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7.2 复数的四则运算
7.2复数的四则运算
7.2.1复数的加 减运算及其几何意义
例1计算.
解：
.
例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.
分析：由于复平面内的点，对应的复数分别为，，由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为，从而点，之间的距离为.
解：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为
.
练习
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
3．证明复数的加法满足交换律、结合律.
4．求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：
（1）；
（2）.
7.2.2复数的乘 除运算
例3计算.
解：
.
例4计算：
（1）；（2）.
分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式①计算.
解：（1）
；
（2）
.
例5计算.
解：
.
例6在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2），其中a，b，，且，.
分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根.对于（2），当时，一元二次方程无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根.
解：（1）因为，所以方程的根为.
（2）将方程的二次项系数化为1，得
.
配方，得
，
即.
由，知.类似（1），可得
.
所以原方程的根为.
在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
（1）当时，；
（2）当时，.
练习
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
6．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
7．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
8．在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）．
习题7.2
复习巩固
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
10．在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，求向量对应的复数.
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
12．1.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
综合运用
13．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
14．在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）.
15．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．
拓广探索
16．利用公式，把下列各式分解成一次因式的积；
（1）；
（2）.
17．若，则复平面内满足的点2的集合是什么图形？
10.使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解，观察并记录所发现的规律.
变式练习题
18．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．
19．计算：
(1)(1－2i)(1＋2i)；
(2)[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．
20．在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
21．已知求复数z.
22．计算i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
23．设，求证：
(1)
(2)
(3)
24．1.计算：
25．计算：i2 019＋(＋i)8－50＋.
26．在复平面内分别用点表示复数2－3i， 5i， －3， －5＋3i及它们的共轭复数．
27．已知z＝(x＋1)＋(y－1)i在复平面所对应的点在第二象限，求x与y的取值范围．
28．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是__________.
29．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|30．已知复数z满足条件z＝x＋yi，其中x<0，y>0，且x2＋y2<9，求此复数在复平面内表示的图形．
31．设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩( UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）5（2）（3）（4）0
【解析】直接进行复数的加减运算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】本题考查复数的加减运算，属于基础题.
2．（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析
【解析】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.
【详解】（1）复数1与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（2）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（3）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：
【点睛】本题考查复数加法的几何意义，属于基础题.
3．证明见解析
【解析】设，根据复数的加法运算证明，即可.
【详解】证明：复数的加法满足交换律.
设，则有，，
∵，，∴.
即复数的加法满足交换律.
复数的加法满足结合律.
设，有，∴，
即复数的加法满是结合律.
【点睛】本题考查复数加法运算的交换律、结合律的证明，属于基础题.
4．（1）（2）5
【解析】即为复平面上点到的距离，求的模即可.
【详解】（1）；
（2）.
【点睛】本题考查复平面内两个复数对应的两点之间的距离，属于基础题.
5．（1）（2）（3）
【解析】（1）根据复数乘法法则求解；
（2）根据复数乘法法则求解；
（3）根据复数乘法法则求解.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．（1）-5（2）-2i（3）5
【解析】（1）根据复数乘法法则求解；
（2）根据复数乘法法则求解;
（3）根据复数乘法法则求解.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的运算律直接计算.
(1)
解：；
(2)
解：；
(3)
解：；
(4)
解：.
8．（1）（2）
【解析】（1）利用配方法得到方程的根；
（2）利用公式法得到方程的根.
【详解】解：（1）因为，所以方程的根为．
（2）因为，所以方程的根为，即．
【点睛】本题考查复数范围内一元二次方程的根，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】根据复数加减法的运算法则直接运算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题考查了复数加减混合运算，考查了数学运算能力.
10．，
【解析】根据复数写出它在复平面对应点的坐标，从而知道向量的坐标表示，利用平面向量减法的几何意义求出平面的坐标表示，最后求出对应的复数.
【详解】解：由题意得，所以，故对应的复数为.
因为，所以向量对应的复数为.
【点睛】本题考查了复数与平面向量之间的关系，属于基础题.
11．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【解析】运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【点睛】本题考查了复数乘法的运算、加减法的运算法则，考查了数学运算能力.
12．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）分子分母同乘；（2）分子分母同乘；（3）先化简，再分子分母同乘；（4）先化简与，再分子分母同乘
(1)
(2)
(3)
(4)
13．3＋5i
【详解】试题分析：法一：设的坐标为，则对应的复数为，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即可求解的值，即可得到点对应的复数．
法二：设的坐标为，由于，可得，求出的值，即可得到点对应的复数；
试题解析：
方法一　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．
∴AC中点为，BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.
方法二　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)
＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.
点睛：本题主要考查了复数的几何意义及复数的表示，解答中根据复数的表示和平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分和复数相等的坐标间的关系，得到方程，求解的值，其中熟练掌握复数的运算和复数相等的条件是解答的关键．
14．（1）（2）
【解析】（1）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可；
（2）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可.
【详解】解：（1）,
∴方程的根为，即.
（2），
∴方程的根为，即.
【点睛】本题考查了在复数范围内求一元二次方程根的问题，考查了数学运算能力.
15．
【详解】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴解得
16．（1）；
（2）.
【解析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）运用平方差公式进行因式分解即可.
【详解】（1）；
（2）.
【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解，考查了平方差公式的应用，属于基础题.
17．以为圆心，以3为半径的圆.
【解析】解法1：根据复数模的几何意义进行判断即可；
解法2：根据复数的减法的运算法则和复数模的公式进行求解判断即可.
【详解】解法1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足的点Z的集合是以为圆心，以3为半径的圆.
解法2：.
即，
故复平面内满足的点2的集合是以为圆心，以3为半径的圆.
【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数学运算能力，属于基础题.
18．1011－1012i
【分析】根据复数的加减法运算法则化简计算即可.
【详解】原式＝(1－2＋3－4＋…－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2021－2022)i
＝(2021－1010)＋(1010－2022)i
＝1011－1012i.
19．(1)5
(2)32＋7i
【分析】（1）根据复数的乘法法则或平方差公式即可求得答案；
（2）根据复数的乘法法则即可求得答案.
(1)
方法一：原式＝1＋2i－2i－4i2＝5；
方法二：原式＝1－(2i)2＝1－4i2＝5.
(2)
原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.
20．(1)(x＋2i)(x－2i)
(2)(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
【分析】（1）利用复数范围内的因式分解即可求解.
（2）利用复数范围内的因式分解即可求解.
(1)
x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．
(2)
x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
21．或.
【分析】设 ，根据复数代数形式的乘法运算法则及复数相等的充要条件得到方程组解得即可；
【详解】解：设 ，则，所以，即，则
解得或，
故或.
22．1010＋1011i
【分析】根据的概念和运算规则化简计算即可得出答案.
【详解】原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由，求得，即可证得；
（2）由，求得，进而求得；
（3）由，分别求得和，即可证得.
(1)
解：由，可得，
所以.
(2)
解：由，可得，
则
(3)
解：由，可得，，
则，所以.
24．－2i
【分析】根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.
【详解】
.
25．256－i
【分析】根据复数的运算规则化简计算即可.
【详解】原式＝i4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－＋
＝i3＋(4i)4－＋i
＝－i＋256＋＋i
＝256＋
＝256－i.
26．答案见解析
【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的概念可得答案.
【详解】复数2－3i， 5i， －3， －5＋3i表示的点分别为A， B， C， D，其对应的共轭复数表示的点分别为A′， B′， ， D′.
作图如下：
27．
【分析】解不等式组即得解.
【详解】解：由题意得
所以
28．
【分析】由复数模的定义列不等式求解即可.
【详解】由题意得，∴5x2－6x－8＜0，∴(5x＋4)(x－2)＜0，
∴.
【点睛】本题主要考查了复数模的计算，属于基础题.
29．
【分析】根据|z1|【详解】因为|z1|故b的取值范围是(－1， 1).
故答案为：.
30．答案见解析
【分析】由复数的几何意义及点与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：如图，所求图形是以原点O为圆心、半径为3的扇形OAB的内部，不包括圆弧AB和半径OA， OB
31．复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心、1为半径的圆．
【分析】根据绝对值的定义求得集合中，再结合集合的综合运算结合模的几何意义，可得结论．
【详解】解　因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，由||z|－1|＝1－|z|，得1－|z|≥0，即|z|≤1，
所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．又因为B＝{z||z|<1，z∈C}，所以 UB＝{z||z|≥1， z∈C}．
因为z∈A∩( UB)等价于z∈A且z∈ UB，所以成立，则有|z|＝1，
由复数模的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心、1为半径的圆．
答案第1页，共2页8.1 基本立体图形
8.1 基本立体图形
例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
解：如图8.1-9所示.
练习
1．观察图中的物体，说出它们的主要结构特征．
2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．
1.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体．（ ）
2.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体．（ ）
3．填空题
2.一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是__________．
3.一个多面体最少有__________个面，此时这个多面体是__________．
4．设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱．
例2如图8.1-15（1），以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.
解：几何体如图8.1-15（2）所示，其中，垂足为E.
这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的.其中圆柱的底面分别是和，侧面是由梯形的上底绕轴旋转形成的；圆锥的底面是，侧面是由梯形的边绕轴旋转而成的.
练习
1．观察图中的物体，说出它们的主要结构特征．
2．说出图中物体的主要结构特征．
3．如图，以三角形ABC的一边AB所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．说出这个几何体的结构特征．
4．观察我们周围的物体，说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征．
习题8.1
复习巩固
1．如图，在长方体中，指出经过顶点D的棱和面.
2．如图，下列几何体中为棱柱的是____________.（填写序号）

3．充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，判断下列几何体是不是台体，并说明为什么.
5．如图，说出图中两个几何体的结构特征.

综合运用
6．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．
6．一个棱柱至少有5个面．( )
7．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形．( )
8．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥．( )
9．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形．( )
10．如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是
A． B．
C． D．
11．如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中.请说出这两个几何体的名称.
12．如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.
拓广探索
13．下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.
（1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；
（2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.
变式练习题
14．下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)
15．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
16．观察下图，分别判断①中的三棱镜和②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对.
17．画一个六面体：
(1)使它是一个四棱柱；
(2)使它是由两个三棱锥组成的；
(3)使它是五棱锥.
18．下列命题中正确的个数是_______.
①圆柱的轴经过上、下底面的圆心；
②圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高；
③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆；
④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径；
⑤一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；
⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.
19．指出图中三个空间图形的构成.
20．直角梯形ABCD如图所示，分别以AB、BC、CD、DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．
21．作出圆锥的直观图.
答案第1页，共2页8.6 空间直线、平面的垂直
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
例1如图8.6-3，已知正方体.
（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？
（2）求直线与所成的角的大小.
（3）求直线与所成的角的大小.
解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直.
（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°.
（3）如图8.6-4，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°.
例2如图8.6-5（1），在正方体中，为底面的中心.求证.
分析：要证明，应先构造直线与所成的角，若能证明这个角是直角，即得.
证明：如图8.6-5（2），连接.
∵是正方体，
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，，易证.
又为底面的中心，
∴为的中点，
∴，
∴.
练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
1．如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直．( )
2．垂直于同一条直线的两条直线平行．( )
3．如图，在长方体的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
4．如图，在长方体中，，，求：
（1）直线和所成的角的大小；
（2）直线和所成的角的大小.
5．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，，求证.
8.6.2 直线与平面垂直
例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图8.6-12，，，求证.
分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面内的两条相交直线即可.
证明：如图8.6-13，在平面内取两条相交直线m，n.
∵直线，
∴，.
∵，
∴，.
又，，m，n是两条相交直线，
∴.
例4如图8.6-15，在正方体中，求直线和平面所成的角.
分析：关键是找出直线在平面上的射影.
解：连接，，与相交于点O，连接.
设正方体的棱长为a.
∵，，，
∴平面.
∴.
又，
∴平面.
∴为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角.
在中，，，
∴.
∴.
∴直线和平面所成的角为30°.
练习
6．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
7．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
8．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？

9．过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的______心.（2）若，，则点O是边的______.（3）若，，，垂足都为P，则点O是的_____心.
例5如图8.6-19，直线l平行于平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等.
证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线，，垂足分别为，.
∵，，
∴.
设直线，确定的平面为，.
∵，
∴.
∴四边形是矩形.
∴.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等.
例6推导棱台的体积公式
，
其中，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.
解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，O，则垂直于棱台的上底面（想一想，为什么？），从而.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为、高为，则.于是
，.
所以棱台的体积
.
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以.
代入①，得
.
练习
10．已知直线和平面，若，，则与的位置关系是______.
11．已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线.
12．如图，和都垂直于平面，且，F是的中点，求证：平面.

13．求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.）
8.6.3 平面与平面垂直
例7如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面.
分析：要证平面平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可.这需要利用，是正方形的对角线.
证明：∵是正方体，
∴平面，
∴.
又，
∴平面，
∴平面平面.
例8如图8.6-28，是的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点..求证：平面平面.
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中，由题意可知，，，从而平面，进而平面平面.
证明：∵平面，
平面，
∴.
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，是的直径，
∴，即.
又，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面.
练习
14．如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了，这是为什么？
15．已知直线与平面，能使的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，平面，，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
17．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面.
例9如图8.6-32，已知平面平面，直线，，判断a与的位置关系.
解：在内作垂直于与交线的直线b.
∵，
∴.
又，
∴.
又，
∴.
直线a与平面.
例10如图8.6-33，已知平面，平面平面，求证：平面.
分析：要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线.由已知条件易得.再利用平面平面，过点A作的垂线，由两个平面垂直的性质可得.
证明：如图8.6-34，过点A作，垂足为E.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∵平面，
∴.
∵平面，平面，
∴.
又，
∴平面.
练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．
18．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面．( )
19．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面．( )
20．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．( )
21．若平面平面，且，则下列命题中正确的个数是（ ）
（1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线；（2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线；（3）平面内的任一条直线必垂直于平面；（4）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面.
A．3 B．2 C．1 D．0
22．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．已知平面，直线a，且，，，，判断直线a与平面的位置关系，并说明理由.
习题8.6
复习巩固
1．选择题
24．若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定
25．设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
26．直线，互相平行的一个充分条件是
A．，都平行于同一个平面 B．，与同一个平面所成的角相等
C．平行于所在的平面 D．，都垂直于同一个平面
2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内内写正确，错误的写错误．
27．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直．( )
28．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行．( )
29．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直．( )
30．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．( )
31．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．( )
32．判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明.
（1）一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；
（2）如果平面平面，平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补；
（3）如果平面平面，平面平面，那么平面平面.
33．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
34．如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：.
35．如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？
36．如图，在三V-ABC中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.
37．求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.
38．已知平面，且，求证：.
39．如图：已知平面.满足
求证：
综合运用
40．如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点，求证：.
41．如图：m，n是两条相交直线，是与m，n都垂直的两条直线，且直线l与都相交，求证：.
42．求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等.
43．如图，在V-ABC中，平面ABC，，你能判定，以及吗？
44．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？
45．求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面.
46．求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
47．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.
拓广探索
48．如图，在直三棱柱中，，求证：.
49．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
50．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由.
变式练习题
51．如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
52．直线平面，直线，则与不可能（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
53．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
54．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．
55．在正方体中，E是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
56．如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
57．如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
58．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为(　　)
A． B． C． D．
59．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定
60．如图，在四面体中，，．求证：平面平面．
61．已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
62．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
答案第1页，共2页6.2.2 向量的减法运算
6.2.2 向量的减法运算
例3 如图6.2-12（1），已知向量，，，，求作向量，.
作法：如图6.2-12（2），在平面内任取一点O，作，，，.则
，
.
例4 如图6.2-13，在中，，，你能用，表示向量，吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道
.
同样，由向量的减法，知
.
练习
1．如图，在各小题中，已知，分别求作．
2．填空：
____；____；____；____；____．
3．作图验证：．
变式练习题
4．如图，已知向量，不共线，求作向量．
5．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
6．如图，在 ABCD中，若，
(1)当满足什么条件时，
(2)当满足什么条件时，
7．证明：当向量不共线时，.
答案第1页，共2页
B
d-0
(1)
(2)
图6.2-12
D
C
b
A
B
图6.2-13
L
L
b
b
b
(1)
(2)
(3)
(4)
B
6
6
d-i
a
a
A
(1)
(2)
D
C
己
6
O
A
a
B
b
a
B
A
a
a
b
0
b
B6.4 平面向量的应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：，.
分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可.
证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以
，.
从而.
又，
所以，
于是，.
例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图6.4-4，取为基底，设，，则
，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，
.
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
.
练习
1.证明：等腰三角形的两个底角相等.
2.如下图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值.
3.如下图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设，，求的值.
6.4.2 向量在物理中的应用举例
例3在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
解：先来看共提旅行包的情况.如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
.
这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
事实上，要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为，若要使，只需，此时，即.
例4如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.
解：设点B是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图6.4-7，设，则
.
此时，船的航行时间
.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.
练习
1.一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求对该物体所做的功.
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和.此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小.
3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求：
（1）的大小；
（2）与夹角的大小.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
例5在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.
解：由余弦定理，得
，
所以.
由余弦定理的推论，得
，
利用计算器，可得.
所以.
例6在中，，，锐角C满足，求B（精确到1°）.
分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
解：因为，且C为锐角，
所以.
由余弦定理，得
，
所以.
进而.
利用计算器，可得.
练习
1.（1）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到0.1cm）；
（2）在中，已知，，，求C.
2.在中，已知，，，解这个三角形.
例7在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得
.
由正弦定理，得
，
.
例8在中，已知，，，解这个三角形.
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.
解：由正弦定理，得
.
因为，，
所以.
于是，或.
（1）当时，.
此时
.
（1）当时，.
此时
.
由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
练习
1.完成下列解三角形问题（角度精确到，边长精确到1cm）；
（1）在中，已知，，；
（2）在中，已知，，.
2.（1）在中，已知，，，求b和C；
（2）在中，已知，，，求C.
例9如图6.4-12，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.
分析：若测量者在A，B两点的对岸取定一点C（称作测量基点），则在点C处只能测出的大小，因而无法解决问题.为此，可以再取一点D，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.
解：如图6.4-13，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得，并且在C，D两点分别测得，，，.
在和中，由正弦定理，得
，
.
于是，在中，由余弦定理可得A，B两点间的距离
.
例10如图6.4-15，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度.
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得以点C（点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取一点D，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出.
解：如图6.4-15，选择一条水平基线，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是，，，测角仪器的高是h.那么，在中，由正弦定理，得
.
所以，这座建筑物的高度为
.
例11位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图.
解：根据题意，画出示意图（图6.4-16）.由余弦定理，得
.
于是
由正弦定理，得，
于是.
由于，
所以.
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行24 n mile.
练习
1.如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上.30min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东的方向上.已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
2.如下图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为.求证：山高.
3.如下图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行54 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到，距离精确到0.01 n mile）
习题6.4
复习巩固
1．若非零向量与满足，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
2．已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
3．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.
4．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为.
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；
（2）计算在上的投影向量.
5．一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
6．在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到）：
（1）；
（2）
7．在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）：
（1）；
（2）.
8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
9．在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？
10．在中，已知，，，求、．
综合运用
11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.
12．如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
13．一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
14．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
15．的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，
16．在中，求证：.
17．证明：设三角形的外接圆的半径是R，则.
18．在中，已知，，锐角满足，求（精确到）．
拓广探索
19．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
20．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
（1）三角形的面积；
（2）若r为三角形的内切圈半径，则；
（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，.
21．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：
(1)指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；
(2)用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
22．已知，，分别为△三个内角，，的对边，
（1）求角
（2）若，△的面积为，求，.
变式练习题
23．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的拉力为F1.
(1)判断|F1|， |F2|随θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.
24．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
25．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
26．设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心.
27．两个粒子A， B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，
(1)写出此时AB所在直线方程；
(2)计算在上的投影向量.
28．已知在△ABC中BC， CA， AB的长分别为a， b， c，试用向量方法证明：
(1)c＝bcosA＋acosB；
(2)c2＝a2＋b2－2abcosC.
29．试用向量法证明勾股定理
答案第1页，共2页10.3 频率与概率
10.3 频率与概率
10.3.1频率的稳定性
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；
（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率.
解：（1）2014年男婴出生的频率为，
2015年男婴出生的频率为.
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.
（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
练习
1．判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两次硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；
（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；
（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.
2．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
3．据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：
血型 A B O AB
人数/人 7704 10765 8970 3049
频率
（1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）；
（2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？
4．分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.
10.3.2随机模拟
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.
解：方法1 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装人编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.
方法2 利用电子表格软件模拟试验.在，，，，，单元格分别输入“”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.选中，，，，，单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.
表10.3-4是20次模拟试验的结果.事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率（约0.78）相差不大.
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是或.显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果.
解：设事件“甲获得冠军”，事件“单局比赛甲胜”，则.用计算器或计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：
423123423 344 114 453 525 332152342
534 443 512 541 125432334151314 354
相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似为.
练习
5．将一枚质地均匀的硬币连掷次,设事件“恰好两次正面朝上”,
（1）直接计算事件的概率;
（2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件发生的频率.
6．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.
（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.
7．（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；
（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；
（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
习题 10.3
复习巩固
8．在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率；
（1）圆形细胞；
（2）椭圆形细胞；
（3）不规则形状细胞.
9．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.
四面体的面 1 2 3 4
频数 22 18 21 39
10．在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：
元音字母 A E I O U
频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80%
（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；
（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么.
11．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：
父母血型的基因类型组合 子女血型的概率
O A B AB
综合运用
5．“用事件A发生的频率f（A）估计概率P（A），重复试验次数n越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明．
12．在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件“第i次摸到红球”，i=1，2，3.
（1）在两种摸球方式下分别猜想事件发生的概率的大小关系；
（2）重复做10次试验，求事件发生的频率，并填入下表.
放回摸球 不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别大吗？在不放回摸球方式下，事件的频率差别大吗？请说明原因.
变式练习题
13．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是
A． B． C． D．
14．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 [500,900) [900,1 100) [1 100,1 300) [1 300,1 500)
频数 48 121 208 223
频率
分组 [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900，＋∞)
频数 193 165 42
频率
（1）求各组的频率；
（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的频率.
15．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，如果前9个病人都没有治愈，那么第10个病人就一定能治愈吗？
16．某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
17．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A． B．
C． D．
18．玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗 _____.(填“公平”或“不公平”)
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）错误，理由见解析；（2）错误，理由见解析；（3）正确，理由见解析；（4）错误，理由见解析.
【解析】（1）随机事件的发生具有偶然性，所以说法错误；
（2）频率不等于概率，所以说法错误；
（3）正确；
（4）发生与不发生的概率不一定相等，所以说法错误.
【详解】解：（1）错误，理由：抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.
（2）错误，理由：事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4.
（3）正确，理由：这是频率的稳定性.
（4）错误，理由：随机事件发生的概率不一定是0.5.
【点睛】此题考查对频率和概率的理解辨析.
2．公平，理由见解析
【解析】分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解.
【详解】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以甲、乙获胜的概率都是.
【点睛】此题考查求事件发生的概率，利用概率解决实际问题，通过概率的计算决策游戏的公平性，关键在于准确求出概率.
3．（1）见解析；（2）0.294.
【解析】（1）每一种血型的人数除以总人数就是该组频率；
（2）H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约等于该种血型的频率.
【详解】解：（1）总人数：7704+10765+8970+3049=30488，
，，，
如表：
血型 A B O AB
人数/人 7704 10765 8970 3049
频率 0.253 0.353 0.294 0.100
（2）由（1）知H省O型血的频率为0.294，所以相应概率大约是0.294.
【点睛】此题考查根据已知数据计算频率，并用频率估计概率.
4．见解析
【解析】答案不唯一，以买彩票为例子.
【详解】解：概率很小的例子：买了一张彩票，中了特等奖.
概率很大的例子：买了一张彩票，没有中奖.
【点睛】此题考查对生活中的事例进行概率辨析.
5．(1) (2)答案见解析
【解析】(1)依据题意列出所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率,即可求得答案.
(2)利用计算器或计算机生成随机数表,即可求得事件发生的频率.
【详解】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下,
(正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正),
(反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反),
(正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反),
(反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反).
共有种等可能的结果
其中恰好两次正面朝上情况共有:种
则事件的概率为:
(2)利用计算机生成随机数表,如下:
8894 1305 9455 9299 1890
7619 2076 7048 7022 8041
2892 7711 9075 3766 4052
5979 1374 9553 4833 3330
7594 6371 1849 9742 1351
8025 3978 8410 5836 3081
4112 5590 8555 3376 1550
1239 9441 6182 6348 7098
3841 7536 8273 3350 6865
9801 1870 4863 2680 9120
7359 6230 5705 6075 4309
3813 9029 7765 7137 7122
6117 1963 4802 7182 3442
7848 6566 8963 1073 2339
6003 8962 5823 1921 9173
5964 9676 1216 1879 6356
数表中共有80组数据,每组数据有4个随机数,
规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数代表硬币的正面
由数表可得恰好两次正面朝上的组数有:26
事件发生的频率:
【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
6．(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)答案见解析.(4)答案见解析.
【解析】(1)"袋中没有黄球,故摸出的球是黄球"是不可能事件;
(2)"摸出的球是白球"是不确定事件,根据概率公式即可求解;
(3)"摸出的球是白球或黑球"是必然事件,故它的概率为;
(4)利用计算机生成随机数表,即可估计估计“取出的球是白球”的概率.
【详解】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为.
(2)“取出的球是白球”是随机事件事件,它的概率是.
(3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是
(4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球.
7 6 8 4 1
3 8 1 6 4
8 6 8 4 8
8 4 6 2 1
5 1 5 5 2
2 8 3 6 5
9 4 3 5 7
9 7 9 5 3
3 4 4 3 4
4 8 4 9 2
4 9 2 1 1
6 4 5 5 2
7 8 4 3 4
9 6 9 8 4
6 7 5 8 9
9 4 8 6 8
7 3 7 1 3
8 3 2 6 6
4 3 1 7 7
2 2 4 9 5
从表中可以查1-4数据有46个, 5-9数据有54个.
“取出的球是白球”的概率为:
【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
7．(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析
【解析】(1)写出基本事件,根据概率的计算公式,即可求得答案;
(2)利用计算机生成随机数表,即可计算出现点数和为7的频率;
(3)分析(1)和(2)所得数据,即可求得答案.
【详解】(1)抛掷两枚骰子,向上的点数有
(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6);
(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6);
(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6);
(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6);
(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6);
(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6).
共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,
概率.
(2)
63 51 35 66 42
54 66 42 64 22
46 36 42 26 55
53 51 12 32 24
62 52 32 12 63
61 31 12 22 64
64 12 51 23 52
46 25 32 65 41
31 31 15 43 13
52 42 15 52 26
22 61 65 42 25
14 42 11 25 42
26 62 36 41 62
34 31 31 16 24
64 34 22 45 62
54 16 34 22 64
12 23 54 41 54
52 21 45 35 66
13 65 11 14 41
51 54 32 36 44
52 42 15 52 26
22 61 65 42 25
53 52 16 32 24
62 52 32 12 63
规定每个表格中的第一个数字代表第一个骰子出现的数字,
第二个数字代表第二个骰子出现的数字
从表格中可以查出点数和为7等于23个数据
点数和为7的频率为:
(3)由(1)中点数和为7的概率为
由(2)点数和为7的频率为:
一般来说频率与概率有一定的差距,因为模拟的次数不多,不一定能反映真实情况.
【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表计算事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
8．（1）0；（2）；（3）1.
【解析】（1）有圆形细胞的豚鼠中：被感染个数除以150；
（2）有椭圆形细胞的豚鼠中：被感染个数除以250；
（3）有不规则细胞的豚鼠中：被感染个数除以100.
【详解】解：（1）有圆形细胞的豚鼠中没有被感染的，故概率的估计值为0；
（2）有椭圆形细胞的脈鼠有250只，被感染的有50只，概率的估计值为.
（3）有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，其概率估计值为1.
【点睛】此题考查频率与概率的关系，利用频率估计概率.
9．0.21
【解析】根据频数计算出频率即可估计概率.
【详解】解：标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计100值为0.21.
【点睛】此题考查频率与概率的关系，用频率估计概率.
10．（1）答案见解析；（2）不大接近，原因见解析.
【解析】（1）元音字母出现的频率即AEIOU五个字母出现频数分别除以所有字母出现次数；
（2）不完全接近，随机选一页，其频率往往偏差可能会很大.
【详解】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母，
其中元音字母出现频数和频率如下表，
A出现38次，频率为：5.97%
E出现96次，频率为：15.07%
I出现47次，频率为：7.38%
O出现52次，频率为：8.16%
U出现12次，频率为：1.88%
（2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
【点睛】此题考查频率与概率的关系，试验次数越多，频率越接近概率.
11．见解析
【分析】根据题意将子女所有血型列举出来，求出样本容量及各种血型的频数，再根据频率与概率的关系即可得解.
【详解】解：当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，
当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，
当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，
当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，
填入表中，如表所示：
父母血型的基因类型组合 子女血型的概率
O A B AB
所以一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：，，，共16个，
则他们的子女的血型是型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为.
12．（1）相等；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）每种摸球方式概率都相等；
（2）进行试验，统计频率；
（3）根据统计结果进行分析.
【详解】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看成对十个球进行排序，红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；
（2）通过试验统计得：（结果不唯一）
放回摸球 不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别不大，
两种摸球方式频率：的频率差别很小，无论放回不放回，不影响
的概率略有影响，因为试验次数较少，频率相比概率有一定偏差.
【点睛】此题考查频率与概率的关系辨析，有放回与无放回摸球频率差异.
13．C
【详解】数据落在[31.5，43.5)的频数为12+7+3=22,所以,应选C.
14．（1）见解析；（2）0.6.
【分析】（1）由频率，可得出各组的频率；
（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和.
【详解】解：（1）解：
分组 ， ， ， ， ， ， ，
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
（2）解：由（1）可得，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．
15．不一定.
【分析】由独立事件的概念直接判断.
【详解】不一定，因为每个病人都是独立的，治愈率为10%，与他人是否治愈无关.
16．该方案是公平的，理由见解析.
【分析】将各种情况利用表格，列出基本事件个数，再利用古典概型计算两数字之和为偶数或奇数的概率即可判断游戏是否公平.
【详解】该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，
其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，
所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝，
（2）班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的．
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、写出基本事件个数，属于基础题.
17．B
【分析】根据题意找出0～5的整数恰出现3次的四位数的组数，再根据古典概型即可得出答案.
【详解】解：在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.
故选：B.
18．不公平
【详解】如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域只有3个,所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平；
故答案为不公平
答案第1页，共2页6.4 平面向量的应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：，.
分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可.
证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以
，.
从而.
又，
所以，
于是，.
例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图6.4-4，取为基底，设，，则
，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，
.
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
.
练习
1.证明：等腰三角形的两个底角相等.
2.如下图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值.
3.如下图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设，，求的值.
6.4.2 向量在物理中的应用举例
例3在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
解：先来看共提旅行包的情况.如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
.
这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
事实上，要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为，若要使，只需，此时，即.
例4如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.
解：设点B是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图6.4-7，设，则
.
此时，船的航行时间
.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.
练习
1.一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求对该物体所做的功.
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和.此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小.
3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求：
（1）的大小；
（2）与夹角的大小.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
例5在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.
解：由余弦定理，得
，
所以.
由余弦定理的推论，得
，
利用计算器，可得.
所以.
例6在中，，，锐角C满足，求B（精确到1°）.
分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
解：因为，且C为锐角，
所以.
由余弦定理，得
，
所以.
进而.
利用计算器，可得.
练习
1.（1）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到0.1cm）；
（2）在中，已知，，，求C.
2.在中，已知，，，解这个三角形.
例7在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得
.
由正弦定理，得
，
.
例8在中，已知，，，解这个三角形.
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.
解：由正弦定理，得
.
因为，，
所以.
于是，或.
（1）当时，.
此时
.
（1）当时，.
此时
.
由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
练习
1.完成下列解三角形问题（角度精确到，边长精确到1cm）；
（1）在中，已知，，；
（2）在中，已知，，.
2.（1）在中，已知，，，求b和C；
（2）在中，已知，，，求C.
例9如图6.4-12，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.
分析：若测量者在A，B两点的对岸取定一点C（称作测量基点），则在点C处只能测出的大小，因而无法解决问题.为此，可以再取一点D，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.
解：如图6.4-13，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得，并且在C，D两点分别测得，，，.
在和中，由正弦定理，得
，
.
于是，在中，由余弦定理可得A，B两点间的距离
.
例10如图6.4-15，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度.
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得以点C（点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取一点D，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出.
解：如图6.4-15，选择一条水平基线，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是，，，测角仪器的高是h.那么，在中，由正弦定理，得
.
所以，这座建筑物的高度为
.
例11位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图.
解：根据题意，画出示意图（图6.4-16）.由余弦定理，得
.
于是
由正弦定理，得，
于是.
由于，
所以.
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行24 n mile.
练习
1.如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上.30min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东的方向上.已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
2.如下图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为.求证：山高.
3.如下图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行54 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到，距离精确到0.01 n mile）
习题6.4
复习巩固
1．若非零向量与满足，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
2．已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
3．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.
4．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为.
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；
（2）计算在上的投影向量.
5．一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
6．在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到）：
（1）；
（2）
7．在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）：
（1）；
（2）.
8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
9．在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？
10．在中，已知，，，求、．
综合运用
11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.
12．如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
13．一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
14．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
15．的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，
16．在中，求证：.
17．证明：设三角形的外接圆的半径是R，则.
18．在中，已知，，锐角满足，求（精确到）．
拓广探索
19．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
20．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
（1）三角形的面积；
（2）若r为三角形的内切圈半径，则；
（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，.
21．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：
(1)指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；
(2)用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
22．已知，，分别为△三个内角，，的对边，
（1）求角
（2）若，△的面积为，求，.
变式练习题
23．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的拉力为F1.
(1)判断|F1|， |F2|随θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.
24．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
25．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
26．设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心.
27．两个粒子A， B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，
(1)写出此时AB所在直线方程；
(2)计算在上的投影向量.
28．已知在△ABC中BC， CA， AB的长分别为a， b， c，试用向量方法证明：
(1)c＝bcosA＋acosB；
(2)c2＝a2＋b2－2abcosC.
29．试用向量法证明勾股定理
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由判断出，由判断出可得答案．
【详解】，
的角平分线与垂直，
，，
，，
为等边三角形．
故选：D．
2．C
【分析】由知O是的外心；利用共起点向量加法将变形为共线的两向量关系，得到N点在中线上的位置，从而判断为重心；由移项利用向量减法变形为，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心.
【详解】，则点O到的三个顶点距离相等，
O是的外心.
，，
设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心.
，.
即，同理由，可得.
所以P是的垂心.
故选：C.
【点睛】关于四心的向量关系式：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中 为的三边)
3．见解析
【解析】设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则，通过计算可得结果．
【详解】证明：如图，
设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则.
,即为直角.
【点睛】本题考查向量数量积的应用，是基础题．
4．（1）（2）
【解析】（1）通过计算可得；
（2）根据投影公式计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）设与的夹角为，
则，
所以在上的投影向量为：．
【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量的几何意义，是基础题．
5．（1）此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；（2）此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
【解析】（1）设人游泳的速度为，水流的速度为，根据向量加法的运算法则进行求解；
（2）根据向量加法的运算法则以及向量模长的公式进行求解．
【详解】解：（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，0B为邻边作，则此人的实际速度为.

