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复习参考题 5
复习参考题5
1．已知点P和点Q是曲线上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4．求：
（1）割线的斜率；
（2）点P处的切线方程．
2．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
4．求下列函数在给定点处的切线方程：
（1），
（2），
5．一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式给出，其中M为地球质量，G为引力常量．求F对于r的瞬时变化率．
6．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位：℃）与时间t（单位：min）之间的关系由函数给出．
（1）判断的正负，并说明理由．
（2）的实际意义是什么？如果，你能画出函数在时图象的大致形状吗？
7．求函数的单调区间．
8．已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4．
9．已知函数在处有极大值，求c的值．
10．如图，过点作直线，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B．当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？
11．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是
A． B．
C． D．
12．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b（t）＝105+104t﹣103t2．
（1）求细菌在t＝5与t＝10时的瞬时速度；
（2）细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？
13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值
14．用总长14．8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0．5m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？
15．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大？
16．已知A，B两地的距离是、根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在，假设油价是7元/L，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
17．作函数的大致图象．
18．已知函数．当时，求证．
19．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）3；（2）y+4＝0
【分析】（1）根据函数的解析式求出P、Q的坐标，计算PQ的斜率；
（2）利用导数求出P点的斜率，写出过点P的切线方程．
【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣4，当x＝4，y＝5；
∴P（1，﹣4），Q（4，5）；
∴割线PQ的斜率为kPQ3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y′＝2x﹣2；
当x＝1时，k＝2×1﹣2＝0；
∴点P处的切线方程为y﹣（﹣4）＝0，
即y+4＝0．
2．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据导数除法法则运算；
（2）根据导数乘法法则计算；
（3）根据导数乘法法则计算；
（4）根据导数除法法则运算；
（5）根据导数乘法法则结合复合函数导数计算；
（6）根据导数除法法则运算.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
(5)
；
(6)
3．B
【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
4．（1）；（2）.
【分析】求导后求得切线斜率，然后代入点斜式方程化为一般式方程即可.
【详解】（1），则，
则在(1, 0)处的切线的斜率，
∴曲线在处的切线方程为:
即;
(2) ，则
在处的切线的斜率.
曲线在处的切线方程为:
即.
5．
【分析】F是r的函数，把它对自变量r求导，由导数的物理意义即可得解.
【详解】因，则，
由导数的物理意义知，F对于r的瞬时变化率是.
6．（1）负（2）第三分钟的水温，平均每分钟下降
【分析】（1）利用导函数的意义解释即可.
（2）根据图像过，即可画出大致图象.
【详解】（1）因为的意义为在附近函数值的瞬时变化率，热红茶的温度随时间的增加而减小，故，的符号为负.
（2）的实际意义表示在第三分钟附近红茶的温度约以每分钟速率下降.函数的图象过，，大致图象如下：
7．递增区间为，递减区间为.
【分析】写出函数定义域，在时对求导，再解导函数值为正或负时的不等式即可作答.
【详解】函数的定义域为R，时，，
由得，由得，即在上单调递增，在上单调递减，
所以的递增区间为，递减区间为.
8．p＝﹣2，q＝5
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得f（x）＝（x﹣1）2+4＝x2﹣2x+5，结合f（x）的解析式分析可得答案．
【详解】解：根据题意，函数f（x）＝x2+px+q，其二次项系数为1；
若当x＝1时，f（x）有最小值4，则f（x）＝（x﹣1）2+4＝x2﹣2x+5，
又由f（x）＝x2+px+q，则p＝﹣2，q＝5．
9．6
【分析】由已知函数在处有极大值，则必有(2)，且在的左侧附近，右侧附近，据此即可求出的值．
【详解】解：，且函数在处有极大值，
(2)，即，解得或2．
经检验时，函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故．
故答案为：6．
10．当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
【分析】设出点A，B的坐标，由直线的截距式写出直线AB的方程，根据点P在直线上而列出关系式，再借助基本不等式即可得解,
【详解】依题意，设点，直线AB的方程为，
而点在直线上，于是有，
显然有，当且仅当a=b时取“=”，即，
于是得a=b=2时，，此时为等腰直角三角形，面积取最小值2，直线AB倾斜角为，
所以当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
11．D
【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.
【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.
故选D.
【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．(1)细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000.
(2)细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少.
【详解】解：（1）b′（t）＝104﹣2×103t，
b′（t）|t＝5＝104﹣2×103×5＝0，b′（t）|t＝10＝104﹣2×103×10＝﹣10000，
∴细菌在t＝5与t＝10时的瞬时速度分别为0和﹣10000．
（2）由104﹣2×103t＞0，得t＜5，由104﹣2×103t＜0，得t＞5，
∴细菌在t∈（0，5）时间段数量增加，在t∈（5，+∞）时间段数量减少．
13．或
【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线只有一个公共点,进而可联立切线与曲线方程，根据分情况得到a的值．
【详解】解：的导数为y′＝1，
曲线在x＝1处的切线斜率为k＝2，
则曲线在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．
由于切线与曲线只有一个公共点，
可联立y＝2x﹣1，
得①有且只有一解，
当时①式变为,则，方程①有且只有一解，符合题意;
当时，则,
，解得
综上，或.
14．当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为．
【详解】设该容器底面矩形的短边长为m，则另一边长为m，
此容器的高为，
于是，此容器的容积为：，
其中，
即，得，（舍去），
因为，在内只有一个极值点，且时，，函数递增；
时，，函数递减；
所以，当时，函数有最大值，
即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为．
15．.
【详解】试题分析：设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，而圆心角.
试题解析：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则，因此
，令
解得．
∴ 当时容积最大，把代入得
由得，即圆心角为时容积最大．
16．；元
【分析】根据题设可得，，利用导数可求该函数的最小值.
【详解】设汽车以行驶时，
行车的总费用，，
即，，
此时，
当且仅当时，即时取等号成立，
故最经济的车速约为；
如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为元.
17．函数图象见解析；
【分析】首先利用导数说明函数的单调性，求出几个关键点的函数值，即可得到函数的大致图象；
【详解】解：，定义域为则，所以当或时，当或时，即函数在和上单调递增，在和单调递减，当时，，，，所以，又，，所以函数的大致图象如下所示：
18．证明见解析
【分析】由,故只需证明当时,,求导后利用函数的单调性求得函数的最小值，证得最小值大于0即可.
【详解】当时,
,
故只需证明当时,
,
当时，函数与函数在上单调递增,
所以函数在上单调递增,
又,故在
有唯一 实数根，记为，
且,
当时，单调递减;
当时，单调递增,
从而当时，取得最小值,
由得,即
，
故>0
综上，当m≤2时，.
19．（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
答案第1页，共2页5.1 导数的概念及其意义
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5．1．1变化率的问题练习
1．求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度．
1．火箭发射后，其高度（单位：m）为．求：
（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；
（2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度．
2．一个小球从的高处自由下落，其运动方程为，求时小球的瞬时速度．
练习
3．你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率．
4．求抛物线在点处的切线方程．
5．1．2导数的概念及其几何意义练习
例1 设，求．
解：．
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和．
根据导数的定义，
，
所以
．
同理可得
．
在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与．说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以的速率上升．
一般地，反映了原油温度在时刻入附近的变化情况．
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，．
解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和．
根据导数的定义，
，
所以
．
同理可得
．
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与．说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少．
1．在例2中，计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
5．设，求．
6．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，求质点A在时的瞬时速度．
7．设函数求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（2）函数在处的导数．
例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象根据图象，请描述、比较曲线在，，附近的变化情况．
图5.1-6
解：我们用曲线从在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1）当时，曲线在处的切线平行于t轴，．这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
（3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．
从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢．
例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度（单位：）随时间t（单位：）变化的函数图象．根据图象，估计，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
图5.1-7
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率
，
所以
．
表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值．
表5.1-3
练习
1．根据图5.1—6，描述曲线在，附近增（减）以及增（减快慢的情况．
8．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．求曲线在点处的切线方程．
10．吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，气球的瞬时膨胀率．
习题5．1
11．一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为．求该物体在时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况．
12．圆的面积S（单位：）与半径R（单位：）的关系为，求时面积关于半径的瞬时变化率．
13．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．求：
（1）这段时间内的平均速度；
（2）时的瞬时速度．
14．已知车轮旋转的角度（单位：）与时间t（单位：s）满足关系式，求车轮转动开始后第时的瞬时角速度．
15．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）
A． B．
C． D．
16．如图，试描述函数在，，，0，1附近的变化情况．
17．求曲线在点（处的切线的倾斜角．
18．一个质量为的物体做直线运动，设位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数 表示，并且物体的动能．求物体开始运动后第时的动能．
19．根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状．
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶．
20．已知函数的图象，试画出其导函数图象的大致形状．
21．在高台跳水运动中，时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是．高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数的物理意义是什么？试求v，关于时间t的函数解析式．
22．根据下列条件，分别画出函数的图象在这点附近的大致形状.
（1），；
（2），；
（3），．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）.
【分析】（1）根据平均速度的计算公式求解；
（2）根据导数的概念求解.
【详解】（1）因为，
所以在这段时间里，火箭爬高的平均速度为；
（2）因为
所以发射后第时，火箭爬高的瞬时速度.
2．
【分析】根据瞬时速率计算即可.
【详解】由题意知：
当时，小球的瞬时速度为
3．切线的定义见解析，抛物线在点处切线的斜率为.
【分析】利用切线的定义可得出抛物线在点处的切线的定义，然后利用导数的定义可求得抛物线在点处切线的斜率.
【详解】在点的附任取一点，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置称为抛物线在点处的切线.
抛物线在点处的切线的斜率为
.
4．
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
【详解】解：因为，所以，所以，故切线方程为
5．
【分析】根据导数的定义，即可求解.
【详解】.
6．10.8
【分析】位移对时间的导数，即速度，代入，即可求得瞬时速度.
【详解】由题知，，
当时，
故质点A在时的瞬时速度为10.8
7．（1）（2）
【分析】（1）求出自变量的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．
（2）先求导，再代入求值即可．
【详解】解：（1）解：，
．
所以函数的平均变化率为．
（2），
8．A
【分析】由图象可知函数是单调递增的，从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的，所以其导函数是单调递减的，进而可得结果.
【详解】由图象可知函数是单调递增的，所以，，均为正. 从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数是单调递减的，所以有.
故选：A.
9．
【分析】求出曲线在点处的导函数值，再利用点斜式写出即可.
【详解】由题意知：，则.
所以曲线在点处的切线方程为
10．图象见解析，，，
【分析】先画出函数图象，再求出导函数，代值计算可求出．
【详解】解：函数图象如下所示：
，
则，，
11．当时，其速度大小为，方向竖直向下，此后物体将做匀加速直线运动至物体到达地面.
【分析】利用瞬时变化率计算即可.
【详解】由题意知物体竖直方向位移,
结合瞬时速度公式可得
当时，.
所以此时速度大小为，方向竖直向下.
此后物体将做匀加速直线运动至物体到达地面.
12．
【分析】根据瞬时变化率公式运算即可.
