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期末重难点练习卷（二）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．（2025高一下·资阳月考）已知向量，，则在上的投影向量的模为（　　）
A． B．1 C． D．2
2．（2025高一下·汨罗月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·广西壮族自治区期中）有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．3
4．（2025高一下·资阳期末）投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·卢氏期末）在中，已知分别为角的对边．若，且，则（　　）
A． B． C． D．或
6．（2024高一下·广州期末）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（　　）
A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时
7．（2022高一下·潮州期末）设复数，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A．1 B．-1 C． D．-
8．（2024高一下·越秀期末）下列命题中，正确命题的个数是（　　）
①如果，是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面；
②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行；
③如果直线，满足，，则；
④如果直线，和平面满足，，，那么；
⑤如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题
9．（2024高一下·石家庄期末）已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A．z的模等于13
B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的共轭复数为
D．若是纯虚数，则
10．（2024高一下·新都期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（　　）
A．的内切圆半径为 B．
C． D．
11．（2024高一下·长沙期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与所成的角的大小为
B．直线平面
C．平面平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．（2024高一下·南充期末）如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则　 　．
13．（2024高一下·遂宁期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则　 　．
14．（2024高一下·即墨期末）已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比　 　．
四、解答题
15．（2025高一下·昆明期末）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
16．（2024高一下·海淀期末）已知．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
17．（2024高二下·浏阳期末）已知的内角的对边分别为的面积为．
（1）求；
（2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD.
18．（2024高一下·石家庄期末）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
19．（2024高一下·成都期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】3
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）解：（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
16．【答案】（1）；
（2）.
17．【答案】（1）解：依题意，得，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理可知，
解得，
因为，
所以.
（2）解：依题意，，
因为，解得，
因为，
所以
所以．
18．【答案】（1），2人
（2）平均数为71，中位数为
（3）
19．【答案】（1）证明：选择条件①、，
因为平面，且平面，所以，，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
过点作于，如图所示：
，则四边形是正方形，，
又因为，，满足，所以，
因为，所以，
又因为，平面，所以平面；
选择条件②：，
过点作，交于点，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，，
，，可得，
则，，
又因为，所以，所以，
由平面，且平面，
知，又，，
又因为，平面，所以平面；
（2）解：由平面，且平面，知，
因为，所以，
由（1）知，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
则点到平面的距离等价于的底边上的高，
由勾股定理知，
在中，由余弦定理可得，
则，，
故点到平面的距离为；
（3）解：过点作于点，则，
由（2）知平面，
因为平面，所以平面平面，
在平面上的投影落在上，则直线与平面所成角为，
则，，
在中，，，或，
故线段的长为或.
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