在中，，所以，
实际前进的速度，
故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；
（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.
在中，，
所以，
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
【点睛】本题主要考查向量在物理中的应用，结合向量加法的运算法则以及向量夹角的定义是解决本题的关键．
6．（1）；
（2）.
【解析】（1）运用余弦定理，可得，再由正弦定理可得角，由内角和定理，可得角．
（2）由余弦定理和内角和定理，可解三角形．
【详解】解：（1）由余弦定理可得，，
解得，
由正弦定理可得，
则锐角，
则角，
则有；
（2）由余弦定理可得，
，
，，
，
则有．
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
7．（1）.
（2）或.
【解析】利用正弦定理，结合角的正弦值，注意运用三角形的边角关系和内角和定理，即可解三角形．
【详解】（1），
，
，
故；
（2）由正弦定理得，
则或，
当，；
当．
故或.
【点睛】本题考查正弦定理，考查解三角形，考查学生的计算能力，比较基础．
8．
【详解】在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.
9．大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【解析】先作图，根据图像算出气象台所在地距离台风中心的距离即可判断是否会受到台风的影响；另外利用余弦定理，算出会受到台风影响的临界点，进而可得受到影响的时间．
【详解】解：如图
设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则，
过A作于C，则，
，
∴气象台所在地会受到台风的影响，
设以A为圆心，以为半径的圆与直线BD交于E，F两点，
设，
由余弦定理得是方程的根，
方程整理得，
解得，
，
∴大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，关键是要求出受台风影响的临界点，是中档题．
10．，．
【解析】利用同角三角函数的平方关系计算出的值，利用正弦定理可求出的值，利用两角和公式求得的值，然后利用正弦定理可求出的值.
【详解】由，可知角为锐角，则．
由正弦定理，得．
，
由正弦定理，得．
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
11．.
【解析】先通过题意求出的坐标，再利用得结果．
【详解】解：由已知
，
，
∴点的坐标为.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是题目给出的运算规律的理解和应用，是基础题．
12．
【解析】即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可．
【详解】解：∵M，N分别是BC，AC的中点，
.
与的夹角等于.
，
，
，
．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题．
13．当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短，计算见解析
【解析】求出速度往船垂直于对岸方向的分解速度，再利用距离除以速度等于时间来球结果即可．
【详解】解：设与的夹角为，船行驶的时间为t,.
（1）当为钝角时，；
（2）当为锐角时，；
（3）当为直角时，；
当为钝角时，，
当为锐角时，.
所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.
【点睛】本题是小船渡河问题，关键是求出往运动方向上的分解速度，是基础题。
14．合速度的方向与水流的方向成150°的角. 小船航行速度的大小为.
【解析】作出图形，利用解直角三角形以及余弦定理可得结果．
【详解】解：如图
，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角.
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
∴小船航行速度的大小为.
【点睛】本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，是基础题。
15．见解析
【解析】将余弦定理代入整理即可，同理可以证明其余两式.
【详解】证明：根据余弦定理得，
所以，
所以，
同理可得，.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，是基础题．
16．证明见解析
【分析】利用余弦定理的推理将左边的余弦式进行角化边，化简整理即可得到右边.
【详解】根据余弦定理的推论，得左边右边，故等式成立.
【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题.
17．见解析
【解析】若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中可证明；若A是直角，可直接得；若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中可证明．
【详解】证明：（1）若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中，，即.

（2）若A是直角（如图②所示），在中，可直接得;
（3）若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中，，即.
由（1）（2）（3）得.
同理可证，.
【点睛】本题考查了正弦定理及其三角形外接圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．
【解析】求出的值，利用余弦定理求出，然后利用余弦定理求出的值，即可得出角的值.
【详解】，且为锐角，，
，，
，，．
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的类型，考查计算能力，属于基础题.
19．，证明见解析.
【分析】由于是对角线上的两点，要判断之间的关系，只需分别判断与之间的关系即可.
【详解】设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
20．（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）设三角形的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，则由余弦定理可得，求出并代入三角形面积公式，设，则，即可化简得证；
（2）由（1）可得．而又因为，，结合上述两式即可得证；
（3）由三角形面积公式可得，即可得解．
【详解】证明：（1）根据余弦定理的推论得，
则，代入，
得
又，
所以，
代入可得；
（2）因为，所以三角形的周长，
又三角形的面积，其中r为内切圆半径，
所以；
（3）根据三角形的面积公式，
得.
同理可证，.
【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式，平方差公式的应用，计算量较大，属于中档题．
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）需要测量的数据有到的的俯角，到的的俯角，之间的距离，得到答案.
（2）根据正弦定理得到，，再根据余弦定理得到答案.
(1)
需要测量的数据：
到的的俯角，到的的俯角，之间的距离.
(2)
第一步：计算
中，根据正弦定理：，故.
第二步：计算
中，根据正弦定理：，故.
第三步：计算
中，根据余弦定理：，
即
.
22．（1）；（2），.
【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理可得，结合三角形内角和的性质求角.
（2）利用三角形面积公式、余弦定理列方程组，求，即可.
【详解】（1）由正弦定理知：，而，
∴，即，又，
∴，即，又，
∴，则.
（2）由（1）及题设，，即，
将代入，整理得：，则，即，故.
23．(1)当从趋近时，都逐渐增大.
(2)
【分析】（1）根据向量运算得到，，，得到答案.
（2），，解得范围.
(1)
由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：，
如图，根据直角三角形可得，.
当从趋近时，都逐渐增大.
(2)
令，因为，得，所以.
故角的取值范围为.
24．
【解析】根据题意，用向量的方法求解，作出对应的受力分析图，得到，推出，再由题中数据，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【详解】解：如图，∵，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，熟记向量数量积的运算法则，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.
25．证明见解析
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】∵·＝·＝2－2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
26．答案见解析.
【分析】根据题意得到，即，同理可得垂直关系，得到答案.
【详解】·＝·，故，即，故；
同理可得：，，故O是的垂心.
27．(1)
(2)
【分析】（1）计算，得到直线方程.
（2）在上的投影向量为，计算得到答案.
(1)
，故方程为，即.
(2)
在上的投影向量为.
28．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】根据线段的几何关系有＝＋，
（1）将上式两边点乘，结合平面向量数量积的运算律及其定义，即可证结论.
（2）将上式两边平方，应用平面向量数量积的运算律及定义，可证结论.
(1)
∵＝＋，
∴·＝(＋)·， 即||2＝||·||cosA＋||||cosB，
∴c2＝bccosA＋accosB，则c＝bcosA＋acosB；
(2)
∵＝＋，
∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即c2＝b2＋a2＋2b·acos(180°－C)，
∴c2＝a2＋b2－2abcosC.
29．证明见解析.
【分析】先用文字语言叙述勾股定理，再用向量法进行证明.
【详解】已知：△ABC为直角三角形，A=90°.
求证：.
证明：在△ABC中，由向量的加法得：，
所以.
因为A=90°，所以，
所以，所以.
即证.
答案第1页，共2页9.1 随机抽样
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
练习
1．在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？
（1）调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；（2）调查一个地区结核病的发病率；
（3）调查一批炮弹的杀伤半径；（4）调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.
请你再举一些不宜用全面调查的例子，并说明理由.
2．如图，由均匀材质制成的一个正20面体（每个面都是正三角形），将20个面平分成10组，第1组标上0，第2组标上1，…，第10组标上9.
（1）投掷正20面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现0，1，2，…，9是等可能的吗？
（2）三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数（百位为0的也看作三位数），它是000~999范围内的随机数吗？
3．实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只作试验用.下列两种情况是否属于简单随机抽样？请说明理由.
（1）每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；
（2）将笼中的100只小白鼠按1~100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠.
4．如果计算器只能生成内的随机数，你有办法把它转化为1~100范围内的整数随机数吗？转化为1~712范围内的整数随机数呢？
5．在抽样调查中，请你说说通过“随机”选择样本的优、缺点.
练习
6．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）.
A．一定为 B．高于 C．低于 D．约为
7．在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查.小明调查的样本平均数为166.4，样本量为100；小华调查的样本平均数为164.7，样本量为200.你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数？说说你的理由.
8．找一组数据作为总体，自行设定样本量，进行多次简单随机抽样.观察样本量对估计总体平均数的影响，并试着解释其中的原因.
9.1.2分层随机抽样
练习
9．数据的平均数为，数据的平均数为，证明：.
10．有人说：“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力普查的结果差不多.而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法有道理吗？为什么？
11．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
12．要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例，小明根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查.请你查阅有关资料，说说这样的分层是否合理.你觉得在选择分层变量时应注意什么？
9.1.3 获取数据的途径
练习
13．请从国家统计局网站上查找我国水资源及其使用情况的一些数据，根据数据谈谈当前保护水资源的重要性.
14．近视是青少年存在的普遍问题，你能查找相关数据，并利用数据说说近几年我国在防治青少年近视上取得的成效吗？
习题9.1
复习巩固
15．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
16．某刊物对其读者进行满意度调查，调查表随刊物送到读者手中，对寄回的调查表进行分析，这是不是一项抽样调查？样本抽取是不是属于简单随机抽样？为什么？
17．中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得该节目的收视率，下面是三名同学为电视台设计的调查方案.
同学A：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中，这样，我就可以很快统计出收视率了.
同学B：我给我们居民小区的每一个住户发一份是否在除夕晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率.
同学C：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率.请问：上述三名同学设计的调查方案获得比较准确的收视率的可能性大吗？为什么？
18．下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本？
（1）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r.若或.则舍弃，重新抽取.
（2）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0.则抽中75.
（3）总体编号为6001~6876.在1~876范围内产生一个随机整数r，把r+6000作为抽中的编号.
19．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？
综合运用
20．数据，的平均数为，数据，的平均数为为常数，如果满足，证明：.
21．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.
（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.
（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：.
22．校学生会希望调查学生对本学期学生活动计划的意见，你自愿担任调查员，并打算在学校里抽取10%的同学作为样本.
（1）怎样安排抽样，可以提高样本的代表性？
（2）在调查抽样中你可能遇到哪些问题？
（3）这些问题可能会影响什么？
（4）你打算怎样解决这些问题？
23．一般来说，影响农作物收成的因素有气候、土质、田间管理水平等，如果你是一个农村调查队成员，要在麦收季节对你所在地区的小麦进行估产调查，你将如何设计调查方案？
拓广探索
24．如果调查目的是要确定被调查者的收入水平，请设计一种提问方法.
25．你可能想了解全校同学生活、学习中的一些情况，例如，全校同学比较喜欢哪门课程，每月的零花钱平均是多少，喜欢看《新闻联播》的同学的比例是多少，每天大约什么时间起床，每天睡眠的平均时间是多少，等，选一些自己关心的问题，设计一份调查问卷，利用简单随机抽样方法调查你们学校同学的情况，并解释你所得到的结论.
26．查询中央电视台最近五年春节联欢晚会的收视率，从中你能发现一些什么信息？查阅一些收视率调查所用的方法，在分析这些方法的合理性和不足的基础上，请你自行设计一个调查收视率的方案.
变式练习题
27．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是
A．1000名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本
D．样本容量是100
28．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取个个体作为样本；
(2)仓库中有万支奥运火炬，从中一次抽取支火炬进行质量检查；
(3)某连队从名党员官兵中，挑选出名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．
29．某班有名学生，要从中随机地抽出人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．
30．（1）某单位共有老、中、青年职工人，其中有青年职工人，中年职工人数是老年职工人数的倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工人，则该样本中的老年职工的人数为．
（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑
剪纸
其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取的人数．
31．（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为，，，，，，，，，．求甲在本次游戏中的平均成绩．
（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为；乙同学抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为6，已知甲乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合并后的样本的平均数.
32．（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求甲在本次游戏中的平均成绩．
（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值．
答案第1页，共2页6.3.1 平面向量基本定理
6.3.1 平面向量基本定理
例1如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．
解：因为，
所以
．
例2如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．
证明：如图6.3-6，设，，则，，于是.
.
因为，
所以.
因为，，
所以.
因此.
于是是直角三角形.
练 习
1．如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．
2．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．
（1）用表示，，；
（2）能由（1）得出，的关系吗？
3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．
（1）用表，．
（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．
变式练习题
4．在 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
5．若向量不共线，且（其中），求证：共线．
6．如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.
7．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
8．.如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．；；；．
【解析】直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。
【详解】解：；
；
；
．
【点睛】本题主要考查了向量的减法三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。
2．（1），，；（2）
【解析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。
（2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系
【详解】解：（1）
，
，
．
（2）由（1）知，，，∴，即．
【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。
3．（1），；（2），证明见解析
【解析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出，
（2）设，则，．计算即可。
【详解】解：（1）；
．
（2），证明如下：设，则，．
．
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。
4．
【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可证得结论成立.
【详解】解：如下图所示，
由平面向量的加法法则可得，
，，
因为，
所以，，解得，因此，.
故答案为：.
5．证明见解析
【分析】根据题设条件和向量的运算法则，化简得到，结合向量与有公共点，即可证得三点共线．
【详解】由题意，向量不共线，且（其中），
可得，
所以，即，所以，
由向量与有公共点，所以三点共线．
6．4∶1.
【详解】设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在λ,μ∈R,
使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.
故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,
而=+=2e1+3e2,
∴∴
∴=,∴=,即AP∶PM=4.
7．＝a＋b.
【详解】设＝ma＋nb，
则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，
＝－＝－＝－a＋b.
又∵A，M，D三点共线，∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，
即(m－1)a＋nb＝t.
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.
∴消去t得m－1＝－2n，
即m＋2n＝1.①
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
又∵C，M，B三点共线，∴与共线．
∴存在实数t1，使得＝t1，
∴a＋nb＝t1，
∴消去t1得4m＋n＝1.②
由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.
8．证明见解析
【分析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果.
【详解】因为三点共线，所以存在实数，使得
，
又三点共线，所以存在实数，使得,
由于不共线，所以,解得.
故.
因为三点共线，所以存在实数，使得,
消去,得＋＝1.
答案第1页，共2页10.2 事件的相互独立性
10.2 事件的相互独立性
例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
解：因为样本空间，
，
，
所以，.
此时，因此，事件A与事件B不独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶.
分析：设“甲中靶”，“乙中靶”.从要求的概率可知，需要先分别求A，B的对立事件，的概率，并利用A，B，，构建相应的事件.
解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与，与B，与都相互独立.
由已知可得，，，，.
（1）“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
.
（2）“恰好有一人中靶”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
.
（3）事件“两人都脱靶”，所以
.
（4）方法1：事件“至少有一人中靶”，且AB，与两两互斥，所以
.
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
.
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生.
解：设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
，.
，.
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以
.
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
练习
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚正面朝上”，事件“第2枚正面朝上”，事件“2枚硬币朝上的面相同”，中哪两个相互独立？
2．设样本空间含有等可能的样本点，且，请验证A，B，C三个事件两两独立，但.
3．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都降雨的概率；
（2）甲、乙两地都不降雨的概率；
（3）至少一个地方降雨的概率.
4．证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立.
习题 10.2
复习巩固
5．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）．
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
6．假设，，且，相互独立，则______；______.
7．若，，证明：事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立．
综合运用
8．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求；
(1)两人都成功破译的概率；
(2)密码被成功破译的概率．
9．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立．
拓广探索
10．分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．
：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件“两枚都正面朝上”．
：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件“命中两次目标”．
：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件“两次都摸到红球”
(1)用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；
(2)指出这三个试验的共同特征和区别；
(3)分别求A，B，C的概率．
变式练习题
11．假定生男孩和生女孩是等可能的，令｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论与的独立性.
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩.
12．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
13．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
14．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是
A． B． C． D．
15．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则 ________；P()＝________.
16．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
答案第1页，共2页6.2.1 向量的加法运算
6.2.1 向量的加法运算
例1 如图6.2-5，已知向量，，求作向量．
作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，.则．
作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，.以，为邻边作，连接，则．
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
解：（1）如图6.2-9.表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度.
（2）在中，，，于是
.
因为，所以利用计算工具可得.
因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为68°.
练习
1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
2．当向量满足什么条件时，（或）？
3．根据图示填空：
（1）_______；
（2）_______；
（3）_______；
（4）________．
4．如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
5．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．
变式练习题
6．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)；
(2)
(3)．
7．在某河流南岸某渡口处，河水以大小为的速度向东流，渡船在静水中的速度大小为.渡船要垂直地渡过该河，其航向应如何确定？
8．请用平行四边形法则作出．
9．已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
10．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析
【解析】将的起点移到的终点或将两个向量的起点移到点，利用三角形法则或平行四边形法则作出.
【详解】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；
将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.
如图所示，．
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
2．反向
【解析】当反向时，对与的大小进行讨论.
【详解】当反向且时，；
当反向且时，，
所以，当反向时，（或）．
【点睛】本题考查向量共线时的方向、模的大小关系，求解时注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，若要取等号则需共线.
3．
【解析】在图形中寻找三角形回路，两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接.
【详解】因为两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接，
所以；；；．
故答案为：；；；.
【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.
4． × √ ×
【解析】（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义；
【详解】对（1），因为，故（1）错误；
对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确；
对（3），，故（3）错误.
故答案为：(1) ×；(2) √；(3) ×
【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.
5．小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．
【解析】作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度.
【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．
设E为渡口A在对岸对应的点，则，．
在中，∵，∴．
∴E与D重合，．
∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．
【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小.
6．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒
(1)
因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．
(2)
因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．
(3)
因为与是一对相反向量，所以．
7．渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.
【解析】画图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.由向量加法的平行四边形法则，可知四边形为平行四边形，在中，求解，即可.
【详解】如图，
设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.
因为，所以四边形为平行四边形.
在中，，
，，
所以，
即渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及向量的模，属于中档题.
8．答案见解析
【分析】三个向量用平行四边形法则求和，则先求和其中两个，再用和向量与第三个向量求和﹒
【详解】解：在平面内任取一点，作．
如图，以为邻边作□．再以为邻边作□，则．
9．①④##④①
【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为.
【详解】①;
②;
③;
④.
故答案为：①④.
10．证明见解析
【分析】根据向量运算得到，，，相加得到证明.
【详解】如图，连接DE， EF， FD,
因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，得①,
同理②，③，将①②③式相加，
.
答案第1页，共2页8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
练习
1．判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.
（1）书桌面是平面.
（2）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.
（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.
2．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面
3．不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.
4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）直线经过平面外的一点M；
（3）直线既在平面内，又在平面内.
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
例1：如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.
解：在（1）中，，，.
在（2）中，，，，，，.
例2：如图8.4-17，，，，.直线与a具有怎样的位置关系？为什么？
解：直线与a是异面直线.理由如下.
若直线与直线a不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为，则，.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面，因此平面与重合，从而，进而，这与矛盾.所以直线与a是异面直线.
练习
5．如果两条直线与没有公共点，那么与
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
6．设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ）
A．平行 B．相交
C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线
7．如图，在长方体中，判定直线与，直线与，直线与，直线与的位置关系.
8．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）若直线l上有无数个点不在平面内，则.（ ）
（2）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.（ ）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（ ）
（4）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.（ ）
9．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．
习题8.4
复习巩固
10．画出满足下列条件的图形：
（1）；
（2）
11．经过同一条直线上的3个点的平面
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数多个 D．不存在
12．若直线不平行于平面且，则下列结论成立的是
A．平面内的所有直线与异面
B．平面内不存在与平行的直线
C．平面内存在唯一的直线与平行
D．平面内的直线与都相交
13．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”
（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.( )
（2）四边形可以确定一个平面.( )
（3）若a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b是异面直线.( )
14．填空题
（1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；
（3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________．
15．正方体各面所在平面将空间分成几部分？
综合运用
16．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.
17．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
18．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
拓广探索
19．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？
20．在本节，我们学面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？
变式练习题
21．如图，在空间四边形ABCD中，E， F分别为AB， BC的中点，点G， H分别在边CD， DA上，且满足， DH＝2HA.求证：四边形EFGH为梯形．
22．在正方体ABCD A1B1C1D1中，P， Q， M， N分别为AD， AB， C1D1， B1C1的中点．求证：A1P∥CN， A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
23．如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
24．如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
25．在长方体中，
（1）直线与直线的位置关系是___________；
（2）直线与直线的位置关系是_______________；
（3）直线与直线的位置关系是______________；
（4）直线与直线的位置关系是______________.
26．如图所示，是正方体的棱延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
(1)过点及.
(2)过三点，，.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）×；（2）×；（3）√.
【解析】根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正确.
【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据公理3，不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.
【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.
2．C
【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.
对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.
对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.
对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.
故选：C
【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.
3．4个
【解析】画出空间四边形，可以得到确定的平面个数.
【详解】可确定4个平面，
如图：
由不共线的三个点确定一个平面可知，
不共线的四个点可确定平面ABC,平面ACD,平面ABD,平面BCD，共4个平面.
【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题.
4．（1），如图.（2），如图.（3），如图.
【解析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.
【详解】（1），
如图：
（2），
如图：
（3）或，
如图：
【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.
5．D
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线与的位置关系.
【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则与平行或异面.
故选：D.
【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.
6．D
【解析】按直线的三种位置关系分析．
【详解】如图，长方体中，
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交；
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面.
故选：D.
【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．
7．见解析
【解析】按直接的三种位置关系判断．
【详解】解：直线与相交；直线与平行；直线与异面；直线与异面.
【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．
8．（1）×（2）×（3）×（4）√
【解析】（1）举反例说明；
（2）分析三种位置关系的可能性．由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平行相交的直线，与平面外的那条直线异面；
（3）把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；
（4）由线面平行的定义判断．
【详解】（1）当直线1与平面相交时，直线1上也有无数个点不在平面内；
（2）也可能异面；
（3）也可能直线在平面内；
（4）∵1∥a，∴l与没有公共点，∴l与内任意一条直线都没有公共点.
答案：（1）×（2）×（3）×（4）√
【点睛】本题考查线面平行的定义与性质．掌握线面平行的定义是解题基础．
9．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．
【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；
【详解】直线的位置关系是平行直线或异面直线；
理由如下：由，直线分别在平面，内，
可知直线没有公共点．
因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，
这与是平面，平行矛盾．
因此直线不相交，它们是平行直线或异面直线．
10．见解析
【解析】由题意直接画图即可.
【详解】如图