【详解】,
当时，面积关于半径的瞬时变化率为.
13．（1）25（2）20
【分析】（1）求出、对应的位移，即可求出平均速度.
（2）求出，将代入即可.
【详解】（1）当时，;当时，;
的平均速度为.
（2），.
14．
【分析】根据瞬时变化率计算公式计算即可.
【详解】由题意知
当时，瞬时角速度为.
15．C
【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.
【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.
16．见解析
【分析】根据曲线在，，，0，1的导函数正负判断即可.
【详解】由图可知：
函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递增;
函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递增；
函数在处的斜率，即函数值在附近几乎没有变化；
函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减；
函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减；
17．
【分析】根据导数的定义求出曲线在处的导数，即为曲线在点处切线的斜率，即可求出其倾斜角.
【详解】
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
则倾斜角为.
18．
【分析】先求质点的运动方程为的导数，再求得秒时的导数，得到所求的瞬时速度，即可求出物体运动后第时的动能。
【详解】解：质点的运动方程为
求导数得
所以该质点在秒的瞬时速度为
物体运动后第时的动能为
答：物体开始运动后第时的动能为。
19．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
【分析】（1）根据题意可知，路程关于时间的函数图象是一条斜率为正数的直线，由此可作出函数图象；
（2）根据题意可知，路程关于时间的函数图象上的切线斜率逐渐增大，由此可作出函数图象；
（3）根据题意可知，路程关于时间的函数图象上的切线斜率逐渐减小，由此可作出函数图象.
【详解】（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】分析（1）（2）（3）中函数的单调性，利用函数单调性与导数之间的关系可得出图象的大致形状.
【详解】（1）函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，
因此，其导函数的图象如下图所示：
；
（2）函数为增函数，则其导函数的函数值恒大于或等于零，并且随着的增大，导数值也在逐渐增大，
因此，其导函数的图象如下图所示：
；
（3）当时，单调递减，则；
当时，单调递增，则.
因此，其导函数的图象如下图所示：
.
21．关于时间的导数是加速度；；
【分析】利用导数的几何意义以及基本初等函数的导数即可得出结果.
【详解】高度关于时间的导数是速度，关于时间的导数是瞬时加速度.
，
.
22．答案见解析
【分析】由条件根据函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率，画出函数在某点的图象．
【详解】解：由于函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率，
（1），；故函数图象可以如下所示：
（2），；故函数图象可以如下所示：
（3），．故函数图象可以如下所示：
答案第1页，共2页4.1 数列的概念
第四章数列
4．1数列的概念
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
（1）；
（2）．
解：（1）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，3，6，10，15．
图象如图4.1-2（1）所示．
（1） （2）
图4.1-2
（2）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，0，-1，0，1．
图象如图4.1-2（2）所示．
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…；
（2）2，0，2，0，…．
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为．
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为．
练习
1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：
(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；
(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；
(3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列；
(4)数列的通项公式为
2．根据数列的通项公式填表：
n 1 2 … 5 … … … n
… … 153 … 273 …
3．除数函数()的函数值等于n的正因数的个数，例如，.写出数列，，…，，…的前10项.
4．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）1，，，，，….
例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解：
解：令，
解这个关于n的方程，得（舍去），或．
所以，120是数列的项，是第10项．
例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
（1） （2） （3） （4）
图4.1-3
在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．
因此，这个数列的一个通项公式是．
例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项．
解：由题意可知
，
，
，
，
．
练习
5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
(1)
(2)
(3)
6．根据下列条件，写出数列的前5项：
（1），；
（2），.
7．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
8．已知数列的前项和公式为，求的通项公式.
习题4．1
9．写出下列数列的前项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
10．根据下列条件，写出数列的前5项：
（1）；
（2）；
（3），；
（4），.
11．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（ ），，，（ ），，（ ），；
（2），，（ ），，，（ ），；
（3），，（ ），，，（ ），；
（4），，（ ），，，（ ）.
12．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.
13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数 正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
14．假设某银行的活期存款年利率为某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第年到期时的存款余额，求、、及.
15．已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
(4)见详解
【分析】（1）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；
（2）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；
（3）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；
（4）根据题意，直接写出前10项后，作图即可；
(1)
根据题意，可知数列的前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如下：
.
(2)
根据题意，可知数列的前10项为：1，，，，，，，，，.图象如下：
.
(3)
根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下：
.
(4)
根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下：
.
2．答案见解析
【分析】根据依次求出表中对应的值即可.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，，解得；
当时，，解得；
所以列表如下：
1 2 … 5 … 12 … 22 …
21 33 … 69 … 153 … 273 …
3．1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
【分析】根据定义直接写出即可.
【详解】由题意可得，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
4．（1），（2）,
【分析】（1）找到规律后写出通项公式即可；
（2）找到规律后写出通项公式即可.
【详解】（1），，，，，…
所以;
（2）由题意，
所以.
5．(1)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
(2)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
(3)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
【分析】（1）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（2）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（3）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.
（1）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（2）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（3）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
6．（1）1，3，7，15，31；（2）3，3，3，3，3.
【分析】根据递推公式直接写出即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
，
，
，
故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.
（2）因为，
所以，
，
，
，
故数列的前5项分别为3，3，3，3，3.
7．，，，，.
【分析】将代入即可得出答案.
【详解】，，，.
猜想.
8．
【分析】本题可根据得出结果.
【详解】当时，；
当时，，满足，
故的通项公式为.
9．（1）、、、、、、、、、，图见解析；
（2）、、、、、、、、、，图见解析.
【分析】（1）本题可依次列出素数，然后绘图即可；
（2）本题可依次列出欧拉函数的函数值，然后绘图即可.
【详解】（1）素数从小到大依次是：、、、、、、、、、，
绘出图像如图所示：
（2），，，，，
，，，，，
依次为、、、、、、、、、，
绘出图像如图所示：
10．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析
【分析】（1）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出．
（2）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出．
（3）分别取n＝2，3，4，5，即可得出．
（4）分别取n＝2，3，4，5，即可得出．
【详解】（1）由可得a1＝1，，，
a4，a5．
（2）由an＝（﹣1）n+1（n2+1）可得：a1＝2，a2＝﹣5，
a3＝10，a4＝﹣17，a5＝26．
（3），an＝4an﹣1+1（n≥2）；
n＝2时，；
n＝3时，；
n＝4时，；
n＝5时，；
（4）a1，an＝1（n≥2）．
n＝2时，a2＝15；
n＝3时，a3＝1；
n＝4时，a4＝1；
n＝5时，a5＝15．
11．详见解析
【分析】本题可依次观察每个数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果.
【详解】（1）中依次填写、、，通项公式为；
（2）中依次填写、，通项公式为；
（3）中依次填写、，通项公式为；
（4）中依次填写、，通项公式为.
12．（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5．
【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项．
（2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn求解出数列{bn}的前5项．
【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，
得a3＝a2+a1＝2+1＝3，
a4＝a3+a2＝2+3＝5，
a5＝a4+a3＝3+5＝8；
（2）依题意有：b12，
b2，
b3，
b4，
b5．
13．三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数，第六个数.五边形数：第五个数，第六个数.
【分析】找到规律后代入计算即可.
【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，
第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.
正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.
五边形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.
14．，，，.
【分析】本题可根据活期存款年利率的计算方式得出结果.
【详解】，，
，.
15．（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析.
【分析】（1）结合指数函数的单调性以及不等式的性质即可证得；
（2）证得，即可得出结论.
【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以；
（2）是递增数列，
证明：因为，所以，
所以，所以是递增数列.
答案第1页，共2页4.4 数学归纳法
第四章 数列
4．4 数学归纳法
例题
1．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
练习
2．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是
3．用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．
例题
4．用数学归纳法证明.
5．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
6．设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
练习
7．用数学归纳法证明：
8．若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明．
9．观察下列两个数列，：
数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…．
猜想从第几项起小于，并证明你的结论．
10．猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
习题4．4
一．选择题
11．用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（　　）
A． B． C． D．
二．解答题
12．用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）．
13．已知数列满足，．计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
14．已知数列，，，…，，…的前n项和为．计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
15．用数学归纳法证明：．
16．已知数列，的通项公式分别为，，其中，试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论．
17．已知数列满足，．试用数学归纳法证明并比较与的大小关系．
18．证明：能够被6整除．
19．一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．
20．已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
2．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.
【分析】根据数学归纳法分为两步，①证明当时，结论成立，②假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.
【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；
（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.
3．证明见解析
【分析】根据数学归纳法的证明方法，即可作出证明.
【详解】由题意，等比数列的首项为，公比为，
①当时，，显然满足；
②假设时，成立，
则当时，成立，
由①②可知，对于任意，都有成立.
证明：前项和公式，
③当时，成立；
④假设时，成立，
则当时，成立，
由③④可知，对于任意，都有成立.
4．见解析
【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立；
②假 设 当 时等式成立，
即.
那么，
即当时等式也成立.
由①②知，等式对任何都成立.
【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.
5．，证明见解析
【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.
【详解】由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
6．，且时，，证明见解析
【分析】计算和时的情况猜想：时，，利用数学归纳法证明得到答案.
【详解】由已知可得．
当时，，由，可得；
当时，，由，可得．
由此，我们猜想，当，且时，．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，由上述过程知，不等式成立．
（2）假设当（，且）时，不等式成立，即，
由，可得，所以．
于是，
所以，当时，不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数n都成立．
7．证明见解析
【分析】按照数学归纳法的步骤严格证明即可.
【详解】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立；
（2）假设当时等式成立，
即，
则当时，
左边
=右边.
所以，当时，等式成立；
由（1）（2）可知，对.
【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．，，，，证明见解析.
【分析】逐个计算即可；根据猜想，再按照数学归纳法的步骤，证明结论.
【详解】解： ，，；
由，，，猜想 ，下面用数学归纳法加以证明：
检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.
①时，，成立；
②假设时，有成立，则当时，
，
所以，
时，猜想也成立，
故由①，②可知，猜想对都成立.
9．从第项起，证明见解析.
【分析】先写出的通项公式，再根据题中数据猜想从第项起， 利用数学归纳法证明当时，即可.
【详解】解：根据题意可得：数列的通项公式为，
数列的通项公式为，
由，
猜想从第项起，
即证当时，，
⑴当时，，，显然，猜想成立；
⑵假设当时，猜想成立，即，
当时，
，
即，
即当时，猜想成立，
由⑴⑵可知，当时，都有，即．
10．，证明见解析
【分析】由可得，代值计算即可求前4项，归纳出数列通项，用数学归纳法证明：（1）当时，去证明等式成立；（2）假设当时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当时，等式也成立即可．
【详解】由可得，
得，
，
．
推测．
下面用数学归纳法证明：
①当时，左边，
右边，结论成立．
②假设时等式成立，
有，
则当时，
故当时，结论也成立．
由①②可知，对任何都有．
11．C
【分析】结合题意直接代入当n=1时，即可得到结果.
【详解】由题意，当时，
左边
故选：C
12．(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析.
【分析】先证时等式成立；再假设时等式成立，证明时等式也成立即可.
