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复习参考题 8
复习参考题 8
复习巩固
1．变量x与y的观测数据的散点图如图所示，据此可以判断变量x与y之间（ ）
A．很可能存在负相关 B．一定存在正相关
C．很可能存在正相关 D．一定不存在负相关
2．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的的假设
C．不满足一元线性回归模型的假设
D．不满足一元线性回归模型的和的假设
3．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
4．下表是1896~2016年男子三级跳远奥运会冠军的成绩，请分析这组数据，能用一元线性回归模型刻画这组数据吗？
年份 成绩/ 年份 成绩/ 年份 成绩/ 年份 成绩/
1896 13.71 1928 15.21 1964 16.85 1992 18.17
1900 14.47 1932 15.72 168 17.39 1996 18.09
1904 14.35 1936 16.00 1972 17.35 2000 17.71
1908 14.92 1948 15.40 1976 17.29 2004 17.79
1912 14.64 1952 16.22 1980 17.35 2008 17.67
1920 14.50 1956 16.35 1984 17.25 2012 17.81
1924 15.53 1960 16.81 1988 17.61 2016 17.86
5．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，请根据数据建立车胎凹槽深度和汽车行驶里程的关系，并解释模型的含义.
行驶里程/万 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15
轮胎凹槽深度/ 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82
6．为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：单位：只
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 75 66 141
服用 112 47 159
合计 187 113 300
依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？如何解释得到的结论？
拓广探索
7．气象部门由每天的最高气温的数据，得到每月最高气温的平均数，简称平均高温.下表是2017年31个城市1月和7月的平均高温数据.
城市 1月平均高温 7月平均高温 城市 1月平均高温 月平均高温
北京 3 32 南京 9 35
成都 12 32 南宁 20 33
重庆 12 36 上海 10 36
福州 17 36 沈阳 31
广州 21 33 石家庄 3 33
贵阳 9 28 太原 3 32
哈尔滨 30 天津 3 33
海口 22 32 乌鲁木齐 32
杭州 11 36 武汉 10 34
合肥 9 35 西安 8 36
呼和浩特 30 西宁 4 27
济南 6 33 银川 2 32
昆明 17 24 长春 29
拉萨 8 23 长沙 11 35
兰州 5 33 郑州 7 34
南昌 13 35
（1）画出并观察各城市月与月的平均高温的散点图，你认为月与月的平均高温有线性趋势吗？描述散点图的特点.
（2）结合地理知识并用统计方法分析表中的数据，解释这两个月平均高温的关系.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据正负相关性来判断散点图即可.
【详解】由散点图知，以后的函数值，随着x的变大而变大，所以呈正相关性；
而的函数值增加缓慢，或者数据不足以说明一定是增加的，
故x与y的关系是很可能存在正相关.
故选：C
2．C
【分析】根据用一元线性回归模型有关概念即可判断.
【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值可能成立，但明显残差的轴上方的数据更分散，不满足一元线性回归模型，正确的只有C.
故选：C.
3．C
【分析】根据独立性检验概念即可求解.
【详解】解：因为，
所以变量x与y独立，
又，
所以这个结论犯错误的概率不超过0.1，
故选：C.
4．能用一元线性回归模型刻画这组数据.
【分析】画出散点图即可得出结论.
【详解】画出散点图，如图所示：
由散点图可以看出，年份与成绩正线性相关.故能用一元线性回归模型刻画这组数据.
5．答案见解析.
【分析】根据题意给的数据作出散点图，得到对应的曲线方程(令)，即得到新的数据并作出散点图，进而得出线性回归方程，求出相关系数进行判断即可.
【详解】作出散点图，如图，
通过散点图可知，发现散点落在某条曲线附近.
设曲线方程为，则，
令，则，
故可得到新数据
x 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15
t=lny 2.30 2.12 2.00 1.87 1.76 1.65 1.51 1.43 1.34
由新数据作出散点图，如图，
发现散点图呈现出很强的线性相关关系，
用一元线性回归模型刻画新的成对数据，得到线性回归方程为：
，将代入，
有，得，
又，
所以模型的拟合效果较好，通过它可以很好的预测轮胎凹槽深度或汽车行驶里程.
6．在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
【分析】根据列联表计算出观测值，再由独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】由列联表可得
，
，
在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效.
解释：由于，所以表示有小于的可能性证明这两个事件无关，
也就是在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效
7．（1）散点图见解析，答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据表格中的数据可作出散点图，根据散点图的特点可得出结论；
（2）根据散点图中的散点并结合南方和北方的地理位置可分析出这两个月平均高温的关系.
【详解】（1）散点图如下图所示：
由散点图可知，月与月平均高温有线性趋势，散点图中的散点呈正相关；
（2）由散点图可知，一般月平均高温越高，月平均高温越高，并且北方城市的月平均高温与月平均高温低于南方城市的月平均高温和月平均高温.
答案第1页，共2页6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1．
表6.1-1
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
分析：要完成的事情是“选一个专业”因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．
解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数
．
例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步：选女生．
解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数
．
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成．
解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数
．
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数
．
练习
1．填空题
（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是________．
2．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为．这种算法有什么问题？
2．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法？
3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”；可以分步完成．
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法：第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理．不同挂法的种数
．
6种挂法如图6.1-2所示．
图6.1-2
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1-9，最多可以给多少个程序模块命名？
分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．
解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为
．
后两个字符从1～9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9．
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是
，
即最多可以给1053个程序模块命名．
例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．
（1）1个字节（8位），最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制型上的数字”．由于每个字节有8个二进制位，每 位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可．
解：（1）用图6.1-3表示1个字节．
图6.1-3
1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是
．
（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符．前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是
．
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763．因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示．
练习
4．某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
5．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？
6．从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？
7．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
8．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图6.1-4，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
图6.1-4
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束．而第1步可由子模块L子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块子模块5中任何一个来完成．因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理．
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为
；
子模块4、子模块5中的子路径条数共为
．
又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为
．
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块．这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为
．
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为
．
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常．那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个模块的次数就变为
．
显然，178与7371的差距是非常大的．
例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成，第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如图6.1-5）．
图6.1-5
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母．
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数．按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类．
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为
．
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类．
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位「有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为
．
同样，其余四个子类号牌也各有240000张．
根据分类加法计数原理；这类号牌张数，共为
．
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1～2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3～5步都是从10个数字中选1个放在相流的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为
，
同样，其余九个子类号牌也各有576000张．
于是，这类号牌张数一共为
．
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为
．
练习
9．乘积展开后共有多少项？
10．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个
11．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式？
12．任意画一条直线，在直线上任取n个分点．
（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？
（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？
习题6.1
复习巩固
13．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种．要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？
14．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
15．如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？
16．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
17．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法
18．（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有多少个？
（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合内取值，y轴上的截距在集合内取值的不同直线共有多少条？
综合运用
19．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
20．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队不同报法的种数是还是？
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？
21．（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）．
22．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？
拓广探索
23．在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？
24．2160有多少个不同的正因数？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】（1）用加法计数原理进行求解即可；
（2）用乘法计数原理进行求解即可.
【详解】（1）因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是：；
（2）因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的条数是：，
故答案为：；
2．（1）种；（2）种；
【分析】（1）按照分类加法计数原理计算可得；
（2）按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
（1）从书架上任取1本书，则有种取法；
（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，则有种取法；
3．（1）12；（2）60.
【分析】（1）由分类加法计数原理运算即可得解；
（2）由分步乘法计数原理运算即可得解.
【详解】从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；从高三年级的学生中选取1名，有4种选法；
（1）从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有种不同选法；
（2）从三个年级的学生中各选1人参加活动，共有种不同选法.
4．10000
【分析】后四位数字都是0到9之间的一个数字，每一位都有10种选择方法，根据分步计数原理可得．
【详解】解：后四位数字都是0到9之间的一个数字，每一位都有10种选择方法，故有个．
故这个电话局不同的电话号码最多有10000个．
5．20种选法
【分析】从5人中依次选出正、副组长，由分步乘法计数原理即可得解.
【详解】先从5人中选出一名组长，共有5种选法，
再从剩下的4人中选出一名副组长，共有4种选法，
所以从5名同学中选出正、副组长各1名，共有种选法.
6．
【分析】根据分步乘法计数原理直接求解出不同算式的个数.
【详解】第一步：从中选一个数作为被减数，有种选法；
第二步：从中选一个数作为减数，有种选法，
所以写成的减法算式共有：个，
故可得个不同的算式.
7．
【分析】依题意这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式计算可得；
【详解】解：因为在1，2，…，500中，被5除余2的数有，，，，
这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，设一个有个数，所以，解得
故共有个
8．125种
【分析】由百位、十位和个位上的数字均有5种选法，结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】由题意，百位、十位和个位上的数字均有5种选法，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成个三位数.
9．45项
【分析】由多项式的乘法法则结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】根据多项式的乘法法则，展开后每一项均是从中各取1项相乘得到，
所以展开后的项数为项.
10．
【分析】利用分类加法计数原理分别考虑当十位是时满足要求的两位数的个数，将所得两位数的个数相加即可求得结果.
【详解】当十位是时，个位可以是，共个
当十位是时，个位可以是，共个，
当十位是时，个位可以是，共个，
当十位是时，个位可以是，共个，
当十位是时，个位可以是，共个，
当十位是时，个位可以是，共个，
当十位是时，个位可以是，共个，
当十位是时，个位可以是，共个，
当十位是时，个位可以是，共个，
所以符合要求的两位数一共有：个，
故个位数字小于十位数字的两位数有个.
11．
【分析】由于某人从其中的任意一个门进入商场，因此从6个门中任选一个可有种不同的方法，要求从其他的剩余的5个门出去，可有种不同的方法，再利用乘法原理即可得出．
【详解】解：由题意可得：共有种不同的进出商场的方式，
故有30种不同的进出商场的方式．
12．（1）；（2）.
【分析】（1）组合问题；（2）排列问题.
【详解】（1）因为线段与端点的顺序无关，所以从这个分点中任取2个点可形成的线段共条；
（2）因为向量与端点的顺序有关，所以从这个分点中任取2个点可形成的向量共个.
13．11种
【分析】由分类加法计数原理计算即可得解.
【详解】由题意，购买本地产品的选法有4种，购买外地产品的选法有7种，
所以购买1台这种型号的电视机，共有种不同的选法.
14．14种
【分析】按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解.
【详解】如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线；
如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线；
因此，从甲地到丁地共有种不同的路线.
15．8条
【分析】分上线路、中线路、下线路讨论，结合分类加法计数原理即可得解.
【详解】如果电路从上线路接通，共有3条路径；
如果电路从中线路接通，共有1条路径；
如果电路从下线路接通，共有条路径；
所以要让电路从A处到B处接通，共有条不同的路径.
16．16个不同的分数；真分数有10个.
【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；按照分子取值分类，结合分类加法计数原理即可得真分数得个数.
【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母，
可构成个不同的分数；
由真分数的定义，
①若1为分子，分母有4种选择；
②若5为分子，分母有3种选择；
③若9为分子，分母有2种选择；
④若13为分子，分母有1种选择；
所以真分数共有个.
17．
【分析】分两步进行，两步的结果相乘即可求解．
【详解】解：分两步进行：第一个口袋内取一个球有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法；
从两个口袋内分别取1个小球，共有：种取法．
18．（1）36；（2）16
【分析】（1）利用分步乘法计数原理，根据横，纵分别坐标来取值，最后相乘即可．
（2）根据题意，分析直线的斜率、在轴上的截距的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：（1）先取横坐标有6种取法；再取纵坐标也有6种取法；
故共有种结果；
即对应的点有36个．
（2）根据题意，直线的斜率在集合，3，5，内取值，有4种情况，
在轴上的截距在集合，4，6，内取值，有4种情况，
则直线有条．
19．6000个
【分析】由每个拨号盘可选的数字个数结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】前3个拨号盘均有10个数字可选，第4个拨号盘有6个数字可选，
所以这4个拨号盘可组成个四位数字号码.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）让4名同学去选择运动队，结合分步乘法计数原理即可得解；
（2）让3个班去选择景点，结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】（1）让4名同学去选择运动队，每人均有3种选择，
所以不同报法的种数为；
（2）让3个班去选择景点，每个班有5种选择，
所以不同选法的种数是.
21．（1）；（2）
【分析】（1）直接根据排列数计算可得；
（2）分为①三本书都放入一个抽屉，②三本书放入两个抽屉，③三本书放入三个抽屉，三种情况讨论，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，则共有种方法；
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，因为一个抽屉可放多本书，
①三本书都放入一个抽屉，则只需要一个抽屉，有（种）
②三本书放入两个抽屉，一个抽屉1本，一个抽屉2本，首先从三本书中选出两本书有种，再两份书放到2个抽屉中有种，按照分步乘法计数原理可得有（种）
③三本书放入三个抽屉，则有（种）
最后按照分类加法计数原理可得一共有（种）
22．（1）80；（2）28；（3）108；（4）73.
【分析】（1）由分步乘法即可得解；
（2）利用组合的知识运算即可得解；
（3）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解；
（4）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法、组合即可得解.
【详解】（1）取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法；
所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种；
（2）取出两个球正好是两个白球的取法有种；
（3）至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，共有种取法；
（4）两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球，
两球全是红球的选法有种，
所以两球的颜色相同的取法有种.
23．326592种
【分析】分析出每天的选法数，结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】第一天，每个人均可选，有7种选法；
从第二天至第七天，选出的人只需与前一天不同即可，均有6种选法；
所以符合题意的安排方法共有种.
24．40
【分析】对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解.
【详解】由题意，，
则2160的正因数，
因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；
所以2160有个不同的正因数.
答案第1页，共2页8.2 一元线性回归模型及其应用
第八章 成对数据的统计分析
8.2 一元线性回归模型及其应用
8.2.1 一元线性回归模型
练习
1.说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子.