【点睛】本题主要考查的是空间图形的画法，直线和平面的位置关系，基本知识的考查，是基础题.
11．C
【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.
【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型.
12．B
【解析】由题意知直线与平面相交，依次判断选项即可.
【详解】解:由条件知直线与平面相交，
则平面内的直线与可能相交，也可能异面.不可能平行
故选:B.
【点睛】本题考查判断直线与平面相交，属于基础题.
13． √ × ×
【解析】根据空间中的平面公理与推理，以及异面直线的定义，对命题进行判断即可.
【详解】对于(1)，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边确定一个平面，(1)正确；
对于(2)，当四边形是空间四边形时不能确定一个平面，(2)错误；
对于(3)，若a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b是平行、相交、异面直线，(3)错误.
【点睛】本题主要考查的是平面公理与推论的应用问题以及异面直线的判定，是基础题.
14． 直线平行于平面或直线在平面内 或与相交
【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；
（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系；
（3）利用图形可判断与的位置关系.
【详解】（1）因为、是异面直线，直线与、都相交，则与、与可分别确定一个平面，
故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：
已知，，则（如图1），（如图2）.
（3）已知两条相交直线、，且平面，如下图所示：
如图3所示，可知，如图4所示，与相交.
故答案为：（1）；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）或与相交.
15．27个部分
【解析】根据题意画出图形即可得出答案.
【详解】
如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，
同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，
因此共将空间分成27个部分.
【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.
16．共面，理由见解析
【解析】先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可.
【详解】共面.
两条平行直线确定唯一的平面，
又第三条直线与两条平行直线都相交，
第三条直线有两个点在此平面内，
则第三条直线也在这个平面内，
所以这三条直线共面.
【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，是基础题.
17．三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面.
【解析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果；满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确定几个平面.
【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面；
②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；
这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面.
【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是一个基础题.
18．证明见解析
【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.
【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
19．直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.
【解析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.
【详解】
还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，
AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：
直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.
【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.
20．答案见解析.
【分析】写出直线的特点：直的，无限延伸，无粗细，不可以测量长度，再指出直线的对称性即可.
【详解】直线的基本特征：直线是直的，没有粗细，没有端点，可以向两端无线延展、不可以测量长度；
刻画直线的基本特征：直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，直线本身以及与它垂直的直线都是它的对称轴.
21．证明见解析
【分析】利用条件证明互相平行，且不相等即可证得四边形为梯形.
【详解】证明：因为E， F分别为AB， BC的中点，
所以EF.
又，，
所以，从而HG，
所以EF∥HG且EF≠HG，
故四边形EFGH为梯形．
22．证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质及等角定理，即可得到答案；
【详解】证明：如图，取A1B1的中点K，连接BK， KM.易知四边形MKBC为平行四边形，所以CM∥BK.
因为A1K∥BQ且A1K＝BQ，
所以四边形A1KBQ为平行四边形，
从而A1Q∥BK.
由基本事实4有A1Q∥CM.
同理可证A1P∥CN.
因为∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，
所以∠PA1Q＝∠MCN.
23．证明见解析
【分析】如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝MN，原题即得证.
【详解】证明：如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，
因为D， E分别是△PAB， △PBC的重心，所以M， N分别是AB， BC的中点，连接MN，则MN∥AC且MN＝AC.
在△PMN中，因为，
所以DE∥MN且DE＝MN.
所以DE∥AC且DE＝×AC＝AC.
则D， E， A， C四点共面．
24．证明见解析
【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.
【详解】证明　连接GE， HF.
因为E， G分别为BC， AB中点， 所以.
因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.
从而GE∥HF且，故G， E， F， H四点共面且四边形为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点．
25． 平行. 异面. 相交. 异面.
【解析】（1）根据题意得出四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）根据异面直线的定义判断即可；
（3）直线与直线相交于一点，则直线与直线的位置关系是相交；
（4）根据异面直线的定义判断即可.
【详解】（1）在长方体中，，四边形为平行四边形.
.
（2）直线与直线不同在任何一个平面内，所以直线与直线的位置关系是异面.
（3）直线与直线相交于点，所以直线与直线的位置关系是相交.
（4）直线直线不同在任何一个平面内，所以直线与直线的位置关系是异面.
故答案为：(1)平行；(2)异面；(3)相交；(4)异面
【点睛】本题主要考查了判断直线与直线的位置关系，属于基础题.
26．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）连接交于点，连接交于点；连接，，由图可得交线；
（2）根据公理，连接分别交、的延长线于点，，连接交于点，连接交于点；连接，由图可得交线.
(1)
连接交于点，连接交于点；连接，，
则，，，为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
(2)
连接交的延长线于点，交的延长线于点；
连接交于点，连接交于点；连接，，
则，，，，为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．

答案第1页，共2页6.1 平面向量的概念
6.1 平面向量的概念
6.1.2 向量的几何表示
例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.
解：表示A地至B地的位移，且__________________；
表示A地至C地的位移，且__________________.
6.1.3 相等向量与共线向量
例2 如图6.1-8，设O是正六边形的中心.
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与，，相等的向量.
解：（1），，，是共线向量；
，，，是共线向量；
，，，是共线向量.
（2）；
；
.
练习
1.下列量中哪些是向量？
悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.
2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力.（用1cm长表示10N）
3.指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）
4.将向量用具有同一起点O的有向线段表示.
（1）当与是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；
（2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系.
习题6.1
复习巩固
1．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）,点A在点O正南方向；
（2）,点B在点O北偏西方向；
（3）,点C在点O南偏西方向.
2．如图，点O是的对角线的交点，且，分别写出和折线MPQRST中与相等的向量.
综合运用
3.判断下列结论是否正确（正确的在括号内写正确，错误的写错误），并说明理由.
3．若与都是单位向量，则.( )
4．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量.( )
5．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.( )
6．若与是平行向量，则.( )
7．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.( )
8．海拔、温度、角度都不是向量.( )
拓广探索
9．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
变式练习题
10．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等
11．1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？
(2)是否存在的相反向量？
12．如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
13．如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量，
(1)与的夹角是多少？
(2)与垂直的向量有哪些？
14．下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
答案第1页，共2页8.1 基本立体图形
8.1 基本立体图形
例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
解：如图8.1-9所示.
练习
1．观察图中的物体，说出它们的主要结构特征．
2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．
1.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体．（ ）
2.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体．（ ）
3．填空题
2.一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是__________．
3.一个多面体最少有__________个面，此时这个多面体是__________．
4．设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱．
例2如图8.1-15（1），以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.
解：几何体如图8.1-15（2）所示，其中，垂足为E.
这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的.其中圆柱的底面分别是和，侧面是由梯形的上底绕轴旋转形成的；圆锥的底面是，侧面是由梯形的边绕轴旋转而成的.
练习
1．观察图中的物体，说出它们的主要结构特征．
2．说出图中物体的主要结构特征．
3．如图，以三角形ABC的一边AB所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．说出这个几何体的结构特征．
4．观察我们周围的物体，说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征．
习题8.1
复习巩固
1．如图，在长方体中，指出经过顶点D的棱和面.
2．如图，下列几何体中为棱柱的是____________.（填写序号）

3．充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，判断下列几何体是不是台体，并说明为什么.
5．如图，说出图中两个几何体的结构特征.

综合运用
6．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．
6．一个棱柱至少有5个面．( )
7．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形．( )
8．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥．( )
9．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形．( )
10．如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是
A． B．
C． D．
11．如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中.请说出这两个几何体的名称.
12．如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.
拓广探索
13．下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.
（1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；
（2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.
变式练习题
14．下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)
15．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
16．观察下图，分别判断①中的三棱镜和②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对.
17．画一个六面体：
(1)使它是一个四棱柱；
(2)使它是由两个三棱锥组成的；
(3)使它是五棱锥.
18．下列命题中正确的个数是_______.
①圆柱的轴经过上、下底面的圆心；
②圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高；
③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆；
④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径；
⑤一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；
⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.
19．指出图中三个空间图形的构成.
20．直角梯形ABCD如图所示，分别以AB、BC、CD、DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．
21．作出圆锥的直观图.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，平面ABCD、平面，平面.
【解析】根据图像直接写出过点D的三条棱和三个平面.
【详解】经过顶点D的棱有，经过顶点D的面有平面ABCD、平面，平面.
【点睛】本题考查过点的直线和平面，属于基础题.
2．（1）（3）（5）.
【解析】根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．进行判断即可．
【详解】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”的几何体有：
①③⑤，只有它们是棱柱，
故答案为：①③⑤
【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征,属于基础题.
3．C
【详解】试题分析：由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的车轮内胎，故选C.
考点：空间几何体.
4．见解析
【解析】根据台体的定义判断即可.
【详解】解：（1）不是台体，因为该几何体的“侧棱”的延长线不是相交于一点，故不是台体；
（2）（3）也不是台体，因为不是由平行于棱锥和圆锥底面的平面截得的几何体，截面与底面不平行；
【点睛】本题考查台体的定义，属于基础题
5．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.（2）由四梭柱和四棱锥组合而成的简单组合体.
【解析】根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理，即可得出结论.
【详解】解：几何体（1）是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；
几何体（2）是长方体上拼接了一个同底的四棱锥；
【点睛】本题考查常见几何体的组合结构特征，需要根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理.
6．正确
【分析】根据棱柱的结构特征判断.
【详解】棱柱的结构特征：①、两底面互相平行；②、侧面是平行四边形；③、侧棱互相平行且相等；
而底面多边形的边数最少为3，此时棱柱为三棱柱，所以棱柱至少有5个面.故说法正确.
故答案为：正确
7．正确
【分析】根据平行六面体的结构特征判断.
【详解】底面是平行四边形，侧棱和底面垂直的的棱柱称为平行六面体，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，满足平行六面体的特征，所以正确.
故答案为：正确
8．√
【分析】结合棱锥的定义即可判断﹒
【详解】棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形，所以有一个面是四边形的棱锥一定是四棱锥﹒
故答案为：√
9．正确
【分析】根正棱锥的定义判断即可
【详解】因为正棱锥的侧棱都相等，且底面是正多边形，
所以正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，
故答案为：正确
10．D
【解析】根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断．
【详解】解：D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的折叠，考查空间想象能力是此类题目的目的．
11．一个几何体为五棱柱，另一个几何体为三棱柱.
【解析】根据棱柱的定义可以判断两部分均为棱柱.
【详解】几何体,根据原几何体为长方体有：面面，其余各面(侧面)均为平行四边形且相邻平行四边形的公共边平行，所以为三棱柱.
几何体,根据原几何体为长方体有：面面，其余各面(侧面)均为平行四边形且相邻平行四边形的公共边平行，所以为五棱柱.
【点睛】本题考查棱柱的概念，判断几何体是棱柱，属于基础题.
12．见解析
【解析】画出满足条件的旋转体，进而可分析出几何体的结构特征.
【详解】这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.
【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键．属于基础题.
13．（1）错误，反例见解析，（2）错误，反例见解析
【解析】根据棱柱和棱台的定义进行判断.
【详解】（1）错误，还必须满足满足相邻平行四边形的公共边平行，反例如图①.
（2）错误，还必须满足侧棱的延长线交于一点，反例如图②.