【详解】(1)当时，等式左边，右边，所以等式成立；
假设时等式成立，即，
则当时，，
故时等式成立，
综上可知，等式成立.
(2) 当时，等式左边，右边，所以等式成立；
假设时等式成立，即，
则当时，，
故时等式成立，
综上可知，等式成立.
(3) 当时，等式左边，右边，所以等式成立；
假设时等式成立，即，
则当时， ，
故时等式成立，
综上可知，等式成立.
13．，证明见解析
【分析】由，且即可求得，，的值，从而可猜想的通项公式，利用数学归纳法证明，分三步：①当时，猜想成立；②设当时，猜想成立，去证明时猜想也成立，③综上所述，即可证得猜想成立．
【详解】由得，
，，
同理可求，，，猜想
证明：①当时，猜想成立．
②设当时，猜想成立，即，
则当时，有，
所以当时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何都成立．
14．，，证明见解析
【分析】根据题意计算的值，猜想，结合数学归纳法证明方法，即可作出证明.
【详解】由题意，数列，，，…，，
可得，
可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数表示为，
所以可猜想，
数学归纳法证明如下：
①当时，左边，右边，猜想成立；
②假设时，猜想成立，即，
当时，
，
所以当时，猜想也成立，
由①②可知，对任意都有成立，
所以.
15．见解析
【分析】利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可.
【详解】解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立，
（2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝，
当时，
＋…＋+
，
即当时等式也成立.，
由（1）（2）可知：等式对任何都成立，
故.
16．或者且，证明见解析
【分析】由出发，构造函数，根据函数的单调性即可推断证明.
【详解】解：，，
即，
两边同时取对数得：，
即 ，
即，
令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，
，
，
故当时，成立，
当时，，
即，
即或者且时，有，即.
17．证明见解析，
【分析】先验证当时处理，然后假设当时成立，那么时，若，得出矛盾，即可证得结论，之后利用作差比较出大小.
【详解】证明：，
当时，，成立，
假设当时成立，则，
那么时，若，则，矛盾，
故，
因此，
，
因此，
18．见解析
【分析】利用数学归纳法即可证明.
【详解】解：⑴当时，，显然能够被6整除，命题成立；
⑵假设当时，命题成立，即能够被6整除，
当时，
，
由假设知：能够被6整除，
而为偶数，故能够被6整除，
故能够被6整除，
即当时，命题成立，
由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除．
19．，证明见解析
【分析】设即可求得（1），（2），（3）；假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，由（1），（2），（3）的值可求得，，；再用数学归纳法证明即可．
【详解】设，
（1），
（2），
（3）；
假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，
则（1），
①，
同理，由（2）得②，
由（3）得③
联立①②③，解得，，．
．
证明：当时，显然成立；
假设时，，
则时，
，
即时，结论也成立．
综合，知，存在常数，，使得对一切自然数都成立．
20．命题推广形式为：设为非负实数，为正实数，若，则；证明见解析.
【分析】先证时不等式成立，再假设时不等式成立，根据假设证当时，不等式成立即可.
【详解】用数学归纳法证明如下：
①当时，，有，所以不等式成立；
②假设时不等式成立，即设为非负实数，为正实数，
若，则.
则当时，需证：设为非负实数，为正实数，
若，则，
因为，所以，且，所以 ，
所以
因为，所以 ，
所以由归纳假设可得 ，
从而，
又由，
所以
，故当时不等式成立.
由①②知，对一切正整数，所推广的命题成立.
答案第1页，共2页5.2 导数的运算
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5．2．1基本初等函数的导数
例1 求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）．
例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系
，
其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
．
所以
．
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
练习
1．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数；
（3）在处的导数；
（4）在处的导数．
3．求余弦曲线在点处的切线方程．
4．求曲线在点处的切线方程．
5．2．2导数的四则运算法则
例3 求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
例4 求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）
．
（2）
．
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为
．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%； （2）98%．
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
．
（1）因为，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2）因为，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
练习
1．运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5．1节例2．你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？
5．求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）
（4）；（5），（6）
6．求曲线在点处的切线方程．
5．2．3简单复合函数的导数
例6 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
（2）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
（3）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式．求函数y在时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
．
当时，．
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为．
练习
7．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
8．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数．
9．求曲线在点处的切线方程．
习题：5．2
10．求下列函数的导数；
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
11．求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)；
(4)
(5)
(6)．
12．已知函数，且，求．
13．已知函数．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点处的切线方程．
14．求曲线在点处的切线方程．
15．已知函数满足，求在的导数．
16．设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程．
17．已知函数，求的导数，并求出的解集．
18．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有氡气，那么t天后，氡气的剩余量为．（参考数值，）
(1)氡气的散发速度是多少？
(2)的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？
19．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．
（1）求关于t的导数，并解释它的实际意义；
（2）当时，求运动员的滑雪速度；
（3）当运动员的滑雪路程为时，求此时的滑雪速度．
20．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．
21．请按步骤，完成下面的任务．
（1）利用信息技术工具，分别画出，0.5，0.1，0.05时，函数图象．
（2）画出函数的图象，并与上面的四个图象比较，当h越来越小时，你观察到了什么？
（3）猜测的导数，它与基本初等函数的导数公式表中的导数公式一样吗？
21．某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到．假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）的关系由函数表示．求下列时刻潮水的速度（精确到）
（1）上午6：00； （2）上午9：00；
（3）中午12：00； （4）下午6：00．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；
(1)
解：因为，所以；
(2)
解：因为，所以；
(3)
解：因为，所以；
(4)
解：因为，所以；
(5)
解：因为，所以；
(6)
解：因为，所以；
2．(1) ；(2) ；(3) ； (4) .
【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.
【详解】(1)因为，所以 ，所以在处的导数为；
(2)因为，所以 ，所以在处的导数为；
(3)因为，所以 ，所以在处的导数为；
(4)因为，所以 ，所以在处的导数为.
3．
【分析】求导得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.
【详解】因为，则，
可得曲线在点处的切线斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，
故答案为：.
4．
【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.
【详解】解：，
，
所以切线方程为，即
5．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
6．
【分析】先求解出，然后求解出，由此可写出切线的点斜式方程并将其转化为一般式方程.
【详解】因为，所以，，
所以切线方程为：，
即为.
7．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；
(1)
解：因为，所以
(2)
解：因为，所以
(3)
解：因为，所以
(4)
解：因为，所以
(5)
解：因为，所以
(6)
解：因为，所以
8．（1）；（2）.
【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可；
（2）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可.
【详解】（1）因为可以看作函数和的复合函数，
所以，
所以当时，；
（2）因为可以看作函数和的复合函数，
所以，
所以当时，.
9．
【分析】求出曲线在点处的切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】设，则，则，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
10．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
(1)
解：因为，所以；
(2)
解：因为，所以；
(3)
解：因为，所以；
(4)
解：因为，所以；
(5)
解：因为，所以
(6)
解：因为，所以
11．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．
（1）
解：，；
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
12．
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得
13．（1）；（2）.
【分析】（1）运用函数乘积的求导法则即可求出导数；（2）求导后计算出切线斜率，然后计算出切线方程.
【详解】（1）由题意，
故函数的导数为
（2）易知所求切线的斜率存在，设斜率为，
则，
又当时，，
所以切点为（1,0），
则切线的方程为
即，
故这个函数的图象在处的切线方程为.
14．.
【分析】由题意可得，并得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.
【详解】由函数的解析式可得：，
所求切线的斜率为：，
由于切点坐标为，故切线方程为：，
即为.
15．
【分析】首先求出函数的导函数，再将代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，解得
16．
【分析】结合导数的几何意义即可.
【详解】令得，则点的坐标为.
∵，∴.
∴曲线在点处的切线方程为，即.
17．；的解集为.
【分析】先求导函数，再解，得到的解集.
【详解】的定义域为，
所以。
令，解得：.
所以的解集为：
18．(1)
(2)，表示在第7天附近，氡气大约以25.5克天的速度自然散发．
【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式计算可得；
（2）将代入求值即可；
(1)
解：氡气的散发速度就是剩留量函数的导数．
，
．
(2)
解：因为
所以．
它表示在第7天附近，氡气大约以25.5克天的速度自然散发．
19．（1），它的实际意义是滑雪时在t时刻的瞬时速度；
（2）（m/s）；（3）（m/s）．
【分析】（1）求出由导数的几何意义可得答案；
（2）把代入可得答案；
（3）由题意得，解得代入可得答案．
【详解】（1）由已知得，它的实际意义是滑雪时在t时刻的瞬时速度.
（2）因为，所以，
所以运动员的滑雪速度（m/s）.
（3）由题意得，解得或（舍去），
因为，所以，
当运动员的滑雪路程为时，此时的滑雪速度（m/s）．
20．
【分析】求导后计算出在点（0,1）处的切线斜率，结合题中两直线垂直计算出结果.
【详解】解：，
，
所以在点（0,1）处的切线斜率为，
又因为切线与直线垂直，
，
.
21．答案见解析.
【分析】根据导数的几何意义求出，把（1）、（2）、（3）、（4）中对应的代入即可.
【详解】由函数得，
（1）上午6：00对应，，
所以上午6：00潮水的速度（m/h）；
（2）上午9：00对应，，
所以上午9：00潮水的速度（m/h）；
（3）中午12：00对应，，
所以中午12：00潮水的速度（m/h）；
（4）下午6：00对应，，
所以下午6：00潮水的速度（m/h）.
答案第1页，共2页4.2 等差数列
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1等差数列的概念
例1 （1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.
解：（1）当时，由的通项公式，可得
.
于是.
把代入通项公式，得
.
所以，的公差为，首项为3.
（2）由已知条件，得
.
把，代入，得
.
把代入上式，得
.
所以，这个数列的第20项是.
例2 是不是等差数列，，，……的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看是否能使这个方程有正整数解.
解：由，，得这个数列的通项公式为
.
令，
解这个关于n的方程，得.
所以，是这个数列的项，是第100项.
练习
1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．
（1）95，82，69，56，43，30；
（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；
（3）1，－2，3，－4，5，－6；
（4）1，，，，，，．
2．求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；
（2）和.
3．已知在等差数列中，，．求．
4．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列．
例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得
.
由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是
.
根据题意，得
即
解这个不等式组，得.
所以，d的取值范围为.
例4 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
分析：（1）是一个确定的数列，只要把，表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设中的第n项是中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为的项.
解：（1）设数列的公差为.
由题意可知，，，于是
.
因为，所以，所以.
所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令，解得.
所以，是数列的第8项.
例5 已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证.
分析：只要根据等差数列的定义写出，，，，再利用已知条件即可得证.
证明：设数列的公差为d，则
，
，
，
.
所以，.
因为，所以.
练习
5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？
6．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.
7．在等差数列中，，，且，求．
8．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．
9．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d．
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
4.2.2等差数列的前n项和公式
例6 已知数列是等差数列.
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，，求n.
分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n.
解：（1）因为，，根据公式，可得
.
（2）因为，，所以.根据公式，可得
.
