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期末重难点练习卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．已知向量满足，且，则（　　）
A． B．2 C． D．3
2．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．已知复数满足，则最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（　　）
A．事件A和相等 B．事件A和互相对立
C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥
6．如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（　　）
A． B． C．3 D．2
8．在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为（　　）
A． B．4 C． D．8
二、多项选择题
9．下列说法正确的是（　　）
A．的第60百分位数是6
B．已知一组数据的平均数为5，则这组数据的方差是5.2
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若的标准差为2，则的标准差是6
10．设为复数，则下列结论中正确的是（　　）
A．若为虚数，则也为虚数 B．若，则的最大值为
C． D．
11．已知分别为三个内角的对边，且，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知平面向量，，若，则　 　.
13．在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是　 　
14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度　 　米.
四、解答题
15．已知，是两个单位向量，其夹角为，，．
（1）求，；
（2）求与的夹角．
16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
17．在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足
（1）求角；
（2）为边上一点，，且求的最小值.
（3）圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值.
18．2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．
（1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗
（3）四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差．
19．高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱.的高是正四棱锥.的高的4倍.
（1）若 ；
(i)求该模型的体积；
(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；
（2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大 并求出S的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）；
（2）.
16．【答案】（1）解：，
由正弦定理得
，
因为，所以，则；
（2）解：若，由正弦定理可得，
则，，，，
由，整理可得，
则，解得，
故的面积为．
17．【答案】（1）解：由
而面积公式：，代入上式得：
，
化简得：，
又因为余弦定理得：，
所以，
即，
所以；
因为，
所以，
即；
（2）解：如图所示：
在中，由正弦定理可得：，
即，
在中，由正弦定理可得：，
即，
且与互为补角，
可得，
即，
又，且，
即，所以，
又，
所以，
所以为的角平分线，
所以，
由可得，
所以，
解得，当且仅当时取得等号，
即的最小值为，
所以；
即的面积的最小值为；
（3）解：设圆半径为，
则，
设，，
则，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
18．【答案】（1），79.5
（2）合格
（3）总样本平均值为86，总样本方差为96
19．【答案】（1）解：（i）由，得，又因为，
因此，正四棱锥的体积，
正四棱柱的体积，
所以，模型的体积为.
（ii）取的中点，连接，
由，得，
所以，正四棱锥的侧面积为：.
（2）解：设，正四棱柱的侧面积为，
则，
于是
，
因为，则当，即时，，
当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是.
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