2.在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？
3.将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？
8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计
练习
1.对一元线性回归模型参数a和b的估计中，有人认为：“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数据到直线‘整体接近程度’的定义，可以得到参数a和b不同的估计，只要‘整体接近程度’定义合理即可.”你觉得这个说法对吗？
2.假如女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为.已知父亲身高为175cm，请估计女儿的身高.
3.根据8.1.1节表8.1-1中的数据，建立人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程，画出残差图，描述残差图的特点.
4.计算表8.2-2中的所有残差之和，你能发现什么规律？
5.假设变量x与变量Y的n对观测数据为，，…，，两个变量满足一元线性回归模型.请写出参数b的最小二乘估计.
例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
表8.2-3
分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图判断树高与胸径是否线性相关.如果是，再利用公式（2）计算出，即可.
解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到图8.2-9.
图8.2-9
在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.
用d表示胸径，h表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为
，
相应的经验回归直线如图8.2-10所示.
图8.2-10
根据经验回归方程，由表8.2-3中胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，如表8.2-4所示.
表8.2-4
以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到图8.2-11.
图8.2-11
观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.
练习
1.在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题？
2.1997~2006年中国的国内生产总值（GDP）的数据如下：
（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；
（2）建立年份为解释变量，GDP为响应变量的一元线性回归模型，并计算残差；
（3）根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的GDP，看看你的预测值与实际的GDP的误差是多少；
（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由
（5）随着时间的发展，又收集到2007~2016年的GDP数据如下：
建立年份（1997~2016）为解释变量，GDP为响应变量的经验回归方程，并预测2017年的GDP，与实际的GDP误差是多少？你能发现什么？
习题 8.2
复习巩固
1．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，请回答下列问题：
(1)解释变量和响应变量的关系是什么？
(2)是多少？
2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下表所示.
零件数x个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间ymin 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)画出散点图；
(2)建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型（精确到0.001）；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
综合运用
3．人口问题是关乎国计民生的大问题.下表是1949~2016年中国的人口总数（摘自《中国统计年鉴2017》）.
年份 总人口/万人 年份 总人口万人 年份 总人口万人
1949 54167 1982 101654 2000 126743
1950 55196 1983 103008 2001 127627
1951 56300 1984 104357 2002 128453
1955 61465 1985 105851 2003 129227
1960 66207 1986 107507 200 129988
1965 72538 1987 109300 2005 130756
1970 82992 1988 111026 2006 131448
1971 85229 1989 112704 2007 132129
1972 87177 1990 114333 2008 132802
1973 89211 1991 115823 2009 133450
1974 90859 1992 117171 2010 134091
1975 92420 1993 118517 2011 134735
1976 93717 1994 119850 2012 135404
1977 94974 1995 121121 2013 136072
1978 96259 1996 122389 2014 136782
1979 97542 1997 123626 2015 137462
1980 98705 1998 124761 2016 138271
1981 100072 1999 125786
(1)画出散点图；
(2)建立总人口数关于年份的一元线性回归模型；
(3)直接用上面建立的回归模型预测2020年的中国人口总数，得到的结果合理吗？为什么？
4．在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级x的地震数N的数据如下表：
震级x 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
地震数N 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973
震级x 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0
地震数N 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25
试建立经验回归方程表示二者之间的关系，该模型对预测地震有帮助吗？（、精确到整数，相关系数精确到0.001）
拓广探索
5．生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的.例如，数学成绩、物理成绩和化学成绩两两之间是相关的吗？哪两个学科成绩之间相关性更大，你能解释其中的原因吗？语文成绩对数学成绩有影响吗？等等，请用你们班的某次考试成绩，研究它们之间的关系.如果它们之间有关系，请建立统计模型进行分析.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)线性函数关系
(2)
【分析】（1）根据题意得到解释变量和响应变量的关系是线性函数关系；
（2）由（1）知：
(1)
因为散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，
所以解释变量和响应变量的关系是线性函数关系.
(2)
由（1）知：
2．(1)散点图见解析
(2)
(3)每多加工个零件，需要增加分钟加工时间.
【分析】（1）根据表格提供数据画出散点图.
（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.
（3）根据回归直线方程作出判断.
(1)
画出散点图如下图所示：
(2)
，
，
，
所以.
(3)
根据回归直线方程可知：每多加工个零件，需要增加分钟加工时间.
3．(1)散点图见解析
(2)，（单位：万人）.
(3)答案见解析.
【分析】（1）描点可作出散点图；
（2）根据线性回归方程的计算公式计算可得答案；
（3）将代入（2）中的线性回归方程，计算可得答案.
(1)
解：散点图如下图所示：
.
(2)
解：由表中数据和相关系数来计算其拟合程度，首先，，
再代入数据得，
以及，
因此，是有很强的正相关关系的，
因此设回归直线为，由，，
计算得，因此该回归模型为，（单位：万人）.
(3)
解：当时，（单位：万人），
结果计算出来届时我国人口总数为15亿，的确保证了是增长型，但是由于这只是预测，并没有考虑到2020年出现的疫情和相应的政策等，因此难免会有所误差.
4．，该模型对预测地震有帮助.
【分析】根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并作出判断.
【详解】，
，
，
所以.
该模型对预测地震是有帮助：
①
回归直线方程显示，当增大时，减小，与表格提供的实际数据的变化趋势相同，所以该模型对预测地震有帮助.
②，，这表明与有很强的线性相关关系，从而也表明建立的回归模型是有意义的、有帮助的.
5．
【解析】略
答案第1页，共2页8.3 列联表与独立性检验
第八章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
8.3.1 分类变量与列联表
例1 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀．试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异．
解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合．考虑以Ω为样本空间的古典概型．对于Ω中每一名学生，定义分类变量X和Y如下：
我们将所给数据整理成表8.3-2．
表8.3-2 单位：人
表8.3-2是关于分类变量X和Y的抽样数据的列联表：最后一行的前两个数分别是事件和的频数；最后一列的前两个数分别是事件和的频数；中间的四个格中的数是事件的频数；右下角格中的数是样本容量．因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和；
乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和．
我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果，如图8.3-1所示．
图8.3-1
在图8.3-1中，左边的蓝色和红色条的高度分别是甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率；右边的翥色和红色条的高度分别是乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率．通过比较发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率．依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断．也就是说，如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率．因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高．
练习
1．成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”，即教师的名声与学生的水平之间有关联．你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗？
2．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀．试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.
3．根据有关规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．那么：
(1)吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题？
(2)有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟．这种说法对吗？
4．假设在本小节“问题”中，只是随机抽取了44名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表：
单位：人
性别 锻炼 合计
不经常 经常
女生 5 15 20
男生 6 18 24
合计 11 33 44
(1)据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性；
(2)说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因．
8.3.2 独立性检验
例2 依据小概率值的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
解：零假设为：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异．
根据表8.3-2中的数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异．
例3 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好．
解：零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如表8.3-5．
表8.3-5 单位：人
根据列联表中的数据，经计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
例4 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表8.3-6所示．依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险．
表8.3-6 单位：人
解：零假设为：吸烟与患肺癌之间无关联．
根据列联表中的数据经计算得到．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
根据表8.3-6中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为和；
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为和．
由
可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上．于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌．
练习
5．为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．采用小概率值的独立性检验，能否认为吸烟与患肺癌有关？
单位：人
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者 7775 42 7817
吸烟者 2099 49 2148
合计 9874 91 9965
6．根据同一抽查数据判断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论？为什么？
7．为考查某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性．
附：临界值表：
8．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
单位：人
数学成绩 语文成绩 合计
不优秀 优秀
不优秀 212 61 273
优秀 54 73 127
合计 266 134 400
依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
习题 8.3
复习巩固
9．为什么必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联？
10．为什么独立性检验方法不适用于普查数据？
11．等高堆积条形图在两个分类变量之间关联性的研究中能够起到什么作用？
12．对于已经获取的成对样本观测数据，检验结论“两个变量之间有关联”的实际含义是什么？检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义又是什么？
综合运用
13．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的问题，得到某中学高三年级学生的性别和身高的所有观测数据所对应的列联表如下：
单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 81 16 97
男 28 75 103
合计 109 91 200
请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响．
6．第5题中的身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？
7．从第5题的高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，得到性别和身高变量的样本观测数据所对应的列联表如下：
单位：人
（1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义．
（2）得到的结论与第5题的一致吗？如果不一致，你认为原因是什么．
14．调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：
单位：人
性别 出生时间 合计
晚上 白天
女 24 31 55
男 8 26 34
合计 32 57 89
依据的独立性检验，能否认为性别与出生时间有关联？解释所得结论的实际含义．
拓广探索
15．单位：人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校
乙校
合计
对列联表中的数据，依据的独立性检验，我们已经知道独立性检验的结论是学校和成绩无关．如果表中所有数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
附：临界值表：
答案第1页，共2页复习参考题 7
复习参考题7
复习巩固
1．举例说明与没有确定的大小关系．
2．抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
（1）两个点数都出现偶数的概率；
（2）已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率．
3．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．
（1）求取出的零件是次品的概率；
（2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P 0.36
求：（1）常数q的值；
（2）和．
5．已知随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且，求n的值．
6．已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．
（1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？
综合运用
7．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
8．某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行．统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失万元．月日气象台预报国庆节当地的降水概率是，商场应该选择哪种促销方式？
9．一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为．利用计算工具求（精确到0.0001）：
（1）这家保险公司亏本的概率；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．
拓广探索
10．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率．
11．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（2）如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？
12．某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正念分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）
答案第1页，共2页7.3 离散型随机变量的数字特征
第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量X服从两点分布．X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平．
解：因为，，
所以．
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8．
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么．
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．
分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．
解：X的分布列为，，2，3，4，5．6．
因此，．
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．
表7.3-3
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，C全部猜对．获得6000元基金，因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列．
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．
，
，
，
．
X的分布列如表7.3-4所示．
表7.3-4
X的均值为
．
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示．
7.3-5
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，．
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，．
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，
，．
采用方案3，
，，．
于是，，
，
．
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．
练习
1．已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
（1）求；
（2）求．
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值．
3．甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为，其分布列分别为：
甲机床次品数的分布列
0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙机床次品数的分布列
0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？
7.3.2 离散型随机变量的方差
例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差．
解：随机变量X的分布列为，，3，4，5，6．
因为，，
所以．
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．
表7.3-9股票A收益的分布列
表7.3-10股票B收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
，
．
因为，所以投资股票A的期望收益较大．
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
，
．
因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
练习
4．已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
求和．
5．若随机变量X满足，其中c为常数，求．
6．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差（精确到1cm）X和Y的分布列如下：
甲班的目测误差分布列
X 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
乙班的目测误差分布列
Y 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．
习题7.3
复习巩固
7．某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1.求每部手机获利的均值和方差．
8．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？
9．随机变量X的分布列为，，，若，求a和b．
10．在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0．
11．证明：．
综合运用
12．有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？
13．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为：
甲品牌的走时误差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能．
拓广探索
14．设，a是不等于的常数，探究X相对于的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义．
答案第1页，共2页7.2 离散型随机变量及其分布列
第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求X的分布列.
解：根据X的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，X的分布列为
，.
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果，则，那么X的分布列如表7.2-3所示.
表7.2-3
例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.
表7.2-4
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及.
解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表7.2-5所示.
表7.2-5
.
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2，根据古典概型的知识，可得X的分布列为
，，.
用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示.
表7.2-6
练习
1．举出两个离散型随机变量的例子．
2．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）抛掷2枚骰子，所得点数之和；
（2）某足球队在5次点球中射进的球数；
（3）任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．
3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．
4．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．
习题 7.2
复习巩固
5．张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．
（1）写出随机试验的样本空间；
（2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．
6．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.15 0.45
试说明该同学的计算结果是否正确．
7．在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
8．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为：
X 6 7 8 9 10
P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？
综合运用
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
10．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；
（2）李明在一年内领到资格证书的概率．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．例子见解析；
【分析】根据离散型随机变量的定义可得结论.
【详解】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数；
（2）某公共汽车站1分钟内等车的人数；
2．(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.
【分析】(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和，能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.
(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.
(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.
【详解】(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11；
3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21；
4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31；
5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41；
6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33；
7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43；
8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44；
9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54；
10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55；
11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65；
12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66.
(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，5
0表示5次点球中射进0球；
1表示5次点球中射进1球；
2表示5次点球中射进2球；
3表示5次点球中射进3球；
4表示5次点球中射进4球；
5表示5次点球中射进5球.
(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.
3．见解析
【详解】试题分析：先确定随机变量可能取法，再分别求对应概率，最后列表可得分布列，也可根据二点分布直接得分布列
试题解析：解　设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为
ξ 0 1
P 0.3 0.7
(注：ξ服从二点分布)
点睛：(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；
(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．
4．答案见解析
【分析】由题意计算出正面向上的次数的概率，即可得到分布列.
【详解】由已知，抛掷一次一枚质地均匀的硬币，
正面向上的概率为
记正面向上的次数为，则可取0，1，2，
，
，
，
所以正面向上的次数的分布列为：
0 1 2
5．（1）样本空间见解析；（2）的可能取值为、、、、；
【分析】（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0，用数对表示在4个路口所出现的情况，列出样本空间即可；
（2）由样本空间可得的可能取值，以及所对应的随机事件；
【详解】解：（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0，用表示他经过四个路口所遇到红绿灯情况，其中表示第个路口的情况，则随机试验的样本空间 ，
，，，，
（2）设他可能遇到红灯的次数为X，则的可能取值为、、、、；
表示
表示
表示
表示，，，，
表示
6．该同学的计算结果不正确;
【分析】根据分布列的性质进行解题即可.
【详解】根据分布列的性质可知：
分布列中所有概率之和等于1，
而题目中，
所以该同学的计算结果不正确.
7．答案见解析.
【分析】根据离散型随机变量的定义进行问题的分析.