（3）把，，代入，得
.
整理，得
.
解得，或（舍去）.
所以.
例7 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和d.
解：由题意，知
，.
把它们代入公式
，
得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
练习
10．根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和．
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，．
11．等差数列，，，…的前多少项的和是？
12．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求．
13．在等差数列中，若，求k．
14．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数．
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.设数列的前n项和为，由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为.根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且.
由，可得.
因此，第1排应安排21个座位.
例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数k，使得当时，，递减.这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值.如图4.2-4，当时，关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求相应的n，的值.
图4.2-4
解法1：由以，得，所以是递减数列.
又由，可知：
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
也就是说，当或6时，最大.
因为，所以的最大值为30.
解法2：因为，
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.
练习
15．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
16．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式．
17．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值．
18．求集合，且中元素的个数，并求这些元素的和．
19．已知数列的通项公式为，前n项和为．求取得最小值时n的值．
习题4.2
20．根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量：
（1），，，求d及n；
（2），，，求及﹔
（3），，，求n及；
（4），，，求及．
21．已知为等差数列，，．求．
22．（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和．
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和．
（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？
23．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份．
24．已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数．
25．已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和．
26．已知是等差数列的前n项和．
（1）证明是等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，，求．
27．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
28．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？
29．已知等差数列的公差为d，求证．你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
30．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式．
答案第1页，共2页4.1 数列的概念
第四章数列
4．1数列的概念
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
（1）；
（2）．
解：（1）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，3，6，10，15．
图象如图4.1-2（1）所示．
（1） （2）
图4.1-2
（2）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，0，-1，0，1．
图象如图4.1-2（2）所示．
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…；
（2）2，0，2，0，…．
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为．
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为．
练习
1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：
(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列；
(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；
(3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列；
(4)数列的通项公式为
2．根据数列的通项公式填表：
n 1 2 … 5 … … … n
… … 153 … 273 …
3．除数函数()的函数值等于n的正因数的个数，例如，.写出数列，，…，，…的前10项.
4．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）1，，，，，….
例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解：
解：令，
解这个关于n的方程，得（舍去），或．
所以，120是数列的项，是第10项．
例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
（1） （2） （3） （4）
图4.1-3
在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．
因此，这个数列的一个通项公式是．
例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项．
解：由题意可知
，
，
，
，
．
练习
5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
(1)
(2)
(3)
6．根据下列条件，写出数列的前5项：
（1），；
（2），.
7．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
8．已知数列的前项和公式为，求的通项公式.
习题4．1
9．写出下列数列的前项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
10．根据下列条件，写出数列的前5项：
（1）；
（2）；
（3），；
（4），.
11．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（ ），，，（ ），，（ ），；
（2），，（ ），，，（ ），；
（3），，（ ），，，（ ），；
（4），，（ ），，，（ ）.
12．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.
13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数 正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
14．假设某银行的活期存款年利率为某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第年到期时的存款余额，求、、及.
15．已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？
答案第1页，共2页4.3 等比数列
1第四章 数列
4．3 等比数列
4．3．1等比数列的概念
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．
分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解．
解法1：由，，得
②的两边分别除以①的两边，得
．
解得
或．
把代入①，得
．
此时
．
把代入①，得
．
此时
．
因此，的第5项是24或．
解法2：因为是与的等比中项，所以
．
所以
．
因此，的第5项是24或．
例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示．
解：由题意，得
， ①
． ②
②的两边分别除以①的两边，得
，
所以
．
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．
练习
1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
（1）3，9，15，21，27，33；
（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
（3），，，，，；
（4）4，，16，，64，．
2．已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数．
q
2 8
2 0.2
3．在等比数列中，，．求和公比q．
4．对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论．
5．已知数列是等比数列．
（1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？
（2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？
例4 用10000元购买某个理财产品一年．
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列．
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以
．
所以，12个月后的利息为（元）．
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是
．
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
元．
解不等式，得
．
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．
例5 已知数列的首项．
（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．
证明：（1）由，，得的通项公式为
．
设，则
．
又
，
所以，是以27为首项，9为公比的等比数列．
（2）由，，得
．
两边取以3为底的对数，得
．
所以
．
又
，
所以，是首项为1，公差为的等差数列．
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法．
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．
由题意，知
，
，其中，2，…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
．
由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）．
表4.3-1
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可．
由
，
得
．
所以，当时，递减．
又
，
所以，当时，
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内．
练习
6．求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列．
7．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由．
（1）数列，其中；
（2）数列，其中．
8．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？
9．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据）？
10．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值．
4．3．2等比数列的前n项和公式
例7 已知数列是等比数列．
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n．
解：（1）因为，，所以
．
（2）由，，可得
，
即
．
又由，得
，
所以
．
（3）把，，代入，得
．
整理，得
，
解得
．
例8 已知等比数列的首项为，前n项和为．若，求公比q．
解：若，则
，
所以
．
当时，由，得
．
整理，得
，
即
．
所以
．
例9 已知等比数列的公比，前n项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比．
证明：当时，
，
，
，
所以，，成等比数列，公比为1．
当时，
，
，
，
所以
．
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为．
练习
11．已知数列是等比数列．
（1）若，，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，求q与；
（4）若，，求与q．
12．已知，且．对于，证明：．
13．设等比数列的前n项和为 .已知求和 .
14．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比．
15．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
例10 如图4.3-2，正方形的边长为，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．
图4.3-2
（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．
解：设正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则
．
由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
．
因此，是以25为首项，为公比的等比数列．
设的前n项和为．
（1）．
所以，前10个正方形的面积之和为．
（2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和．而
，
随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50．
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则
，
，
．
当时，．
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成品的形式，其中k，r为常数；
（3）求的值（精确到1）．
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答．
解：（1）由题意，得，并且
． ①
（2）将化成
． ②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，（1）中的递推公式可以化为
．
（3）由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则
．
所以
．
练习
16．某教育网站本月的用户为500人网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1）？
17．一个乒乓球从高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍．
(1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到）
(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？
18．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？
19．已知数列的前n项和为，若，求．
习题4．3
20．已知数列是等比数列．
（1）若，，求q与；
（2）若，，求．
21．已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
22．求和：
（1）（；
（2）．
23．放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年．
（1）碳14的年衰变率为多少（精确到）
（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？
24．已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列.求证：，，成等差数列．
25．求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
26．在数列的首项为 ，且满足．
（1）求证：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
27．若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和．
28．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，求的最大值．
29．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
30．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
答案第1页，共2页5.3 导数在研究函数中的应用
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5．3．1函数的单调性
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；
（2），；
（3）．
解：（1）因为，所以
．
所以，函数在R上单调递减，如图5.3-4（1）所示．
（1） （2） （3）
图5.3-4
（2）因为，，所以
．
所以，函数在上单调递减，如图5.3-4（2）所示．
（3）因为，，所以
．
所以，函数在区间和上单调递增，如图5.3-4（3）所示．
例2 已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，．
试画出函数图象的大致形状．
解：当时，，可知在区间上单调递增；
当，或时，，可知在区间和上都单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数图象的大致形状如图5.3-5所示．
图5.3-5
练习
1．判断下列函数的单调性：
（1）；
（2）
2．利用导数讨论二次函数的单调区间．
3．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
例3 求函数的单调区间．
解：函数的定义域为R．对求导数，得
．
令，解得
，或．
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示．
表5.3-1
所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图5.3-6所示．
图5.3-6
例4 设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系．
图5.3-8
解：因为，，所以
，．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，，在上都是增函数．在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”．
所以，，的图象依次是图5.3-8中的，．
练习
4．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；
（2）．
5．证明函数在区间上单调递减．
6．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
5．3．2函数的极值与最大（小）值
例5 求函数的极值．
解：因为，所以
．
令，解得，或．
当x变化时，，的变化情况如表5.3-2所示；
表5.3-2
因此，当时，有极大值，并且极大值为
；
当时，有极小值，并且极小值为
．
函数的图象如图5.3-12所示．
图5.3-12
练习
7．函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．
8．求下列函数的极值：
（1）
（2）
（3）；
（4）
例6 求函数在区间上的最大值与最小值．
解：由例5可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为．
又由于
，，
所以，函数在区间上的最大值是4，最小值是．
上述结论可以从函数在区间上的图象（图5.3-16）得到直观验证．
图5.3-16
练习
9．参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），，
（2），
（3），
（4），．
10．证明不等式：，
例7 给定函数．
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程解的个数．
解：（1）函数的定义域为．
．
令，解得．
，的变化情况如表5.3-4所示．
表5.3-4
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，有极小值．
（2）令，解得．
当时，；当时，．
所以，的图象经过特殊点，，．
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；
当时，，．
根据以上信息，我们画出的大致图象如图5.3-17所示．
图5.3-17
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数．
由（1）及图5.3-17可得，当时，有最小值．
所以，关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当或时，解为1个；
当时，解为2个．
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是，其中r（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为．
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是
，．
所以
．
令，解得．
当时，；当时，．
因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为时，利润最大．
（2）半径为时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
练习
11．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，，
12．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？
习题5．3
13．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2），
（3） （4）
14．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2）
（3） （4）．
15．如图，已知汽车在笔直的公路上行驶．
（1）如果表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点；
（2）如果表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？
16．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数有极大值？
（2）导函数有极小值？
（3）函数有极大值？
（4）函数有极小值？
17．求下列函数的极值：
（1） （2）；
（3） （4）
18．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
19．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
20．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；
(2)x多大时，方盒的容积V最大？
21．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小．
22．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
23．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
24．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1），；
（2），．
25．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数．的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数图象的人致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
答案第1页，共2页复习参考题 5
复习参考题5
1．已知点P和点Q是曲线上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4．求：
（1）割线的斜率；
（2）点P处的切线方程．
2．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
4．求下列函数在给定点处的切线方程：
（1），
（2），
5．一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式给出，其中M为地球质量，G为引力常量．求F对于r的瞬时变化率．
6．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位：℃）与时间t（单位：min）之间的关系由函数给出．
（1）判断的正负，并说明理由．
（2）的实际意义是什么？如果，你能画出函数在时图象的大致形状吗？
7．求函数的单调区间．
8．已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4．
9．已知函数在处有极大值，求c的值．
10．如图，过点作直线，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B．当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？
11．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是
A． B．
C． D．
12．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b（t）＝105+104t﹣103t2．
（1）求细菌在t＝5与t＝10时的瞬时速度；
（2）细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？
13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值
14．用总长14．8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0．5m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？
15．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大？
16．已知A，B两地的距离是、根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在，假设油价是7元/L，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
17．作函数的大致图象．
18．已知函数．当时，求证．
19．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
答案第1页，共2页5.3 导数在研究函数中的应用
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5．3．1函数的单调性
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；
（2），；
（3）．
解：（1）因为，所以
．
所以，函数在R上单调递减，如图5.3-4（1）所示．
（1） （2） （3）
图5.3-4
（2）因为，，所以
．
所以，函数在上单调递减，如图5.3-4（2）所示．
（3）因为，，所以
．
所以，函数在区间和上单调递增，如图5.3-4（3）所示．
例2 已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，．
试画出函数图象的大致形状．
解：当时，，可知在区间上单调递增；
当，或时，，可知在区间和上都单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数图象的大致形状如图5.3-5所示．
图5.3-5
练习
1．判断下列函数的单调性：
（1）；
（2）
2．利用导数讨论二次函数的单调区间．
3．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
例3 求函数的单调区间．
解：函数的定义域为R．对求导数，得
．
令，解得
，或．
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示．
表5.3-1
所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图5.3-6所示．
图5.3-6
例4 设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系．
图5.3-8
解：因为，，所以
，．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，，在上都是增函数．在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”．
所以，，的图象依次是图5.3-8中的，．
练习
4．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；
（2）．
5．证明函数在区间上单调递减．
6．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
5．3．2函数的极值与最大（小）值
例5 求函数的极值．
解：因为，所以
．
令，解得，或．
当x变化时，，的变化情况如表5.3-2所示；
表5.3-2
因此，当时，有极大值，并且极大值为
；
当时，有极小值，并且极小值为
．
函数的图象如图5.3-12所示．
图5.3-12
练习
7．函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．
8．求下列函数的极值：
（1）
（2）
（3）；
（4）
例6 求函数在区间上的最大值与最小值．
解：由例5可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为．
又由于
，，
所以，函数在区间上的最大值是4，最小值是．
上述结论可以从函数在区间上的图象（图5.3-16）得到直观验证．
图5.3-16
练习
9．参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），，
（2），
（3），
（4），．
10．证明不等式：，
例7 给定函数．
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程解的个数．
解：（1）函数的定义域为．
．
令，解得．
，的变化情况如表5.3-4所示．
表5.3-4
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，有极小值．
（2）令，解得．
当时，；当时，．
所以，的图象经过特殊点，，．
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；
当时，，．
根据以上信息，我们画出的大致图象如图5.3-17所示．
图5.3-17
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数．
由（1）及图5.3-17可得，当时，有最小值．
所以，关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当或时，解为1个；
当时，解为2个．
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是，其中r（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为．
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是
，．
所以
．
令，解得．
当时，；当时，．
因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为时，利润最大．
（2）半径为时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
练习
11．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，，
12．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？
习题5．3
13．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2），
（3） （4）
14．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2）
（3） （4）．
15．如图，已知汽车在笔直的公路上行驶．
（1）如果表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点；
（2）如果表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？
16．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数有极大值？
（2）导函数有极小值？
（3）函数有极大值？
（4）函数有极小值？
17．求下列函数的极值：
（1） （2）；
（3） （4）
18．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
19．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
20．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；
(2)x多大时，方盒的容积V最大？
21．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小．
22．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
23．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
24．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1），；
（2），．
25．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数．的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数图象的人致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）在单调递减, 在上单调递增.（2）在单调递减，在上单调递增.