【点睛】本题考查棱柱和棱台的概念和性质，属于基础题.
14．③
【分析】根据棱台的定义和性质判定.
【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.
故答案为：③
15．D
【分析】根据棱柱的结构特征依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；
对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；
对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；
对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.
故选：D
16．图①中有1对，图②中有4对互相平行的平面；图①中有1对，图②中有1对可以作为棱柱的底面.
【分析】根据三棱柱和六棱柱的性质计数即可.
【详解】根据三棱柱的性质，只有两个底面是互相平行的，根据正六棱柱的性质，可知图②中有四对互相平行的平面，但能够作为棱柱的底面的都是只有一对，分别是ABC-A'B'C'和ABCDEF-A'B'C'D'E'F'.
17．(1)图象见解析
(2)图象见解析
(3)图象见解析
【分析】根据四棱柱、三棱锥、五棱锥的定义作图．
（1）两个面（四边形）互相平行，其余各面都是平行四边形；
（2）共底面的两个三棱锥，顶点在这个底面的两侧，注意凸多面体形状；
（3）底面是五边形的棱锥．
(1)
如图①所示.
图①
(2)
如图②所示.
图②
(3)
如图③所示.
图③
18．6
【分析】由圆柱的概念可判断①②③④，利用圆锥的概念判断⑤⑥.
【详解】由圆柱的结构特征可知，圆柱的轴经过上、下底面的圆心，故①正确；
圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高，故②正确；
平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆，故③正确；
经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径，故④正确；
由旋转体的定义可知，一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥，故⑤正确；
由圆锥的结构特征可知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故⑥正确.
故答案为：6.
19．答案见解析.
【分析】根据几何体的结构特征依次分析说明即可.
【详解】解：图①中的空间图形是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的空间图形是由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的空间图形是由一个球挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球.
20．见解析
【详解】以AB所在直线为轴旋转，可得到的几何体如图（1），它是一个圆台；以BC所在直线为轴旋转，可得到一个圆柱和圆锥的组合体，如图（2）；以CD所在直线为轴旋转，可得到一圆台，一底面挖出一个小圆锥，另一底面增加一个较大的圆锥，如图（3）；以AD所在直线为轴旋转，可得一个不完整的圆柱，上面挖去一个圆锥，如图（4）．
考点：旋转体的结构特征.
21．作图见解析
【解析】根据斜二测画法，画出圆锥的直观图.
【详解】如图所示.画法如下：首先画出圆锥底面圆的直观图；建立斜二测坐标系（即夹角为），取，取，用光滑曲线连接，由此画出圆锥底面的直观图；取为圆锥的高，连接；由此画出圆锥的直观图如下图所示.
【点睛】本小题主要考查斜二测画法，属于基础题.
答案第1页，共2页6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
例1 如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．
解：因为，
所以
．
例2 如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．
证明：如图6.3-6，设，，则，，于是.
.
因为，
所以.
因为，，
所以.
因此.
于是是直角三角形.
练习
1．如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．
2．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．
（1）用表示，，；
（2）能由（1）得出，的关系吗？
3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．
（1）用表，．
（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
例3 如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
解：由图6.3-10可知，，
所以.
同理，
，
，
.
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
例4 已知，，求，的坐标.
解：，
.
例5 如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.
解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.
因为，
，
又，
所以.
即解得，
所以顶点D的坐标为.
解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
，
而
.
所以顶点D的坐标为.
练习
4．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
5．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）；（2）；（3）；（4）．
6．若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
例6 已知，，求的坐标.
解：
.
例7 已知，，且，求.
解：因为，
所以.
解得.
例8 已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.
解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.
观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.
因为，
，
又，
所以.
又直线，直线有公共点A，
所以A，B，C三点共线.
例9 设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.
（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知
.
所以，点P的坐标是.
（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.
如果（图6.3-17（1）），那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.
练习
7．已知，，求，的坐标．
8．当为何值时，与共线？
9．若点，，，，则与是否共线？
10．求线段的中点坐标：
（1）；（2）；（3）．
11．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
例10 若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.
解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：
因为，
，
所以..
于是.
因此，是直角三角形.
例11 设，，求及，的夹角（精确到1°）.
解：
.
因为，，所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“”键，得.
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式
.
证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则
，.
由向量数量积的坐标表示，有
.
设与的夹角为，则
.
所以.
另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以
.
于是.
练习
12．已知，，求，，．
13．已知．求．
14．已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．
习题6.3
复习巩固
15．如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示.
16．已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为，求作用在原点的合力的坐标.
17．在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点A的坐标，求终点B的坐标.
（1）；
（2）；
（3）.
18．已知的顶点，，，求顶点D的坐标．
19．已知点，且，求点及向量的坐标.
20．已知点，且,求点C，D，E的坐标.
21．你认为下列各组点具有什么样的位置关系？证明你的猜想.
（1）；
（2）；
（3）.
22．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）；
（2）；
（3）.
23．已知，且，求的坐标.
24．已知，求与垂直的单位向量的坐标.
综合运用
25．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设.
（1）用表示；
（2）如果，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
26．已知点.当时，分别求点P的坐标.
27．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．
28．求证：以为顶点的四边形是一个矩形.
拓广探索
29．如图，设是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设，
（1）计算的大小；
（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
30．用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式
答案第1页，共2页6.1 平面向量的概念
6.1 平面向量的概念
6.1.2 向量的几何表示
例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.
解：表示A地至B地的位移，且__________________；
表示A地至C地的位移，且__________________.
6.1.3 相等向量与共线向量
例2 如图6.1-8，设O是正六边形的中心.
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与，，相等的向量.
解：（1），，，是共线向量；
，，，是共线向量；
，，，是共线向量.
（2）；
；
.
练习
1.下列量中哪些是向量？
悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.
2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力.（用1cm长表示10N）
3.指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）
4.将向量用具有同一起点O的有向线段表示.
（1）当与是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；
（2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系.
习题6.1
复习巩固
1．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）,点A在点O正南方向；
（2）,点B在点O北偏西方向；
（3）,点C在点O南偏西方向.
2．如图，点O是的对角线的交点，且，分别写出和折线MPQRST中与相等的向量.
综合运用
3.判断下列结论是否正确（正确的在括号内写正确，错误的写错误），并说明理由.
3．若与都是单位向量，则.( )
4．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量.( )
5．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.( )
6．若与是平行向量，则.( )
7．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.( )
8．海拔、温度、角度都不是向量.( )
拓广探索
9．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
变式练习题
10．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等
11．1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？
(2)是否存在的相反向量？
12．如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
13．如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量，
(1)与的夹角是多少？
(2)与垂直的向量有哪些？
14．下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析
【解析】（1）按照题意要求画图即可；
（2）按照题意要求画图即可；
（3）按照题意要求画图即可；
【详解】解：如图.
【点睛】本题考查了作图能力，考查了方位角的定义，属于基础题.
2．与相等的向量有：；与相等的向量有：；
与相等的向量有：.
【解析】根据相等向量的定义直接求解即可.
【详解】解：与相等的向量有：；
与相等的向量有：；
与相等的向量有：.
【点睛】本题考查了相等向量的定义，属于基础题.
3．错误
【分析】根据向量相等的概念即可得到答案.
【详解】向量相等指的是向量的方向相同，模长相等，与都是单位向量，
则两个向量的模长相等，但是方向不一定相同.故错误.
故答案为：错误.
4．√
【分析】作图分析几何关系即可判断﹒
【详解】如图所示，
分别在O点的南偏西和北偏东作向量与，根据几何关系，O、A、B三点共线，所以与共线，所以说法正确﹒
故答案为：√
5．错误
【分析】根据向量的定义即可得到答案.
【详解】直角坐标平面上的x轴、y轴不是向量，因为只有方向没有大小，也没有起点.
故答案为：错误.
6．错误
【分析】根据向量共线的知识确定正确答案.
【详解】与是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，
所以判断错误.
故答案为：错误
7．√
【分析】两个向量相等，大小相等，方向相同﹒
【详解】两个向量相等，则大小相等，方向相同，表示这两个向量的有向线段起点相同，则终点也必然相同﹒由此可判断“若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合”为正确表述﹒
故答案为：√
8．正确
【分析】根据向量的定义得到答案即可.
【详解】这三个量只有大小没有方向，是标量，不是向量.
故答案为：正确.
9．24对
【解析】根据相等向量定义，分类讨论进行求解即可.
【详解】解：相等的非零向量共有24对.
易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6对；与同向的共有3对；与反向的也有3对.模为2的相等向量共有2对.模为的相等向量有4对.
【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.
10．C
【解析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】零向量的方向是任意的，故A选项错误；
有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；
只有零向量的模长等于0，故C选项正确；
单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.
故选：.
【点睛】本题考查了向量的定义和性质，意在考查学生对于向量基本知识的掌握.
11．(1)11个
(2)存在
【分析】（1）正六边形由对角线分割为六个全等的等边三角形，进而求出向量长度相等的向量；（2）相反向量即模长相等，方向相反的两个向量
(1)
与向量长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11个
(2)
存在，是的相反向量
12．证明见解析
【分析】根据＝，可得且，从而可得DE∥AF，即可证得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得证.
【详解】证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，
所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，
由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，
故△BDE∽△DCF.
13．(1)45°
(2).
【分析】(1)根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解.
(2)根据给定条件可得OD⊥BF，再探求图中与BF平行的线段即可得解.
(1)
因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，
则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°，
所以与的夹角为45°.
(2)
因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，
显然，BF是圆O的直径，，，如图：
所以与垂直的向量有：.
14．C
【分析】根据共线向量（即平行向量）的定义即可求解.
【详解】解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；
对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；
对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；
对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．
故选：C.
答案第1页，共2页6.2.4 向量的数量积
6.2.4 向量的数量积
例9 已知，，与的夹角，求．
解：
．
例10 设，，，求与的夹角．
解：由，得
．
因为，所以．
练习
1．已知，，和的夹角是60°，求．
2．已知中，，，当或时，试判断的形状．
3．已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量．
例11 我们知道，对任意，恒有
，．
对任意向量，，是否也有下面类似的结论？
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
因此，上述结论是成立的．
例12 已知，，与的夹角为60°，求．
解：
．
例13 已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？
解：与互相垂直的充要条件是
，
．
因为，，
所以．
解得．
也就是说，当时，与互相垂直．
练习
4．已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：
（1）；
（2）．
5．已知，，且与互相垂直，求证：.
6．求证：．
变式练习题
7．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)；
(2)；
(3)．
8．已知，，，求与的夹角．
9．已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求：
(1)(＋)·(－)；
(2)|－|．
10．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？
12．已知，，且与互相垂直，求证：．
13．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
14．设⊙C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．
答案第1页，共2页9.2 用样本估计总体
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
练习
1．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中x的值为__________；
（2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为__________．
2．如图，胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次．胡晓按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了频率分布直方图．
（1）通话时长在区间，内的次数分别为多少？
（2）区间上的小长方形高度低于上的小长方形的高度，说明什么？
3．请班上每位同学估计一下自己平均每天的课外学习时间（单位：min），然后统计数据，作出全班同学课外学习时间的频率分布直方图，能否由这个频率分布直方图估计出你们学校全体学生课外学习时间的分布情况？可以用它来估计你所在地区（城市、乡镇或村庄）全体学生课外学习时间的分布情况吗？为什么？
练习
1．某市2016年6月30天的空气质量指数如下：
你觉得这个月的空气质量如何？请设计适当的频率分布直方图展示这组数据，并结合空气质量分级标准分析数据．
2．统计你们班所有同学的鞋号，选择合适的统计图进行描述，并分析鞋号的分布有什么特点．能用你们班同学鞋号的分布估计你所在学校全体高中学生鞋号的分布吗？估计全国高中学生的鞋号分布呢？
例1已知某市2015年全年空气质量等级如表9.2-2所示.
表9.2-2
2016年5月和6月的空气质量指数如下：
选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题：
（1）分析该市2016年6月的空气质量情况
（2）比较该市2016年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好？
（3）比较该市2016年6月与该市2015年全年的空气质量，2016年6月的空气质量是否好于去年？
解：（1）根据该市2016年6月的空气质量指数和空气质量等级分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表（表9.2-3）.
表9.2-3
从表中可以看出，“优”“良”的天数达19天，占了整月的63.33%，没有出现“重度污染”和“严重污染”.
我们可以用条形图和扇形图对数据作出直观的描述，如图9.2-3和图9.2-4.从条形图中可以看出，在前三个等级的占绝大多数，空气质量等级为“良”的天数最多，后三个等级的天数很少.从扇形图中可以看出，空气质量为“良”的天数占了总天数的一半，大约有三分之二为“优”“良”，大多数是“良”和“轻度污染”.因此，整体上6月的空气质量不错.
我们还可以用折线图展示空气质量指数随时间的变化情况，如图9.2-5.容易发现，6月的空气质量指数在100附近波动.
（2）根据该市2016年5月的空气质量指数和空气质量分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数和频率分布表（表9.2-4）.
表9.2-4
为了便于比较，我们选用复合条形图，将两组数据同时反映到一个条形图上.通过条形图中柱的高低，可以更直观地进行两个月的空气质量的比较（图9.2-6）.
由表9.2-4和图9.2-6可以发现，5月空气质量为“优”和“良”的总天数比6月多.所以，从整体上看，5月的空气质量略好于6月，但5月有重度污染，而6月没有.
（3）把2016年6月和2015年全年的空气质量进行比较，由于一个月和一年的天数差别很大，所以直接通过频数比较没有意义，应该转化成频率分布进行比较.可以通过二者的空气质量指数的频率分布直方图或空气质量等级的频率分布条形图进行比较（图9.2-7）.
通过图9.2-7可以看出，虽然2016年6月的空气质量为“优”的频率略低于2015年，但“良”的频率明显高于2015年，而且2016年6月中度以上的污染天气频率明显小于2015年，所以从整体上看，2016年6月的空气质量要好于2015年全年的空气质量.
9.2.2总体百分位数的估计
例2根据9.1.2节问题3中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数.
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
由，，，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
例3根据表9.2-1或图9.2-1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
表9.2-1
分析：在某些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息.例如由表9.2-1，我们知道在内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
解：由表9.2-1可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为.
在16.2t以下的居民用户所占的比例为.
因此，80%分位数一定位于内.由，
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
类似地，由，
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
练习
1．在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适？
2．根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数．如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做？
3．分别根据图9.2－2（1）（2）中的数据，估计这组数据的月均用水量的第80和95百分位数．与根据图9.2－1估计的结果比较，它们一样吗？你认为根据哪个图得到的估计更好？为什么？
9.2.3总体集中趋势的估计
例4利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
解：根据9.2.1节中100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得
，
即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.
将样本数据按从小到大排序，得第50个数和第51个数分别为6.4，6.8，由中位数的定义，可得，
即100户居民的月均用水量的中位数是6.6t.
因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.6t.
例5某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表9.2-5所示.
表9.2-5
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表9.2-5中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是几种不同的类别.对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合适.
解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据（图9.2-9），可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
练习
1．根据表9.2－2中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数和第80百分位数．（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数不超过400）
2．假设你是某市一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额．已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币，对另外25个公路项目的投资是20～100万元，这26个投资金额的中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元．请你根据上面的信息给市长写一份简要的报告．
3．某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数，那么，这两个选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？
9.2.4 总体离散程度的估计
例6在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
解：把男生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.
根据方差的定义，总样本方差为
.
由，可得.
同理可得.
因此，
. ①
由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
.
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得
.
我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.
练习
1．不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗？
（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；
（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；
（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；
（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8．
2．数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数．证明：
（1）如果，，…，，那么；
（2）如果，，…，，那么．
3．农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如下：
哪种水稻的产量比较稳定？
4．一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：
486495496498499493493
498484497504489495503
499503509498487500508
（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？
（2）质量位于与之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？
5．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女姓180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03．
（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？
（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
习题9.2
复习巩固
1．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265
293 293 294 296 301 302 303 305 305 306
321 323 325 326 328 340 343 346 348 350
352 355 357 357 358 360 370 380 383 385
（1）请你选择合适的组距，作出这个样本的频率分布直方图，分析这批棉花纤维长度分布的特征；
（2）请你估计这批棉花的第5，95百分位数.
2．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好？
3．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5.全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1.全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？
（1）平均说来一队比二队防守技术好；
（2）二队比一队技术水平更稳定；
（3）一队有时表现很差，有时表现又非常好；
（4）二队很少不失球.
4．数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明.
5．数据的方差，证明：所有的都相同.
综合运用
6．以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分，你的一位高中校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先进一步查阅一下这所大学以往招生的其他统计信息？解释一下你的选择.
7．甲、乙两个班级，一次数学考试的分数排序如下：
甲班 51 54 59 60 64 68 68 68 70 71
72 72 74 76 77 78 79 79 80 80
82 85 85 86 86 87 87 87 88 89
90 90 91 96 97 98 98 98 100 100
乙班 61 63 63 66 70 71 71 73 75 75
76 79 79 80 80 80 81 81 82 82
83 83 83 84 84 84 85 85 85 85
85 85 86 87 87 88 90 91 94 98
请你就这次考试成绩，对两个班级的数学学习情况进行评价
8．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在30条鱼的样本中发现的汞含量（单位：ppm）如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31
（1）请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；
（2）求出上述样本数据的平均数和标准差；
（3）从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.00ppm大吗？
（4）在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？
9．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万"，而你的预期是获得9万元年薪.
（1）你是否能够判断年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者？
（2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？
（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？
（4）根据（3）中招聘员提供的信息，你能估计出这家公司员工收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？
10．有20种不同的零食，每100 g可食部分包含的能量(单位：kJ)如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318
249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
(1)以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差．
(2)设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，求样本的平均数与标准差．
(3)利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差．这个样本的平均数和标准差与(2)中的结果一样吗？为什么？
(4)利用(2)中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10，13，16，19的样本，求样本的平均数与标准差．分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系．
拓广探索
11．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为.证明：
（1）;
（2）.
12．调查本班每名同学的家庭在同一周的用电量，从中你能发现什么信息？写一份简短的统计报告，说明你发现的信息．
变式练习题
13．为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
14．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三组的频数是多少？
15．为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
16．小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？
(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
17．图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：

A学校 B学校
（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？
（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？
18．现有甲、乙两组数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
答案第1页，共2页10.3 频率与概率
10.3 频率与概率
10.3.1频率的稳定性
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；
（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率.
解：（1）2014年男婴出生的频率为，
2015年男婴出生的频率为.
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.
（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
练习
1．判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两次硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；
（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；
（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.
2．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
3．据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：
血型 A B O AB
人数/人 7704 10765 8970 3049
频率
（1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）；
（2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？
4．分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.
10.3.2随机模拟
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.
解：方法1 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装人编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.
方法2 利用电子表格软件模拟试验.在，，，，，单元格分别输入“”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.选中，，，，，单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.
表10.3-4是20次模拟试验的结果.事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率（约0.78）相差不大.
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是或.显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果.
解：设事件“甲获得冠军”，事件“单局比赛甲胜”，则.用计算器或计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：
423123423 344 114 453 525 332152342
534 443 512 541 125432334151314 354
相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似为.
练习
5．将一枚质地均匀的硬币连掷次,设事件“恰好两次正面朝上”,
（1）直接计算事件的概率;
（2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件发生的频率.
6．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.
（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.
7．（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；
（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；
（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
习题 10.3
复习巩固
8．在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率；
（1）圆形细胞；
（2）椭圆形细胞；
（3）不规则形状细胞.
9．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.
四面体的面 1 2 3 4
频数 22 18 21 39
10．在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：
元音字母 A E I O U
频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80%
（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；
（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么.
11．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：
父母血型的基因类型组合 子女血型的概率
O A B AB
综合运用
5．“用事件A发生的频率f（A）估计概率P（A），重复试验次数n越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明．
12．在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件“第i次摸到红球”，i=1，2，3.
（1）在两种摸球方式下分别猜想事件发生的概率的大小关系；
（2）重复做10次试验，求事件发生的频率，并填入下表.
放回摸球 不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别大吗？在不放回摸球方式下，事件的频率差别大吗？请说明原因.
变式练习题
13．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是
A． B． C． D．
14．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 [500,900) [900,1 100) [1 100,1 300) [1 300,1 500)
频数 48 121 208 223
频率
分组 [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900，＋∞)
频数 193 165 42
频率
（1）求各组的频率；
（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的频率.
15．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，如果前9个病人都没有治愈，那么第10个病人就一定能治愈吗？
16．某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
17．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A． B．
C． D．
18．玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗 _____.(填“公平”或“不公平”)
答案第1页，共2页6.2.3 向量的数乘运算
6.2.3 向量的数乘运算
例5 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
．
例6 如图6.2-15，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．
解：在中，
，
．
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
，
，
，
．
练习
1．任画一向量，分别求作向量，．
2．点C在线段上，且，则___，___．
3．把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
例7 如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立．
解：分别作向量，，，过点A，C作直线（图6.2-17）.观察发现，不论向量，怎样变化，点B始终在直线上，猜想A，B，C三点共线．
事实上，因为，
，
所以．
因此，A，B，C三点共线．
例8 已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值．
解：由，不共线，易知向量为非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，
即．
由，不共线，必有.否则，不妨设，则．由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾．
由，解得．
因此，当向量，共线时，．
练习
4．判断下列各小题中的向量与是否共线：
（1），；
（2），．
5．化简：
（1）；
（2）；
（3）．
6．已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值．
变式练习题
7．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.
8．如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．
9．已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．
10．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．
11．已知向量，.求证：与是共线向量．
答案第1页，共2页6.2 平面向量的运算习题
6.2 平面向量的运算
习题6.2
复习巩固
1．如果表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
2．一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.
3．一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l°）.
4．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
5．作图验证：
（1）
（2）
6．（1）已知向量,,求作向量，使.
（2）（1）中表示,,的有向线段能构成三角形吗？
7．已知，为两个非零向量，
（1）求作向量；
（2）当向量，成什么位置关系时，满足？（不要求证明）
8．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9．.求证.
10．填空：
（1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________；
（2）当非零向量,满足_____________时，平分与的夹角.
11．（1）已知,且与的夹角，求；
（2）已知,且,求.
12．求证：.
综合运用
13．根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：
（1）；
（2）；
（3），且.
14．在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量.
15．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：+=2．
16．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
17．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

18．已知，求与的夹角.
19．已知.且.求与的夹角（精确到1°）.（可用计算工具）
20．已知是非零向量，，求证：
拓广探索
21．已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示.
23．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量满足等式.
（1）作出满足条件的四边形ABCD.
（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想.
24．如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？
答案第1页，共2页8.6 空间直线、平面的垂直
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
例1如图8.6-3，已知正方体.
（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？
（2）求直线与所成的角的大小.
（3）求直线与所成的角的大小.
解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直.
（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°.
（3）如图8.6-4，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°.
例2如图8.6-5（1），在正方体中，为底面的中心.求证.
分析：要证明，应先构造直线与所成的角，若能证明这个角是直角，即得.
证明：如图8.6-5（2），连接.
∵是正方体，
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，，易证.
又为底面的中心，
∴为的中点，
∴，
∴.
练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
1．如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直．( )
2．垂直于同一条直线的两条直线平行．( )
3．如图，在长方体的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
4．如图，在长方体中，，，求：
（1）直线和所成的角的大小；
（2）直线和所成的角的大小.
5．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，，求证.
8.6.2 直线与平面垂直
例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图8.6-12，，，求证.
分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面内的两条相交直线即可.
证明：如图8.6-13，在平面内取两条相交直线m，n.
∵直线，
∴，.
∵，
∴，.
又，，m，n是两条相交直线，
∴.
例4如图8.6-15，在正方体中，求直线和平面所成的角.
分析：关键是找出直线在平面上的射影.
解：连接，，与相交于点O，连接.
设正方体的棱长为a.
∵，，，
∴平面.
∴.
又，
∴平面.
∴为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角.
在中，，，
∴.
∴.
∴直线和平面所成的角为30°.
练习
6．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
7．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
8．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？

9．过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的______心.（2）若，，则点O是边的______.（3）若，，，垂足都为P，则点O是的_____心.
例5如图8.6-19，直线l平行于平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等.
证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线，，垂足分别为，.
∵，，
∴.
设直线，确定的平面为，.
∵，
∴.
∴四边形是矩形.
∴.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等.
例6推导棱台的体积公式
，
其中，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.
解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，O，则垂直于棱台的上底面（想一想，为什么？），从而.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为、高为，则.于是
，.
所以棱台的体积
.
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以.
代入①，得
.
练习
10．已知直线和平面，若，，则与的位置关系是______.
11．已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线.
12．如图，和都垂直于平面，且，F是的中点，求证：平面.