【详解】若随机变量只取有限多个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量，
在某项体能检测中，跑时间不超过为优秀，某同学跑所花的时间是连续的，
所以某同学跑所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量；
如果只关心是否优秀，只需要定义一个两点随机变量就可以了，如下：
，此时是离散型随机变量，它仅有两个取值，其中表示优秀，表示不优秀.
8．0.55
【分析】根据分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解．
【详解】解：若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9、10环，
其概率为P＝P（X＝9）+P（X＝10）＝0.35+0.20＝0.55，
故他射击一次为优秀的概率是0.55．
9．（1）见解析（2）
【详解】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下：
X 0 1 2 3
P
即
X 0 1 2 3
P
(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.
10．（1）分布列见解析；（2）
【分析】（1）的取值分别为1，2，3，分别求出，，，由此能求出李明参加考试次数的分布列
（2）由已知条件，利用对立事件的概率计算能求出李明在一年内领到资格证书的概率．
【详解】解：（1）的取值分别为1，2，3．
，，
所以李明参加考试次数的分布列为：
1 2 3
P 0.6 0.28 0.12
（2）李明在一年内领到资格证书的概率为：
答案第1页，共2页7.1 条件概率与全概率公式
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：
（1）第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”.
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即
.
因为，所以
.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.显然.利用条件概率公式，得
.
解法2：在缩小的样本空间A上求.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
.
又，利用乘法公式可得
.
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖：利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，.
；
；
.
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解.
解：（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设“最后1位密码为偶数”，则
.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
练习
1．设，且，.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和的值再由条件概率公式进行验证.
2．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.
3．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；
（2）两次都摸到白球的概率.
7.1.2 全概率公式
例4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得
，，.
由全概率公式，得
.
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第式 =1，2，3）台车床加工的概率.
分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.如果设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），如图7.1-3，那么可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
图7.1-3
解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），则，且，，两两互斥.根据题意得
，，，
，.
（1）由全概率公式，替
.
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i（，2，3）合车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率.
.
类似地，可得
，.
例6 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
分析：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示.
图7.1-4
解：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”.由题意得
，，，
，.
（1）；
.
（2）.
练习
4．现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率.
5．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.
（1）求这件产品是合格品的概率；
（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.
习题 7.1
复习巩固
6．为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.
男 女 合计
色盲 60 2 62
非色盲 1140 798 1938
合计 1200 800 2000
从这2000人中随机选择1个人.
（1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率；
（2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.
7．从人群中随机选出1人，设“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断和的大小，并说明理由.
8．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.
9．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.
10．在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率.
11．已知，，，证明：.
综合运用
12．一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.
13．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？
14．证明条件概率的性质（1）和（2）.
拓广探索
15．证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？答案第1页，共2页8.2 一元线性回归模型及其应用
第八章 成对数据的统计分析
8.2 一元线性回归模型及其应用
8.2.1 一元线性回归模型
练习
1.说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子.
2.在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？
3.将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？
8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计
练习
1.对一元线性回归模型参数a和b的估计中，有人认为：“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数据到直线‘整体接近程度’的定义，可以得到参数a和b不同的估计，只要‘整体接近程度’定义合理即可.”你觉得这个说法对吗？
2.假如女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为.已知父亲身高为175cm，请估计女儿的身高.
3.根据8.1.1节表8.1-1中的数据，建立人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程，画出残差图，描述残差图的特点.
4.计算表8.2-2中的所有残差之和，你能发现什么规律？
5.假设变量x与变量Y的n对观测数据为，，…，，两个变量满足一元线性回归模型.请写出参数b的最小二乘估计.
例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
表8.2-3
分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图判断树高与胸径是否线性相关.如果是，再利用公式（2）计算出，即可.
解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到图8.2-9.
图8.2-9
在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.
用d表示胸径，h表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为
，
相应的经验回归直线如图8.2-10所示.
图8.2-10
根据经验回归方程，由表8.2-3中胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，如表8.2-4所示.
表8.2-4
以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到图8.2-11.
图8.2-11
观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.
练习
1.在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题？
2.1997~2006年中国的国内生产总值（GDP）的数据如下：
（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；
（2）建立年份为解释变量，GDP为响应变量的一元线性回归模型，并计算残差；
（3）根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的GDP，看看你的预测值与实际的GDP的误差是多少；
（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由
（5）随着时间的发展，又收集到2007~2016年的GDP数据如下：
建立年份（1997~2016）为解释变量，GDP为响应变量的经验回归方程，并预测2017年的GDP，与实际的GDP误差是多少？你能发现什么？
习题 8.2
复习巩固
1．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，请回答下列问题：
(1)解释变量和响应变量的关系是什么？
(2)是多少？
2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下表所示.
零件数x个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间ymin 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)画出散点图；
(2)建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型（精确到0.001）；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
综合运用
3．人口问题是关乎国计民生的大问题.下表是1949~2016年中国的人口总数（摘自《中国统计年鉴2017》）.
年份 总人口/万人 年份 总人口万人 年份 总人口万人
1949 54167 1982 101654 2000 126743
1950 55196 1983 103008 2001 127627
1951 56300 1984 104357 2002 128453
1955 61465 1985 105851 2003 129227
1960 66207 1986 107507 200 129988
1965 72538 1987 109300 2005 130756
1970 82992 1988 111026 2006 131448
1971 85229 1989 112704 2007 132129
1972 87177 1990 114333 2008 132802
1973 89211 1991 115823 2009 133450
1974 90859 1992 117171 2010 134091
1975 92420 1993 118517 2011 134735
1976 93717 1994 119850 2012 135404
1977 94974 1995 121121 2013 136072
1978 96259 1996 122389 2014 136782
1979 97542 1997 123626 2015 137462
1980 98705 1998 124761 2016 138271
1981 100072 1999 125786
(1)画出散点图；
(2)建立总人口数关于年份的一元线性回归模型；
(3)直接用上面建立的回归模型预测2020年的中国人口总数，得到的结果合理吗？为什么？
4．在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级x的地震数N的数据如下表：
震级x 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
地震数N 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973
震级x 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0
地震数N 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25
试建立经验回归方程表示二者之间的关系，该模型对预测地震有帮助吗？（、精确到整数，相关系数精确到0.001）
拓广探索
5．生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的.例如，数学成绩、物理成绩和化学成绩两两之间是相关的吗？哪两个学科成绩之间相关性更大，你能解释其中的原因吗？语文成绩对数学成绩有影响吗？等等，请用你们班的某次考试成绩，研究它们之间的关系.如果它们之间有关系，请建立统计模型进行分析.
答案第1页，共2页复习参考题 7
复习参考题7
复习巩固
1．举例说明与没有确定的大小关系．
2．抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
（1）两个点数都出现偶数的概率；
（2）已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率．
3．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．
（1）求取出的零件是次品的概率；
（2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P 0.36
求：（1）常数q的值；
（2）和．
5．已知随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且，求n的值．
6．已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．
（1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？
综合运用
7．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
8．某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行．统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失万元．月日气象台预报国庆节当地的降水概率是，商场应该选择哪种促销方式？
9．一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为．利用计算工具求（精确到0.0001）：
（1）这家保险公司亏本的概率；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．
拓广探索
10．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率．
11．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（2）如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？
12．某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正念分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．答案不唯一（具体见详解）
【分析】定义出不同的事件，分别计算与的值进行说明即可.
【详解】设事件：抛一颗骰子，得到点数1，事件:掷一枚硬币出现正面向上，
因为事件与事件相互独立，所以;
若事件改为: 抛一颗骰子，得到奇数点，
所以，两者不相等，
综上：与没有确定的大小关系.
2．（1）；（2）．
【分析】（1）写出两个点数都出现偶数的基本事件，计数后可计算概率；
（2）利用条件概率公式计算．
【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个，两个点数都是偶数的基本事件有共9个，概率为．
（2）记第一枚骰子的点数是偶数为事件，第二枚骰子的点数是偶数为事件，
则，由（1），所以．
3．（1）；（2）.
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求取出的零件是次品的概率；
（2）利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
【详解】（1）取出的零件是次品的概率为；
（2）设取出的是次品的事件为,此次品是从第一箱取出的事件为,
则,,
所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为.
4．（1）0.2；（2），.
【分析】（1）由概率之和为1可求得；
（2）根据分布列直接计算期望和方差即可.
【详解】（1）由题可得，解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
；
（2）由（1）可得分布列为
X 0 1 2
P 0.36 0.6 0.04
，
.
5．19
【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可.
【详解】因为随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，
所以，
所以，
所以解得.
6．（1）；（2）
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）由题意列出，解不等式即可求解.
【详解】（1）门大炮同时对某一目标各射击一次，
设击中目标的次数为，
则，
故恰好击中目标3次的概率为.
（2）由题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次，
击中次的概率为，
则至少击中一次的概率为，
则，
即，
解得，
因为，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要门大炮.
7．
【分析】设出总体容量，根据概率计算出样本容量，然后现再计算出所求概率．
【详解】设该校总人数为1000人，则近视的有人，每天玩手机超过1h的人数有200人，其中近视的有100人，因此每天玩手机不超过1h的学生有1000－200＝800人中，近视的有400－100＝300人，
任取1名学生，近视的概率为．
8．商场外促销
【分析】计算商场外的促销活动获利的期望值，与商场内的促销活动获利的期望值作比较，由此可得出结论.
【详解】若选择场外促销，则商场外的促销活动获利的效益的期望值为，
因此，应选择商场外的促销活动.
9．（1）0.0037；（2）0.9197
【分析】（1）用表示10万人中遭遇意外伤害的人数，可得，则由可求；
（2）可得一年内最多只能有2人出险，求出即可.
【详解】（1）一份意外伤害保险费为20元，销售10万份保单可得保险费200万元，保险金额为50万元，可得出在一年内若有4人以上出险，保险公司将亏本，
由题意可得10万人参保，可看作10万次独立重复实验，每人是否遭遇意外伤害相互独立，用表示10万人中遭遇意外伤害的人数，每人遭遇意外的概率为，则，
则这家保险公司亏本的概率
；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元，则一年内最多只能有2人出险，
则
.
10．
【分析】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为，得到，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，
设次传球后球再甲手中的概率为，
则有，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
即n次传球后球在甲手中的概率是．
11．（1）减少；（2）．
【分析】（1）根据已知求出阳性的人数，然后从极端情形入手求出5人一组的最大化验次数，比较可得；
（2）仿照（1）求出人一组时最大测试次数，然后由基本不等式求最小值，由为正整数，比较得的值．
【详解】（1）按照此种方法，需要化验两轮，第一轮化验次数为，
携带病毒的人占5%，因此携带病毒的人有（人），第二轮最多有500组需要化验，最多化验次数为，
因此这种方法最多化验次数为，化验次数减少．
（2）按（1）中方法，按人一组，第一轮需要化验次，如果携带病毒的人只占2%，则携带病毒的人有（人），最多有200组需要化验第2轮，
第二轮最多化验次数为，因此最多化验次数为，当且仅当时等号成立，由于，易得，所以时，化验次数最少．
12．答案见解析
【分析】设分数达到及以上的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数未达到的就是等级，根据正态分布的对称性，求得，且满足，把该正态分布转换为标准的正态分布，结合正态分布表，即可求解.
【详解】由题意，考试成绩服从正念分布，其中平均分为，标准差为，
设分数达到及以上的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数未达到的就是等级，
根据题意，可得，，
，，
又由，
所以分，
又由，所以，即，
把该正态分布转换为标准的正态分布，可得，则，
可得，
查标准正态分布表可知，可得，
所以取，
综上所述，等级分数线的划分为：分数大于或等于83分为A等级；
分数大于或等于75分但小于83分为B等级；
分数大于或等于67分但小于75分为C等级；
分数小于67分为D等级.
答案第1页，共2页7.4 二项分布与超几何分布
第七章随机变量及其分布
7.4二项分布与超几何分布
7.4.1二项分布
例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率.
分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数以从二项分布.
解：设“正面朝上”，则.用X表示事件A发生的次数，则.
（1）恰好出现5次正面朝上等价于，于是
；
（2）正面朝上出现的频率在内等价于.于是
.
例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布.
解：设“向右下落”，则“向左下落”，且.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以.于是，X的分布列为
，，1，2，…，10.
X的概率分布图如图所示.
例3甲 乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？
分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
解法1：采用3局2―制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲 乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
.
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
练习
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
（1）求X的分布列；
（2）________，________.
2．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
（1）没有鸡感染病毒的概率；
（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.
3．判断下列表述正确与否，并说明理由：
（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；
（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数.
4．举出两个服从二项分布的随机变量的例子.
7.4.2超几何分布
例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且，，.因此甲被选中的概率
.
例5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，，.X的分布列为
，，1，2，3.
至少有1件不合格的概率为
.
也可以按如下方法求解；
.
例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球 60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：
分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利和试验.摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；上采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布.
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为
，，1，2，…，20.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几件分布，X的分布列为
，，1，2，…，20.
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如7.4-2所示.
表7.4-2
样本中黄球的比例是一个随机变量，根据表7.4-2，计算得
有放回摸球：.
不放回摸球：.
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（如图）看，超几何分布更集中在均值附近.
练习
5．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.
6．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.
7．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.
习题7.4
复习巩固
8．抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.
9．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.
10．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
11．从一副不含大小王的张扑克牌中任意抽出张，求至少有张牌的概率(精确到).
综合运用
12．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：
（1）恰有8次击中目标的概率；
（2）至少有8次击中目标的概率.
13．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).
14．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.
（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.
拓广探索
15．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）分布列见解析；（2）；.
【分析】（1）由已知可得随机变量，根据二项分布的概率，即可求出分布列；
（2）利用二项分布的期望和方差公式，即可求出结论.
【详解】（1）一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，
且每次是否正面朝上是相互独立，所以，
，
所以X的分布列为：
（2）根据（1），
所以.
2．（1）；（2）
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，
没有鸡感染病毒为事件，
则.
（2）恰好有1只鸡感染病毒为事件，
3．(1)表述正确，理由见解析; (2)表述错误，理由见解析.