【分析】求出，分别令，，即可解出的单调递增、递减区间.
【详解】（1）,
令，
所以在上单调递增，在单调递减.
（2），
令，
所以在上单调递增，在单调递减.
2．答案见解析
【分析】由二次函数解析式得且，讨论、情况下的单调区间即可.
【详解】由题设知：，而时有，
当时，单调递增，则上，单调递减；上，单调递增；
当时，单调递减，则上，单调递增；上，单调递减；
∴综上，时在上递减，上递增；时在上递增，上递减；
3．图象见解析
【分析】由图知：、上，上有且处不存在导数值，即可画出的大致图象.
【详解】由图知：时，为定值，即；
时，单调递减，即导数值小于0；
时，为定值，即；
处的左右导数不相等，故此处不可导.
4．（1）单调递减区间为和，单调递增区间为;
（2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为和;
【分析】根据导数判断函数的单调性即可.
【详解】(1)因为，
所以，
令解得或，
所以函数的单调递减区间为和，
单调递增区间为;
(2)因为，
所以，
令解得或，
所以函数的单调递减区间为，
单调递增区间为和;
5．证明见解析
【分析】对函数进行求导，验证导数在区间上为负.
【详解】因为，所以，
当时，，
所以函数在区间上单调递减．
6．图象见解析
【分析】由的图象分析在不同区间的符号及变化规律，进而确定在对应区间的单调性，即可画出图象的大致形状．
【详解】由图知：时，且为定值；
时，单调递减，且在上，在上；
时，单调递增，且在上，在上；
∴，单调递增且为斜率大于0的直线；
，单调递增；，单调递减；
，单调递减；，单调递增；
7．是函数的极值点，是极大值点，是极小值点.
【分析】根据极值点的导数为0，点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号.
【详解】因为点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以是函数的极值点；又因为时，，时，，所以是极大值点；
因为时，，时，，所以是极小值点.
8．（1）极小值为，无极大值；（2）极小值为，极大值为；.
（3）极小值为，极大值为；（4）极小值为，极大值为.
【分析】求写出定义域，求出导函数，研究单调性，用列表法求出极值.
【详解】（1）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x
- 0 +
↘ ↗
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -3 3
+ 0 - 0 +
↗ 54 ↘ -54 ↗
所以函数的极小值为，极大值为..
（3）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -2 2
- 0 + 0 -
↘ -10 ↗ 22 ↘
所以函数的极小值为，极大值为..
（4）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -1 1
- 0 + 0 -
↘ -2 ↗ 2 ↘
所以函数的极小值为，极大值为.
9．（1）最小值为，最大值为20；（2）最大值为54，最小值为；（3）最大值为22，最小值为；（4）最大值为，最小值为．
【分析】（1）求出函数的对称轴，讨论与区间的关系，可得最值；
（2）求出函数的导数，求出极值和端点处的函数值，可得最值；
（3）求出导数，求得极值和端点的函数值，可得最值；
（4）求出导数，求得区间，为递减，即可得到所求最值．
【详解】解：（1），，对称轴为，
可得的最小值为，
，，
即的最大值为20；
（2），的导数为，
令，可得，
， ，
，，
即有的最大值为54，最小值为；
（3），的导数为，
由，可得舍去），
， ，，
即有的最大值为22，最小值为；
（4）的导数为，
由，，可得，则在，单调递减，
即有的最大值为，最小值为．
10．证明见解析
【分析】构造，利用导数研究在上单调性并确定最小值，即可证明结论.
【详解】由题设，要证只需证即可，
令，则，而，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故，即在上恒成立，
∴，得证.
11．证明见解析
【分析】构造，利用导数研究其在上的单调性并确定最小值，即可证明，进而画出、的图象.
【详解】∵等价于，
∴可令，则，在上，
∴在上单调递增，即，
∴在上恒成立，则，得证.
12．
【分析】假设圆的半径为，矩形的长为，根据题目信息得到关系式，再将图形的周长表示出来得，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时的值即可.
【详解】设圆的半径为，则半圆的面积为，
所以矩形的宽为，设矩形的长为，则矩形的面积为，
所以，即，
该图形的周长为，
令，所以，
令
解得：（舍负），
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以当即时，函数取得最小值.
即圆的直径时，所需材料最省.
13．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；
【分析】分别对各函数求导，通过导数与0的关系判断函数单调性，并求得单调区间即可.
【详解】（1），则函数在上单调递减，即单减区间为，无单增区间；
（2），，
则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；
（3），则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；
（4），则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；
14．(1) 单调减区间为，单调增区间为；
(2) 单调减区间为，单调增区间为；
(3) 单调增区间为，无单调减区间；
(4) 单调增区间为和，单调减区间为.
【分析】根据二次函数的图像性质可以求解（1）（2），根据导数的正负可判断函数的单调性及单调区间求解（3）（4）即可.
【详解】（1）因为二次函数，
所以抛物线的对称轴为，
所以的单调减区间为，单调增区间为；
（2）因为二次函数，
所以抛物线的对称轴为，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为；
（3）因为，
所以，由于，
所以函数的单调增区间为，无单调减区间；
（4）因为，所以，
令解得或，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
15．（1）各点见图示；（2）各点处的加速度为0.
【分析】（1）位移对于时间t的导数即速度，故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点；
（2）速度对于时间t的导数即加速度，故（1）中各点对应的几何意义即加速度为0.
【详解】如图所示：
（1）因为位移对于时间t的导数即速度，故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点；
所以汽车速度等于0的点为；
（2）因为速度对于时间t的导数即加速度，故（1）中标出点的意义是各点处的加速度为0.
16．（1）；（2），；（3）；（4）；
【分析】根据导函数的图像判断导函数的极大值和极小值点；由导函数图像判断原函数的单调区间，从而求得原函数的极大值和极小值点.
【详解】（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点；
（2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点；
（3）由图知，，，函数单增；，，函数单减；，，函数单增；
则函数在处取极大值；
（4）由（3）知，函数在处取极小值；
17．（1）极小值，无极大值；（2）极大值，极小值；（3）极大值，极小值；（4）极小值，极大值.
【分析】对各式进行求导，根据导数的符号确定单调区间及极值点，再根据的解析式求极值即可.
【详解】（1），则，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴有极小值，无极大值.
（2），则有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴极大值，极小值.
（3），则有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴极大值，极小值.
（4），则有，
∴时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减；
∴极小值，极大值.
18．（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为.
【分析】对各式进行求导，在给定区间内根据导数的符号确定单调区间，进而可得的极值，再结合端点值，即可得在区间内的最值.
【详解】（1），则，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极小值为，而，，
∴在上最大值为，最小值为.
（2），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极大值为，极小值为，而， ，
综上，在上最大值为，最小值为.
（3），则时有，
∴时，，单调递减；
∴在上最大值为，最小值为.
（4），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；
∴在上的极大值为，而， ，
∴在上最大值为，最小值为.
19．两段铁丝的长度均为.
【分析】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积，利用导数求它的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长)即可.
【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，
∴两个正方形的面积和，则，
∴时，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.
综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据长方体的体积公式进行求解即可；
（2）利用导数进行求解即可.
(1)
由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，，
所以方盒的容积；
(2)
解得：，
当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大.
21．证明见解析；
【分析】对方差求导，求得单调区间，在处取得最小值.
【详解】，
则当时，，
，，函数单减；，，函数单增；
方差在时，取得最小值.
22．当q=84时，利润最大
【详解】先求出利润L关于q的函数关系式.,显然当q=84时，利润最大
23．
【分析】设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了个10%，从而销量提高了个40%，从而求得可获得的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价.
【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，
则，
求导得，令，
解得，由知，，
当时，，函数单增；
当时，，函数单减；
因此是函数的极大值点，也是最大值点；
故当销售价为元/件时，可获得最大利润.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）构造，利用导数研究的单调性并确定最小值，即可证，然后画出、的图象；
（2）构造、，利用导数研究它们在上的单调性，即可证结论，然后画出、、的图象.
【详解】（1）由题意，等价于，令，
∴，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴，得证.
（2）由题设，等价于，等价于，
令，则，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
令，则，而，
∴时，，单调递增，
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
综上，，上恒成立.