13．求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.）
8.6.3 平面与平面垂直
例7如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面.
分析：要证平面平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可.这需要利用，是正方形的对角线.
证明：∵是正方体，
∴平面，
∴.
又，
∴平面，
∴平面平面.
例8如图8.6-28，是的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点..求证：平面平面.
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中，由题意可知，，，从而平面，进而平面平面.
证明：∵平面，
平面，
∴.
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，是的直径，
∴，即.
又，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面.
练习
14．如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了，这是为什么？
15．已知直线与平面，能使的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，平面，，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
17．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面.
例9如图8.6-32，已知平面平面，直线，，判断a与的位置关系.
解：在内作垂直于与交线的直线b.
∵，
∴.
又，
∴.
又，
∴.
直线a与平面.
例10如图8.6-33，已知平面，平面平面，求证：平面.
分析：要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线.由已知条件易得.再利用平面平面，过点A作的垂线，由两个平面垂直的性质可得.
证明：如图8.6-34，过点A作，垂足为E.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∵平面，
∴.
∵平面，平面，
∴.
又，
∴平面.
练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．
18．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面．( )
19．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面．( )
20．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．( )
21．若平面平面，且，则下列命题中正确的个数是（ ）
（1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线；（2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线；（3）平面内的任一条直线必垂直于平面；（4）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面.
A．3 B．2 C．1 D．0
22．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．已知平面，直线a，且，，，，判断直线a与平面的位置关系，并说明理由.
习题8.6
复习巩固
1．选择题
24．若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定
25．设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
26．直线，互相平行的一个充分条件是
A．，都平行于同一个平面 B．，与同一个平面所成的角相等
C．平行于所在的平面 D．，都垂直于同一个平面
2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内内写正确，错误的写错误．
27．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直．( )
28．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行．( )
29．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直．( )
30．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．( )
31．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．( )
32．判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明.
（1）一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；
（2）如果平面平面，平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补；
（3）如果平面平面，平面平面，那么平面平面.
33．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
34．如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：.
35．如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？
36．如图，在三V-ABC中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.
37．求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.
38．已知平面，且，求证：.
39．如图：已知平面.满足
求证：
综合运用
40．如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点，求证：.
41．如图：m，n是两条相交直线，是与m，n都垂直的两条直线，且直线l与都相交，求证：.
42．求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等.
43．如图，在V-ABC中，平面ABC，，你能判定，以及吗？
44．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？
45．求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面.
46．求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
47．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.
拓广探索
48．如图，在直三棱柱中，，求证：.
49．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
50．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由.
变式练习题
51．如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
52．直线平面，直线，则与不可能（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
53．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
54．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．
55．在正方体中，E是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
56．如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
57．如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
58．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为(　　)
A． B． C． D．
59．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定
60．如图，在四面体中，，．求证：平面平面．
61．已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
62．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．正确
【分析】根据直线的位置关系确定正确结论.
【详解】由于两条平行直线中的一条与已知直线垂直，所以另一条也与已知直线垂直.
所以判断正确.
故答案为：正确
2．错误
【分析】根据两直线的位置关系确定正确结论.
【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面，
所以判断错误.
故答案为：错误
3． ##
【分析】根据线线垂直的知识确定正确结论.
【详解】（1）与直线垂直的直线有：，共条.
（2）与直线异面且垂直的直线由，共条.
（3）与直线和都垂直的直线有，共条.
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线.
故答案为：；；；
4．（1）45°.（2）60°.
【解析】（1）确定是异面直线与所成的角，在中根据长度关系得到答案。
（2）确定是异面直线与所成的角，在中根据长度关系得到答案
【详解】（1）因为，所以是异面直线与所成的角
在中，，
所以.因此异面直线和所成的角是45°.
（2）因为，所以是异面直线与所成的角.
在中，，，所以，.
因此异面直线和所成的角是60°.
【点睛】本题考查了异面直线的夹角，属于简单题。
5．见解析
【解析】如图，取中点、为E，连接，就是异面直线所成的角，利用勾股定理计算得到证明。
【详解】如图，取中点、为E，连接.
为的中点，就是异面直线所成的角.
∵在正三棱柱中，，
，，，
，即
.
【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。
6．不一定
【解析】找出反例可以说明命题的错误性，若不是错误的，则应是可以证明得到的。
【详解】解：如图，在正方体中，
，与平面所成的角均为45°，
但这两条直线相交，
故：不一定
【点睛】本题考查了直线与平面所成角的定义，判断命题正确与否的方法是看能否证明或能否找出其反例。
7．证明见解析
【解析】要证平面，即证平面内的两条相交直线，显然，再寻找一条直线垂直于，由平面可得，从而得证本题。
【详解】证明：∵底面是正方形，
.
平面，平面，
.
又，平面，平面.
平面.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，证明的关键是对定理中的每一条件都要证明到位。
8．底面四边形的两对角线垂直时
【解析】欲使，即使得成立，即得到平面，已知，再增加即可得到。
【详解】解：当底面四边形的两对角线垂直时，可得到.
证明如下：如图，连接.
∵在直四棱柱D中，
平面，面，
.
若，又，
平面.
平面，
.
而直四枝柱中，
显然，
.
【点睛】本题考查了线面垂的判定定理，本题主要通过开放的形式来考查，具有灵活性。
9． 外 中点 垂
【解析】（1）由可得，，根据题意可得，可得，从而可得，从而得到结果；
（2）由（1）得到，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半可得，点O为斜边的中点；
（3）由，可得平面，进而可得，又，可得平面，进而可得，同理可得,，从而得出答案。
【详解】解（1）如图，因为
所以，
故，
又，,
所以
故可得，
同理可得：
所以点O是的外心；
（2）由（1）可得点O是的外心，
又因为，
根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半
得到点O为斜边的中点，
即为边的中点；
（3）因为，，且
平面
所以平面，
所以，
因为
所以
又，
平面，
所以平面，
所以，
同理可得：,
故，点O是的垂心。
【点睛】本题考查了四面体这一几何体，主要从线面垂直这一位置关系进行考查，需要一定的空间想象能力。
10．或．
【分析】根据线面位置关系即可确定．
【详解】若，，则，
若，过b作平面，，，，则，又，则
故答案为：或．
【点睛】本题考查线面间的位置关系，掌握直线与平面的位置关系是解题关键，直线与平面有三种位置关系：相交、平行、直线在平面内．
11．证明见解析
【解析】欲证直线，即在平面中找出一条直线平行于即可，适当构造辅助线即可得到。
【详解】证明：如图，作，，垂足分别为，
则，
又，
∴四边形为平行四边形
.
又平面，平面.
.
【点睛】本题考查了线面平行的问题，要证明线面平行，必须满足两个条件，第一：线线平行；第二：直线在平面外，缺一不可。
12．证明见解析
【解析】欲证平面，即证平行于平面中的一条直线，取的中点G，证明四边形为平行四边形，即可得到，从而得证。
【详解】证明：如图，取的中点G，连接.
是的中点，
.
平面，平面，
.
，
，
，
∴四边形是行四边形，
，
平面，平面，
平面.
【点睛】本题考查了线面平行的问题，证明线面平行就是要证线线平行，线线平行的证明常见途径是中位线、平行四边形等等。
13．证明见解析
【解析】先写出已知与求证，然后进行证明。欲证两个平面平行，即证一个平面中的两条相交直线平行于另一个平面。通过构造平面，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可得到线线平行，进而得到线面平行，同理得到另一个线面平行，从而得到面面平行。
【详解】已知：，，
求证：.
证明：如图，过直线a任作平面，
使，，，.
，
，.
，
，，
∴在平面内，.
又，，
.
同理.
又直线相交，，，
.
【点睛】本题考查了面面平行的证明问题，解决面面平行问题常见方法是利用面面平行的判定定理。
14．见解析
【解析】根据面面垂直的判定定理，通过证明线面垂直得面面垂直.
【详解】当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直，同时，这边紧靠工件的一个面，可看成这条边在这个面内，故这两个面垂直.
【点睛】此题考查面面垂直的实际应用，将生活中的事例转化成纯立体几何问题，通过线面垂直关系得面面垂直.
15．D
【分析】根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案．
【详解】选项A中，,，得到和还有可能平行，所以错误；
选项B中，，，，不一定得到，所以错误；
选项C中，，和可能平行也可能相交，所以错误；
选项D中，由知内必有直线，因为，所以，
又因为，所以得到，所以正确．
故选：D
16．见解析
【解析】根据面面垂直的判定定理，先寻找线面垂直，再得面面垂直.
【详解】平面平面，平面平面，平面平面.
理由：平面，平面，平面，
∴平面平面，平面平面.
平面，平面，
.
又，,
平面.
平面，
∴平面平面.
【点睛】此题考查面面垂直的判定，关键在于准确寻找线面垂直的关系，结合几何体中的线面关系依次证明.
17．证明见解析
【解析】根据定理先证明，得平面，即可得证面面垂直.
【详解】证明：∵在正三棱柱中，D为的中点，为正三角形，
.
又在正三棱柱中，平面，平面，
.
，平面，平面.
平面.
平面，∴平面平面.
【点睛】此题考查面面垂直的证明，关键在于根据几何体特征，准确证明出线面垂直，即可证明面面垂直.
18．
【分析】根据面面垂直的性质可以判断命题的真假﹒
【详解】若平面平面，则两平面一定相交，设交线为直线，显然，但直线与平面不垂直，故此命题不正确.
故答案为：
19．√
【分析】根据线面平行的性质可知此命题正确.
【详解】平面平面，若它们的交线记为直线，因此直线平面.
在平面内一定有直线，则直线平面.故此命题正确.
故答案为：√
20．√
【分析】根据面面垂直的判定定理可以判断命题的真假﹒
【详解】若平面内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，
所以如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．
故答案为：√
21．C
【解析】根据面面垂直的性质进行辨析，注意考虑到取点的特殊位置.
【详解】（1）内存在不与垂直的直线，如内平行于交线的直线平行于，故（1）错误；
（2）取平面内无数条与交线垂直的直线，平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故（2）正确；
（3）内取与平行的直线，不垂直于，故（3）错误；
（4）若内的任意一点取在交线上，所作垂线可能不在平面内，所以不一定要直于，故（4）错误.
【点睛】此题考查面面垂直的性质应用，通过面面垂直判定线面位置关系和线与线的位置关系.
22．B
【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
23．，理由见解析
【解析】在平面内找出直线a的平行线，根据面面垂直的性质证明线面垂直．
【详解】，理由如下：
如图，过直线a作平面，使.
，.
又，.
又，，，
.
【点睛】此题考查根据线面平行的性质证明线线平行，根据面面垂直的性质证明线面垂直．
24．D
【分析】在长方体中举例说明，可能的位置关系，由排除法可得正确选项.
【详解】
如图：在长方体中，记为，为，为，满足题中条件，，
若为，满足，此时；
若为，满足，此时与相交；
若为，满足，此时与异面垂直；
若为，满足，此时与相交垂直；
因此，的位置关系不确定，所以选项ABC都不正确，
故选：D.
25．A
【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A．
26．D
【详解】由题意下列哪个选项可以推出直线，互相平行即可，选项A中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中与不仅可以平行还可能异面直线；故选D
27．正确
【分析】根据线面垂直的知识确定正确结论.
【详解】根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条.
所以判断正确.
故答案为：正确
28．×
【分析】根据线面平行的判定定理，即可得出结果.
【详解】根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这个直线与平面平行；
因此，过平面外一点能作出无数条直线与这个平面平行.
故答案为：×
29．√
【分析】根据直线和平面垂直的性质即可判断﹒
【详解】根据直线和平面垂直的性质可知，过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，
故答案为：√
30．×
【分析】过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行﹒
【详解】过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行﹒
故答案为：×
31．正确
【分析】结合平面的知识确定正确结论.
【详解】直线与直线外一点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，
所以过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
所以判断正确.
故答案为：正确
32．（1）正确，理由见解析； （2）正确，理由见解析； （3）错误，见解析.
【解析】（1）根据线面垂直的性质分析，平面内存在直线与第一条直线平行，该平面的垂线与之垂直；
（2）借助法向量求二面角的方法即可分析；
（3）垂直于同一平面的两个平面不一定垂直.
【详解】解：（1）正确，设直线平面，直线平面，则存在直线.且.
（2）正确，两个平面平行，则其法向量也平行，两个二面角的两个半平面的法向量所成角相等或互补；.
（3）错误，如长方体中两底面都与同一侧面垂直，但两底面不垂直.
【点睛】此题考查垂直关系的辨析，关键在于根据公理定理进行分析推导和证明，可以结合具体物体中的反例推翻命题.
33．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.
【解析】（1）通过证明，，即可得证；
（2）通过平行关系转化证明即可得证；
（3）通过证明平面，证明.
【详解】证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，
∵P为的中点，.
又∵Q为的中点，，
.
∴四边形CDPQ为平行四边形，.
又，D为AB的中点，.
（2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC.
，由（1）知.
又，.
（3）由（1）（2）知，，而.
平面.
平面，.
【点睛】此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目.
34．证明见解析
【解析】通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证.
【详解】证明：底面ABC，底面ABC，.
∵O在CD上,.
又，
平面POC.平面POC，.
【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.
35．平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°，平面与平面，平面成的角为90°
【解析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小.
【详解】解：在正方体中，考虑平面与平面ABCD，
平面，平面，所以平面就是平面与平面ABCD所成角，
即平面与平面ABCD成角，
同理平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，
又因为平面，平面与平面垂直，即所成的角为90°，同理可得平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.
所以平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.
【点睛】此题考查求平面与平面所成角的大小，常通过求二面角的平面角的大小进行度量，特殊情况可用垂直关系讨论.
36．平面VBA和平面VBC垂直，理由见解析
【解析】通过直角关系证明线面垂直得面面垂直，即可得出结论.
【详解】解：平面VBA和平面VBC垂直.
因为，
所以平面ABC，所以.
因为.所以.
因为，所以平面VAB.
又平面VBC，所以平面平面VBC.
【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直.
37．证明见解析
【解析】通过直角关系证明线面垂直再证明出面面垂直，即可得出结论.
【详解】已知：直线VA，VB，VC两两垂直
求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直.
证明：如答图所示，
,
平面VBC.
∵平面VC，
∴平面平面VBC.
同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC.
【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据线线垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直.
38．证明见解析
【解析】根据面面垂直的性质和线面平行的性质，证明线面垂直，得证面面垂直.
【详解】证明：如图，设.在平面内作直线.
因为，根据面面垂直的性质，所以.
过a作一个平面与平面相交于直线b，
由，得,所以.
又，所以.
【点睛】此题考查根据面面垂直的性质得线面垂直，根据线面平行的性质得线线平行，根据线面垂直证明面面垂直.
39．证明见解析.
【解析】设，在平面内取一点，过作于，过作于C，则可证得，，从而可证得，，进而可证得
【详解】证明：设，
在平面内取一点，过作于，过作于C.
且，
又，，
又，，
同理可证，
又且，
40．证明见解析
【解析】取的中点R，连接QR，AR,通过证明证得结论.
【详解】证明：取的中点R，连接QR，AR,如图：
.
∵Q是的中点，.而.
∴四边形ABQR是平行四边形，.
在正方形中，∵P，R分别是的中点，
.
，
即.
【点睛】此题考查线线垂直的证明，通过平行关系的转化，结合平面几何的知识进行证明.
41．证明见解析
【解析】根据垂直于同一平面的两直线平行得，结合平面几何知识即可得证.
【详解】证明：因为m,n是相交直线，所以它们可以确定一个平面记为，则，
同理直线l与都相交，
【点睛】此题考查线面垂直的判定，根据垂直于同一平面的两条直线平行，结合平面几何知识证明同位角相等.
42．证明见解析
【解析】写出命题，作出图形，找出线面角，通过全等三角形关系证明线面角相等.
【详解】已知：分别是a，b与所成的角.求证：.
证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧，且，连接AB和，
因为，
所以四边形是平行四边形.
所以，又，所以.
设分别是平面的垂线的垂足，
连接，则，
在和中，因为.
所以，所以.
【点睛】此题考查线面角的辨析，根据定义作出直线与平面所成角，结合全等三角形的性质证明角相等.
43．能，理由见解析
【解析】通过得，由平面ABC得，即可证明平面VDO，结合等腰三角形三线合一即可得证.
【详解】解：能判定以及AC=BC.
理由如下：
平面ABC，平面ABC.
.
.
，平面VDO.
平面VDO，.
又.
【点睛】此题考查线面垂直的判定和性质，通过线面垂直得线线垂直，结合平面几何知识进行相关判定.
44．平面GEF，平面GSE，平面GSF.
【解析】通过对折叠前后直线位置关系的辨析得折后，根据线面垂直的判定定理即可判定.
【详解】解：折前
∴折后.
又SG，EG，FG交于一点G.
根据EG，FG交于一点G，可得平面GEF，
同理可证：平面GSE，平面GSF.
【点睛】此题考查折叠问题中的垂直关系，找准折叠前后的变化关系和不变关系，关键在于根据线线垂直证明线面垂直.
45．证明见解析
【解析】写出命题，在平面内寻找两条相交直线与已知直线垂直即可得证.
【详解】已知：，求证：.
证明：如图、过直线a作两平面，使
.
根据面面平行的性质，
.
.
又与都在内且相交，.
【点睛】此题考查根据面面平行的性质得线线平行，根据直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直.
46．证明见解析
【解析】写出命题，根据面面垂直的性质得线面垂直，根据线面平行的性质得线线垂直，结合线面垂直关系证明线线垂直.
【详解】已知：平面.
求证：.
证明：如图所示，因为，
在平面内作异于的直线，，，
所以，因为，所以，，所以
所以，
又
所以，所以，
同理可得.
【点睛】此题考查线面平行的性质，面面垂直的性质，考查对线面平行、线面垂直、面面垂直性质的综合应用.
47．作图见解析；.
【解析】根据“一作二证三计算”，取AB的中点M，连接VM，CM，证明为二面角V-AB-C的平面角，在三角形中进行计算即可.
【详解】解：如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM.
为二面角V-AB-C的平面角
根据已知条件可得.
在中，由余弦定理
∴二面角V-AB-C的余弦值等于.
【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则.
48．证明见解析
【解析】根据，在直三棱柱中，证得平面，得，连接，则，即可证明平面，命题得证.
【详解】证明：∵直三棱柱中，.
∴四边形为正方形.
连接，则.
∵直棱柱中，底面ABC，底面ABC，.
，即.
又.
平面.
平面.
又，平面.
平面.
【点睛】此题考查线面垂直的证明，对线面垂直的判定和性质的综合使用，最终证明线面垂直.
49．直线DE与平面VBC垂直，理由见解析
【解析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证.
【详解】解：直线DE与平面VBC垂直
理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角.
由AB是的直径，知.
因此，平面平面VBC.
由两个平面垂直的性质定理，
平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC，
可知直线AC与平面VBC垂直，
由D，E分别是VA，VC的中点，知，
所以直线DE与平面VBC垂直.
【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系.
50．垂直，证明见解析
【解析】根据图形特征证明平面PBC，即可证明平面AEF与平面PBC互相垂直.
【详解】解：垂直，证明如下：
底面ABCD，平面ABCD，
又底面ABCD为正方形，，而.
平面PAB
平面PAB，.
，E为PB的中点，
.而,
平面PBC.
平面AEP，
∴平面平面PBC.
【点睛】此题考查面面垂直的证明，涉及动平面与一个平面垂直的证明，关键在于证明直线与平面垂直，涉及直线与平面垂直的判定和性质的综合应用.
51．(1)45°
(2)30°
【分析】（1）判断出与所成角，并求得其大小.
（2）作出与所成角，并求得其大小.
(1)
因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．
(2)
连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．
52．A
【分析】根据线面垂直的性质可以得到，从而可得正确的选项.
【详解】因为平面，直线，由线面垂直的性质可以知道，
故选：A．
【点睛】本题考查线面垂直的性质，注意空间中线面垂直与线线垂直的相互转化，本题属于容易题．
53．B
【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A；由线面垂直的性质定理可判断B；由线面平行的判定定理可判断C；由线线的位置关系可判断D；
【详解】对于A，根据线面垂直的判定定理，要证线面垂直需垂直于平面内两条相交的直线，故A错误；
对于B，因为，则垂直于平面内任意一条直线，又，由异面直线所成角的定义知，与平面内任意一条直线所成的角都是，即，故B正确；
对于C，由，，可知或异面，故C错误；
对于D，由平行于同一平面的两直线可能平行，相交，异面，故D错误；
故选：B
54．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)由为矩形，得，又平面，可知平面，从而，可证，由，，从而证明面；
(2)由为矩形，可证平面，得，可知，从而平面，可证．
(1)
为矩形，
平面，BC平面
，
又∵PA∩AB＝A，PA与AB平面PAB，
平面
又∵AE平面PAB
又，PB∩BC＝B，PB与BC平面PBC，
平面，
∵PC平面PBC
又，，AE与AF平面AEF
平面；
(2)
为矩形
平面
平面
平面
平面
55．.
【分析】取的中点M，连接，，推理判断为直线与平面所成的角即可计算作答.
【详解】在正方体中，取的中点M，连接，，如图，
因E是的中点，四边形为正方形，即有，而平面，
则平面，从而为直线在平面内的射影，为直线与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则，在中，
，，于是得，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
56．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)线线垂直的思路是证明直线垂直于另一直线所在的平面.
(2)直线与直线的平行，利用线面垂直的性质垂直于同一平面的两直线平行.
(1)
如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
(2)
如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
57．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)线面平行的证明，面外的直线与面内的直线平行，PB与平面AEC中的OE平行，利用中位线即可.
(2)点到面的距离法一是直接法，法二是等体积法.
(1)
证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO
．
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．
又点E为PD的中点，所以EO∥PB．
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC．
(2)
作AH⊥PB于点H． PA⊥平面ABCD, 又ABCD为矩形，, AP＝1，AD＝,
由，可得AB＝．
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．因为 ，所以 .
58．C
【详解】
如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O，
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
在中，.
即截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于．选C．
点睛：
求二面角时要体现“一找二证三计算”的解题思路，其中作出二面角的平面角是解题的关键．作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
59．D
【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案.
【详解】如图所示，在正方体中，二面角与二面角的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，
所以这两个二面角不一定相等或互补.
例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是，所以这两个二面角不一定相等或互补.
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，以及二面角的概念及应用，其中解答中熟记二面角的概念，合理举例是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
60．证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结果.
【详解】由题设知，与是全等的等腰三角形，
取的中点E，连接，，则，．
在中，，，
所以，同理，
在中，，．
由于，所以，
又，平面．
又平面，所以平面平面．
61．证明见解析
【分析】分别根据面面垂直、线面垂直得到线线垂直，从而证明线面垂直，再证明线线垂直.
【详解】证明:如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD 平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
因为ADPA＝A，
所以BC⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，所以BC⊥AC．
62．（1）见证明；（2）见证明；（3）见证明；
【分析】(1)取的中点，连接，证明，即可得结果；(2)取的中点，连接，可得，由平面，可得，又，从而可得平面，进而可得结果；(3)利用三角形中位线定理证明，可得四边形为平行四边形，，由(2)知平面，则 平面，从而可得结果.
【详解】(1)取EC的中点F，连接DF.∵FCBD，∴四边形BDFC为平行四边形．∴DF∥BC，又EC⊥BC，∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，
∴MN∥BD，∴点N在平面BDM内．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN 平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵BDEC，MNEC，∴MNBD.
∴四边形MNBD为平行四边形，∴DM∥BN，
由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又DM 平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题的关键是由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直.
答案第1页，共2页10.1 随机事件与概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1有限样本空间与随机事件
例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为正面朝上，反面朝上.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间.
例2 抛掷一枚骰子（tóuzi），观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
解：用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为.
例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用表示.于是，试验的样本空间
（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.
如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为.
如图10.1-1所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.
例4 如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合表示下列事件：
“恰好两个元件正常”；
“电路是通路”；
“电路是断路”.
解：（1）分别用，和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间
.
如图10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.
（2）“恰好两个元件正常”等价于，且，，中恰有两个为1，所以
.
“电路是通路”等价于，，且，中至少有一个是1，所以
.
同理，“电路是断路”等价于，，或，.所以
.
练习
1．写出下列各随机试验的样本空间：
（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；
（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；
（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；
（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；
（5）射击靶3次，观察中靶的次数.
2．如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.
（1）写出试验的样本空间；
（2）对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；
（3）对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.
3．袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”
10.1.2事件的关系与运算
例5 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“甲元件正常”，“乙元件正常”.
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组表示样本点.这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.
解：（1）用，分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为.
（2）根据题意，可得
，，
，.
（3），；表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件.
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
，
事件“第一次摸到红球”，即或2，于是
；
事件“第二次摸到红球”，即或2，于是
.
同理，有
，
，
，
.
（2）因为，所以事件包含事件R；
因为，所以事件R与事件G互斥；
因为，，所以事件M与事件N互为对立事件.
（3）因为，所以事件Ｍ是事件R与事件G的并事件；
因为，所以事件R是事件与事件的交事件.
练习
4．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶
5．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
10.1.3古典概型
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率.
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
“两个点数之和是5”；
“两个点数相等”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，
其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
（2）因为，所以，从而；
因为，所以，从而；
因为，
所以，从而.
例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
（1）“第一次摸到红球”；
（2）“第二次摸到红球”；
（3）“两次都摸到红球”.
解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示.
表10.1-2
（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即，
所以.
（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即，
所以.
（3）事件包含2个可能结果，即，所以.
例10 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.
（1）根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
.
不放回简单随机抽样的样本空间
.
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间.
（2）设事件“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，.
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此
对于不放回简单随机抽样，.
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.
练习
6．判断下面的解答是否正确，并说明理由.
某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.
7．从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：
（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；
（3）抽到的牌是方片；（4）抽到J或Q或K；
（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；
（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.
8．从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：
（1）这个数平方的个位数字为1；
（2）这个数的四次方的个位数字为1.
10.1.4概率的基本性质
例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，，那么
（1）“抽到红花色”，求；
（2）“抽到黑花色”，求.
解：（1）因为，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得.
（2）因为C与D互斥，又因为是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此
.
例12 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设“中奖”，“第一罐中奖”，“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.
解：设事件“中奖”，事件“第一罐中奖”，事件“第二罐中奖”，那么事件“两罐都中奖”，“第一罐中奖，第二罐不中奖”，“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且
.
因为，，两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
.
我们借助树状图（图10.1-11）来求相应事件的样本点数.
可以得到，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的.因为，，，所以.
上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于“两罐都不中奖”，而，所以.
因此.
练习
9．已知.
（1）如果，那么___________，___________；
（2）如果A，B互斥，那么___________，___________.
10．指出下列表述中的错误：
（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；
（2）如果事件A与事件B互斥，那么一定有.
11．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：
M 18 20 14
F 17 24 7
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________
习题 10.1
复习巩固
12．如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.
（1）用表格表示试验的所有可能结果；
（2）列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”.
13．在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.
（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；
（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.
14．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”写出样本空间，并列举A和B包含的样本点；
15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ）．
A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥
C．A与B相等 D．
16．判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例
（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；
（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
（3）事件与事件B中至少有一个发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率大；
（4）事件与事件B同时发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率小.
17．生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”．
18．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
19．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；
（1）标签的选取是不放回的；
（2）标签的选取是有放回的.
20．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.
综合运用
21．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？
（1）A=“恰有1支一等品”；
（2）B=“两支都是一等品”；
（3）C=“没有三等品”.
22．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4”
（1）求事件A，B，C的概率；
（2）求的概率.
23．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？
24．假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D， E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；
（1）女孩A得到一个职位；
（2）女孩A和B各得到一个职位；
（3）女孩A或B得到一个职位.
25．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
26．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：
（1）没有出现6点；
（2）至少出现一次6点；
（3）三个点数之和为9.
拓广探索
27．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
28．从1-20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率；
（1）这个数既能被2整除也能被3整除；
（2）这个数能被2整除或能被3整除；
（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.
29．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设=“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请填写下表：
事件
概率
事件是否满足两两互斥？是否满足等可能性？
（2）求下列事件的概率：
①A=“在1年内需要维修”;
②B=“在1年内不需要维修”；
③C=“在1年内维修不超过1次”.
变式练习题
30．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
31．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？
32．盒子里有大小和质地均相同的6个红球和4个白球现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球、1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}.
（1）事件D与A，B是什么运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
33．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
34．一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
35．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A． B． C． D．
（2018·高考江苏卷）
36．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
37．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
38．射手小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率．
39．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
答案第1页，共2页7.1 复数的概念
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
例1当实数m取什么值时，复数是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
分析：因为，所以，都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.
解：（1）当，即时，复数z是实数.
（2）当，即时，复数z是虚数.
（3）当，且，即时，复数z是纯虚数.
练习
1．说出下列复数的实部和虚部：.
2．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？.
3．求满足下列条件的实数x，y的值：
（1）；
（2）
7.1.2 复数的几何意义
例2设复数，.
（1）在复平面内画出复数，对应的点和向量；
（2）求复数，的模，并比较它们的模的大小.
解：（1）如图7.1-4，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，.
（2），
.
所以.
例3设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）.
解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）.
练习
4．说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）．
5．在复平面内，描出表示下列复数的点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)5；
(6)．
6．已知复数．
（1）在复平面内画出这些复数对应的向量；
（2）求这些复数的模．
习题7.1
复习巩固
7．符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子若不存在，请说明理由.
（1）实部为的虚数；
（2）虚部为的虚数；
（3）虚部为的纯虚数.
8．实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
9．求适合下列方程的实数x与y的值：
(1)；
(2)．
10．如果P是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点P的位置.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
11．求复数及的模，并比较它们的模的大小.
综合运用
12．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点．
(1)位于第四象限？
(2)位于第一、三象限？
(3)位于直线y＝x上？
13．在复平面内，O原点，向量对应的复数是.
（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
14．设：,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）.
15．如果复数z的实部为正数，虚部为3,那么在复平面内，复数z对应的点应位于怎样的图形上？
拓广探索
16．已知复数z的虚部为,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z.
17．在复平面内指出与复数对应的点,判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论.
变式练习题
18．写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
19．当实数为何值时，复数i是实数、纯虚数、虚数？
20．已知，，若，求实数的取值集合．
21．已知复数（），且，求k的值.
22．若是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
23．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i B．2＋i
C．－＋ D．＋i
24．若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．实部分别为；虚部分别为.
【解析】根据复数的概念，复数，则为实部，为虚部，解答即可.
【详解】解：的实部分别为；
虚部分别为.
【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题.
2．实数有；虚数有；纯虚数有.
【解析】根据复数的概念解答即可.
【详解】解：对于复数，若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数；可知
实数有：；
虚数有：；
纯虚数有：.
【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.
3．（1）；（2）.
【解析】（1）根据复数相等的充要条件为实部和实部相等，虚部和虚部相等，得到方程组，解得；
（2）复数为零的充要条件为实部和虚部同时为零，得到方程组，解得；
【详解】解：（1）
，
解得；
（2）
，
解得
【点睛】本题考查复数相等和复数为零求参数的值，属于基础题.
4．，，，，，，，．
【解析】根据各点坐标确定对应复数.
【详解】因为，，，，，，，．
所以，，，，，，，．
【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
【分析】（1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
(1)
对应点为，
(2)
对应点为（－3,2），
(3)
对应点，
(4)
对应点
(5)
对应点，
(6)
对应点，
6．（1）见解析（2）；；2；4；．
【解析】（1）根据复数几何意义确定点坐标，再在复平面内作向量；
（2）根据复数模的定义求模.
【详解】解：（1）如图所示．
（2）；；；；．
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．（1）存在，例如.
（2）存在，例如
（3）存在，只能是.
【解析】根据复数的概念求解．
【详解】（1）存在，例如.
（2）存在，例如
（3）存在，只能是.
【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数概念是解题关键．
8．（1）m=0或m=3；（2）且；（3）m=2.
【分析】（1）当复数的虚部等于零,复数为实数,由此求得m的值；
（2）当复数的虚部不等于零,复数为虚数,由此求得m的值；
（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时,列方程组,即由此求得m的值.
【详解】复数.
（1）要使z为实数，只需，解得：m=0或m=3；
（2）要使z为虚数，只需，解得：且；
（3）要使z为纯虚数，只需，解得：m=2.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数相等的定义计算．
（2）根据复数相等的定义计算．
(1)
由题意，解得．
(2)
由题意，解得．
10．（1）第一象限；
（2）第二象限；
（3）位于原点或虚轴的负半轴上；
（4）位于实轴下方（不包括实轴）
【解析】由复数的几何意义解答．
【详解】（1）； 点P在第一象限；
（2）；点P在第二象限；
（3）；点P位于原点或虚轴的负半轴上；
（4）.点P位于实轴下方（不包括实轴）．
【点睛】本题考查复数的几何意义，复数对应的点为．
11．
【解析】由复数模的定义计算．并比较大小．
【详解】解：.
【点睛】本题考查复数模的运算，掌握模的定义是解题基础．复数的模为．
12．（1）或；（2）或或；（3）
【详解】试题分析：（1）由题意得，复数位于第四象限，则实部大于，虚部小于，列出方程组即可求解实数的取值范围；
（2）根据复数的定义和复数的表示，列出不等式组，即可求解实数的取值范围；
（3）使得复数位于直线上，只需实部与虚部相等即可求解实数的值．
试题解析：
(1)由
解得－2(2)由或
可等价转化为(m2－8m＋15)(m2－5m－14)>0，即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)>0，
利用“数轴标根法”可得：m<－2或37，此时复数z对应的点位于第一、三象限．
(3)要使点Z在直线y＝x上，需m2－8m＋15＝m2－5m－14，解得m＝.此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．
点睛：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数对应复平面内的点．复数对应平面向量.
13．（1）（2）
【解析】（1）求出点坐标，再得出点坐标后可得对应复数；
（2）求出点坐标后可得对应复数．
【详解】解：由于向量是以原点为始点，故终点A的坐标为.
（1）点关于实轴的对称点B的坐标为，则向量对应的复数为.
（2）点关于虚轴的对称点C的坐标为，则点C对应的复数是.
【点睛】本题考查复数的几何意义，复数对应的点为．
14．（1）以原点O为圆心，以3为半径的圆.
（2）以原点O为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界
【解析】根据模的几何意义说明．
【详解】解：（1）由得，向量的模等于3,所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆.
（2）不等式可化为不等式组,不等式的是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆上的点及其外部所有的点组成的集合，所以，满足条件的集合是以原点O为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界（如图所示）.
【点睛】本题考查复数模的几何意义，复数的模表示其在复平面上对应点到原点的距离．
15．位于没有顶点的射线上.
【解析】根据复数的几何意义求解．
【详解】设，由题意，∴点在无顶点的射线上．
【点睛】本题考查复数的几何意义，复数对应的点为．
16．或.
【解析】可设复数，由计算．
【详解】解：由题意可设复数，因为复数z对应的向量的模为2.
所以,解得,所以复数或.
【点睛】本题考查复数的模，属于基础题．解决复数问题，常常设复数，然后代入计算．
17．4个点在以原点为圆心，为半径的圆上.见解析
【解析】由复数几何意义，得出对应点的坐标，对应向量的坐标，计算它们的模，由模的几何意义可得．
【详解】解：在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为，
得到对应的以原点为始点的向量依次为，则，可得.
同理可得，
所以，这4个点在以原点为圆心，为半径的圆上.
【点睛】本题考查复数的几何意义，由向量模的几何意义可得结论．
18．答案见解析
【分析】结合复数的类型直接辨别即可.
【详解】4，－π，2－3i，0，，，6i的实部分别是4，－π，2，0，，－2，0；
虚部分别是0，0，－3，0，，，6.
4，－π，0是实数；2－3i，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数.
19．时，复数为实数；或时，复数为纯虚数；且时，复数为虚数.
【分析】由复数的概念求解即可
【详解】解：当且时，复数为实数，解得，所以当时，复数为实数；
当且，且时，复数为纯虚数，由，得或，由，且得且，
所以当或，复数为纯虚数；
当且时，复数为虚数，解得且，所以当且时，复数为虚数
综上，当时，复数为实数；或时，复数为纯虚数；且时，复数为虚数
20．
【分析】先由，得到.
对进行分类讨论：
当时，解出m，再根据和集合中元素的互异性进行排除；
当，列方程组解出m.
【详解】因为，所以.
因为，，
所以当时，解得或；
若，则有，，符合；
若，则有，，不符合，应舍去；
当，要使，只需：解得：，符合题意.
所以实数的取值集合为.
21．2
【分析】由可判定是负实数，进而得到关于的关系式即可求解.
【详解】因为，所以是负实数，
则，解得.
22．A
【分析】根据纯虚数的概念列式，由此求得的值.
【详解】由于复数是纯虚数，故，解得，故选A.
【点睛】本小题主要考查纯虚数的概念，考查一元二次方程的解法，属于基础题.
23．A
【详解】∵2i－的虚部为2，i＋2i2的实部为－2，
∴所求复数为2－2i.
24．1
【分析】根据复数相等列出等量关系，求解即可
【详解】由(x＋y)＋(x－y)i＝2(x， y∈R)得
所以所以xy＝1.
故答案为：1
答案第1页，共2页6.3.1 平面向量基本定理
6.3.1 平面向量基本定理
例1如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．
解：因为，
所以
．
例2如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．
证明：如图6.3-6，设，，则，，于是.
.
因为，
所以.
因为，，
所以.
因此.
于是是直角三角形.
练 习
1．如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．
2．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．
（1）用表示，，；
（2）能由（1）得出，的关系吗？
3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．
（1）用表，．
（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．
变式练习题
4．在 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
5．若向量不共线，且（其中），求证：共线．
6．如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.
7．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
8．.如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
答案第1页，共2页6.2.4 向量的数量积
6.2.4 向量的数量积
例9 已知，，与的夹角，求．
解：
．
例10 设，，，求与的夹角．
解：由，得
．
因为，所以．
练习
1．已知，，和的夹角是60°，求．
2．已知中，，，当或时，试判断的形状．
3．已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量．
例11 我们知道，对任意，恒有
，．
对任意向量，，是否也有下面类似的结论？
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
因此，上述结论是成立的．
例12 已知，，与的夹角为60°，求．
解：
．
例13 已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？
解：与互相垂直的充要条件是
，
．
因为，，
所以．
解得．
也就是说，当时，与互相垂直．
练习
4．已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：
（1）；
（2）．
5．已知，，且与互相垂直，求证：.
6．求证：．
变式练习题
7．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)；
(2)；
(3)．
8．已知，，，求与的夹角．
9．已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求：
(1)(＋)·(－)；
(2)|－|．
10．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？
12．已知，，且与互相垂直，求证：．
13．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
14．设⊙C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．24
【解析】由运算即可得解.
【详解】解：．
【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属基础题.
2．钝角三角形或直角三角形．
【解析】由平面向量数量积公式，结合向量夹角的余弦值的符号判断即可得解.
【详解】解：当时，有，
即，所以为钝角，为钝角三角形；
当时，有，即，为直角三角形．
故为钝角三角形或直角三角形．
【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.
3．见解析
【解析】由在上的投影向量为，再将已知条件代入运算即可得解.
【详解】解：当时，在上的投影向量为，
当时，在上的投影向量为，
当时，在上的投影向量为．
【点睛】本题考查了向量的投影的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
4．（1）（2）
【解析】（1）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解；
（2）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解.
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算，属基础题.
5．证明见解析
【分析】根据与互相垂直，可得，结合题设条件，即可证明.
【详解】因为与互相垂直，
所以，即，
因为，，
所以，，
所以，
因为，是非零向量，
所以.
6．证明见解析
【解析】由平面向量的运算性质即可得证.
【详解】证明：由左边右边，
故等式成立．
【点睛】本题考查了平面向量的运算性质，属基础题.
7．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据，代入数值，即可求出结果；
（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；
（3）因为，所以，再根据即可求出结果.
（1）
解：因为，，，所以；
（2）
解：因为，所以或，
当时，；
当时，；
所以的值为或.
（3）
解：因为，所以，
所以.
8．
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
9．(1)－5.
(2).
【分析】（1）根据向量的数量积运算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；
（2）根据向量数量积的定义求得，再根据向量数量积的运算律求得|－|2，由此可求得答案.
（1）
解：因为向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．
（2）
解：因为向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，所以，
所以 |－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．
10．B
【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.
【详解】由余弦定理可知，
，
，
AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，
是中点，，
由图可知向量在上的投影向量为
，
.
故选：B
【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
11．.
【分析】根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.
【详解】因为，， 与的夹角为，
所以，
若，则，
即，所以，
所以，可得：.
12．证明见解析
【分析】因为与互相垂直，所以，整理化简，可得，由此即可证明结果.
【详解】证明：因为与互相垂直，
所以，
即．
又因为，
所以．
因为是非零向量，所以．
13．证明见解析
【分析】设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果.
【详解】证明：设， ．
因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．
所以.
14．2r2
【分析】根据数量积公式，结合圆的性质，即可得答案.
【详解】若AB恰为⊙C直径，易知；
若AB不是⊙C直径，则
综上，的最大值为2r2.
答案第1页，共2页9.2 用样本估计总体
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
练习
1．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中x的值为__________；
（2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为__________．
2．如图，胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次．胡晓按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了频率分布直方图．
（1）通话时长在区间，内的次数分别为多少？
（2）区间上的小长方形高度低于上的小长方形的高度，说明什么？
3．请班上每位同学估计一下自己平均每天的课外学习时间（单位：min），然后统计数据，作出全班同学课外学习时间的频率分布直方图，能否由这个频率分布直方图估计出你们学校全体学生课外学习时间的分布情况？可以用它来估计你所在地区（城市、乡镇或村庄）全体学生课外学习时间的分布情况吗？为什么？
练习
1．某市2016年6月30天的空气质量指数如下：
你觉得这个月的空气质量如何？请设计适当的频率分布直方图展示这组数据，并结合空气质量分级标准分析数据．
2．统计你们班所有同学的鞋号，选择合适的统计图进行描述，并分析鞋号的分布有什么特点．能用你们班同学鞋号的分布估计你所在学校全体高中学生鞋号的分布吗？估计全国高中学生的鞋号分布呢？
例1已知某市2015年全年空气质量等级如表9.2-2所示.
表9.2-2
2016年5月和6月的空气质量指数如下：
选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题：
（1）分析该市2016年6月的空气质量情况
（2）比较该市2016年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好？
（3）比较该市2016年6月与该市2015年全年的空气质量，2016年6月的空气质量是否好于去年？
解：（1）根据该市2016年6月的空气质量指数和空气质量等级分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表（表9.2-3）.
表9.2-3
从表中可以看出，“优”“良”的天数达19天，占了整月的63.33%，没有出现“重度污染”和“严重污染”.
我们可以用条形图和扇形图对数据作出直观的描述，如图9.2-3和图9.2-4.从条形图中可以看出，在前三个等级的占绝大多数，空气质量等级为“良”的天数最多，后三个等级的天数很少.从扇形图中可以看出，空气质量为“良”的天数占了总天数的一半，大约有三分之二为“优”“良”，大多数是“良”和“轻度污染”.因此，整体上6月的空气质量不错.
我们还可以用折线图展示空气质量指数随时间的变化情况，如图9.2-5.容易发现，6月的空气质量指数在100附近波动.
（2）根据该市2016年5月的空气质量指数和空气质量分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数和频率分布表（表9.2-4）.
表9.2-4
为了便于比较，我们选用复合条形图，将两组数据同时反映到一个条形图上.通过条形图中柱的高低，可以更直观地进行两个月的空气质量的比较（图9.2-6）.
由表9.2-4和图9.2-6可以发现，5月空气质量为“优”和“良”的总天数比6月多.所以，从整体上看，5月的空气质量略好于6月，但5月有重度污染，而6月没有.
（3）把2016年6月和2015年全年的空气质量进行比较，由于一个月和一年的天数差别很大，所以直接通过频数比较没有意义，应该转化成频率分布进行比较.可以通过二者的空气质量指数的频率分布直方图或空气质量等级的频率分布条形图进行比较（图9.2-7）.
通过图9.2-7可以看出，虽然2016年6月的空气质量为“优”的频率略低于2015年，但“良”的频率明显高于2015年，而且2016年6月中度以上的污染天气频率明显小于2015年，所以从整体上看，2016年6月的空气质量要好于2015年全年的空气质量.
9.2.2总体百分位数的估计
例2根据9.1.2节问题3中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数.
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
由，，，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
例3根据表9.2-1或图9.2-1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
表9.2-1
分析：在某些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息.例如由表9.2-1，我们知道在内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
解：由表9.2-1可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为.
在16.2t以下的居民用户所占的比例为.
因此，80%分位数一定位于内.由，
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
类似地，由，
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
练习
1．在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适？
2．根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数．如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做？
3．分别根据图9.2－2（1）（2）中的数据，估计这组数据的月均用水量的第80和95百分位数．与根据图9.2－1估计的结果比较，它们一样吗？你认为根据哪个图得到的估计更好？为什么？
9.2.3总体集中趋势的估计
例4利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
解：根据9.2.1节中100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得
，
即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.
将样本数据按从小到大排序，得第50个数和第51个数分别为6.4，6.8，由中位数的定义，可得，
即100户居民的月均用水量的中位数是6.6t.
因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.6t.
例5某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表9.2-5所示.
表9.2-5
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表9.2-5中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是几种不同的类别.对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合适.
解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据（图9.2-9），可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
练习
1．根据表9.2－2中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数和第80百分位数．（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数不超过400）
2．假设你是某市一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额．已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币，对另外25个公路项目的投资是20～100万元，这26个投资金额的中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元．请你根据上面的信息给市长写一份简要的报告．
3．某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数，那么，这两个选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？
9.2.4 总体离散程度的估计
例6在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
解：把男生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.
根据方差的定义，总样本方差为
.
由，可得.
同理可得.
因此，
. ①
由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
.
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得
.
我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.
练习
1．不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗？
（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；
（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；
（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；
（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8．
2．数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数．证明：
（1）如果，，…，，那么；
（2）如果，，…，，那么．
3．农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如下：
哪种水稻的产量比较稳定？
4．一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：
486495496498499493493
498484497504489495503
499503509498487500508
（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？
（2）质量位于与之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？
5．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女姓180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03．
（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？
（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
习题9.2
复习巩固
1．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265
293 293 294 296 301 302 303 305 305 306
321 323 325 326 328 340 343 346 348 350
352 355 357 357 358 360 370 380 383 385
（1）请你选择合适的组距，作出这个样本的频率分布直方图，分析这批棉花纤维长度分布的特征；
（2）请你估计这批棉花的第5，95百分位数.
2．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好？
3．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5.全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1.全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？
（1）平均说来一队比二队防守技术好；
（2）二队比一队技术水平更稳定；
（3）一队有时表现很差，有时表现又非常好；
（4）二队很少不失球.
4．数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明.
5．数据的方差，证明：所有的都相同.
综合运用
6．以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分，你的一位高中校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先进一步查阅一下这所大学以往招生的其他统计信息？解释一下你的选择.
7．甲、乙两个班级，一次数学考试的分数排序如下：
甲班 51 54 59 60 64 68 68 68 70 71
72 72 74 76 77 78 79 79 80 80
82 85 85 86 86 87 87 87 88 89
90 90 91 96 97 98 98 98 100 100
乙班 61 63 63 66 70 71 71 73 75 75
76 79 79 80 80 80 81 81 82 82
83 83 83 84 84 84 85 85 85 85
85 85 86 87 87 88 90 91 94 98
请你就这次考试成绩，对两个班级的数学学习情况进行评价
8．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在30条鱼的样本中发现的汞含量（单位：ppm）如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31
（1）请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；
（2）求出上述样本数据的平均数和标准差；
（3）从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.00ppm大吗？
（4）在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？
9．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万"，而你的预期是获得9万元年薪.
（1）你是否能够判断年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者？
（2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？
（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？
（4）根据（3）中招聘员提供的信息，你能估计出这家公司员工收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？
10．有20种不同的零食，每100 g可食部分包含的能量(单位：kJ)如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318
249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
(1)以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差．
(2)设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，求样本的平均数与标准差．
(3)利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差．这个样本的平均数和标准差与(2)中的结果一样吗？为什么？
(4)利用(2)中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10，13，16，19的样本，求样本的平均数与标准差．分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系．
拓广探索
11．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为.证明：
（1）;
（2）.
12．调查本班每名同学的家庭在同一周的用电量，从中你能发现什么信息？写一份简短的统计报告，说明你发现的信息．
变式练习题
13．为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
14．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三组的频数是多少？
15．为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
16．小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？
(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
17．图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：