【分析】（1）每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故符合二项分布的概念；（2）不放回的随机抽取，概率不同，不符合二项分布的概念.
【详解】(1)该表述正确，理由如下:12道四选一的单选题,随机猜结果，则每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故猜对答案的题目数X ~ B (12, 0.25).
(2)该表述错误，理由如下:因为是不放回的随机抽取，所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响，故不能看成独立重复试验，故次品数Y不符合二项分布.
4．例子见解析.
【分析】二项分布应满足如下3个条件：
①在每次试验中只有2种可能的结果，而且两种结果发生与否互相独立；
②相互独立，与其它各次试验结果无关；
③事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变.
从而举出实例即可.
【详解】例（1）：某同学投篮命中率为0.7，他在10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，服从二项分布，；
例（2）：抛硬币，正面向上的概率为0.5，则抛20次，证明向上的次数X是一个随机变量，服从二项分布，；
5．
【分析】先求出无奖券的有20罐，利用对立事件求概率.
【详解】因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐，
从24罐中任意抽取2罐，有种结果，且他们是等可能的，
其中抽取的2罐均无奖券，有种，
所以这2罐中有奖券的概率为：
6．
【分析】总数有种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为，从而得到概率.
【详解】总数有种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为，
则甲班恰有2名同学被选到的概率为.
7．例子见解析.
【分析】超几何分布描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）.根据定义写出例子即可.
【详解】例（1）：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布.
例（2）：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布.
8．均值，方差.
【分析】由题意得随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式，即可求解.
【详解】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立，
所以30次试验中成功次数X服从二项分布，
，
所以在30次试验中次数的均值为，方差为.
9．
【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】设恰好有一次未击中目标为事件，
.
10．（1）；（2）.
【分析】（1）质点回到原点可知质点向右移动3次，向左移动3次，根据二项分布的概率公式，即可求解；
（2）质点位于4的位置可知质点向右移动5次，向左移动1次，根据二项分布的概率公式，即可求解.
【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动6次，且每次移动是相互独立，则.
（1）质点回到原点，则，
，
所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则，
，
所以质点位于4的位置的概率是.
11．
【分析】本题首先可求出任意抽出张有多少种可能事件，然后依次求出有张牌、有张牌、有张牌有多少种可能事件，即可求出至少有张牌的概率.
【详解】从张扑克牌中任意抽出张，共有种可能事件，
从张扑克牌中任意抽出张，有张牌，有中可能事件，
从张扑克牌中任意抽出张，有张牌，有中可能事件，
从张扑克牌中任意抽出张，有张牌，有中可能事件，
故至少有张牌的概率.
12．；（2）.
【分析】（1）由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率．
（2）由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率、恰有9次击中目标的概率、恰有10次击中目标的概率，再把这3个概率相加，即得所求．
【详解】解：（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为 ．
（2）至少有8次击中目标的概率为 ．
13．
【分析】根据超几何分布概率公式，即可求解.
【详解】记中奖为事件，
概率为，
所以中奖的概率为.
14．（1）答案见详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】（1），
，
，
，
所以的分布列如下：


（2），
，
，
.
所以的分布列如下：


15．答案见解析.
【分析】结合二项分布求概率得出随机选10人，治愈人数不超过6人的概率约为0.013，
概率很小，所以可怀疑可不怀疑药厂的宣传.
【详解】由题意知，若此药治疗某种疾病有效率为90%，
则随机选择了10个病人，治愈人数不超过6人的概率为：
，
所以概率非常小，因此治愈人数不超过6人是小概率事件，
在一次试验中几乎不可能发生，然而现在发生了，从这个角度，
就可以怀疑药厂是虚假宣传；
换另一个角度，治愈人数不超过6人是一个随机事件，
在一次试验中可能发生，所以从这个角度看，
也可以不怀疑药厂的宣传.
答案第1页，共2页复习参考题 8
复习参考题 8
复习巩固
1．变量x与y的观测数据的散点图如图所示，据此可以判断变量x与y之间（ ）
A．很可能存在负相关 B．一定存在正相关
C．很可能存在正相关 D．一定不存在负相关
2．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的的假设
C．不满足一元线性回归模型的假设
D．不满足一元线性回归模型的和的假设
3．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
4．下表是1896~2016年男子三级跳远奥运会冠军的成绩，请分析这组数据，能用一元线性回归模型刻画这组数据吗？
年份 成绩/ 年份 成绩/ 年份 成绩/ 年份 成绩/
1896 13.71 1928 15.21 1964 16.85 1992 18.17
1900 14.47 1932 15.72 168 17.39 1996 18.09
1904 14.35 1936 16.00 1972 17.35 2000 17.71
1908 14.92 1948 15.40 1976 17.29 2004 17.79
1912 14.64 1952 16.22 1980 17.35 2008 17.67
1920 14.50 1956 16.35 1984 17.25 2012 17.81
1924 15.53 1960 16.81 1988 17.61 2016 17.86
5．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，请根据数据建立车胎凹槽深度和汽车行驶里程的关系，并解释模型的含义.
行驶里程/万 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15
轮胎凹槽深度/ 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82
6．为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：单位：只
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 75 66 141
服用 112 47 159
合计 187 113 300
依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？如何解释得到的结论？
拓广探索
7．气象部门由每天的最高气温的数据，得到每月最高气温的平均数，简称平均高温.下表是2017年31个城市1月和7月的平均高温数据.
城市 1月平均高温 7月平均高温 城市 1月平均高温 月平均高温
北京 3 32 南京 9 35
成都 12 32 南宁 20 33
重庆 12 36 上海 10 36
福州 17 36 沈阳 31
广州 21 33 石家庄 3 33
贵阳 9 28 太原 3 32
哈尔滨 30 天津 3 33
海口 22 32 乌鲁木齐 32
杭州 11 36 武汉 10 34
合肥 9 35 西安 8 36
呼和浩特 30 西宁 4 27
济南 6 33 银川 2 32
昆明 17 24 长春 29
拉萨 8 23 长沙 11 35
兰州 5 33 郑州 7 34
南昌 13 35
（1）画出并观察各城市月与月的平均高温的散点图，你认为月与月的平均高温有线性趋势吗？描述散点图的特点.
（2）结合地理知识并用统计方法分析表中的数据，解释这两个月平均高温的关系.
答案第1页，共2页8.3 列联表与独立性检验
第八章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
8.3.1 分类变量与列联表
例1 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀．试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异．
解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合．考虑以Ω为样本空间的古典概型．对于Ω中每一名学生，定义分类变量X和Y如下：
我们将所给数据整理成表8.3-2．
表8.3-2 单位：人
表8.3-2是关于分类变量X和Y的抽样数据的列联表：最后一行的前两个数分别是事件和的频数；最后一列的前两个数分别是事件和的频数；中间的四个格中的数是事件的频数；右下角格中的数是样本容量．因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和；
乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和．
我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果，如图8.3-1所示．
图8.3-1
在图8.3-1中，左边的蓝色和红色条的高度分别是甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率；右边的翥色和红色条的高度分别是乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率．通过比较发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率．依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断．也就是说，如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率．因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高．
练习
1．成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”，即教师的名声与学生的水平之间有关联．你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗？
2．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀．试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.
3．根据有关规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．那么：
(1)吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题？
(2)有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟．这种说法对吗？
4．假设在本小节“问题”中，只是随机抽取了44名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表：
单位：人
性别 锻炼 合计
不经常 经常
女生 5 15 20
男生 6 18 24
合计 11 33 44
(1)据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性；
(2)说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因．
8.3.2 独立性检验
例2 依据小概率值的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
解：零假设为：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异．
根据表8.3-2中的数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异．
例3 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好．
解：零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如表8.3-5．
表8.3-5 单位：人
根据列联表中的数据，经计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
例4 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表8.3-6所示．依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险．
表8.3-6 单位：人
解：零假设为：吸烟与患肺癌之间无关联．
根据列联表中的数据经计算得到．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
根据表8.3-6中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为和；
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为和．
由
可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上．于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌．
练习
5．为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示．采用小概率值的独立性检验，能否认为吸烟与患肺癌有关？
单位：人
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者 7775 42 7817
吸烟者 2099 49 2148
合计 9874 91 9965
6．根据同一抽查数据判断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论？为什么？
7．为考查某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性．
附：临界值表：
8．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
单位：人
数学成绩 语文成绩 合计
不优秀 优秀
不优秀 212 61 273
优秀 54 73 127
合计 266 134 400
依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
习题 8.3
复习巩固
9．为什么必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联？
10．为什么独立性检验方法不适用于普查数据？
11．等高堆积条形图在两个分类变量之间关联性的研究中能够起到什么作用？
12．对于已经获取的成对样本观测数据，检验结论“两个变量之间有关联”的实际含义是什么？检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义又是什么？
综合运用
13．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的问题，得到某中学高三年级学生的性别和身高的所有观测数据所对应的列联表如下：
单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 81 16 97
男 28 75 103
合计 109 91 200
请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响．
6．第5题中的身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？
7．从第5题的高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，得到性别和身高变量的样本观测数据所对应的列联表如下：
单位：人
（1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义．
（2）得到的结论与第5题的一致吗？如果不一致，你认为原因是什么．
14．调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：
单位：人
性别 出生时间 合计
晚上 白天
女 24 31 55
男 8 26 34
合计 32 57 89
依据的独立性检验，能否认为性别与出生时间有关联？解释所得结论的实际含义．
拓广探索
15．单位：人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校
乙校
合计
对列联表中的数据，依据的独立性检验，我们已经知道独立性检验的结论是学校和成绩无关．如果表中所有数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
附：临界值表：
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．答案见解析.
【分析】先分析教师的水平与学生的水平成正相关关系，再根据相关关系的定义举例子即.
【详解】成语“名师出高徒”的意思说有名的教师一定能教出高明的徒弟，通常情况下，高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生，所以教师的水平与学生的水平成正相关关系，生活中这样的成语有很多，如龙生龙，凤生凤，老鼠的孩子会打洞、虎父无犬子、心宽体胖等.
2．两校学生数学成绩优秀率之间存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.
【分析】分别求出甲校和乙校所抽取的样本的优秀率，依据频率稳定于概率的原理，用样本情况去估计总体，得到答案.
【详解】甲校抽取的43名学生中有10名数学成绩优秀，所以甲校数学成绩的优秀的频率为，乙校抽取的45名学生中有7名数学成绩优秀，所以乙校数学成绩的优秀的频率为，甲校的频率明显高于乙校的频率，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断，如果从甲校和乙校各随机抽取一名学生，那么甲校学生的数学成绩优秀的概率大于乙校学生的数学成绩优秀的概率，因此，可以认为两校学生数学成绩优秀率之间存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.
3．(1)答案见解析
(2)答案见解析．
【分析】（1）根据概率的定义说明
（2）根据概率的定义说明．
(1)
“吸烟有害健康”的这个警示语只是说明吸烟有可能对健康有害，但不一定会对每位烟民引发健康问题．
(2)
“吸烟不一定引起健康问题”只是说可能对某些人不会引起健康问题，不是说可以吸烟．因此这种说法不对．
4．(1)性别因素不会影响学生锻炼的经常性，理由见解析.
(2)答案见解析.
【分析】（1）由列联表分别求出女生和男生中经常体育锻炼的概率即可判断；
（2）由样本的随机性和样本容量分析即可.
(1)
由列联表可知：女生中经常体育锻炼的概率为，不经常体育锻炼的概率为，
男生中经常体育锻炼的概率为，不经常体育锻炼的概率为，
由于男生和女生经常体育锻炼的概率都为，所以性别因素不会影响学生锻炼的经常性.
(2)
因为样本具有随机性，并且由样本估计总体时，样本容量较小，犯错误概率较大.
5．能认为吸烟与患肺癌有关
【分析】根据已知条件，结合独立性检验公式，求得，即可得出结论.
【详解】解：因为，
所以采用小概率值的独立性检验，能认为吸烟与患肺癌有关.
6．
【解析】略
7．没有的把认为药物对预防疾病有效果.
【分析】计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【详解】，
因此，没有的把认为药物对预防疾病有效果.
8．依据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联
【分析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可得出结论.
【详解】解：因为,
所以依据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联.
9．答案见解析
【分析】根据分类变量的定义以及研究两个分类变量是否有关联的原理即可求解.
【详解】分类变量的取值常用和表示，不是真的取值，是用来分类的，表现为互不相容的类别或属性，而我们讨论的是取值于的分类变量的关键性问题，所以必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联.
10．答案见解析
【分析】根据独立性检验的特点可得出结论.
【详解】独立性检验的结论是一个数学统计量，是用样本估计总体，虽能较为真实地反映出总体的情况，但它与实际问题的确定性是允许存在差异的，
因为它实质上是一种统计关系，而不是一个确定的关系，故独立性检验的方法不适用于普查数据.
11．答案见解析
【分析】分析等高堆积条形图的优点和作用即可.
【详解】能够通过等高堆积条形图给出两个分类变量关联性的直观表示，数形结合更易帮助理解变量的关联性问题.
12．“两个变量之间有关联”的实际含义是“两个变量之间有关系”； “两个变量之间没有关联”的实际含义是“两个变量之间无关系，相互独立”.
【分析】根据独立性检验的概念和基本思想回答即可.
【详解】设事件和事件，发生事件的概率为，发生事件的概率为，
“两个变量之间有关联”的实际含义是“两个变量之间有关系”， 简单说来就是事件的发生或不发生影响事件的发生或不发生，随机变量的值大，对于一个实际测得的，则是比临界值大；
“两个变量之间没有关联”的实际含义是“两个变量之间无关系，相互独立”，简单说来就是事件的发生或不发生并不影响事件的发生或不发生，即，随机变量的值小，对于一个实际测得的，则是比临界值小.
13．见解析
【分析】根据表中数据即可画出列联表的等高堆积条形图，分别求出男生、女生身高低于，不低于的频率，通过比较即可得到结论.