答案第1页，共2页复习参考题 4
复习参考题4
一．解答题
1．根据下列数列的通项公式，分别作出它们的图象.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
（1），，，；
（2），，，；
（3）0，，0，．
二．选择题
3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变
4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）
A． B． C． D．
三．填空题
6．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________．
7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
四．解答题
8．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元．他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行了多少天？
9．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推：第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），
你会选择哪种方式领取报酬呢？
10．非零实数a，b，c不全相等．
（1）若a，b，c成等差数列，，，构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？
（2）若a，b，c成等比数列，，，能构成等比数列吗？为什么？
11．小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？
12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．
（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．
13．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
14．已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
15．类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．
（1）根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式；
名称 等差数列 等比数列
定义
通项公式
常用性质 ①… ② ③ ④ ① ② ③若， 则 ④
（2）在等差数列中，若，则有．相应地，在等比数列中，若，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明．
16．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为．
（1）求出；
（2）试归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式探求的表达式．
参考公式：．
17．有理数都能表示成，且，m与n互质）的形式，进而有理数集且，m与n互质}．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？
思考下列问题：
（1）是有理数吗？请说明理由．
（2）是有理数吗？请说明理由．
18．平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论．
19．若数列满足，，，则称为斐波那契数列．试用数学归纳法证明其通项公式为．
答案第1页，共2页4.4 数学归纳法
第四章 数列
4．4 数学归纳法
例题
1．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
练习
2．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是
3．用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．
例题
4．用数学归纳法证明.
5．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
6．设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
练习
7．用数学归纳法证明：
8．若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明．
9．观察下列两个数列，：
数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…．
猜想从第几项起小于，并证明你的结论．
10．猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
习题4．4
一．选择题
11．用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（　　）
A． B． C． D．
二．解答题
12．用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）．
13．已知数列满足，．计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
14．已知数列，，，…，，…的前n项和为．计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
15．用数学归纳法证明：．
16．已知数列，的通项公式分别为，，其中，试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论．
17．已知数列满足，．试用数学归纳法证明并比较与的大小关系．
18．证明：能够被6整除．
19．一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．
20．已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
答案第1页，共2页4.3 等比数列
1第四章 数列
4．3 等比数列
4．3．1等比数列的概念
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．
分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解．
解法1：由，，得
②的两边分别除以①的两边，得
．
解得
或．
把代入①，得
．
此时
．
把代入①，得
．
此时
．
因此，的第5项是24或．
解法2：因为是与的等比中项，所以
．
所以
．
因此，的第5项是24或．
例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示．
解：由题意，得
， ①
． ②
②的两边分别除以①的两边，得
，
所以
．
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．
练习
1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
（1）3，9，15，21，27，33；
（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
（3），，，，，；
（4）4，，16，，64，．
2．已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数．
q
2 8
2 0.2
3．在等比数列中，，．求和公比q．
4．对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论．
5．已知数列是等比数列．
（1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？
（2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？
例4 用10000元购买某个理财产品一年．
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列．
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以
．
所以，12个月后的利息为（元）．
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是
．
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
元．
解不等式，得
．
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．
例5 已知数列的首项．
（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．
证明：（1）由，，得的通项公式为
．
设，则
．
又
，
所以，是以27为首项，9为公比的等比数列．
（2）由，，得
．
两边取以3为底的对数，得
．
所以
．
又
，
所以，是首项为1，公差为的等差数列．
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法．
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．
由题意，知
，
，其中，2，…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
．
由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）．
表4.3-1
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可．
由
，
得
．
所以，当时，递减．
又
，
所以，当时，
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内．
练习
6．求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列．
7．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由．
（1）数列，其中；
（2）数列，其中．
8．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？
9．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据）？
10．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值．
4．3．2等比数列的前n项和公式
例7 已知数列是等比数列．
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n．
解：（1）因为，，所以
．
（2）由，，可得
，
即
．
又由，得
，
所以
．
（3）把，，代入，得
．
整理，得
，
解得
．
例8 已知等比数列的首项为，前n项和为．若，求公比q．
解：若，则
，
所以
．
当时，由，得
．
整理，得
，
即
．
所以
．
例9 已知等比数列的公比，前n项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比．
证明：当时，
，
，
，
所以，，成等比数列，公比为1．
当时，
，
，
，
所以
．
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为．
练习
11．已知数列是等比数列．
（1）若，，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，求q与；
（4）若，，求与q．
12．已知，且．对于，证明：．
13．设等比数列的前n项和为 .已知求和 .
14．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比．
15．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
例10 如图4.3-2，正方形的边长为，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．
图4.3-2
（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．
解：设正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则
．
由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
．
因此，是以25为首项，为公比的等比数列．
设的前n项和为．
（1）．
所以，前10个正方形的面积之和为．
（2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和．而
，
随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50．
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则
，
，
．
当时，．
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成品的形式，其中k，r为常数；
（3）求的值（精确到1）．
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答．
解：（1）由题意，得，并且
． ①
（2）将化成
． ②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，（1）中的递推公式可以化为
．
（3）由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则
．
所以
．
练习
16．某教育网站本月的用户为500人网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1）？
17．一个乒乓球从高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍．
(1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到）
(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？
18．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？
19．已知数列的前n项和为，若，求．
习题4．3
20．已知数列是等比数列．
（1）若，，求q与；
（2）若，，求．
21．已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
22．求和：
（1）（；
（2）．
23．放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年．
（1）碳14的年衰变率为多少（精确到）
（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？
24．已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列.求证：，，成等差数列．
25．求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
26．在数列的首项为 ，且满足．
（1）求证：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
27．若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和．
28．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，求的最大值．
29．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
30．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）不是；（2）是等比数列， ；（3）不是；（4）是等比数列，公比
【分析】根据等比数列的定义一一判断即可；
【详解】解：（1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列；
（2），，，，
所以，所以是等比数列，公比
（3），，，，，；
显然，故不是等比数列；
（4）因为，，，，，；
所以，所以是等比数列，公比
2．第一行：4，16，；第二行：50，0.08，0.0032
【分析】根据表格中的数据解出，再代入通项公式即可.
【详解】第一行：，所以.
第二行：
3．或
【分析】设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的性质求出， 即可求出，再代入，即可求出；
【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，因为，，由等比数列的性质可得，，又，
，，
，解得：，
当时，由，所以；
当时，由，所以
所以或
4．是（证明见解析）
【分析】根据题意写出通项公式，再由等比数列的定义即可判断.
【详解】由题意知: ,
因为，，，为定值常数.
且
所以数列为以为首项，为公比的等比数列.
5．（1），，成等比数列，，，成等比数列；（2），，成等比数列，，，是等比数列.
【分析】（1）分别说明和即可；
（2）分别说明和即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
则，，，
，则，，成等比数列，
又，则，所以，，成等比数列；
（2），，
，所以，，成等比数列；
又，则，
所以，，是等比数列.
6．（1）、；（2）、、、.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解.
（2）利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，
设等比数列的公比为，
则，解得，
所以在9与243中间插入2个数为、.
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列，
设等比数列的公比为，
则，解得.
所以在160与中间插入4个数为、、、.
7．（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】（1）利用等比数列的定义判断即可.
（2）利用等比数列的定义判断即可.
【详解】数列，都是等比数列，设公比分别为、（、均不为）
（1）由，则，
所以数列为等比数列.
（2）由，则.
所以数列为等比数列.
8．128145辆
【分析】将其转化为等比数列，运用等比数列通项知识求基本量即可求出结果
【详解】根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为，则，公比，所以，则2025年全年约生产新能源汽车为（辆），
故2025年全年约生产新能源汽车128145辆.
9．
【分析】设平均增长率，依题意可得，，解方程可求，
【详解】解：设平均增长率，依题意可得，，
则，
所以，
故平均增长率约为．
10．3
【分析】根据已知条件列出前2项比较大小，然后根据最大列出不等式方程组即可得到答案.
【详解】设时，最大，
因为，，
所以
所以
即，故 ， ，
即
所以
故当取最大值时，
11．（1）； （2）； （3），； （4）或.
【分析】（1）根据等比数的求和公式，即可求解；
（2）由题设条件和等比数列的通项公式求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解；
（3）根据等比数列的通项公式，列出方程求得公比，结合求和公式，即可求解.
（4）设等比数列的公比为，结合通项公式和求和公式，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）因为，，，可得.
（2）因为，，且，
所以.
（3）设等比数列的公比为，因为，，可得，
即，解得，所以.
（4）设等比数列的公比为，因为，，
当时，可得，此时，满足题意；
当时，可得，解得.
12．证明过程看解析.
【分析】利用错位相减法直接求和.
【详解】证明：记，
因为，且，所以两边同乘以，得：
，
所以，
所以.
所以，即证.
13．当时， ；当时，
【详解】设的公比为，由题设得
解得或 ，
当时， ；
当时，
14．答案见解析
【分析】由已知条件，结合等比数列的性质，即可直接求解.
【详解】设这三个数分别为，则满足
由题意可得，
联立方程组，可得或，
当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为；
当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为；
15．
【分析】依题意设数列的首项为，公比为，根据等比数列前项和公式得到方程组，两式作商即可求出
【详解】解：依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求
16．32
【分析】由题可得每月的用户数形成一个等比数列，由求解可得.
【详解】根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列，
则首项，公比，
则由可得，，
则，所以大约经过32个月可使用户达到1万人.
17．(1)386cm
(2)8
【分析】（1）利用等比数列的求和公式可得；
（2）利用求和公式列出不等式即可求出.
(1)
由题可知，每次落地的高度形成以1为首项，0.61为公比的等比数列，
则当它第6次着地时，经过的总路程为
，
所以当它第6次着地时，经过的总路程是386cm；
(2)
由题意得，
整理得，所以，
则至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到.
18．424万元
【分析】设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，则由规律可得第五年剩余资金为：，由题意知，，即可求得的值．
【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，则：
第一年剩余资金为：，
第二年剩余资金为：，
以此类推，第五年剩余资金为：，
由题意知，，
即，解得：，
故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金．
19．
【分析】利用公式化简即可得出数列为等比数列.即可求出答案.
【详解】当时：,
当时：
.
所以数列为以为首项，2为公比等比数列.
所以.
20．（1），； （2）或.
【分析】（1）根据题设条件列出方程组，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解；
（2）由题设条件，列出方程组，求得或，分类讨论求得首项的值，即可求解.
【详解】（1）由数列是等比数列，设等比数列的公比为，
因为，，可得，即，解得，
所以.
（2）设等比数列的公比为，因为，，
可得，即，解得或，
当时，可得，则；
当时，可得，则.
21．答案见解析.
【分析】（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（3）这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为.
【详解】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为.
22．（1）（2）
【分析】（1）将式子分组，再分别利用等差数列与等比数列的前项和公式即可.
（2）讨论的取值，当时，直接利用等差数列的前项和公式；当时，利用错位相减即可求出答案.
【详解】（1）
=
=
（2）当时：
当时：记
化简得：
综上所述：
23．（1）；（2）4221.