A学校 B学校
（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？
（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？
18．现有甲、乙两组数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）直方图见解析，有一部分棉花的纤维长度比较短，这批棉花中混进了一些次品；（2）41.5，375.
【解析】（1）可以每60 mm为一组，即直方图中第小上矩形宽度为60，分组后计算频率，画出直方图，从图中可看出纤维较短的不少，有次品混入．
（2）计算，因此取第3项与第4项，第57项与第58项数据的平均数作为相应百分位估计值，
【详解】（1）频率分布直方图如图，由图分析发现这批棉花的纤维长度不是特别均匀，有一部分棉花的纤维长度比较短，所以，这批棉花中混进了一些次品；
（2）由，可知样本数据的第5，95百分位数为第3项与第4项，第57项与第58项数据的平均数，分别为41.5，375.据此可估计这批棉花的第5,95百分位数分别约为41.5，375.
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查百分位数．掌握直方图的画法是解题关键．
2．甲机床的平均数，标准差；乙机床的平均数，标准差，乙机床的性能较好.
【解析】按均值和方差的计算公式计算，均值小的性能好．
【详解】甲机床的平均数，
标准差；
乙机床的平均数，
标准差.
比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好.
【点睛】本题考查均值和方差的计算及应用．均值反映性能，方差反映数据波动大小．
3．（1）对，理由见解析；（2）对，理由见解析；（3）对，理由见解析；（4）对，理由见解析.
【解析】从均值大小说明防守技术的好坏，从方差的大小说明稳定性好差．
【详解】（1）对，从平均数的角度考虑；
（2）对，从标准差的角度考虑.
（3）对，从平均数和标准差的角度考虑.
（4）对，从平均数和标准差的角度考虑.
【点睛】本题考查均值和方差的应用．均值小反映防守技术好，方差反映数据波动大小．
4．证明见解析
【解析】由均值和方差的公式直接证明．
【详解】证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则.
，
.
【点睛】本题考查方差和标准差公式性质．由计算公式直接计算验证即可．
5．证明见解析
【解析】根据方差公式证明．
【详解】证明：设的平均数为，
则.
，
，
，
∴所有的都相同.
【点睛】本题考查方差的概念，这个结论说明方差越小，数据越集中．
6．应该查阅一下这所大学的其他招生信息，理由见解析.
【解析】中位数不能提供多少录取信息，如可查阅平均分数，最低录取分数等．尽管该校友的分数位于中位数之下，但也可能被录取．
【详解】应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均数信息、最低录取分数线信息等，尽管该校友的分数位于中位数之下，但中位数本身并不能提供更多的录取分数的信息.
【点睛】本题考查中位数，掌握中位数只是一个统计数据，本身并不能提供更多的信息作为参考．
7．甲班优秀生较多
【解析】计算均分，均分相等，中位数相当，但90分以上人数甲班占比远远多于乙班，甲班优秀生多．
【详解】甲班平均分为80.5,
乙班平均分为80.5,
平均水平相当，
甲班的中位数为=81.乙班中位数为82.5,大致相当，但甲班90及以上10人，占25%，乙班90及以上4人，占10%，因而甲班优秀生较多.
【点睛】本题考查样本数据特征的应用，均值、方差，中位数等等，如果用统计图表示可能更能给出评价．
8．（1）73%在内；（2）平均数，样本标准差；（3）不一定；（4）28.
【解析】（1）列出频率分布表，作出频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图计算出样本数据的平均数和标准差的估计值；
（3）不一定能，题中数据仅仅是这一批的数据，其他批次的数据不知，这仅仅是估计值．
（4）直接确认数据在不在区间内即可．
【详解】（1）用频率分布表如下：
分组 频数 频率
3 0.10
10
12 0.40
4
1
合计 30 1.00
作出统计图，这30条鱼的汞含量有约73%在内.
（2）样本平均数，
样本方差,
标准差..
（3）不一定，因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同，即使其他各批鱼的汞含量分布与这批鱼相同，上面的数据也只能为这个分布作出估计，不能保证每批鱼的平均汞含量都大于1.00ppm
（4）有28条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内.
【点睛】本题考查频率分布表，频率分布直方图，考查用样本数据估计总体数据．要注意估计值只能是估计结论，不能确定就是这个结论．本题考查数据处理能力．
9．（1）不能；（2)不能，要看中位数是多少；（3）能；（4）7万元，理由见解析.
【解析】（1）不能，平均收入和最高收入相差太大，说明高收入的员工占极少数，除一个高收入200万外，其他平均最多约有6.12万，再有一个高收入的话，平均值瘵更低，新员工会更低；
（2）范围用处不大，最好看下中位数；
（3）这说明75%以上的人工资高于4.5万，可以接受；
（4）取4.5与9.5的平均值为中位数估计值．
【详解】（1）不能，因为平均收入和最高收入相差太大，说明高收入的员工占极少数，现在已经知道至少有一个人的年收入为200万元，那么其他员工的年收入之和为（万元），每人平均收入约6.12万元.
如果再有几个收入特别高的，那么初进公司的员工的收入将会更低.
（2）不能，要看中位数是多少
（3）能，可以确定有75%的员工年收入在4.5万元以上，其中25%的员工年收入在9.5万元以上.
（4）收入的中位数大约是7万元，因为受年收入200万元这个极端值的影响，所以平均数比中位数高很多.
【点睛】本题考查极值、均值、中位数、百分位数的应用．在决策时，已知数据的平均值会受到异常数据的影响，有时参考性不大，中位数有一定的参考性．但不管怎么说，这此数据的统计特征只是一个估计值，不是确定值．
10．(1)；95.26
(2)抓阄法
(3)见解析
(4)见解析
【分析】(1)由平均数和方差公式计算；
(2)用抓阄法进行抽样；
(3)由于抽样的随机性，两种结果相同的概率很小，不同概率很大；
(4)由于样本容量增大，估计总体的精确程度会提高，效果更好(也有个别现象效果不好)．
(1)
总体平均数为．
总体标准差为．
(2)
可以使用抓阄法进行抽样．
(3)
由样本的随机性，知(2)和(3)的计算结果不相同的概率相当大，而相同的概率很小．
(4)
随着样本容量的增加，分别用样本平均数和样本标准差估计总体平均数和总体标准差的效果会越来越好(即精度会越来越高)．但是由于样本的随机性，也有极个别(小概率)的例外情况．
11．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】(1)均值根据定义直接变形即证，
(2)根据方差的定义，总体方差为
改写为.
由可得.
同理.这样变形后可证明．
【详解】证明：（1）.
（2）
.
由可得
.
同理.
因此.
【点睛】本题考查均值与方差的运算．掌握均值、方差的运算公式是解题基础，解题关键是代数式变形能力，数据处理能力．
12．
【解析】略
13．见解析
【分析】分析数据的极差，选择合适的组局，让组数在5－8组左右为宜，作出频率分布表，根据频率分布表作出频率分布直方图﹒
【详解】数据的极差为：69-42=27，所以可以4为组距，将数据分为8组，列表如下：
分组 频率累计 频数 频率
[41.5，45.5) 2 0.045 5
[45.5，49.5) 7 0.159 1
[49.5，53.5) 8 0.181 8
[53.5，57.5) 16 0.363 6
[57.5，61.5) 5 0.113 6
[61.5，65.5) 4 0.090 9
[65.5，69.5) 2 0.045 5
以此作出频率分布直方图和频率分布折线图，如图所示：
14．(1)0.08，150；
(2)88%；
(3)18；
(4)51.
【分析】频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以计算面积之比即为所求小组的频率.可用此方法计算（1），（2），由公式直接计算可得（1）中样本容量；根据（2）问中的达标率，可计算不达标率，从而求出不达标人数，可得（3）；单独计算第三组的频率，由公式计算频数，可求出（4）.
（1）
频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．
所以样本容量＝＝150.
（2）
由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
（3）
由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．
（4）
第三小组的频率为＝0.34．
又因为样本量为150，
所以第三组的频数为150×0.34＝51．
15．(1)300
(2)1060
(3)15%
【分析】(1)统计图中小矩形上方标的为学生人数，将所有人数相加即可；
(2)统计样本中喜欢收听易中天《品三国》的人数，算出占样本总数的比值，用该比值乘以3 000；
(3)统计样本中喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数，用该数据除以300即可﹒
(1)
从统计图上可以看出，
喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；
喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；
喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；
喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．
所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．
(2)
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，
由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有×3 000＝1 060(人)．
(3)
该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%．
16．(1)每隔6小时给小明测量一次体温；
(2)最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度；
(3)病情在好转；
(4)最快可以在9月10凌晨6时出院.
【分析】根据折线图横轴和纵轴表示的意义可得（1），（2），（3）的结果，由9月8日18时小明的体温是37摄氏度，且其后体温未超过37.2摄氏度，可推断小明最快出院时间为9月8日18时起后推36小时.
(1)
根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．
(2)
从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．
(3)
从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．
(4)
9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．
17．（1）不能，因为两所学校收到艺术作品的总数不知道；（2）A学校收到艺术作品的总数为500件，B学校收到艺术作品的总数为600件
【解析】（1）根据百分比，必须知道两所学校收到的艺术作品总数才能知道具体每种作品的数量；
（2）设未知数列方程组即可求解.
【详解】（1）不能.因为两所学校收到艺术作品的总数不知道.
（2）设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为y件，则，解得，
即A学校收到艺术作品的总数为500件，B学校收到艺术作品的总数为600件.
【点睛】此题考查根据扇形图求各组数据关系，根据关系求两个学校的总数，涉及方程的思想.
18．甲组数的25%分位数为2.5；甲组数的75%分位数为9.5；乙组数的25%分位数为1，乙组的75%分位数为12．
【分析】按照百分位数的计算公式代入数值直接计算即可.
【详解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．
因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5；
甲组数的75%分位数为＝＝9.5．
乙组数的25%分位数为＝＝1；
乙组的75%分位数为＝＝12．
答案第1页，共2页8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
练习
1．判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.
（1）书桌面是平面.
（2）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.
（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.
2．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面
3．不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.
4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）直线经过平面外的一点M；
（3）直线既在平面内，又在平面内.
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
例1：如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.
解：在（1）中，，，.
在（2）中，，，，，，.
例2：如图8.4-17，，，，.直线与a具有怎样的位置关系？为什么？
解：直线与a是异面直线.理由如下.
若直线与直线a不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为，则，.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面，因此平面与重合，从而，进而，这与矛盾.所以直线与a是异面直线.
练习
5．如果两条直线与没有公共点，那么与
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
6．设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ）
A．平行 B．相交
C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线
7．如图，在长方体中，判定直线与，直线与，直线与，直线与的位置关系.
8．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）若直线l上有无数个点不在平面内，则.（ ）
（2）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.（ ）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（ ）
（4）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.（ ）
9．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．
习题8.4
复习巩固
10．画出满足下列条件的图形：
（1）；
（2）
11．经过同一条直线上的3个点的平面
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数多个 D．不存在
12．若直线不平行于平面且，则下列结论成立的是
A．平面内的所有直线与异面
B．平面内不存在与平行的直线
C．平面内存在唯一的直线与平行
D．平面内的直线与都相交
13．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”
（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.( )
（2）四边形可以确定一个平面.( )
（3）若a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b是异面直线.( )
14．填空题
（1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；
（3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________．
15．正方体各面所在平面将空间分成几部分？
综合运用
16．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.
17．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
18．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
拓广探索
19．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？
20．在本节，我们学面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？
变式练习题
21．如图，在空间四边形ABCD中，E， F分别为AB， BC的中点，点G， H分别在边CD， DA上，且满足， DH＝2HA.求证：四边形EFGH为梯形．
22．在正方体ABCD A1B1C1D1中，P， Q， M， N分别为AD， AB， C1D1， B1C1的中点．求证：A1P∥CN， A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
23．如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
24．如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
25．在长方体中，
（1）直线与直线的位置关系是___________；
（2）直线与直线的位置关系是_______________；
（3）直线与直线的位置关系是______________；
（4）直线与直线的位置关系是______________.
26．如图所示，是正方体的棱延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
(1)过点及.
(2)过三点，，.
答案第1页，共2页7.3 复数的三角表示
7.3 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.
解：（1）复数对应的向量如图7.3-2所示，则
，.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
（2）复数对应的向量如图7.3-3所示，则
，.
因为与对应的点在第四象限，所以.
于是.
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.
例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：
（1）；
（2）.
解：（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图7.3-4所示.所以
.
（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图7.3-5所示.所以
.
练习
1．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：
（1）4；
（2）；
（3）；
（4）.
2．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
3．把下列复数表示成代数形式：
（1）；
（2）.
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
例3：已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释解.
解：
.
首先作与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（图7.3-7）.即为积所对应的向量.
例4：如图7.3-8，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到求向量对应的复数（用代数形式表示）.
分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°.
解：向量对应的复数为
.
例5：计算，并把结果化为代数形式.
解：原式
.
练习
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．
习题7.3
复习巩固
7．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）6； （2）1+i； （3）； （4）；
8．把下列复数表示成代数形式：
（1）；
（2）；
（3）
（4）.
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
10．计算下列各式，并作出几何解释：
（1）
（2）
（3）
（4）.
综合运用
11．（1）求证；
（2）写出下列复数z的倒数的模与辐角；
.
12．求证：
(1)
(2)
13．化简：
（1）；
（2）.
14．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）
拓广探索
15．如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标.
16．如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明．
变式练习题
17．求复数，，，的辐角主值．
18．把下面的复数表示成三角形式：
(1)；
(2)．
19．求复数的模与辐角．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；作图见解析（2）；作图见解析（3）；作图见解析（4）;作图见解析
【解析】只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
分别对应向量，如图所示.
【点睛】本题考查复数的三角形式，关键是求出复数的模和辐角，复数三角形式中辐角不一定是主值即不一定在内．
2．（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式. （1）；（2）（3）；（5）.
【解析】复数的三角形式是，其中是复数的模，不小于0，是一个辐角．
【详解】（1）中间是“-“号，不是三角形式. ；
（2）括号前面是负数，不是三角形式，
（3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，；
（4）是三角形式．
（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式，
【点睛】本题考查复数的三角形式，关键是掌握三角形式：，，是一个辐角．
3．（1）（2）
【解析】求出三角函数值，化为形式．
【详解】解：（1）；
（2）.
【点睛】本题考查复数的代数形式，由三角形式化为代数形式，只要计算出三角函数值，化为形式．
4．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
5．（1）（2）（3）（4）
【解析】把复数改为三角形式，然后根据复数三角形式的除法法则计算．即模的商作为商的模，辐角的差作为商的辐角．然后再化为代数形式．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
另解
第（3）题还可以这样解：
原式
.
第（4）题还可以这样解：
原式
.
【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，掌握三角形式的除法法则是解题基础．除法法则：两个复数三角形式相除，把模的商作为商的模，辐角的差作为商的辐角．最终结果一般要化为代数形式．
6．
【分析】，根据向量旋转结合复数的三角运算得到答案.
【详解】，
对应向量绕原点O按顺时针方向旋转，
所对应的复数为.
7．（1）,画向量见解析 （2）,画向量见解析 （3）,画向量见解析 （4）,画向量见解析
【解析】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解.
【详解】解：（1）6对应的向量如答图中，
，又，
.
（2）对应的向量如答图中，
，
又.
（3）对应的向量如答图中
，
又，.
（4）对应的向量如答图中，
，又，.
【点睛】本题考查复数的几何意义及三角形式，属于基础题.
8．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】求出各复数的实部和虚部三角函数值，即可求解.
【详解】解.（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】本题考查复数三角形式与代数形式互化，属于基础题.
9．（1）； （2）； （3）； （4）.
【解析】复数化为三角形式，按三角形式的运算法则，即可求解.
【详解】解：（1）原式
（2）原式
；
（3）原式 ；
（4）原式 .
【点睛】本.题考查复数三角形式的乘除法运算，属于基础题
10．（1）-4，几何解释见解析 （2），几何解释见解析 （3），几何解释见解析 （4），几何解释见解析
【解析】根据复数乘除法运算法则，即可求值，应用三角形式的几何意义，即可解释运算结果.
【详解】（1）原式.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长
为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的
向量，则即为积所对应的向量.
（2）原式
.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短
为原来的，得到一个长度为、辐角为 的
向量，则即为积所对应的向量.
（3）原式
.
几何解释：设，作与对应的向量，
然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度
缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，
则即为所对应的向量.
（4）原式
.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，
得到一个长度为，辐角为的向量，
则即为所对应的向量.
【点睛】本题考查复数乘除运算，以及复数乘除运算的几何意义，属于基础题.
11．（1）证明见解析 （2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）按照复数三角形式的除法运算法则计算，或等价转化为证明两个复数相乘；
（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出，再化为三角形式.
【详解】（1）证法1：左边右边
证法2：
，
∴原等式成立.
（2）解：时，
，
的模为，辐角为.
时，
.
的模为1，辐角为.
时，
，
的模为1，辐角为.
【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，以及常用结论的应用，考查计算能力，属于中档题.
12．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】将各因式化为三角形式，按照复数三角形的乘法法则，即可得证.
(1)
左边
，
∴.
(2)
左边
，
∴.
13．（1） （2）
【解析】将复数化为三角形式，按照复数三角形式的除法法则，即可求解.
【详解】解：（1）原式.
（2）原式
【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，属于基础题.
14．逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：；按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
【解析】将复数对应的向量变换为复数三角形式的乘积，即可求解.
【详解】解：将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：
.
将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
【点睛】本题考查复数乘法几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题
15．C坐标为
【解析】将坐标原点平移至，在新坐标系求出对应复数的三角形式，应用乘法的几何意义，求出对应复数的坐标，即可求出点在新坐标系中的坐标，再根据坐标平移关系，可求出结论
【详解】解：将原点0平移至A点，建立平面直角坐标系，则
，
将绕点A顺时针方向旋转得
，
∴在原平面直角坐标系xOy中，
点C坐标为，即.
【点睛】本题考查复数乘法的几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题.
16．证明见解析
【分析】，，，计算，根据角度范围得到答案.
【详解】，，，
，，，故，
，其辐角主值为.
是的一个辐角.
故.
17．，，0，
【分析】计算，根据结合，得到辐角主值，同理可得其他答案．
【详解】设这4个复数的模分别为，，，，辐角主值分别为，，，．
因为，所以，又，故．
同理，可以求得：
，
，
，
故4个复数的辐角主值分别为，，0，．
18．(1)
(2)
【分析】（1）计算，，得到答案.
（2）计算，，得到答案.
(1)
因为，所以，故．
从而；
(2)
因为，所以，故.
19．答案见解析
【分析】根据三角函数诱导公式得到，得到答案.
【详解】，，
故．
由此可知，这个复数的模为2，辐角为．
答案第1页，共2页6.2.2 向量的减法运算
6.2.2 向量的减法运算
例3 如图6.2-12（1），已知向量，，，，求作向量，.
作法：如图6.2-12（2），在平面内任取一点O，作，，，.则
，
.
例4 如图6.2-13，在中，，，你能用，表示向量，吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道
.
同样，由向量的减法，知
.
练习
1．如图，在各小题中，已知，分别求作．
2．填空：
____；____；____；____；____．
3．作图验证：．
变式练习题
4．如图，已知向量，不共线，求作向量．
5．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
6．如图，在 ABCD中，若，
(1)当满足什么条件时，
(2)当满足什么条件时，
7．证明：当向量不共线时，.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析
【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.
【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，
如图，，