【详解】解：等高堆积条形图如图所示，
女学生身高低于，不低于的频率分别为，，
男学生身高低于，不低于的频率分别为，
通过比较发现，如果从女生、男生中各随机选取一名学生，女生中身高低于的概率大于男生中身高低于的概率，
故高三年级学生的性别和身高有关联，
又，
故女生中身高低于的频率是男生中身高低于的频率的3倍以上，
所以女生身高更容易低于.
14．在犯错的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联.
【分析】根据题目所给的数据，计算，对照参数即可下结论.
【详解】由题意得的观测值为：
，
∴在犯错的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联.
15．答案见解析
【分析】列出数据扩大倍的列联表，计算出的观测值，结合独立性检验的基本思想可出结论.
【详解】数据扩大倍的列联表为：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校
乙校
合计
假设学校与数学成绩无关，
由列联表数据得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，即认为学校与数学成绩有关，
又因为甲校成绩优秀和不优秀的概率分别为，，
乙校成绩优秀和不优秀的概率分别为，，
又因为，所以，从甲校、乙校各抽取一个学生，甲校学生数学成绩优秀的概率比乙校学生优秀的概率大.
所以，结论不一样，不一样的原因在于样本容量，
当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.
答案第1页，共2页7.4 二项分布与超几何分布
第七章随机变量及其分布
7.4二项分布与超几何分布
7.4.1二项分布
例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率.
分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数以从二项分布.
解：设“正面朝上”，则.用X表示事件A发生的次数，则.
（1）恰好出现5次正面朝上等价于，于是
；
（2）正面朝上出现的频率在内等价于.于是
.
例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布.
解：设“向右下落”，则“向左下落”，且.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以.于是，X的分布列为
，，1，2，…，10.
X的概率分布图如图所示.
例3甲 乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？
分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
解法1：采用3局2―制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲 乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
.
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为
.
因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
练习
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
（1）求X的分布列；
（2）________，________.
2．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
（1）没有鸡感染病毒的概率；
（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.
3．判断下列表述正确与否，并说明理由：
（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；
（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数.
4．举出两个服从二项分布的随机变量的例子.
7.4.2超几何分布
例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且，，.因此甲被选中的概率
.
例5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，，.X的分布列为
，，1，2，3.
至少有1件不合格的概率为
.
也可以按如下方法求解；
.
例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球 60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：
分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利和试验.摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；上采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布.
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为
，，1，2，…，20.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几件分布，X的分布列为
，，1，2，…，20.
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如7.4-2所示.
表7.4-2
样本中黄球的比例是一个随机变量，根据表7.4-2，计算得
有放回摸球：.
不放回摸球：.
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（如图）看，超几何分布更集中在均值附近.
练习
5．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.
6．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.
7．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.
习题7.4
复习巩固
8．抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.
9．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.
10．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
11．从一副不含大小王的张扑克牌中任意抽出张，求至少有张牌的概率(精确到).
综合运用
12．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：
（1）恰有8次击中目标的概率；
（2）至少有8次击中目标的概率.
13．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).
14．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.
（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.
拓广探索
15．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传.
答案第1页，共2页6.3 二项式定理
第六章计数原理
6.3二项式定理
6.3.1二项式定理
例1求的展开式.
解：根据二项式定理，
.
例2（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
解：（1）的展开式的第4项是
.
因此，展开式第4理的系数是280.
（2）的展开式的通项是
.
根据题意，得
，
.
因此，的系数是
.
练习
1．写出的展开式.
2．求的展开式的第3项.
3．写出的展开式的第项.
4．的展开式的第6项的系数是
A． B． C． D．
5．在的展开式中，含的项的系数是________.
6.3.2二项式系数的性质
例3求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析：奇数项的二项式系数的和为
，
偶数项的二项式系数的和为
.
由于
中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和.
证明：在展开式
中，令，，则得
.
即
.
因此，
，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习
6．填空题
（1）________；
（2）________.
7．证明：（n是偶数）.
8．写出n从1到10的二项式系数表.
9．若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？
习题6.3
复习巩固
1.选择题
10．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C． D．
11．的展开式中的系数为15，则（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
12．在的展开式中，的系数是__________.
13．用二项式定理展开：
（1）；
（2）.
14．化简：
(1)；
(2).
15．（1）求的展开式的前4项；
（2）求的展开式的第8项；
（3）求的展开式的中间一项；
（4）求的展开式的中间两项.
16．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数.
（1）的含的项；
（2）的常数项.
综合运用
17．证明：
（1）的展开式中常数项是；
（2）的展开式的中间一项是.
18．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
19．用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
拓广探索
20．求证：.
21．如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：
（1）在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化.请你试一试，从推广到（m，）.
（2）请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n次，从二项到m项等，说说数学家是如何发现问题和解决问题的.
答案第1页，共2页6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1．
表6.1-1
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
分析：要完成的事情是“选一个专业”因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．
解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数
．
例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步：选女生．
解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数
．
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成．
解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数
．
（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数
．
练习
1．填空题
（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是________．
2．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为．这种算法有什么问题？
2．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法？
3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”；可以分步完成．
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法：第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理．不同挂法的种数
．
6种挂法如图6.1-2所示．
图6.1-2
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1-9，最多可以给多少个程序模块命名？
分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．
解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为
．
后两个字符从1～9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9．
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是
，
即最多可以给1053个程序模块命名．
例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．
（1）1个字节（8位），最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制型上的数字”．由于每个字节有8个二进制位，每 位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可．
解：（1）用图6.1-3表示1个字节．
图6.1-3
1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是
．
（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符．前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是
．
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763．因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示．
练习
4．某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
5．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？
6．从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？
7．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
8．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图6.1-4，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
图6.1-4
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束．而第1步可由子模块L子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块子模块5中任何一个来完成．因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理．
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为
；
子模块4、子模块5中的子路径条数共为
．
又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为
．
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块．这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为
．
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为
．
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常．那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个模块的次数就变为
．
显然，178与7371的差距是非常大的．
例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成，第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如图6.1-5）．
图6.1-5
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母．
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数．按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类．
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为
．
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类．
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位「有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为
．
同样，其余四个子类号牌也各有240000张．
根据分类加法计数原理；这类号牌张数，共为
．
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1～2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3～5步都是从10个数字中选1个放在相流的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为
，
同样，其余九个子类号牌也各有576000张．
于是，这类号牌张数一共为
．
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为
．
练习
9．乘积展开后共有多少项？
10．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个
11．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式？
12．任意画一条直线，在直线上任取n个分点．
（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？
（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？
习题6.1
复习巩固
13．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种．要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？
14．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
15．如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？
16．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
17．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法
18．（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有多少个？
（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合内取值，y轴上的截距在集合内取值的不同直线共有多少条？
综合运用
19．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
20．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队不同报法的种数是还是？
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？
21．（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）．
22．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？
拓广探索
23．在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？
24．2160有多少个不同的正因数？
答案第1页，共2页7.3 离散型随机变量的数字特征
第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量X服从两点分布．X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平．
解：因为，，
所以．
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8．
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么．
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．
分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．
解：X的分布列为，，2，3，4，5．6．
因此，．
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．
表7.3-3
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，C全部猜对．获得6000元基金，因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列．
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．
，
，
，
．
X的分布列如表7.3-4所示．
表7.3-4
X的均值为
．
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示．
7.3-5
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，．
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，．
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，
，．
采用方案3，
，，．
于是，，
，
．
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．
练习
1．已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
（1）求；
（2）求．
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值．
3．甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为，其分布列分别为：
甲机床次品数的分布列
0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙机床次品数的分布列
0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？
7.3.2 离散型随机变量的方差
例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差．
解：随机变量X的分布列为，，3，4，5，6．
因为，，
所以．
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．
表7.3-9股票A收益的分布列
表7.3-10股票B收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
，
．
因为，所以投资股票A的期望收益较大．
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
，
．
因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
练习
4．已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
求和．
5．若随机变量X满足，其中c为常数，求．
6．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差（精确到1cm）X和Y的分布列如下：
甲班的目测误差分布列
X 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
乙班的目测误差分布列
Y 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．
习题7.3
复习巩固
7．某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1.求每部手机获利的均值和方差．
8．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？
9．随机变量X的分布列为，，，若，求a和b．
10．在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0．
11．证明：．
综合运用
12．有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？
13．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为：
甲品牌的走时误差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能．
拓广探索
14．设，a是不等于的常数，探究X相对于的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）
【分析】（1）根据期望的公式求出即可．
（2）根据期望的性质计算可得；
【详解】解：（1）依题意可得
（2）
2．0
【分析】根据题意，得分，，求出对应的概率，再求出均值．
【详解】根据题意，得分，，
，，
故．
即得分X的均值为0.
3．乙机床更好
【分析】分别求两组数据的期望和方差，比较大小即可得到结论.
【详解】易知，
，乙机床数据的期望较小，即乙级床次品的平均数少；
，
，乙机床数据的方差较小，即乙级床产品更稳定，
所以乙级床更好.
4．,
【分析】先计算出，即可计算出，即可计算，则可计算出.
【详解】由题意知：.
所以.
,.
5．0
【分析】先求出,即可求出.
【详解】因为随机变量X满足，其中c为常数.
所以，
所以.
6．的分布离散程度大，.
【分析】先根据表格数据直观判断的分布哪一个离散程度更大，然后求解出，再根据方差的计算公式分别求解出并验验证判断即可.
【详解】因为，
，
所以，
，
因为，所以的分布离散程度大，所以判断合理.
7．30；14100
【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的概念可直接求解.
【详解】每部手机获利的均值为，
每部手机获利的方差为
.
8．2元
【分析】求出1张彩票可能中奖金额的分布列，再求均值．
【详解】由题意，设表示1张彩票中奖的金额，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 2 10 50 100 1000
0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
，
即1张彩票可能中奖金额的均值是2元．
9．0.6；0.2
【分析】根据概率之和为1及期望列出方程求解即可.
【详解】由题意知，，
解得
即a和b分别为.
10．选对赋予3分，选错赋予-1分（答案不唯一）
【分析】根据随机变量的均值概念列出方程，然后解方程即可.
【详解】设选对赋予分，选错赋予分，则有，取，则，即选对赋予3分，选错赋予-1分即可.
11．证明见解析
【分析】由离散型随机变量分布列得到均值性质，然后证明结果.
【详解】证明：设离散型随机变量X的分布列为：
… …
… …
设（a，b为常数），则Y也是离散型随机变量，Y的分布列为：
Y … …
… …
由均值的性质可得，
12．先猜谜A
【分析】分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策；
【详解】解：如果他先猜谜A，那么他将有的概率得0元，有概率得10元，
有概率得30元，此时，他的奖金期望是；
如果他先猜谜B，那么他的奖金期望是．
因为，所以他最好先猜谜A，
13．甲的质量更稳定
【分析】由分布列可得，进而可得和，比较其大小可得答案．
【详解】由题意可得，
同理可得，
故可得
由于，故甲的质量更稳定些，
14．X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.
【分析】由方差的公式结合作差法比较大小即可.
【详解】设取的概率为，
又，所以X相对于的偏离程度为，
X相对于a的偏离程度为，
又因为，，，
所以
，
，即X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，
结论的意义：X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.
答案第1页，共2页8.1 成对数据的统计相关性
第八章 成对数据的统计分析
8.1 成对数据的统计相关性
8.1.1 变量的相关关系
练习
1．举例说明什么叫相关关系．相关关系与函数关系有什么区别？
2．根据下面的散点图，判断图中的两个变量是否存在相关关系．
3．下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
地区 A B C D E F G H I J K
海拔/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549
鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15
8.1.2 样本相关系数
例1 根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，判断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并刻画它们的相关程度．
解：先画出散点图（图8.1-1）．观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此判断脂肪含量和年龄线性相关．
根据样本相关系数的定义，
．①
利用计算工具计算可得
，，，
，．
代入①式，得
．
图8.1-1
由样本相关系数，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
例2 有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额的10年数据，如表8.1-2所示．
表8.1-2
画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．
解：画出成对样本数据的散点图（图8.1-6），从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
由样本数据计算得样本相关系数．由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强．
图8.1-6
例3 在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表8.1-3所示．
体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？
解：根据样本数据分别画出体重与身高、臂展与身高的散点图（图8.1-7（1）和（2）），两个散点图都呈现出线性相关的特征．
（1） （2）
图8.1-7
通过计算得到体重与身看、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78，都为正线性相关．其中，臂展与身高的相关程度更高．
练习
4．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系？为什么？
5．已知变量x和变量y的3对随机观测数据，，，计算两个变量的样本相关系数．能据此推出这两个变量线性相关吗？为什么？
6．画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数．据此，请你谈谈样本相关系数在刻画两个变量间相关关系上的特点．
（1），，，，，；
（2），，，，；
（3）（-2，-8），（-1，—1），（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）；
（4），，，，．
7．随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
超市 A B C D E F G
广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20
销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54
请判断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征．
习题 8.1
复习巩固
8．在以下4幅散点图中，判断哪些图中的y和x之间存在相关关系？其中哪些正相关，哪些负相关？哪些图所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系？哪些图所对应的成对样本数据呈现出非线性相关关系．
综合运用
9．随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下：
航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
航班正点率/% 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5
顾客投诉/次 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125
顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？
10．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x/cm 1 1.2 1.4 1. 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 3.0
F/N 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 6.74 7.40 8.54 9.24
两个变量的样本相关系数是否为1？请你解释其中的原因．
拓广探索
11．某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍．有人发现了一个有趣的现象，该地区有5个村庄，其中3个村庄附近栖息的天鹅较多，婴儿出生率也较高；2个村庄附近栖息的天鹅较少，婴儿的出生率也较低．有人认为婴儿出生率和天鹅数之间存在相关关系，并得出一个结论：天鹅能够带来孩子，你同意这个结论吗？为什么？
答案第1页，共2页复习参考题6
复习参考题6
复习巩固
1．乘积展开后，共有________项；
2．学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是________；
3．安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________；
4．5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是________；
5．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；
6．正十二边形的对角线的条数是________；
7．的展开式中，系数最大的项是第________项．
8．一个集合有5个元素．
（1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？
（2）这个集合的子集共有多少个？
9．已知，那么________；
10．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________；
11．某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是________；
12．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________；
13．在的展开式中，各项系数的和是________．
14．（1）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？
（2）空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？
综合运用
15．（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项；
（2）求的展开式的常数项；
（3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
（4）求的展开式中的系数；
（5）求的展开式中的系数．
16．用二项式定理证明能被8整除．（提示：．）
17．（1）平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？
（2）空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？
18．某种产品的加工需要经过5道工序．
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
拓广探索
19．在的展开式中，含项的系数是多少？
20．你能构造一个实际背景，对等式的意义作出解释吗？
答案第1页，共2页6.2 排列与组合
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列．
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
．
例2 （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列．
解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
．
（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为
．
练习
1．写出：（1）用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
（2）从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列.