【分析】（1）根据题意，生物体死亡n年后，体内每克组织中的碳14的残留量为，则可判断出是一个等比数列，由题意列出通项公式，解出q即可；
（2）由题意，利用等比数列的通项公式列方程，解出n.
【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q，n年后的残留量为，则是一个等比数列．由碳14的半衰期为5730，则
，解得：．
即碳14的年衰变率为；
(2)设动物约在距今n年前死亡，由，得
，
解得，所以动物约在距今4221年前死亡．
24．见解析
【分析】根据为等比数列且，，成等差数列，即可解出，将、用表示出来，即可证明之.
【详解】因为，，成等差数列.
所以
（1）当时：，代入解得.不满足题意.
（2）当时：，代入得.化简得.
所以,即
所以.
所以，，成等差数列．
25． ，.
【分析】利用 中 实现1,11,111,1111,1111……，从1位数到n位数.
【详解】设该数列为 ，其前n项和为
因为
所以该数列的一个通项公式为，
26．（1）证明见解析； （2）.
【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由（1）求得，分当为偶数和当为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列满足，即，
则，
又由，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
所以，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得，
综上可得，.
27．，2036
【分析】由题可得是首项为，公比为2的等比数列，即可求得通项公式和前10项和.
【详解】，，
是首项为，公比为2的等比数列，
，即，
.
28．
【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.
【详解】因为数列为等比数列，，公比，
所以 ，
所以
当时，最大，
即 ，解得：，
此时
29．（1）证明见解析； （2）.
【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以
设数列的前项和为，
则
，
若，即，
因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数的值为.
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）依题意首先求出的通项公式，即可得到，从而得到的通项公式，即可得证；
（2）假设存在成等比数列，根据等比中项的性质得到方程，即可得出矛盾，从而得证；
【详解】解：（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以
所以，即，即为公差为的等差数列；
（2）设数列中任意三项，，
则，假设成等比数列，则
即
因为
所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列．
答案第1页，共2页5.1 导数的概念及其意义
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5．1．1变化率的问题练习
1．求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度．
1．火箭发射后，其高度（单位：m）为．求：
（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；
（2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度．
2．一个小球从的高处自由下落，其运动方程为，求时小球的瞬时速度．
练习
3．你认为应该怎样定义抛物线在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率．
4．求抛物线在点处的切线方程．
5．1．2导数的概念及其几何意义练习
例1 设，求．
解：．
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和．
根据导数的定义，
，
所以
．
同理可得
．
在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与．说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以的速率上升．
一般地，反映了原油温度在时刻入附近的变化情况．
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，．
解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和．
根据导数的定义，
，
所以
．
同理可得
．
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与．说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少．
1．在例2中，计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
5．设，求．
6．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，求质点A在时的瞬时速度．
7．设函数求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（2）函数在处的导数．
例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象根据图象，请描述、比较曲线在，，附近的变化情况．
图5.1-6
解：我们用曲线从在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1）当时，曲线在处的切线平行于t轴，．这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
（3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．
从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢．
例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度（单位：）随时间t（单位：）变化的函数图象．根据图象，估计，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
图5.1-7
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率
，
所以
．
表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值．
表5.1-3
练习
1．根据图5.1—6，描述曲线在，附近增（减）以及增（减快慢的情况．
8．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．求曲线在点处的切线方程．
10．吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，气球的瞬时膨胀率．
习题5．1
11．一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为．求该物体在时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况．
12．圆的面积S（单位：）与半径R（单位：）的关系为，求时面积关于半径的瞬时变化率．
13．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．求：
（1）这段时间内的平均速度；
（2）时的瞬时速度．
14．已知车轮旋转的角度（单位：）与时间t（单位：s）满足关系式，求车轮转动开始后第时的瞬时角速度．
15．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）
A． B．
C． D．
16．如图，试描述函数在，，，0，1附近的变化情况．
17．求曲线在点（处的切线的倾斜角．
18．一个质量为的物体做直线运动，设位移y（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数 表示，并且物体的动能．求物体开始运动后第时的动能．
19．根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状．
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶．
20．已知函数的图象，试画出其导函数图象的大致形状．
21．在高台跳水运动中，时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是．高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数的物理意义是什么？试求v，关于时间t的函数解析式．
22．根据下列条件，分别画出函数的图象在这点附近的大致形状.
（1），；
（2），；
（3），．
答案第1页，共2页4.2 等差数列
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1等差数列的概念
例1 （1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.
解：（1）当时，由的通项公式，可得
.
于是.
把代入通项公式，得
.
所以，的公差为，首项为3.
（2）由已知条件，得
.
把，代入，得
.
把代入上式，得
.
所以，这个数列的第20项是.
例2 是不是等差数列，，，……的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看是否能使这个方程有正整数解.
解：由，，得这个数列的通项公式为
.
令，
解这个关于n的方程，得.
所以，是这个数列的项，是第100项.
练习
1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．
（1）95，82，69，56，43，30；
（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；
（3）1，－2，3，－4，5，－6；
（4）1，，，，，，．
2．求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；
（2）和.
3．已知在等差数列中，，．求．
4．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列．
例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得
.
由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是
.
根据题意，得
即
解这个不等式组，得.
所以，d的取值范围为.
例4 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
分析：（1）是一个确定的数列，只要把，表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设中的第n项是中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为的项.
解：（1）设数列的公差为.
由题意可知，，，于是
.
因为，所以，所以.
所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令，解得.
所以，是数列的第8项.
例5 已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证.
分析：只要根据等差数列的定义写出，，，，再利用已知条件即可得证.
证明：设数列的公差为d，则
，
，
，
.
所以，.
因为，所以.
练习
5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？
6．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.
7．在等差数列中，，，且，求．
8．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．
9．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d．
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
4.2.2等差数列的前n项和公式
例6 已知数列是等差数列.
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，，求n.
分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n.
解：（1）因为，，根据公式，可得
.
（2）因为，，所以.根据公式，可得
.
（3）把，，代入，得
.
整理，得
.
解得，或（舍去）.
所以.
例7 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和d.
解：由题意，知
，.
把它们代入公式
，
得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
练习
10．根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和．
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，．
11．等差数列，，，…的前多少项的和是？
12．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求．
13．在等差数列中，若，求k．
14．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数．
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.设数列的前n项和为，由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为.根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且.
由，可得.
因此，第1排应安排21个座位.
例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数k，使得当时，，递减.这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值.如图4.2-4，当时，关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求相应的n，的值.
图4.2-4
解法1：由以，得，所以是递减数列.
又由，可知：
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
也就是说，当或6时，最大.
因为，所以的最大值为30.
解法2：因为，
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.
练习
15．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
16．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式．
17．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值．
18．求集合，且中元素的个数，并求这些元素的和．
19．已知数列的通项公式为，前n项和为．求取得最小值时n的值．
习题4.2
20．根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量：
（1），，，求d及n；
（2），，，求及﹔
（3），，，求n及；
（4），，，求及．
21．已知为等差数列，，．求．
22．（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和．
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和．
（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？
23．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份．
24．已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数．
25．已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和．
26．已知是等差数列的前n项和．
（1）证明是等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，，求．
27．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
28．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？
29．已知等差数列的公差为d，求证．你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
30．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）是等差数列，公差为；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为.
【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.
【详解】解：（1）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为；
（2）通过观察可知，，，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（3）通过观察可知，，，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（4）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为.
2．（1）771；（2）.
【分析】由等差中项的定义直接求解即可.
【详解】（1）设647和895的等差中项为，则，故647和895的等差中项为；
（2）设和的等差中项为，则，故和的等差中项为.
3．
【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知，求得，进而求得公差d，即可得解.
【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列中，
，
4．，，
【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数．
【详解】解：在和之间插入3个数，使这5个数成等差数列，
，解得，
，
，
，
插入的这3个数为，，．
5．；
【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.
【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项，，
则，
.
综上可知，，第10排的座位数个.
6．图象见解析，
【分析】由递推关系，求出值，然后再作出图象，在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.
【详解】根据递推关系，可知，
作出数列的图象，如下图所示：
通过图象上所有点的直线的斜率.
7．
【分析】利用等差数列的通项公式，解出，代入即可.
【详解】设等差数列的公差为
则
所以
8．（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；
（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.
【详解】（1）数列是等差数列，
证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，
所以，
又因为，
故，
而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，
而，，
所以.
9．（1）是等差数列，首项为，公差为；（2）是等差数列，首项为首项为，公差为；（3）是等差数列，首项为，公差为；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
【分析】（1）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差；
（2）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差；
（3）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想.
【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为：
，这个新数列是等差数列，首项为，公差为.
（2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为：
，这个新数列是等差数列，首项为，公差为.
（3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：
，这个新数列是等差数列，首项为，公差为.
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
10．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用等差数列求和公式直接求解；
（2）利用等差数列求和公式直接求解；
（3）先求出等差数列的公差，再利用求和公式即可得解；
（4）利用求出项数，再利用求和公式即可得解；
【详解】（1）由题意，，，
所以
（2）由题意，，，
所以.
（3）由题意，，，，
所以
（4）由题意，，，
由，得 ，解得，
所以.
11．10
【分析】根据题意，找到首项和公差，利用前n项和公式即可解得.
【详解】等差数列，，，…的首项为公差，
设前n项的和为-100，则有，
解得：n=10.
即等差数列，，，…的前10项的和是.
12．72
【分析】由已知列出方程求出首项和公差即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
则.
13．16
【分析】结合等差数列的前n项和公式得到，然后结合中项性质得到，进而利用通项公式即可求解.
【详解】因为，所以，
即，因此，
所以，由题意知，
所以，所以
14．此数列中间一项是，项数为.
【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数及中间一项.
【详解】设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为，则，
设所有的偶数项和为，则，
，解得，
项数，中间项为，
由，
所以此数列中间一项是，项数为.
15．第二种方式获奖者收益更多．
【分析】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果.
【详解】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，即，，
所以共获奖金元，
由于，故第二种方式获奖者收益更多．
16．
【分析】利用公式
【详解】当时，,
当时，，
当时，，
所以.
17．存在最小值，
【分析】由已知可求得数列的通项公式，令，可知且，可知数列的前9项都是负数，第10项为正数，即值存在最小值.
【详解】由已知可知等差数列的首项，公差
则数列的通项公式为
令，即，又，且
即数列的前9项都是负数，第10项为正数，
故当时，存在最小值.
18．集合中有30个元素，这些元素的和为900.
【分析】由集合的元素特点可知，集合，再利用等差数列求和公式可得解.
【详解】集合，且，即
共30个奇数，构成以1为首项，公差为2的等差数列
利用等差数列求和公式得
故集合中有30个元素，这些元素的和为900.
19．
【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值.
【详解】当，，
解得：，
当和时，，
所以取得最小值时，.
20．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）由已知结合，求出，再由通项公式，求出；
（2）由已知结合，求出，再由通项公式求出；
（3）由已知结合，求出，再由通项公式求出；
（4）由已知结合通项公式，求出，再由前项和公式求出.
【详解】（1）因为等差数列中，，，，
所以，
；
（2）因为等差数列中，，，，
所以，
解得；
（3）因为等差数列中，，，，
所以，
整理得，解得，或（舍去），
；
（4）因为等差数列中，，，，
，
.