(1) (2)

(3) (4)
【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.
2．
【解析】利用向量减法的三角形法则，进行向量的减法运算.
【详解】因为向量的起点相同，可直接进行向量的相减运算，
所以；；；；．
故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【点睛】本题考查向量减法的运算，求解时注意向量用两个大写字母表示，可直接进行代数的运算，而无需再画图形.
3．见解析
【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.
【详解】当中至少有一个为时，显然成立（图略）；
当不共线时，作图如图（1），显然；
当共线时，同理可作图如图（2）所示．

【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.
4．作图见解析，
【分析】利用向量的加法法则求解.
【详解】如图，
在平面内任取一点O，作，．
因为，即，
所以．
5．证明见解析
【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.
【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以．
因为，
，
所以，
即．
6．(1)
(2)
【分析】（1）由，得到 ABCD为菱形求解；
（2）由，得到 ABCD为矩形求解.
(1)
解：如图：，
当时， ABCD为菱形，对角线相互垂直，
所以，即；
(2)
当时， ABCD为矩形，对角线长度相等，
所以，即.
7．证明见解析
【分析】根据向量不共线，在OAB中，利用三角形的边的关系证明.
【详解】证明：因为向量不共线，如图，在OAB中，
由三角形两边之和大于第三边得：，
由三角形两边之差小于第三边得：，
所以.
答案第1页，共2页6.2.3 向量的数乘运算
6.2.3 向量的数乘运算
例5 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
．
例6 如图6.2-15，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．
解：在中，
，
．
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
，
，
，
．
练习
1．任画一向量，分别求作向量，．
2．点C在线段上，且，则___，___．
3．把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
例7 如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立．
解：分别作向量，，，过点A，C作直线（图6.2-17）.观察发现，不论向量，怎样变化，点B始终在直线上，猜想A，B，C三点共线．
事实上，因为，
，
所以．
因此，A，B，C三点共线．
例8 已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值．
解：由，不共线，易知向量为非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，
即．
由，不共线，必有.否则，不妨设，则．由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾．
由，解得．
因此，当向量，共线时，．
练习
4．判断下列各小题中的向量与是否共线：
（1），；
（2），．
5．化简：
（1）；
（2）；
（3）．
6．已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值．
变式练习题
7．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.
8．如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．
9．已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．
10．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．
11．已知向量，.求证：与是共线向量．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析
【解析】先画出，依次画出，即可.
【详解】如图．
【点睛】本题考查了向量的画法，考查了相反向量的概念，属于基础题.
2．
【解析】根据题意画出图形，分析即可得解.
【详解】由点C在线段上，且，可画出图形，
设，则，
∴，
∴和同向，且，
∴和反向，且.
【点睛】本题考查向量的意义，属于基础题.
3．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】根据向量的数乘运算计算即可.
【详解】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【点睛】本题考查平面向量数乘的运算法则，属于基础题.
4．（1）与共线；（2）与共线．
【解析】根据向量共线定理进行分析计算即可.
【详解】（1），所以与共线；
（2），所以与共线．
【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线定理是解题的关键，属于基础题.
5．（1）；（2）；（3）.
【解析】根据向量的数乘运算和加减法运算法则进行计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
6．
【解析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.
【详解】由已知，∵与是共线向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值为．
【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于常考题.
7．＝－8＋9－3.
【分析】根据向量的数乘运算，移项，直接解出即可.
【详解】因为3(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，
即＝－8＋9－3.
8．见解析.
【分析】由题意画出图象，利用向量的加法和条件表示出，利用向量共线的充要条件，即可证明M、N、D三点共线．
【详解】由题意画出图象：
因为BMAB，点N在BC上且BNBC，
所以，
，
因为，，
所以，
则，所以M、N、D三点共线．
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，向量的加法法则，以及利用向量共线的充要条件证明三点共线，属于中档题.
9．.
【分析】由向量－，－共线得存在实数λ，使得－＝λ，整理，由， 不共线可得， 的系数都为零，列方程组求解即可.
【详解】解　由，不共线，知向量－为非零向量．由向量－， －共线，可知存在实数λ，使得－＝λ，即＝.
由， 不共线，必有＋＝＋1＝0.
否则，不妨设＋≠0，则＝，得，共线，与已知矛盾．
由，解得＝.
因此，当向量－， －共线时，＝.
10．k＝±4.
【分析】由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.
【详解】由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即.
因为不共线，所以.
11．证明见解析
【分析】由平面向量共线定理即可证明问题.
【详解】由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量．
答案第1页，共2页8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
例1.
1．如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.
例2.
2．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？
练习
3．若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
4．如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.
（1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？
（2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
5．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________.
6．求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
例3.
7．如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
例4．
8．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
练习
9．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
10．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
11．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.
12．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
习题8.3
复习巩固
13．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？
14．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.
15．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？
16．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．
17．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积.
综合运用
18．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到，可用计算工具）
19．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母共重．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，取）
20．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，这3个几何体的体积之间有什么关系？
拓广探索
21．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果取整数）
变式练习题
22．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的 (　　)
A．倍 B．3倍 C．2倍 D．5倍
23．已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
24．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．3
25．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.
（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高.
26．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
27．球的体积是，则此球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
A．17π B．18π C．20π D．28π
29．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.
【详解】解：因为是正三角形，其边长为，所以.
因此，四面体的表面积.
【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题.
2．
【解析】漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.
【详解】解：由题意知
长方体的体积，
棱锥的体积，
所以这个漏斗的容积
.
【点睛】本题考查多面体的体积，是基础题.
3．正六棱台的表面积为
【解析】在正六棱台的侧面上计算出斜高，然后计算侧面积，两个底面面积，相加可得表面积．
【详解】如图，正六棱台中，，，，∴侧面梯形的斜高为∴
∴.
又，
，
∴正六棱台的表面积.
即正六棱台的表面积为.
【点睛】本题考查求正棱台的表面积，必须是两个底面面积和侧面积相加，掌握侧面积公式是解题基础．
4．（1）64个；
（2）8个， 48；
（3）24个， 144；
（4）24个， 144；
（5）8个， 48， 8
【解析】（1）棱长是4的立方体体积64，棱长为1的小正方体体积为1，由此能求出共得到多少个棱长为1的小正方体；
（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少；
（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少；
（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少，它们占有多少立方厘米.
【详解】解：（1）棱长是4的立方体体积为：4×4×4＝64（），
棱长为1的小正方体体积为1，
∴共得到个小正方体；
（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，
∵立方体共有8个顶点，
∴三面涂色的小正方体有8个，
每个小正方体的表面积为6，
则表面积之和为8×6＝48（）；
（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，
∵立方体共有12条边，每边有2个正方体，
∴二面涂色的小正方体有24个，
每个小正方体的表面积为6，
则表面积之和为24×6＝144（）；
（4）一面涂色的小正方体在棱长是4的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，
∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体，
∴一面涂色的小正方体有24个，
每个小正方体的表面积为6，
则表面积之和为24×6＝144（）；
（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，
共有64 8 24 24＝8个，
每个小正方体的表面积为6，
则表面积之和为8×6＝48（），
它们 占8×1＝8（）的空间.
【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征.
5．
【分析】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解.
【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，
同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体，
所以该几何体的表面积为：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题.
6．见解析
【分析】将问题转化为证明三角形的两边之和大于第三边即可.
【详解】证明：如图，因为直三棱柱的侧面都是矩形，则侧面积为底乘高，而高相等，所以要证任意两个侧面的面积和大于第三个倒面的面积，只要证明三棱柱的底面上任意两边的和大于第三边即可，而这可由三角形的两边之和大于第三边得到，从而得证.
【点睛】本题考查直三棱柱的侧面积，是基础题.
7．423.9kg
【解析】先求出一个浮标的表面积，进而可得所需涂料.
【详解】解：一个浮标的表面积是，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.
【点睛】本题考查旋转体的体积，是基础题.
8．
【解析】利用圆柱和球的体积公式，求出体积即可.
【详解】解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
球的体积，圆柱的体积，
.
【点睛】本题考查圆柱和球的体积，是基础题.
9．
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可.
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得.
又圆锥的侧面展开图为半圆，，即.
将②式代入①式得，，即.
故圆锥的底面直径为.
【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题.
10．
【解析】设球的半径为R时，根据体积公式和表面积公式列方程求解即可.
【详解】解：设球的半径为R时，其体积和表面积的数值相等.
则，.
即球的半径时，其体积和表面积的数值相等.
【点睛】本题考查球的体积公式和表面积公式，是基础题.
11．
【解析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可.
【详解】解：由题意知，球内切于正方体，，.
所以球的体积，
即可制作的最大零件的体积为.
【点睛】本题考查球的体积公式，是基础题.
12．不会
【解析】分别求出球的体积，水中球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案.
【详解】解：球的体积，
水中球的体积，
长方体的体积，
.
故水不会从水槽中溢出.
【点睛】本题考查球的体积，长方体的体积，关键是要好好审题，注意数量关系，是基础题.
13．
【解析】依题意八面体的每一个面都是边长为的正三角形，计算可得.
【详解】解：由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形，
即这个八面体的表面积是.
【点睛】本题考查简单几何体的表面积，属于基础题.
14．
【解析】设长方体的长、宽、高分别为，，，根据长方体的几何特征，我们可得，，两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案．
【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为，，，
即，，．
由长方体，得，，两两垂直，
所以，
于是．
故剩下几何体的体积，
因此，．
【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式，其中根据长方体的结构特征分析出，，两两垂直，进而求出棱锥的体积是解答本题的关键．
15．6
【分析】按侧面放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的，故可得水的体积为棱柱的，由此可得按底面放置时液面的高．
【详解】设三棱锥的体积为，按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，设按底面放置时液面的高为，则，故．
【点睛】一定形状的几何体容器，按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致，可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系．
16．剩下部分体积为，表面积为.
【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积.
【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为.
圆锥的体积为，
圆柱的体积为，
所以剩下几何体的体积为.
剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，
即.
17．
【解析】由正方体的棱长为，其顶点都在一个球面上，则正方体的对角线即为球的直径，求出球的半径后，代入球的体积公式，即可得到答案．
【详解】解：∵正方体的棱长为,
∴正方体的体对角线长为，
∴球的半径，.
【点睛】本题考查正方体的外接球的体积计算问题，棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长，属于基础题．
18．
【解析】上部四棱柱的侧面积容易求出；要计算四棱台侧面积需先计算出斜高，再计算侧面积，两者相加即为需要瓷砖面积．
【详解】解；由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积.
，
四棱台的斜高，
故需要瓷砖的面积为.
【点睛】本题考查几何体的侧面积求解，关键是得出所需要的数据，准确利用公式，属于基础题．
19．
【分析】计算出每个螺母的体积、质量，由此计算出螺母的个数.
【详解】每个螺母的体积为：立方毫米，
所以每个螺母的质量为千克，
所以螺母个数个.
20．
【解析】直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，依照题意，得到三个几何体的体积．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，
以为轴，进行旋转，形成底面半径为，高为的圆锥，
其体积；
以为轴，进行旋转，形成底面半径为，高为的圆锥，
其体积，
以为轴，进行旋转，形成底面半径为，高的和为的两个圆锥的组合体，
其体积．
所以.
【点睛】本题考查几何体的体积公式．较易．解题时要认真审题，仔细解答．
21．表面积：，体积：
【解析】图复原的几何体下部是底座是四棱台，中部是圆柱，上部是球，根据三视图的数据，利用上中下三部分几何体的体积公式直接求出这个奖杯的体积；先求出侧面的面积和上下底面的面积，再相加求这个奖杯的表面积．
【详解】解：由该奖杯的三视图可知，奖杯的上部是直径为4cm的球；中部是一个四棱柱，其中上、下底面都是边长分别为8m、4cm的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm、8cm的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm、4cm的矩形；下部是一个四梭台，其中上底面是边长分别为10cm、8cm的矩形，下底面是边长分别为20m、16cm的矩形，四棱台的高为2cm
解：三视图复原的几何体下部是底座是四棱台，中部是棱柱，上部是球，
这个奖杯的体积：
，
；
这个奖杯的表面积：（其中奖杯底座的侧面上的斜高等于和．
因此它的表面积和体积分别约为.
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．
22．C
【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故选C．
23．B
【解析】由题意可知，该三棱锥的四个侧面全是等边三角形．设正方体的棱长为，然后分别计算该三棱锥的表面积与正方体的表面积，求出比值即可．
【详解】如图所示，在正方体中，三棱锥符合题目条件，且三棱锥的四个侧面全为等边三角形，
设正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，
所以正方体的表面积为，，即三棱锥
的表面积为，
则三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为：．
故选：B．
24．A
【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.
【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.
25．（1）；（2）三棱锥A－A1BD的体积为，高为.
【分析】（1）由题意，先判断剩余部分的体积是正方体的体积减去棱锥的体积，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解；
（2）由（1），利用等体积法求得三棱锥体积，再设三棱锥的高为，结合等边三角形的面积解方程即得高.
【详解】解：（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，
又三棱锥的体积，
所以剩余部分的体积；
（2）由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为，即面积，
则，即，解得，
故三棱锥A－A1BD的体积为，高为.
【点睛】方法点睛：
求空间几何体的表面积与体积的求法：
（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.
26．
【分析】由已知中底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案.
【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，
则圆柱的上底面为中截面，可得，
，，
.
【点睛】本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.
27．B
【解析】先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.
【详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.
故选：
【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.
28．A
【详解】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
29．A
【解析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积．
【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题．
答案第1页，共2页8.2 立体图形的直观图
8.2 立体图形的直观图
例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
画法：（1）如图8.2-4（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图8.2-4（2）中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使.
（2）在图8.2-4（2）中，以为中点，在轴上取，在轴上取.以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.
（3）连接，，，，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图（图8.2-4（3））.
练习
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．
1．相等的线段在直观图中仍然相等．( )
2．平行的线段在直观图中仍然平行．( )
3．一个角的直观图仍是一个角．( )
4．相等的角在直观图中仍然相等．( )
5．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.
（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形
例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.
分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置.利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱，为画图筒便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴.
画法：（1）画轴.如图8.2-6，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点，使，.
（2）画底面.在x轴正半轴上取线段，使；在y轴正半轴上取线段，使.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则就是长方体的底面的直观图.
（3）画侧棱.在x轴正半轴上取线段，使，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段，，.
（4）成图.顺次连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了.
例3已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
解：（1）画轴.如图8.2-7，画x轴、z轴，使.
（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段，使.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.
（3）画上底面.在上截取点，使，过点作平行于轴的轴.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.
（4）成图.连接，，整理得到圆柱的直观图.
例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.
分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.
画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.
练习
6．用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.
7．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.
8．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.
习题8.2
复习巩固
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．
9．三角形的直观图是三角形．( )
10．水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形．( )
11．正方形的直观图是正方形．( )
12．菱形的直观图是菱形．( )
13．用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；
（1）直角边横向；（2）斜边横向.
14．用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.
15．画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。
综合运用
16．一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。
17．已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.
18．一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.
拓广探索
8．画出你所在学校的一些建筑物的直观图（尺寸自定）．
变式练习题
19．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
20．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
21．如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
22．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A． B．
C． D．
23．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（ ）
A．2S B．S C．2S D．S
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．错误
【分析】由斜二测画法判断．
【详解】斜二测画法中，平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度变为原来的一半，长度不相等了．
故答案为：错误．
2．正确
【分析】根据斜二测定义判断．
【详解】根据斜二测的画法，首先与坐标轴平行的线段，仍然平行，而不与坐标平行的线段，由于与坐标平行的线段变化方法一样，因此它们的平行性保持不变．长度仍然相等．
故答案为：正确．
3．错误
【分析】根据空间图形直观图的画法判断．
【详解】空间的一个角的直观图可能成为一条线段或一条直线，
故答案为：错误．
4．错误
【分析】根据斜二测画法作答．
【详解】根据斜二测画法，在直角坐标系中，原点处四个直角在直观图中，两个变为，两个变为，因此不一定相等．
故答案为：错误．
5．见解析
【解析】根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，得到答案.
【详解】（1）根据斜二测画法的规则，可得：
（2）根据斜二测画法的规则，可得：
（3）根据斜二测画法的规则，可得：
（4）根据斜二测画法的规则，可得：
【点睛】本题主要考查了水平放置的平面图形的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.
6．见解析
【解析】根据斜二测画法的规则，在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，进而得到正方体的直观图，得到答案.
【详解】如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，
擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.
【点睛】题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题.
7．见解析
【解析】利用斜二测画法画出底面正六棱柱的底面正六边形的直观图，再画出正六棱柱的侧棱，即可得到几何体的直观图，得到答案.
【详解】（1）如图，在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使；
（2）根据斜二测画法法，画出正六边形水平放置的直观图；
（3）画侧棱，过各点分别作z轴的平行线，得到正六棱柱的侧棱；
（4）成图，顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），
【点睛】本题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.
8．见解析
【解析】画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图，得到答案.
【详解】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.
9．√
【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，平面图形的形状不会发生改变﹒
【详解】由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形﹒
故答案为：√
10．正确
【分析】根据斜二测画法的定义判断．
【详解】斜二测画法是一种平行投影，水平放置的平行四边形两组对边在水平面上的直观图上仍然保持平行．
故答案为：正确
11．错误
【分析】根据斜二测画法判断．
【详解】由于斜二测画法中，直角坐标系变成，且，角度有变化，另外平行于的线段长度变为原来的一半，平行轴的线段长度不变，因此正方形的直观图一般是不正方形．
故答案为：错误．
12．错误
【分析】根据斜二测画法的概念判断．
【详解】菱形的四条边相等，但相等的线段在直观图中不一定相等，因此菱形的直观图是菱形不正确．
故答案为：错误．
13．见解析.
【解析】直角边横向即直角边在轴，斜边横向，即斜边在轴，轴在直观图中，为轴，轴夹角为45°，平行于轴的线段仍平行于轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行于轴，长度为原来的一半，确定各顶点后连线，然后擦去坐标轴．
【详解】（1）直角边横向如图①②.