2．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？
3．（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？
（2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序.
6.2.2 排列数
例3 计算：（1）；（2）；（3）； （4）．
解：根据排列数公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例4 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两百位十位个位步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法（图6.2-5）．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
．
图6.2-5
解法2：如图6.2-6，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法．
图6.2-6
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
．
解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
．
练习
4．先计算，然后用计算工具检验
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．求证：（1）；
（2）.
6．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？
6.2.3 组合
例5 平面内有A，B，C，D共4个点．
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它布的顺序，是组合问题．
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点．以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为
．
这12条有向线段分别数
，，，，，，，，，，，．
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相向、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
，，，，，．
练习
7．甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
8．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
9．现有1，3，7，13这4个数.
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？
6.2.4 组合数
例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：根据组合数公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次．品的抽法有多少种？
分析：（1）从100件产品中任意拈出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从100件产品抽出的3件中至少看1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为
；
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
．
（3）方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类力口法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
．
方法2 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
．
练习
10．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
11．求证：.
12．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法.
习题 6.2
复习巩固
13．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；
（2）.
14．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
15．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
16．填空题.
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________；
（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是________；
（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是________；
（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是________.
17．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
18．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？
19．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法.
综合运用
20．求证：（1）；
（2）.
21．学校要安排一场文艺晚会的个节目的演出顺序.除第个节目和最后个节目已确定外，个音乐节目要求排在第的位置，个舞蹈节目要求排在第的位置，个曲艺节目要求排在第的位置，有多少种不同的排法？
22．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.
（1）每个小组的代表队有多少种选法？
（2）如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？
（3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
23．一个有个数的数值方阵，最上面一行中有n个互不相同的数.能否由这n个数以不同的顺序形成其余的每一行，并使任意两行的顺序都不相同？如果一个数阵有m行，而且每行有n个互不相同的数，为使每一行都不重复，m可以取多大的值？
24．（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.
25．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
26．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.
（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
27．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验.
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
拓广探索
28．根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从1~37这37个数中选取7个数.如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖.
（1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？
（2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？
29．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？
30．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.现有一个人的“群”，其中人在平台上发了一条信息，“群”里有人能看到，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？
31．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43；（2）ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.
【分析】（1）根据题目要求直接写出即可，注意不要漏解；
（2）按照字母顺序，逐一写出符合题意的排列即可.
【详解】（1）10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43.
（2）ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.
2．有24种轮流次序.
【分析】根据全排列直接进行计算即可求得结果.
【详解】将4个班进行全排列，即.
答：有24种轮流次序.
3．（1）60；（2）一共18种，具体见解析.
【分析】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列；
（2）分三种情况，进行3场比赛，进行4场比赛，进行5场比赛.
【详解】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列，则前三场单打比赛的顺序有种；
（2）若进行3场比赛，出场顺序有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”共6种；
若进行4场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲，甲丙乙甲，乙甲丙乙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙乙甲丙” 共6种；
若进行5场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲乙，甲丙乙甲丙，乙甲丙乙甲，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙乙甲丙乙” 共6种；
则甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序有18种.
4．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】根据排列数的计算公式直接计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据排列数的计算公式先化简右式，然后即可证明等式成立；
（2）将左式每一项都变形为阶乘的形式，然后进行化简计算并与右式比较，由此证明等式成立.
【详解】（1）右式左式，
故等式成立；
（2）左式右式，
故等式成立.
6．1680
【分析】根据题意，分析得到共有种不同的停放方法，接着计算组合数即可.
【详解】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，
现要停放4列不同的火车，则有种不同的停放方法.
7．（1）甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁；（2）甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，乙甲，丙甲，丁甲，丙乙，丁乙，丁丙．
【分析】（1）所有有各场比赛的双方是组合问题，列举即可；
（2）所有冠、亚军的可能情况是排列问题，列举即可．
【详解】（1）所有各场比赛的双方有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种；
（2）所有冠、亚军的可能情况有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，乙甲，丙甲，丁甲，丙乙，丁乙，丁丙，共12种．
8．
【分析】根据题意列出所有的以A，B，C，D其中任意3个点为顶点构成的三角形.
【详解】因为平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，
所以其中任意3个点为顶点构成的三角形有共4个.
9．（1）6；（2）10
【分析】（1）任取2个相加是组合问题，列举即可得结果；
（2）任取2个相减是排列问题，注意重复数字，列举即可求得结果．
【详解】（1）从这4个数中任取2个相加有：
，共有6个不相等的和；
（2）从这4个数中任取2个相减有：
，可以得到有10个不相等的差．
10．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】根据组合数的计算公式直接求解出结果.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
11．证明见详解.
【分析】根据组合数公式进行整理化简即可.
【详解】证明：因为，
所以，
所以得证.
12．（1）20；（2）12；（3）16
【分析】（1）根据6选3组和方式计算即可；
（2）先从物理和化学选1门，再从剩下4门中选2门，分步相乘即可；
（3）分为物理和化学恰有1门被选和物理和化学都被选两种情况求解.
【详解】（1）从6门成绩中选3门成绩共有种不同的选法；
（2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有种不同的选法；
（3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有种不同的选法.
13．（1）（2）
【分析】根据排列数公式计算可得；
【详解】解：（1）
（2）
14．（1）455；（2）1313400；（3）；（4）；
【分析】根据组合数公式及组合数的性质进行计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
15．种
【分析】利用分类加法计数原理以及组合数的思想求解出可组成的币值的种数.
【详解】因为四张人民币的面值不同，且组成的面值与顺序无关，
所以可分为以下四类面值：
由一张人民币组成：币值种数，
由两张人民币组成：币值种数，
由三张人民币组成：币值种数，
由四张人民币组成：币值种数，
所以可组成种币值.
16． 10 60
【分析】根据排列组合的定义，分步乘法计数原理分别求出对应的安排方法种数.
【详解】（1）5人中确定3人去参观，由组合的定义知，共有种.
（2）从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，由排列定义知，共有种.
（3） 每一个工人都有3种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种.
（4）从集合A的m个元素取1个元素，有m种，从集合B的n个元素取1个元素，有n种，根据分步计数原理，可知两个集合中各取1个元素，一共有种．
故答案为：10；60；；
17．（1）（2）
【分析】（1）根据题意，由排列数公式计算可得答案；
（2）根据题意，先分别计算化学、数学、物理书的排法，再由捆绑法分析三种书的排法，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，共有本书，所以从中选出6本放在书架上，
共有种选法；
（2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，
则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法，
3种书共有种排法，
共有种放法．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据“三个不共线的点确定一个平面”，结合组合数进行分析；
（2）根据“四个不共面的点确定一个四面体”，结合组合数进行分析.
【详解】（1）根据“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面个数是个；
（2）根据“四个不共面的点确定一个四面体”，且所确定的四面体与点的顺序无关，
所以共可确定的四面体个数是：个.
19．种.
【分析】利用分步乘法计数原理以及组合的思想求解出选法的总数.
【详解】第一步选做第1题：选法有种，
第二步选做第2题：选法有种，
第三步选做第3题：选法有种，
所以一共有：种选法.
20．见详解.
【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；
（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.
【详解】（1）左边
右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，
左边
右边，
∴结论成立，即.
21．.
【分析】根据分步乘法计数原理以及排列数的思想计算出不同排法的种数.
【详解】第一步排音乐节目：有种排法；
第二步排舞蹈节目：有种排法；
第三步排曲艺节目：有种排法；
所以共有种排法.
22．（1）495；（2）1980；（3）11880.
【分析】（1）利用组合知识，直接从12名同学中选4名同学即可；
（2）先选出队长，再选出3名队员，结合分步计数原理可求结果；
（3）利用排列知识，从12名同学中选4名同学担任不同的辩手即可.
【详解】（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队，共有种选法.
（2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有种选法；再选出3名队员，有种选法，故共有选法.
（3）由题意从12名同学中选4名同学担任不同的辩手，有种不同选法.
23．能；最大可取.
【分析】先分析个元素排成一行时的排法总数，将排法总数与比较大小即可进行判断；若要不重复，则所取得最大值即为个元素排成一行时的排法总数.
【详解】因为个元素排成一行时的排法总数有种，而，
所以由个不同的数值能以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同；
为使每一行都不重复，可取的最大值为.
24．（1）1224；（2）1440.
【分析】（1）分别得到从0，2，4，6中任取3个数字和从1，3，5中任取2个数字的种数，然后全排列，再减去首位是零种数即可；
（2）由比5000000大，则必须是七位数，且首位是5或6求解；
【详解】（1）从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种，
五个数全排列有种，其中首位是零的有种，
所以一共可组成个没有重复数字的五位数；
（2）若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6，
所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.
25．（1）60；（2）21；（3）91；（4）120
【分析】（1）根据要求直接选取即可；
（2）在剩下的7人中任选2人即可；
（3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人；
（4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.
【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
26．（1）63；（2）31
【分析】（1）对于去几人进行分类讨论，最后根据加法计数原理求解即可；（2）对甲和乙两位同学要么都去，要么都不去进行分类讨论，分别计算去法种数，最后相加即可.
【详解】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，
去1人时，有种去法；去2人时，有种去法；
去3人时，有种去法；去4人时，有种去法；
去5人时，有种去法；去6人时，有种去法；
根据分类计数原理得：共有种去法；
（2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，
则有种去法；
当甲和乙两位同学都不去，则有种去法；
根据分类计数原理得：共有种去法；
27．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）易得抽出的产品都是合格品的抽法有种；
（2）可得需从3件次品抽2件，从97件合格品中抽3件；
（3）可得抽出的产品中至少有2件是次品包括2件次品和3件次品；
（4）可得抽出的产品中至多有2件是次品包括没有次品、1件次品和2件次品.
【详解】（1）100件产品中有97件合格品，则抽出的产品都是合格品的抽法有种；
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有种；
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有种；
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有种.
28．（1）；（2）
【分析】（1）根据组合数公式计算可得；
（2）根据组合数公式求出中一等奖的概率，即可判断；
【详解】解：（1）根据某个福利彩票方案，在1至37这37个数字中，选取7个数字，
如果选出的7个数字与开出的7个数字一样（不管排列顺序）即得一等奖，
注彩票可有一个一等奖．
（2），，
则在37个数中取6个数，中一等奖的概率为
在37个数中取5个数，中一等奖的概率为
如果要将一等奖的机会提高到以上且不超过，
可在37个数中取6个数．
29．
【分析】先排I，II，III最后排IV，由此求得不同着色方法数．
【详解】先排I，II，III共有种，IV有种
不同的着色方法数有种．
30．
【分析】根据题设分析“群”里面与发信息的人是好友的人数以及不是好友的人数，再利用组合数求解出“好友”关系的情况可能的种数.
【详解】由题意可知：人中有人与发信息的人是好友，人与发信息的人不是好友，
所以关系的情况可能种数为：种，
故“好友”关系的情况可能有种.
31．54
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故5人的名次排列可能有54种不同情况．
答案第1页，共2页7.5 正态分布
第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．
分析：（1）正态分布由参数和完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计．（3）这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则：在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小？作出判断．
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2．用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到
；．
（2）X和Y的分布密度曲线如图7.5-7所示．
图7.5-7
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．由图7.5-7可知，
，．
所以，如果有可用；那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车．
练习
1．设随机变量，则X的密度函数为________，________，________，________，________．（精确到0.0001．）
2．设随机变量，随机变量，画出分布密度曲线草图，并指出与的关系，以及与之间的大小关系．
3．举出两个服从正态分布的随机变量的例子．
习题 7.5
复习巩固
3．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩．
4．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：
（1）；
（2）；
（3）．
5．若，则X位于区域内的概率是多少？
综合运用
6．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据正态分布曲线的对称性和原则，即可求解.
【详解】由题意，机变量，则的密度函数为，
因为，
根据正态分布曲线的对称性，可得，，
，
2．图见解析；；.
【分析】根据正态分布的运算的几何意义结合图形求解即可.
【详解】关于轴对称
.:
∵越大，钟型越扁平
∴
3．女生的平均成绩高于男生的平均成绩；男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中.
【分析】根据男生成绩X服从，女生成绩Y服从，结合正态分布中和的值的大小关系，即可得到结论.
【详解】由题意知男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布，
因为，所以女生的平均成绩高于男生的平均成绩；
又由，所以男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中.
4．(1)0.6827 (2)0.15865 (3)0.15865.
【分析】利用正态分布的计算公式结合对称性求解即可.
【详解】由题可得:身高X作为变量符合均值为的正态分布
(1)
(2)
(3).
5．.
【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合原则，即可求解.
【详解】由题意，随机变量，可得,
根据正态分布曲线的对称性，
可得.
故答案为：.
6．95.45%
【分析】根据正态分布的计算公式求解即可.
【详解】由题意可知，可设误差为，则的，,
故合格率约为95.45%.
