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第八章立体几何初步章末复习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（　　）
A． B． C．EI与BG共面 D．AF与BG异面
2．圆锥的高为1，其侧面积是底面积的2倍，则它的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
5．已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
6．已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
8．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列说法正确的是（　　）
A．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
B．以等腰三角形的底边上的高线所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
10．若正四面体外接球的表面积为，则（　　）
A．该正四面体的体积
B．该正四面体的表面积为
C．该正四面体内切球的半径为
D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为
11．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则下列选项正确的是（　　）
A．该圆锥体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
三、填空题
12．已知正六棱柱的各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为　 　.
13．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的体积为　 　．
14．如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为　 　．
四、解答题
15．如图，正四棱锥中，，，E为SC中点.
（1）求证：平面BDE；
（2）求该正四棱锥的外接球的表面积；
（3）求三棱锥的表面积和体积.
16．在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同.
（1）求灯笼总体积.
（2）灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.）
17．如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．
（1）判断四边形的形状；
（2）求四边形的面积．
18．如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点．
（1）求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积；
（2）设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？
19．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，过A，，E三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.
（1）在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
（3）若点P是侧面内的动点，且，当最小时，求长度的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四棱锥为正四棱锥，所以四边形是正方形，所以是中点，
又因为是中点，所以是的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且各侧棱长均为4，
取正方形的中心，连接，，则点为的中点，
因为正方形边长为2，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以球心在线段，如图所示：
设四棱锥外接球的半径为，则，
在中，，即，解得，
则该四棱锥外接球的表面积为；
（3）解：由（1）知，由，，可得，，
由四棱锥为正四棱锥得：，
因为为中点，所以，所以，即，则，
所以，，，，
三棱锥的表面积
，
又因为，四边形是正方形，所以，
又因为，都在平面内，所以平面，
则.
16．【答案】（1）
（2）
17．【答案】（1）梯形
（2）
18．【答案】（1）该正三棱柱的表面积为，
（2）最小值为，
19．【答案】（1）解：取中点为，连接，，如图所示：
由正方体性质可得，且，则四边形为平行四边形，即，
因为中点为，中点为，所以，则，即这个多边形为四边形；
（2）解：在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，如图所示：
因为为的中点，为的中点，，所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，所以
，
则另一部分几何体的体积，即两部分的体积；
（3）解：取的中点，的中点，连接、、、，如图所示：
显然，，则，平面，平面，平面，
又因为为的中点，所以且，
又因为且，所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为点是侧面内的动点，且，所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
又，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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