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(共21张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
垂直于弦的直径
赵州桥
37m
7.23m
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
观察思考
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
1.思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
预习展示
●O
A
B
C
D
M└
2.如图，AB是⊙O的一条弦，CD 是⊙O的直径,
CD⊥ AB于点M,下列说法错误的是 （ ）
AM=BM B. AD=BD
C. CM=OM D.
⌒
⌒
AC =BC.
C
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
合作探究
·
O
A
A′
C
D
M
探究二：如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AA′， 垂足为 M. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段：AM = A′M
弧：
理由如下：
把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 A′ 重合，AM 与 A′M 重合， 和 ， 与 重合．
垂径定理
·
O
A
A′
C
D
M
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
劣弧
优弧
∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AA′，(条件)
推导格式：
你能用几何语言表示吗？
定义总结
∴AM = A′M，
(结论)
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直.
是
不是，因为 AB，CD 都不是直径.
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
　　　如图,C为弦AB的中点,CD=8,AB=32.求☉O的半径.
解:∵C为弦AB的中点,
∴OD⊥AB．
∴AC=×32=16.
如图,连接OA,设OA=OD=x,
则CO=OD-CD=x-8.
在Rt△OAC中,OC2+AC2=OA2,
∴(x-8)2+162=x2.∴x=20.
∴☉O的半径为20.
垂径定理及其推论的应用
　　　一块圆形玻璃镜面碎成了几块,其中一块如图所示,测得弦AB长20 cm,弓形高CD为2 cm,则镜面半径为____cm.
26
　　　某水平放置的圆柱形排水管道的截面是直径为1 m的圆,如图所示.若水面宽AB=0.8 m,则水的最大深度为_______.
0.8 m
如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AA′ 于点 M.
（1）CD⊥AA′ 吗？为什么？
（2）
·
O
A
A′
C
D
M
解：(1) 连接 AO、A′O，则 AO = A′O.
又∵ AM = A′M，
∴∠AMO =∠A′MO = 90°.
∴ CD⊥AA′.
∴△AOM≌△A′OM(SSS).
与 相等吗？ 与 相等吗？
为什么？
证明举例
(2) 由垂径定理可得
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
·
O
A
B
C
D
“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
圆的两条直径是互相平分的.
特别说明：
垂径定理的本质是：
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所
对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所
对的劣弧
知二推三
课堂小结
1、这节课你有什么收获？
2、你还有哪些疑惑？
达标检测
1.如图，已知⊙Ｏ的半径为5cm，一条弦AB的长为8cm，则圆心O到这条弦的距离为　　　　　cm。
2.（2014·潍坊，）如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（ ）．
A．
B．
C．
D．
·o
Ａ
Ｂ
3. 如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），⊙P的半径为
，则点P的坐标为___________
4.(2014浙江省衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
1. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
C
图 b
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 a
2 或 12
指弦中点到弦所对的弧中点的距离
练一练
2. 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗
解：过 O 作 OD⊥AB 于 D 交圆上于点 E.
由题意，得 DE = 2 cm，AB = 8 cm.
∵ OD⊥AB，∴ AD = DB = 4 cm.
设圆形水管半径为 r cm.
在 Rt△ODA 中，42 + (r - 2)2 = r2，即 r = 5 cm.
故应该用半径为 5 cm 的圆柱形水管替换.
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形

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