答案第1页，共2页6.3 二项式定理
第六章计数原理
6.3二项式定理
6.3.1二项式定理
例1求的展开式.
解：根据二项式定理，
.
例2（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
解：（1）的展开式的第4项是
.
因此，展开式第4理的系数是280.
（2）的展开式的通项是
.
根据题意，得
，
.
因此，的系数是
.
练习
1．写出的展开式.
2．求的展开式的第3项.
3．写出的展开式的第项.
4．的展开式的第6项的系数是
A． B． C． D．
5．在的展开式中，含的项的系数是________.
6.3.2二项式系数的性质
例3求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析：奇数项的二项式系数的和为
，
偶数项的二项式系数的和为
.
由于
中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和.
证明：在展开式
中，令，，则得
.
即
.
因此，
，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习
6．填空题
（1）________；
（2）________.
7．证明：（n是偶数）.
8．写出n从1到10的二项式系数表.
9．若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？
习题6.3
复习巩固
1.选择题
10．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C． D．
11．的展开式中的系数为15，则（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
12．在的展开式中，的系数是__________.
13．用二项式定理展开：
（1）；
（2）.
14．化简：
(1)；
(2).
15．（1）求的展开式的前4项；
（2）求的展开式的第8项；
（3）求的展开式的中间一项；
（4）求的展开式的中间两项.
16．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数.
（1）的含的项；
（2）的常数项.
综合运用
17．证明：
（1）的展开式中常数项是；
（2）的展开式的中间一项是.
18．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
19．用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
拓广探索
20．求证：.
21．如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：
（1）在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化.请你试一试，从推广到（m，）.
（2）请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n次，从二项到m项等，说说数学家是如何发现问题和解决问题的.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】直接根据二项式定理展开即可；
【详解】解：
2．
【分析】利用二项式展开式的通项公式代入即可.
【详解】的展开式的第项为
当时，
3．
【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，
，
即展开式的第项为
4．C
【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.
【详解】由题得，
令r=5,所以，
所以的展开式的第6项的系数是.
故选C
【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．-15.
【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案.
【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,
所以含的项为.
所以展开式中，含的项的系数是-15.
6． 1024
【分析】根据组合数的性质计算即可.
【详解】（1）由组合数的性质可得；
（2）由组合数的性质知，，
，
所以.
故答案为：1024；
7．证明见解析
【分析】由分别令和可得.
【详解】，
令，得，
令，得，
两式相加得，
.
8．见解析
【分析】利用二项式定理求解即可
【详解】解：n从1到10的二项式系数表：
9．
【分析】根据子集的定义、元素与集合之间的关系和分步计数原理即可得出答案.
【详解】对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原理，集合中的n个元素在子集中的情况共有种，故这个集合共有个子集.
10．D
【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，
【详解】因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是的系数是，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，
11．B
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得的系数，再根据的系数为15，求得的值．
【详解】的展开式中，的系数为，
，
故选：B
12．0
【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果.
【详解】，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
令，得，，
因此，的系数为.
故答案为：0.
【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题.
13．答案见解析；
【分析】利用二项式定理，即可得出结论．
【详解】解：（1）
（2）
．
14．(1)
(2)
【分析】（1）由二项式定理可化简；
（2）由二项式定理可化简.
(1)
；
(2)
.
15．（1）、、、；（2）；（3）；（4）和
【分析】利用展开式的第为，计算即可得出答案.
【详解】（1）的展开式的第项为.
所以，，，.
（2）的展开式的第项为
当时，
（3）的展开式的第项为，展开式共有13项.
其中间一项为第7项.
当时，.
（4）的展开式的第项为，展开式共有16项.其中间两项为第8、第9项.
当时，
当时，
16．（1）；（2）.
【分析】（1）先求解通项公式，令可得含的项，进而可得其系数；
（2）先求解通项公式，令的指数为0，可求常数项.
【详解】（1）的展开式的通项公式为，
令，可得，即含的项的系数为.
（2）的通项公式为，
令，得，即常数项为.
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先写出展开式的通项公式并确定出常数项，然后将组合数改写为阶乘的形式并化简，由此完成证明；
（2）先写出展开式的通项公式并确定出中间项，然后将组合数改写为阶乘的形式并化简，由此完成证明.
【详解】（1）展开式的通项为，
令，所以常数项为，
又
，
所以的展开式中常数项是，故得证.；
（2）展开式的通项为，
中间项对应的，所以中间项为，
又
，
所以的展开式中间一项是，故得证.
18．120
【分析】由题可得，解得即可求解.
【详解】由题意可知，由二项式系数的性质可得，
故这两项的二项式系数为.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）通过二项式展开可证明；
（2）由通过二项式展开可证明.
【详解】（1），
上式中的每一项都可以被整除，故能被整除；
（2）
，
上式中的每一项都可以被整除，故能被1000整除.
20．证明见解析.
【分析】利用二项式定理直接证明.
【详解】左边=
=1=右边.
即证.
21．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据二项展开式，令求解；
（2）由（1）得到从二项到m项的过程谈谈.
【详解】（1）由，
令，
所以，
.
（2）由（1）知：发现问题：通过简单的发现还有延伸的可能性；
解决问题：不懈的努力以及由简单推及复杂的技巧.
答案第1页，共2页6.2 排列与组合
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列．
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
．
例2 （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列．
解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
．
（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为
．
练习
1．写出：（1）用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
（2）从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列.
2．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？
3．（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？
（2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序.
6.2.2 排列数
例3 计算：（1）；（2）；（3）； （4）．
解：根据排列数公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例4 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两百位十位个位步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法（图6.2-5）．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
．
图6.2-5
解法2：如图6.2-6，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法．
图6.2-6
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
．
解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
．
练习
4．先计算，然后用计算工具检验
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．求证：（1）；
（2）.
6．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？
6.2.3 组合
例5 平面内有A，B，C，D共4个点．
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它布的顺序，是组合问题．
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点．以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为
．
这12条有向线段分别数
，，，，，，，，，，，．
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相向、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
，，，，，．
练习
7．甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
8．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
9．现有1，3，7，13这4个数.
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？
6.2.4 组合数
例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：根据组合数公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次．品的抽法有多少种？
分析：（1）从100件产品中任意拈出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从100件产品抽出的3件中至少看1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为
；
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
．
（3）方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类力口法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
．
方法2 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
．
练习
10．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
11．求证：.
12．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法.
习题 6.2
复习巩固
13．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；
（2）.
14．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
15．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
16．填空题.
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________；
（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是________；
（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是________；
（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是________.
17．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
18．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？
19．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法.
综合运用
20．求证：（1）；
（2）.
21．学校要安排一场文艺晚会的个节目的演出顺序.除第个节目和最后个节目已确定外，个音乐节目要求排在第的位置，个舞蹈节目要求排在第的位置，个曲艺节目要求排在第的位置，有多少种不同的排法？
22．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.
（1）每个小组的代表队有多少种选法？
（2）如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？
（3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？
23．一个有个数的数值方阵，最上面一行中有n个互不相同的数.能否由这n个数以不同的顺序形成其余的每一行，并使任意两行的顺序都不相同？如果一个数阵有m行，而且每行有n个互不相同的数，为使每一行都不重复，m可以取多大的值？
24．（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.
25．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
26．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.
（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
27．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验.
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
拓广探索
28．根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从1~37这37个数中选取7个数.如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖.
（1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？
（2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？
29．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？
30．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.现有一个人的“群”，其中人在平台上发了一条信息，“群”里有人能看到，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？
31．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？答案第1页，共2页7.1 条件概率与全概率公式
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：
（1）第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”.
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即
.
因为，所以
.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.显然.利用条件概率公式，得
.
解法2：在缩小的样本空间A上求.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
.
又，利用乘法公式可得
.
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖：利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，.
；
；
.
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解.
解：（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设“最后1位密码为偶数”，则
.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
练习
1．设，且，.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和的值再由条件概率公式进行验证.
2．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.
3．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；
（2）两次都摸到白球的概率.
7.1.2 全概率公式
例4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得
，，.
由全概率公式，得
.
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第式 =1，2，3）台车床加工的概率.
分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.如果设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），如图7.1-3，那么可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
图7.1-3
解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第i台车床加工”（，2，3），则，且，，两两互斥.根据题意得
，，，
，.
（1）由全概率公式，替
.
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i（，2，3）合车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率.
.
类似地，可得
，.
例6 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
分析：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示.
图7.1-4
解：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”.由题意得
，，，
，.
（1）；
.
（2）.
练习
4．现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率.
5．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.
（1）求这件产品是合格品的概率；
（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.
习题 7.1
复习巩固
6．为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.
男 女 合计
色盲 60 2 62
非色盲 1140 798 1938
合计 1200 800 2000
从这2000人中随机选择1个人.
（1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率；
（2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.
7．从人群中随机选出1人，设“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断和的大小，并说明理由.
8．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.
9．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.
10．在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率.
11．已知，，，证明：.
综合运用
12．一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.
13．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？
14．证明条件概率的性质（1）和（2）.
拓广探索
15．证明：当时，.据此你能发现计算的公式吗？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．,
【分析】由事件包含关系的意义及条件概率的意义直接写结果，再用条件概率的公式验证.
【详解】因为，且，，则发生一定发生，
所以,，
又因为，由条件概率公式得：
,.
2．
【分析】设第一次抽到的事件为，第2次抽到的事件为，则第一次和第二次都抽到事件的事件为，求出，，由此利用条件概率计算公式能求出第1次抽到，第2次也抽到的概率．
【详解】设第一次抽到的事件为，第2次抽到的事件为，
则第一次和第二次都抽到事件的事件为，
在第一次抽到的条件下，扑克牌仅剩下51张牌，其中有3张，
，，
第1次抽到，第2次也抽到的概率为：
．
3．(1)；(2).
【分析】(1)设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；
(2)先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率.
【详解】(1)设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求，
因为 ， ，
所以,
即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 .
(2)因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为.
4．
【分析】记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题，
则，，，，
由全概率公式可得.
5．（1）；（2）.
【分析】（1）直接求解即可；
（2）根据条件概率公式计算即可.
【详解】（1）求这件产品是合格品的概率为
（2）设{取到的是合格品}，{产品来自第批}，
则，
则，
根据公式得：
.
6．（1）；（2）.
【分析】根据条件概率直接求解即可.
【详解】（1）记“选到男生”为事件，则，
记“选到既是男生又是色盲” 为事件，则，
所以在选到是男生的条件下，选到色盲的概率为；
（2）记“选到为色盲”为事件，则，
则在选到色盲的条件下，选到男生的概率是.
7．
【分析】根据事件之间的包含关系即可解答.
【详解】由题可知：
事件“选出的人患有心脏病”，
事件“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，
显然事件包含事件，
所以，
当且仅当时取等号（即选出的人患有心脏病且都大于50岁）.
8．0.75
【分析】先求目标至少被命中1次的概率，然后根据条件概率公式即可求得.
【详解】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为，
又因为甲命中目标的概率为，
所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率.
9．
【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.
【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
故从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，
故从乙箱中摸到红球的概率为；
综上所述：摸到红球的概率为.
10．（1）；（2）.
【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
；
（2）由条件概率公式可得.
11．证明见解析.
【分析】根据得到，然后利用条件概率公式直接就可证明.
【详解】因为，，所以，即 ,
所以，即.
12．
【分析】先求抽检第1件产品不合格的概率，再求抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率，两个概率之和即为所求概率.
【详解】抽检第1件产品不合格的概率为，
抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为，
所以这批产品被拒绝的概率为.
13．
【分析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，
则，，.
在子二代中任取颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为.
综上所述，
.
因此，子三代中基因型为的概率是.
14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】结合条件概率的概念和概率的性质进行证明即可.
【详解】性质（1）：因为，所以；
性质（2）因为和是两个互斥事件，所以和是两个互斥事件，
所以
.
15．证明见解析；.
【分析】由条件概率公式即可得到.
【详解】因为，
所以；
所以.
答案第1页，共2页7.2 离散型随机变量及其分布列
第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求X的分布列.
解：根据X的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，X的分布列为
，.
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果，则，那么X的分布列如表7.2-3所示.
表7.2-3
例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.
表7.2-4
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及.
解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表7.2-5所示.
表7.2-5
.
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2，根据古典概型的知识，可得X的分布列为
，，.
用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示.
表7.2-6
练习
1．举出两个离散型随机变量的例子．
2．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）抛掷2枚骰子，所得点数之和；
（2）某足球队在5次点球中射进的球数；
（3）任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．
3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．
4．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．
习题 7.2
复习巩固
5．张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．
（1）写出随机试验的样本空间；
（2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．
6．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.15 0.45
试说明该同学的计算结果是否正确．
7．在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
8．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为：
X 6 7 8 9 10
P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？
综合运用
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
10．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；
（2）李明在一年内领到资格证书的概率．
答案第1页，共2页8.1 成对数据的统计相关性
第八章 成对数据的统计分析
8.1 成对数据的统计相关性
8.1.1 变量的相关关系
练习
1．举例说明什么叫相关关系．相关关系与函数关系有什么区别？
2．根据下面的散点图，判断图中的两个变量是否存在相关关系．
3．下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
地区 A B C D E F G H I J K
海拔/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549
鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15
8.1.2 样本相关系数
例1 根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，判断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并刻画它们的相关程度．
解：先画出散点图（图8.1-1）．观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此判断脂肪含量和年龄线性相关．
根据样本相关系数的定义，
．①
利用计算工具计算可得
，，，
，．
代入①式，得
．
图8.1-1
由样本相关系数，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
例2 有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额的10年数据，如表8.1-2所示．
表8.1-2
画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．
解：画出成对样本数据的散点图（图8.1-6），从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
由样本数据计算得样本相关系数．由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强．
图8.1-6
例3 在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表8.1-3所示．
体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？
解：根据样本数据分别画出体重与身高、臂展与身高的散点图（图8.1-7（1）和（2）），两个散点图都呈现出线性相关的特征．
（1） （2）
图8.1-7
通过计算得到体重与身看、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78，都为正线性相关．其中，臂展与身高的相关程度更高．
练习
4．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系？为什么？
5．已知变量x和变量y的3对随机观测数据，，，计算两个变量的样本相关系数．能据此推出这两个变量线性相关吗？为什么？
6．画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数．据此，请你谈谈样本相关系数在刻画两个变量间相关关系上的特点．
（1），，，，，；
（2），，，，；
（3）（-2，-8），（-1，—1），（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）；
（4），，，，．
7．随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
超市 A B C D E F G
广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20
销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54
请判断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征．
习题 8.1
复习巩固
8．在以下4幅散点图中，判断哪些图中的y和x之间存在相关关系？其中哪些正相关，哪些负相关？哪些图所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系？哪些图所对应的成对样本数据呈现出非线性相关关系．
综合运用
9．随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下：
航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
航班正点率/% 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5
顾客投诉/次 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125
顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？
10．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x/cm 1 1.2 1.4 1. 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 3.0
F/N 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 6.74 7.40 8.54 9.24
两个变量的样本相关系数是否为1？请你解释其中的原因．
拓广探索
11．某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍．有人发现了一个有趣的现象，该地区有5个村庄，其中3个村庄附近栖息的天鹅较多，婴儿出生率也较高；2个村庄附近栖息的天鹅较少，婴儿的出生率也较低．有人认为婴儿出生率和天鹅数之间存在相关关系，并得出一个结论：天鹅能够带来孩子，你同意这个结论吗？为什么？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．答案见解析
【分析】根据相关关系和函数关系概念即可说明.
