点M，由∠B的正弦函数可表示出PM，然后根据三角形面积计算公式算出△BPQ及△ABC的面积，然后分类讨论：①当时，②当时，分别建立方程，求解判断即可得出答案.
23．【答案】（1）；
（2）解：
，
∵
∴，
∴代数式有最大值，相应的的值为；
（3）解：∵a，，是的三边长，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
是中最长的边，
∴．
答：的取值范围为．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：(1)∵x2+2x+3=，
且，
∴x2+2x+3≥2，
∴其最小值为2，这时相应的x的值为-1.
故答案为：2，-1.
【分析】(1)把原式变形为，由此得出其最小值为2，相应的x的值为-1.
(2)根据(1)中的方法， 把变形为，即可求解.
(3)由变形为，根据非负数的性质得a，b的值，再根据三角形的三边关系即可求解.
24．【答案】（1）解：，分别平分和，
，，
．
（2）证明：如图，过P作，，，
，分别平分和，
∴，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）证明：如图，作的平分线交于点N，
∵中，，，
．
∵平分，
，
，BD平分，
．
∵平分，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠PAB=∠CAB，∠ABP=∠ABC，然后连续两次利用三角形的内角和定理可算出答案；
（2）由角平分线上的点到角两边的距离相等可推出PH=PG，由四边形的内角和定理、对顶角相等及（1）得结论可推出∠DPG=∠FPH，从而由ASA判断出△PDG≌△PFH，进而根据全等三角形的对应边相等可得PD=PF；
（3）作∠CBD的角平分线，交AC于点N，由三角形的内角和定理算出∠CAB=40°，然后根据角平分线的定义可得∠CBN=∠DAP=20°，∠CAB=∠ABD=40°，由等角对等边得AD=BD，进而根据三角形外角性质得∠DPA=∠C=60°，∠ANB=∠BDC=80°，由等角对等边得BD=BN，则AD=BN，从而用AAS可判断出△APD≌△CBN，由全等三角形的对应角相等得AP=BC.
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