21．1
【分析】设的公差为d，根据通项公式列方程即可求解公差与首项，从而求出．
【详解】设的公差为d，首项为，根据题意得
∴
∴
22．（1）；（2）；（3）180，98550；（4）13，663.
【分析】根据等差数列的前n项和公式求和即可.
【详解】（1）通项公式为，所以，
（2）通项公式为，所以，
（3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995，
所以，
故和为，
（4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100，所以在小于100的正整数中共有13个数被7整除余2，每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7，
所以.
23．2061年
【分析】查历史记载列出时间表，根据即可回归周期求出它在本世纪回归的年份.
【详解】根据历史记载，哈雷彗星在1607年及以后的回归时间表为：
次数 1 2 3 4 5 7
年份 1607 1682 1759 1835 1910 1986
预测它在本世纪回归的年份为2061年.
24．4
【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数.
【详解】由题意可知：，，
则， 即，得
解得：或（舍去）
故这个多边形的边数为4.
25．6000
【分析】通过，都是等差数列，则也是等差数列，直接利用等差数列前项和公式求出数列的前100项和即可．
【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列，又，，，
则数列的前100项和为：．
26．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）写出，求出，化简，最终得出结论；
（2）求出，，求出公差，进一步求出，根据求和公式得出.
【详解】（1）∵
∴
∴
∴是等差数列；
（2），
公差
又∵
∴
∴
∴.
27．1472
【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.
【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项.
共有个，也是等差数列，
它们的和为，
这个新数列的各项之和为1472
28．（1）小时； （2）.
【分析】（1）根据条件求出时间的间隔，即可求得18时，最后一辆车行驶的时间；
（2）每辆车行驶的时间构成数列，结合等差数列的求和公式进行计算，即可求解.
【详解】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的间隔事件为，即为小时，
则第15辆车在小时，最后一辆车出发的事件为，
所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟.
（2）设每辆车行驶的时间构成数列，
由题意可得构成首项为，公差为的等差数列，
则15辆车行驶的时间的和为小时，
所以行驶的总里程为.
29．证明和解释见解析.
【分析】由通项公式可以证得结果.
【详解】因为等差数列的公差为，所以.
在斜率为的直线：上任取两点，，则，即公差为的等差数列的图象是由点组成的集合，这些点均匀分布在直线上.
30．（1）；（2）.
【分析】（1）利用每一层的小球的数量找到递推关系得解；
（2）根据递推关系结合等差数列的求和公式即可得解.
【详解】（1）由题意可知，
，
，
，，
；
所以数列的一个递推公式为；
（2）由题意，，
故，
所以数列的一个通项公式为.
答案第1页，共2页5.2 导数的运算
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5．2．1基本初等函数的导数
例1 求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）．
例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系
，
其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
．
所以
．
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
练习
1．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数；
（3）在处的导数；
（4）在处的导数．
3．求余弦曲线在点处的切线方程．
4．求曲线在点处的切线方程．
5．2．2导数的四则运算法则
例3 求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
例4 求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
解：（1）
．
（2）
．
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为
．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%； （2）98%．
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
．
（1）因为，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2）因为，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
练习
1．运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5．1节例2．你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？
5．求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）
（4）；（5），（6）
6．求曲线在点处的切线方程．
5．2．3简单复合函数的导数
例6 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
（2）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
（3）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
．
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式．求函数y在时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
．
当时，．
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为．
练习
7．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
8．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数．
9．求曲线在点处的切线方程．
习题：5．2
10．求下列函数的导数；
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
11．求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)；
(4)
(5)
(6)．
12．已知函数，且，求．
13．已知函数．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点处的切线方程．
14．求曲线在点处的切线方程．
15．已知函数满足，求在的导数．
16．设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程．
17．已知函数，求的导数，并求出的解集．
18．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有氡气，那么t天后，氡气的剩余量为．（参考数值，）
(1)氡气的散发速度是多少？
(2)的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？
19．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．
（1）求关于t的导数，并解释它的实际意义；
（2）当时，求运动员的滑雪速度；
（3）当运动员的滑雪路程为时，求此时的滑雪速度．
20．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．
21．请按步骤，完成下面的任务．
（1）利用信息技术工具，分别画出，0.5，0.1，0.05时，函数图象．
（2）画出函数的图象，并与上面的四个图象比较，当h越来越小时，你观察到了什么？
（3）猜测的导数，它与基本初等函数的导数公式表中的导数公式一样吗？
21．某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到．假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）的关系由函数表示．求下列时刻潮水的速度（精确到）
（1）上午6：00； （2）上午9：00；
（3）中午12：00； （4）下午6：00．
答案第1页，共2页复习参考题 4
复习参考题4
一．解答题
1．根据下列数列的通项公式，分别作出它们的图象.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
（1），，，；
（2），，，；
（3）0，，0，．
二．选择题
3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变
4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）
A． B． C． D．
三．填空题
6．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________．
7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
四．解答题
8．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元．他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行了多少天？
9．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推：第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），
你会选择哪种方式领取报酬呢？
10．非零实数a，b，c不全相等．
（1）若a，b，c成等差数列，，，构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？
（2）若a，b，c成等比数列，，，能构成等比数列吗？为什么？
11．小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？
12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．
（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．
13．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
14．已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
15．类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．
（1）根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式；
名称 等差数列 等比数列
定义
通项公式
常用性质 ①… ② ③ ④ ① ② ③若， 则 ④
（2）在等差数列中，若，则有．相应地，在等比数列中，若，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明．
16．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为．
（1）求出；
（2）试归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式探求的表达式．
参考公式：．
17．有理数都能表示成，且，m与n互质）的形式，进而有理数集且，m与n互质}．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？
思考下列问题：
（1）是有理数吗？请说明理由．
（2）是有理数吗？请说明理由．
18．平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论．
19．若数列满足，，，则称为斐波那契数列．试用数学归纳法证明其通项公式为．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．答案见解析
【分析】根据数列的通项公式求出它的前几项，从而作出它们的图象.
【详解】（1）的前5项分别为：，如下图所示：
（2）的前4项分别为：，如下图所示：
（3）的前5项分别为：3，，如下图所示：
（4）的前5项分别为：-1，，如下图所示：
2．（1），；（2），；（3），．
【分析】（1）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；
（2）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；
（3）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可．
【详解】（1），，，，
观察每一项的分子是连续的奇数，分母是，
，；
（2），，，，
观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式，
分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，
，；
（3），，0，，
该数列可化为，，，；
，．
3．B
【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果.
【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.
故选:B.
4．A
【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
5．B
【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.
【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，
所以为首项为，公比为的等比数列，
.
故选：B.
6． 5
【分析】由等差中项与等比中项计算即可.
【详解】若a，b，c三个数成等差数列.
所以.
若a，b，c三个数成等比数列.
所以
故答案为：5，.
7．3
【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，
∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.
8．16
【分析】由题意知每天得到的捐款成等差数列，写出首项与公差，代入前项和公式，即可解出答案.
【详解】由题意知：每天得到的捐款成等差数列.
且
则化简得：舍.
故这次募捐活动一共进行了16天.
9．见解析
【详解】，，．
下面考察，，的大小．可以看出时，．
因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式，
时，，，
因此，选用第三种付费方式．
10．（1）不构成（2）构成
【分析】（1）利用等差数列的通项公式为一次函数模型即可判断.
（2）根据等比中项判断即可.
【详解】（1）不成等差数列.可以从图像上解释. a，b，c成等差数列.则通项公式为的形式，且a，b，c位于同一直线上，而，，的通项公式却是的形式，，，不可能在同一直线上，故，，不是等差数列.
（2）成等比数列.因为a，b，c成等比数列，有，又由于a、b、c不为0，两边同取倒数有：.所以，，为等比数列.
11．元
【分析】根据复利计算即可得出答案.
【详解】由题意得，小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出的钱数为：
（元）
即能取到元.
12．（1）12；（2）.
【分析】（1）直接利用递推关系逐步计算可得使得需要多少步雹程；
（2）由，利用递推关系，分类讨论逆推出的不同取值，进而可得答案.
【详解】当时，即根据上述运算法得出：
故当时，使得需要12步雹程；
（2）若， 根据上述运算法进行逆推，
或；
若，则或；
当时，或；
若时，或；
当，则或；
当时，；
当时，，
故所有可能的取值集合．
13．（1）（2）
【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出,则可写出其通项公式.
（2）利用错位相减，化简解可得出答案.
【详解】（1）由题意知：，
即：化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以
化简得：.
14．（1）（2）不存在
【分析】（1）由题意知为等比数列，取代入等式即可解出，即可写出.
（2）根据题意结合第一问先写出的通项公式，假设存在，解出m、k、p结果与题意矛盾,则不存在.
【详解】（1）由题意知：
当时： ①
当时： ②
联立①②，解得.
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，.
所以.
所以.
设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
则，
所以，即.
又因为m，k，p成等差数列,
所以
所以
化简得
所以
又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
15．（1）答案见下表；（2）等式见解析；证明见解析；
【分析】（1）根据将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．类比推断出相关的对偶关系式即可；
（2）类比推测出对偶的等式，并根据等比数列性质进行证明即可.
【详解】（1）根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如下表：
名称 等差数列 等比数列
定义
通项公式
常用性质 ①… ② ③若， 则 ④ ① ② ③若， 则 ④
（2）类比推测出对偶的等式知，在等比数列中，若，
；
证明如下：
由等比数列性质知；
；
故当，即时，
；
则
同理当，即时，
综上所述：
16．（1）10；（2）；；证明见解析；
【分析】（1）根据图形可直接求出；
（2）观察图形的排列规律，归纳总结出与的关系式，并求得的表达式．
【详解】观察图形的排列规律可知，
；
；
；
（1）
（2）由上知，
则
故
又，则
17．（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）由可判断；
（2）由可判断.
【详解】无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，
（1），可以化为的形式，故是有理数；
（2），可以化为的形式，故是有理数.
18．；证明见解析；
【分析】根据时的直线条数，归纳出有n个点时的直线条数，利用数学归纳法证明即可.
【详解】当时，过任意两个点作直线，共有3条；
当时，设四个点为，过三点中的任意2点的直线有三条，过三点中的任意1点与D点相连的直线有3条，即共有条；
当时，设五个点为，同上，过中的任意2点的直线有6条，过中的任意1点与的连线共有4条，即共有条；
假设当，过k个点（任意三点不共线）中任意2点作直线，共有条；
当时，共有k+1个点（任意三点不共线），过k个点中任意2个作直线，共有条；过这k个点中的任一个点与相连的直线共有k条，因此，过这k+1个点中的任意2个点作直线，共有，
所以当时，假设成立；
综上，有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有条.
19．见解析
【分析】利用数学归纳法证明即可.
【详解】①当时，；
当时，；满足通项公式.
②假设时命题成立，即
则当时，
所以当时，命题也成立.
由1①②可知，数列的通项公式为.
答案第1页，共2页

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