【详解】相关关系：当自变量取值一定，因变量的取值带有一定的随机性(非确定性关系)，
函数关系：函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的.
相同点:均是指两个变量的关系.
不同点:函数关系是一种确定的关系，因果关系;而相关关系是一种非确定性关系，也可能是伴随关系.
举例：身高与体重是相关关系，身高越高体重不一定大.
2．(1) 存在相关关系;(2) 存在相关关系;(3)不存在相关关系；(3)存在相关关系;
【分析】根据散点图中散点呈现的变化趋势依次判断两个变量间的相关关系即可.
【详解】（1）由（1）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图像呈现左上右下趋势，说明两个变量呈负线性相关关系；
（2）由（2）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系；
（3）由（3）的散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或者曲线附近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系；
（4）由（4）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，图像呈现左下右上趋势，说明两个变量呈正线性相关关系；
3．存在正相关，相关性较强.
【分析】由表中数据计算相关系数即可得出结果.
【详解】设鸟的种类数为，海拔高度为，
，
，
，
当时，且时，两变量正相关，相关性较强.
所以由数据可知，鸟类的种数随海拔高度增加而增加，
两者呈正相关，相关性较强.
4．不一定，原因见详解；
【分析】根据由简单随机抽样得到的成对样本数据具有随机性进行具体的分析即可.
【详解】因为由简单随机抽样得到的成对样本数据具有随机性，由此得到的到样本相关系数也具有一般性，因此由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系.
5．，线性相关，因为
【分析】计算相关系数即可得出结果.
【详解】，，
则相关系数
，即，
的绝对值越接近相关性越强，的绝对值越接近相关性越弱，
所以两个变量线性相关，
6．（1）图见解析；；（2）图见解析；；（3）图见解析；；（4）图见解析；；越接近1，样本的相关性越强，越接近0，相关性越弱.
【分析】根据每组的数据画出散点图，并根据相关系数公式计算相关系数；并由相关系数的大小，来判断样本数据变量的相关关系.
【详解】（1）散点图如下：
由点数据知：
，；
；
；；
则；
（2）散点图如下：
由点数据知：
，；
；
；；
则；
（3）散点图如下：
由点数据知：
，；
；
；；
则；
（4）散点图如下：
由点数据知：
，；
；
则；
综上，由相关系数的值可知，越接近1，样本的线性相关性越强，越接近0，线性相关性越弱.
7．线性相关关系；相关程度高；销售额与广告支出的变化趋势相同.
【分析】作出成对数据的散点图，由数据计算相关系数即可得出结果.
【详解】成对数据的散点图如图所示：
从散点图上可得，超市的销售额与广告支出之间呈现出线性相关关系，
由数据可得；
，
，，，
，
由此可推断，销售额与广告支出之间具有相关关系，相关程度较强，
且销售额与广告支出的变化趋势相同.
8．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系；其中图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系，图（3）中的y和x之间呈现负相关关系；图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系；其中图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系；
【分析】根据散点图中散点呈现的变化趋势依次判断两个变量间的相关关系即可.
【详解】（1）由（1）的散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或者曲线附近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系；
（2）由（2）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，图像呈现左下右上趋势，说明两个变量呈正线性相关关系；
（3）由（3）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图像呈现左上右下趋势，说明两个变量呈负线性相关关系；
（4）由（4）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系；
综上，图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系；其中图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系；图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系；其中图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系；
9．线性相关；；相关程度高，
变化趋势是正点率提高一个百分点顾客投诉次数少约为.
【分析】利用最小二乘法求出回归方程即可求解.
【详解】设顾客投诉次数为，正点率为，
，，
设回归方程，
，
，
将代入回归直线方程：可得，
所以线性回归方程为：，
相关系数，
的绝对值越接近，相关性越强，所以相关程度高.
变化趋势是正点率提高一个百分点顾客投诉次数少约为.
10．两个变量的样本相关系数不一定为1（理由见详解）
【分析】比较理想状态下的相关系数与现实情况下的相关系数进行说明，从测量数据的随机性进行分析即可.
【详解】两个变量的样本相关系数不一定为1，
理由如下：在理想状态下，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比，则弹簧伸长的长度x和相应所受外力F之间满足线性函数关系，相关系数必为1；但是在现实情况下，测量数据受很多因素的影响，比如弹簧的材料，粗细，测量的误差等等，所以通过测量获得样本数据也具有随机性，因此通过测量数据求得的相关系数不一定为1.
11．不同意；理由见详解.
【分析】根据相关关系的判断方法即可给出理由.
【详解】某个地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，
与这个地区的环境条件有很大的关系，适合天鹅栖息的地区天鹅栖息就较多，
不适合天鹅栖息的地区天鹅栖息就较少，婴儿出生率与生理遗传有关，
当然也受地区环境的影响，但是两者并不存在必然的相关关系，
“天鹅能够带来孩子”这个结论是错误的.
答案第1页，共2页7.5 正态分布
第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．
分析：（1）正态分布由参数和完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计．（3）这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则：在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小？作出判断．
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2．用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到
；．
（2）X和Y的分布密度曲线如图7.5-7所示．
图7.5-7
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．由图7.5-7可知，
，．
所以，如果有可用；那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车．
练习
1．设随机变量，则X的密度函数为________，________，________，________，________．（精确到0.0001．）
2．设随机变量，随机变量，画出分布密度曲线草图，并指出与的关系，以及与之间的大小关系．
3．举出两个服从正态分布的随机变量的例子．
习题 7.5
复习巩固
3．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩．
4．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：
（1）；
（2）；
（3）．
5．若，则X位于区域内的概率是多少？
综合运用
6．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率．
答案第1页，共2页复习参考题6
复习参考题6
复习巩固
1．乘积展开后，共有________项；
2．学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是________；
3．安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________；
4．5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是________；
5．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；
6．正十二边形的对角线的条数是________；
7．的展开式中，系数最大的项是第________项．
8．一个集合有5个元素．
（1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？
（2）这个集合的子集共有多少个？
9．已知，那么________；
10．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________；
11．某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是________；
12．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________；
13．在的展开式中，各项系数的和是________．
14．（1）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？
（2）空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？
综合运用
15．（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项；
（2）求的展开式的常数项；
（3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
（4）求的展开式中的系数；
（5）求的展开式中的系数．
16．用二项式定理证明能被8整除．（提示：．）
17．（1）平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？
（2）空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？
18．某种产品的加工需要经过5道工序．
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
拓广探索
19．在的展开式中，含项的系数是多少？
20．你能构造一个实际背景，对等式的意义作出解释吗？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据条件中所给的是多项式乘以多项式，根据多项式乘法法则可得，要得到式子的结果，需要在每个括号中选一个进行乘法运算，分别分析每个括号中的取法数目，相乘得结果.
【详解】根据多项式的乘法法则，
展开后每一项都必须是在
两式中任取一项后相乘，得到的式子，
而在中有种取法，
在中有种取法，
由乘法原理，可得共有：种情况.
故原式展开后有项，
故答案为：
2．525
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】从7门选修课中任意选择3门有种选法; 从6种课外活动小组中选择2种有种选法.
所以不同的选法种数为
故答案为：525.
3．480
【分析】先排特殊，再排一般.
【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为中方法.
所以不同排法的种数为种.
故答案为：480
4．5.
【分析】根据题意，结合题意可得不同的分法有种，最后计算组合数计算即可.
【详解】因为5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，
所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，
又因为无座票，所以没有顺序，
所以共有种不同的分法.
故答案为：5.
5．243
【分析】根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，
所以5名同学共有种选择方法.
故答案为：.
6．54
【分析】由任意两点连线的条数，再排除边数可得.
【详解】任意两点连线的条数，再排除边数，
故正十二边形的对角线的条数是.
故答案为：54.
7．
【分析】在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再利用二项式的性质可得答案
【详解】解：因为在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，而二项展开式共有项，中间项的二项式系数最大，
所以第项的系数最大，
故答案为：
8．（1）10，（2）32
【分析】根据集合子集中的元素的不重复性，可以利用组合数公式求解
【详解】解：（1）这个集合的含有3个元素的子集有个；
（2）这个集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5个元素，所以这个集合的子集共有个，
9．
【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去）
故答案为：
10．
【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．
【详解】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种
再排其余4节，有种，
根据乘法原理，共有种方法，
故答案为：．
11．
【分析】首先确定2个英文字母的排列方法，接着确定4个数字的排列方法，最后根据分步乘法原理计算结果即可.
【详解】首先确定2个英文字母，因为2个英文字母不相同，所以有种排列方法，接着确定4个数字的排列方法，因为可以数字可以相同，所以有，
根据分步乘法计数原理得：该密码可能的个数为：.
故答案为：6500000
12．58
【分析】从8个顶点中选4个，排除6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况.
【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果，
其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况，
所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是.
故答案为：58.
13．
【分析】根据赋值法，令即得结果.
【详解】令，则，
即二项式的展开式中各项系数的和是.
故答案为：.
14．（1），（2）
【分析】（1）由题意可知：1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3 条直线，个交点，4条直线，条交点，从而可得到规律，进而可得答案；
（2）类比（1）中的方法得出答案
【详解】解：（1）因为1条直线，0个交点，
2条直线，1个交点，
3 条直线，个交点，
4条直线，个交点，
5条直线，条交点，
……
所以条直线有个交点，
即个交点；
（2）因为1个平面，0条交线，
2个平面，1条交线，
3个平面，条交线，
4个平面，条交线，
5个平面，条交线，
……
所以个平面有条交线，
即条交线；
15．（1）；（2）；（3）或23；（4）135；（5）30.
【分析】（1）的展开式中按的升幂排列的第3项，即展开式中含的项．
（2）求出其通项公式，令的指数为0即可求解．
（3）利用二项展开式的通项公式求出通项求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程解得．
（4）先将多项式展开，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出系数即可．
（5），两次利用通项公式求解即可.
【详解】（1）的展开式中按的升幂排列的第3项，即展开式中含的项，
．
（2）展开式的通项公式为：；
令可得：；
故展开式的常数项为：．
（3）展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，
；
化简得，
即：，
解得或23．
（4），
展开式中含的系数为：的含的系数加上其含的系数加上其含项的系数，
展开式的通项为，
令，3，2分别得展开式含，，项的系数为，，，
故展开式中含的系数为：，
（5）
设其展开式的通项公式为，
令，
得的的通项公式为，
再，得，
的展开式中，的系数为．
即的展开式中，的系数为30．
16．见解析
【分析】根据，按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的各式都含有因数8可得它能被8整除.
【详解】证明：
能被8整除.
所以能被8整除.
17．（1）；（2）；
【分析】（1）首先分析平行四边形是由两组平行对边构成的，接着结合分步计数原理求解即可；（2）首先分析平行六面体是由3组平行对面构成的，接着结合分步计数原理求解即可；
【详解】（1）由题意可知：平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，
要构成平行四边形，需要有两组对边分别平行，
故从第一组m条平行线中任选2条，作为平行四边形的一组对边，共有种不同的取法，
再从第二组n条条平行线中任选2条，作为平行四边形的另一组对边，共有种不同的取法，
则可以构成个平行四边形.
（2）由题意可知：空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，
要构成平行六面体，需要有3组对面分别平行，
故从第一组m个平行平面中任选2个，作为平行六面体的一组对面，共有种不同的取法，
再从第二组n个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第二组对面，共有种不同的取法，
再从第三组l个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第三组对面，共有种不同的取法，
则可以构成个平行六面体.
18．（1）96，（2）36，（3）48，（4）72
【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空
【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序，
19．
【分析】求出展开式中含的系数为,再利用二项式系数的性质求和即可.
【详解】因为展开式的第为.
所以中含项的系数是、中含项的系数是,…,中含项的系数是.
所以的展开式中含项的系数为.
所以含项的系数是.
20．见解析
【分析】等式两边都是组合数相乘，可以考虑分步计数原理，即可得到结论
【详解】解：实际背景：在个人中选出个人打扫卫生，其中个人擦玻璃，个人拖地，问有多少选取人员的方法，
利用分步计算原理：先从个人中选出个人，然后从个人中选出个人擦玻璃，
剩余的人拖地，这样有种选法，也可以从个人中选出个人擦玻璃，
然后从剩余的个人中选出个人拖地，这样有种选法，
所以.
答案第1页，共2页

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