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陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{正四棱柱}，{长方体}，{直四棱柱}，{正方体}，则这些集合间的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，为虚数单位，R，则为
A．（0，1） B．， C．， D．，
3．如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（ ）

A． B． C． D．
4．若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
5．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．9 B．1 C． D．3
6．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A． B．1 C．2023 D．2024
7．将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多选题
9．纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数.我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的．已知某声音的函数是，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最大值为5
C．的图象关于直线对称
D．函数的最小值为
10．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
11．设函数，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．1
三、填空题
12．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
13．已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ．
14．使不等式成立的的取值范围是 .
四、解答题
15．已知复数.
(1)求复数的模；
(2)若，求，的值.
16．已知向量，，.
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
18．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题.
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
19．已知函数.
(1)求的值域；
(2)若，求的取值范围；
(3)解关于的方程：.
陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A B A A D ACD BCD
题号 11
答案 CD
1．D
【详解】易知四种棱柱中正方体最特殊，直四棱柱最一般，而正四棱柱是底面为正方形的长方体，由此可知四个集合的关系为.
故选：D.
2．C
【详解】确定出集合的元素是关键．本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点．
，所以；因为，所以，即，又因为R，所以，即；所以，故选C.
3．B
【详解】画出圆锥的轴截面如图

设内切球的球心为，半径为，
则，，
所以，
又，
即，
解得，
故选：B.
4．A
【详解】函数，其中，
由，得，而，
因此，即，则即，
所以.
故选：A.
5．B
【详解】，
，又均为正实数，
（当且仅当时取“），
，此时.
，
，当且仅当时取得，满足题意.
的最大值为1.
故选：B.
6．A
【详解】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，所以，所以，
所以的周期为8．因为，所以，
同理，由，得，
所以，，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，所以，
所以的周期为8，所以，
由，得，
由，得，所以，
所以．
故选：A.
7．A
【详解】设正三角形的边长为，
则.
根据斜二测画法可得：；；；.
在中，由余弦定理可得：；
在中，由余弦定理可得：；
在中，由余弦定理可得：
；
故选：A
8．D
【详解】首先由定义知道，又由的定义域知道，所以有.
然后在同一直角坐标系中先分别画出 和的图象，如下图所示：

设方程的三个根从大到小依次排列为，
则由图可知.
现在在同一直角坐标系中先分别画出，，，的图象如下图：

由图可知分别与，，的图象分别交于一共七个点，
所以方程有7个根，
则函数的零点个数为7.
故选：D.
9．ACD
【详解】对于A，因为，
并且函数的最小正周期为，所以的最小正周期为，A正确；
对于B，由于当时，取最大值为1，
若最大值为5，
则也必须取最大值1，此时，显然不成立，B错误；
对于C，，
所以的图象关于直线对称，C正确；
对于D，
，
其中，
所以当时，函数的最小值为，D正确.
故选：ACD
10．BCD
【详解】如图：
对于A，．故A不正确；
对于B，
所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，在上的投影向量是．故D正确．
故选：BCD.
11．CD
【详解】由题意可知：的定义域为，
令解得，令，解得，
若，当时，可知，，
此时，不合题意：
若，当，可知，，
此时，不合题意：
若，当时，可知，，此时；
当时，可知，，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，，
此时，不符合题意；
综上所述：即，
则，当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值为，则CD符合题意，
故选：CD.
12．
【详解】因为向量，，与的夹角为钝角，
所以且，即且，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
13．/
【详解】如图所示，
由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形，
取上底下底的中心平面，过作，垂足为，，
且，，，
所以，
所以，
故答案为：
14．
【详解】如图，分别作出的图象，结合图象可知恒成立，
当时，；当时，；当时，；
所以不等式成立的的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)，
【详解】（1），
.
（2），
又，
，解得，.
16．(1)，最小正周期
(2)
【详解】（1）因为，，
所以
令，解得
所以函数的单调增区间，最小正周期.
（2）由已知得：令，由题意得，
因为，所以，而，
所以当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
18．(1)2
(2)7
(3)16
【详解】（1）由已知，得，
设的夹角为，由，可得，即，
又，所以，
所以；
（2）设，则，，
设的夹角为，则，
，
所以，
又，
所以.
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是16.
19．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）易知；
因为，所以的值域为，
（2）若，即；
整理得，
令函数，易知函数为奇函数，且在上单调递增，
由可得；
化简得，解得；
故的取值范围为；
（3）解关于的方程，即解方程；
因为；
所以；
因此问题等价于解方程，且；
当时，
若，则，方程无解；
若，则，方程无解；
当时，
经检验方程的解是或.

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