（2）斜边横向如图③
【点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的概念是解题基础．
14．见解析.
【解析】建立空间直角坐标系，可以底面三角形一边所在直线为轴，高所在直线为轴，过这边中点，与底面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，轴水平，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．
【详解】正三棱柱直观图如图：
【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．
15．见解析.
【解析】以底面圆圆心为原点，两条垂直的直径所在直线为轴，上下底中心连线为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．
【详解】圆柱直观图如图：

【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．
16．见解析.
【解析】以菱形的对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，在直观图中，为轴，轴夹角为45°，平行于轴的线段仍平行于轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行于轴，长度为原来的一半，确定各顶点，然后连线，最后擦去坐标轴得直观图．
【详解】菱形直观图如下：
【点睛】本题考查平面图形的斜二测画法，属于基础题．
17．见解析.
【解析】以底面圆圆心为原点，两条垂直的直径所在直线为轴，圆锥高为轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．
【详解】圆锥直观图如下：
【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．
18．见解析.
【解析】先由三视图确定这个组合体是由哪些基本几何体怎样组合而成的，然后由直观图的画法作图．
【详解】易知几何体上部是一个球，下部是一个倒放的圆锥，此时球的直观图只要画一个竖立的圆即可，
以圆锥顶点为原点，圆锥高所在直线为轴，水平面上两条垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，斜二测画法中，，轴表示水平面，轴与轴垂直，轴与夹角为45°，平行于轴、轴的线段仍平行于轴、轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．
如图所示：
【点睛】本题考查空间几何体的斜二测画法，考查三视图，属于基础题．
19．作图见解析
【分析】根据斜二测画法作图：
（1）在已知图形中作直角坐标系；
（2）作出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，截取相应的点，并连线；
（3）擦去辅助线得直观图．
【详解】【解】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
20．答案见解析
【分析】画法步骤：（1）画坐标轴；
（2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图；
（3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图．
（4）连线并擦去辅助线得直观图．
【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
21．作图见解析；5
【分析】由直观图的斜二测画法作出图象，由其图象作法的要求与梯形面积公式求得面积.
【详解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图).
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
【点睛】本题考查直观图的斜二测画法，属于基础题.
22．C
【分析】根据斜二测画法的规则判断．
【详解】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，
故选：C.
23．C
【分析】根据，可得梯形OABC的面积.
【详解】由，可得梯形OABC的面积.
故选：.
【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题,
答案第1页，共2页8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
例1.
1．如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.
例2.
2．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？
练习
3．若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
4．如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.
（1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？
（2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
5．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________.
6．求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
例3.
7．如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
例4．
8．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
练习
9．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
10．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
11．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.
12．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
习题8.3
复习巩固
13．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？
14．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.
15．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？
16．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．
17．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积.
综合运用
18．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到，可用计算工具）
19．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母共重．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，取）
20．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，这3个几何体的体积之间有什么关系？
拓广探索
21．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果取整数）
变式练习题
22．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的 (　　)
A．倍 B．3倍 C．2倍 D．5倍
23．已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
24．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．3
25．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.
（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高.
26．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
27．球的体积是，则此球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
A．17π B．18π C．20π D．28π
29．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
A． B． C． D．
答案第1页，共2页6.2.1 向量的加法运算
6.2.1 向量的加法运算
例1 如图6.2-5，已知向量，，求作向量．
作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，.则．
作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，.以，为邻边作，连接，则．
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
解：（1）如图6.2-9.表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度.
（2）在中，，，于是
.
因为，所以利用计算工具可得.
因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为68°.
练习
1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
2．当向量满足什么条件时，（或）？
3．根据图示填空：
（1）_______；
（2）_______；
（3）_______；
（4）________．
4．如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
5．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．
变式练习题
6．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)；
(2)
(3)．
7．在某河流南岸某渡口处，河水以大小为的速度向东流，渡船在静水中的速度大小为.渡船要垂直地渡过该河，其航向应如何确定？
8．请用平行四边形法则作出．
9．已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
10．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
答案第1页，共2页8.5 空间直线、平面的平行
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
例1如图8.5-3，空间四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点.求证：四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而，分别是和的中位线，从而它们都与平行且等于的一半.应用基本事实4，即可证明.
证明：连接.
∵是的中位线，
∴，且.
同理，且.
∴
∴四边形为平行四边形.
练习
1．如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
2．如图，在长方体中，与棱平行的棱共有几条？分别是什么？
3．如图，不共面，且，，求证：.
4．如图，在四面体中，分别为上的点.若，，则和有什么关系？为什么？
8.5.2 直线与平面平行
例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知：如图8.5-7，空间四边形中，E，F分别是，的中点.
求证：平面.
证明：连接.
∵，，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
例3如图8.5-10（1）所示的一块木料中，棱平行于面.
（1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
（2）所画的线与平面是什么位置关系？
分析：要经过面内的一点P和棱将木料锯开，实际上是经过及外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.
解：（1）如图8.5-10（2），在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点E，F，连接，，则，，就是应画的线.
（2）因为棱平行于平面，平面与平面相交于，所以.由（1）知，，所以.而在平面内，在平面外，所以平面.
显然，，都与平面相交.
练习
5．如图，在长方体的六个面所在的平面中，
（1）与平行的平面是______；
（2）与平行的平面是______；
（3）与平行的平面是______.
6．如图，在正方体中，E为的中点，判断与平面的位置关系，并说明理由.
7．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果直线，那么a平行于经过b的任何平面.( )
（2）如果直线a与平面满足，那么a与内的任何直线平行.( )
（3）如果直线和平面满足，，那么.( )
（4）如果直线和平面满足，，，那么.( )
8．如图，，，，，求证.
8.5.3 平面与平面平行
例4已知正方体（图8.5-16），求证：平面平面.
证明：∵为正方体，
∴，.
∴.
∴四边形为平行四边形.
∴.
又平面，平面，
∴平面.
同理平面.
又，
∴平面平面.
例5求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图8.5-19，，，且，，，，求证.
证明：过平行线，作平面，与平面和分别相交于和.
∵，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形.
∴.
练习
9．判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由；若错误，则举出反例.
（1）已知平面和直线，若，，，则.
（2）若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则.
（3）平行于同一条直线的两个平面平行.
（4）平行于同一个平面的两个平面平行.
（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.
10．平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，，且直线a不在内，也不在内
C．直线，直线，且，
D．内的任何一条直线都与平行
11．如图所示，正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.求证：平面平面.
12．如图，平面.判断c与a，c与的位置关系，并说明理由.
习题8.5
复习巩固
选择题
13．若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是
A．内的所有直线都与直线a异面
B．内不存在与a平行的直线
C．内的直线都与a相交
D．直线a与平面有公共点
14．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
15．已知平面和直线a，b,c，，则与的位置关系是________.
16．如图，在长方体木块中，面上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？
17．如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求证.
18．如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：
(1)平面EFG；
(2)平面EFG.
19．如图，a，b是异面直线，画出平面，使，且，并说明理由.
20．如图，，求证.
21．如图，直线相交于点O，，求证：平面ABC//平面.
综合运用
22．如图，分别为长方体的棱AD，的中点，求证.
23．如图，求证.
24．如果平面外的两条平行直线中的一条直线平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．
25．一木块如图所示，点在平面 内，过点将木块锯开，使截面平行于直线 和，应该怎样画线？
26．如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证.
拓广探索
27．如图，是异面直线，，求证：.

28．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE BF是定值．
其中所有正确命题的序号是　____．
变式练习题
29．如图，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
30．如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：.
31．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
32．如图所示，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：.
33．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
34．如图所示，两条异面直线，与两平行平面，分别交于点，和，，点，分别是，的中点，求证：平面
35．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．互相平行，理由见解析
【解析】根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，即可得到结论.
【详解】互相平行，因为根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，所有的折痕都与矩形的边平行，故打开后所有折痕是互相平行.
【点睛】本题考查了图形的变化，解题的关键是：根据对折把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是矩形，属于基础题.
2．共3条，分别是.
【解析】根据图形，是长方体的高的棱，找出其它的表示高的棱即可.
【详解】如图，与棱平行的棱有，共3条.
【点睛】本题考查了对长方体的认识，明确表示长的棱，表示宽的棱，表示高的棱是解题的关键，属于基础题.
3．证明见解析
【解析】由已知条件推导出四边形是平行四边形，四边形为平行四边形，由此能证明.
【详解】，∴四边形是平行四边形，
.
同理.
.
.
..
∴四边形是平行四边形，
，.
【点睛】本题考查三角形全等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题.
4．，证明见解析
【解析】利用线线平行，再利用等角定理即可得到.
【详解】，证明如下：
，.
，，
，.
由等角定理可得，
.
【点睛】本题考查线线平行，平行线分线段成比例，属于基础题.
5． 平面，平面 平面，平面 平面，平面
【解析】（1）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
（2）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
（3）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
【详解】（1）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
（2）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
（3）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
故答案为：(1). 平面，平面；(2). 平面，平面； (3). 平面，平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.
6．平面.见解析
【解析】通过三角形的中位线以及线面平行的判定定理，证得平面.
【详解】平面理由如下：
如图，在正方体中，
连接交于点F，则F为中点.
连接，
又∵E为的中点，是的中位线，.
平面，平面，
平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
7． × × × √
【解析】（1）根据“在以确定的平面内”，由此判断（1）错误.
（2）根据与内直线可能异面，判断（2）错误.
（3）根据可能平行、相交或异面，判断（3）错误.
（4）根据线面平行的性质定理和判定定理，以及平行公理，证得，由此判断（4）正确.
【详解】（1）不平行于同时过这两条直线的平面.
（2）a与内的直线有平行和异面两种位置关系.
（3）a与b可能出现三种位置关系：平行、相交、异面.
（4）已知，，，过a作平面交于直线c，则，所以，所以.
故答案为：（1）×（2）×（3）×（4）√
【点睛】本小题主要考查线线、线面平行的有关命题真假性的判断，属于基础题.
8．见解析
【解析】首先根据线面平行的判定定理，证得；再根据线面平行的性质定理证得，由平行公理证得，从而证得.
【详解】，.
，
，
，
.
【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查平行公理，属于基础题.
9．（1）×（2）√（3）×（4）√（5）√.
【解析】（1）缺少条件：；（2）符合判定定理；（3）两个平面也可以相交；（4）（5）均符合.
【详解】解：（1）已知平面和直线，若，，，则，缺少条件：，故错误；
（2）若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则，符合平面与平面平行的判定定理，故正确；
（3）平行于同一条直线的两个平面平行，次两个平面也可以相交，故错误；
（4）平行于同一个平面的两个平面平行，正确；
（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交；正确.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定与性质、平面与平面平行的判定与性质，注意灵活运用定理进行判断.
10．D
【解析】利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断，可得正确答案.
【详解】解：A选项，内有无穷多条直线都与平行，并不能保证平面内有两条相交直线与平面平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；
B选项,直线，，且直线a不在内，也不在内,直线a可以是平行平面与平面的相交直线，故不能保证平面与平面平行，故B错误；
C选项, 直线，直线，且，,当直线，同样不能保证平面与平面平行，故C错误；
D选项, 内的任何一条直线都与平行,则内至少有两条相交直线与平面平行，故平面与平面平行;
故选:D.
【点睛】本题主要考查平面与平面平行的判断，解题时要认真审题，熟练掌握面与平面平行的判定定理，注意空间思维能力的培养.
11．证明见解析.
【解析】连接，由线面平行的判定可得平面，同理可得平面，再由面面平行的判定即可得证.
【详解】证明：连接，如图，
∵、是、的中点，四边形为正方形，
∴且，
又且，∴且，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵平面，平面，
∴平面，同理平面，
又平面，平面，，
∴平面平面.
12．见解析.
【解析】由题意，由平面与平面平行的性质定理可得，由可得，由直线与平面平行的判定定理可得.
【详解】解：.理由如下：
∵平面.
又.又.
【点睛】本题主要考查平面与平面平行的性质定理及直线与平面平行的判定定理，需注意定理的灵活运用.
13．D
【详解】试题分析：直线不平行于，包括两种情况：或，当时，内的所有直线都与直线共面，A错；当时，内必然有直线与直线平行， B错；从而C也错；当，直线和平面有无数个公共点，当，直线与平面有唯一公共点，D正确.
考点：直线和平面的位置关系.
14．B
【分析】通过假设过点且平行于的直线有两条与，由平行公理可得，这与矛盾.
【详解】假设过点P且平行于的直线有两条与，∴且，
由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾.
故选：B.
15．平行或相交
【解析】可通过对两平面α，β位置关系分类讨论，研究符合题意的位置关系.
【详解】若αβ,可以保证存在直线a,b,c,且abc，a α，b，c β，故平行关系有可能；
若α∩β=l,且abcl,此种情况下也能保证存在直线a,b,c,且abc，a α，b，c β，故两面相交也有可能，
由上讨论知，在题设条件下，α与β的关系是平行或相交，
故答案为：平行或相交.
【点睛】本题主要考查平面与平面的位置关系的判断，考查了分类讨论思想与空间想象能力，属于基础题.
16．见解析
【解析】根据平行公理，只需在面内，过点P作直线即可.
【详解】在面内，过点P作直线EF，
使，分别交棱于点E，F，
因为，
所以，
即EF就是过点P与棱CD平行的直线.
【点睛】本题主要考查平行公理的应用，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
17．见解析
【解析】根据平行四边形的性质证明，根据三角形中位线证明再由平行公理可得结论.
【详解】
连接AC.
∵在长方体中，.
∴四边形为平行四边形.
.
又∵E，F分别是AB，BC的中点，.
【点睛】本题主要考查长方体的性质，考查了平行公理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
18．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）由三角形中位线的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）由三角形中位线的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论.
【详解】（1）F，G分别是BC，CD的中点，.
平面EFG，平面EFG，
平面EFG.
（2）E.F分别是AB，BC的中点，,
在平面EFG，平面EFG，平面EFG.
【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
19．见解析
【解析】在直线a上取一点O,过点O作，则由a与确定的平面即为所求，利用线面平行的判定定理可证明结论.
【详解】在直线a上取一点O,过点O作，则由a与确定的平面即为所求.
理由：如答图，且，所以.
【点睛】本题主要考查作图能力，考查了线面平行的判定定理，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
20．证明见解析
【解析】直接利用线面平行的性质定理证明，，再利用平行公理可得结论.
【详解】证明：.
.
同理，于是.
【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理以及平行公理的应用，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于中档题.
21．证明见解析
【解析】利用全等三角形的性质以及平行线的判定定理可得，从而由线面平行的判定定理可得平面，同理可证AB//平面，进而由面面平行的判定定理可得结论.
【详解】与相于点O,.
又.
.
又平面，平面.
平面.同理可证AB//平面.
又平面ABC，平面ABC，，
∴平面平面.
【点睛】本题主要考查线面平行的判断、面面平行的判断，解答过程中一定要注意线面平行的判定定理与面面平行的判定定理的应用条件，本题属于中档题.
22．证明见解析
【解析】分别利用平行四边形的性质可证明，结合方向相同，从而可得结论.
【详解】证明：连接
分别是的中点，
.
又在长方体中，.
.
∴四边形与都是平行四边形.
.
又因为方向相同，
.
【点睛】本题主要考查长方体的结构特征，考查了等角定理的应用，同时考查了空间想象能力，属于基础题.
23．证明见解析
【解析】连接CD，则平面，由线面平行的性质定理可得，从而得四边形ABDC是平行四边形，进而可得结果.
【详解】如图，连接CD.
共面，
面ABDC，平面ABDC，平面ABDC.
，
∴平面.
，
∴四边形ABDC是平行四边形.
【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.应用线面平行的性质定理时，一定要注意线面平行与线线平行的转换.
24．详见解析
【分析】根据题意，利用线面平行的性质，得到线线平行，再利用线面平行的判定，可得线面平行．
【详解】过两条平行直线中的一条直线a作平面，与平面交于直线c．
，．，．
，，
【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，解决相关问题时，我们常利用辅助平面把空间问题转化为平面问题．
25．画线见解析．
【详解】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定．
试题解析：过平面内一点作直线，交于，交于；过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求．
考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用．
26．见解析
【解析】连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD，由面面平行的性质定理可得，所以，同理可得，从而可得结果.
【详解】证明：如图，连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD.
因为平面，平面，
所以，所以.
同理,且，
所以.
【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理的应用，考查了空间想象能力，证明过程要注意线面平行的性质定理应用的条件，本题属于中档题.
27．证明见解析
【解析】如图，过直线作平面，平面与相交于直线，与交于点.先证明，又
且所以得证.
【详解】
如图，过直线作平面，平面与相交于直线，与交于点.
.
又平面平面，.
又且.
【点睛】本题主要考查空间直线平面平行位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
28．①②④⑤
【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.
【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确；
因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不对；
因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以④正确；
因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变 ，即BE BF是定值，
所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，
故填①②④⑤.
【点睛】本题主要考查了棱柱，棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积，属于中档题.
29．证明见解析
【分析】结合线线平行以及平行四边形的知识来证得结论成立.
【详解】由于分别是长方体的中点，
设是的中点，连接，
根据长方体的性质可知且，
所以四边形是平行四边形.
30．见解析
【解析】根据,可得,,进而通过平行线得两个角和对应相等,即可证明.
【详解】证明；在中,因为,
所以.
同理可证,.
所以,.
所以.
【点睛】本题考查了通过线段成比例,证明线线平行,根据空间中角的两边分别平行判断两个角的关系,属于基础题.
31．证明见解析.
【解析】连接BC1，由四边形ABC1D1是平行四边形，可得BC1∥AD1，进而EF∥BC1，利用线面平行的判定定理证得命题成立.
【详解】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
【点睛】本题考查线面平行的判定定理,考查学生的直观想象能力与逻辑思维能力,属于基础题.
32．见解析
【分析】连接AC交BD与O，可证PA//平面BDM，再利用线面平行的性质定理即可证得.
【详解】证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO.

在△APC 中，MO是△APC的中位线，
MO∥PA
又 PA平面MBD，MO平面MBD，
PA//平面MBD
又 平面GAP∩平面BDM＝GH，PA面GAP
PA//GH
33．（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）由，得，进而证得平面平面.
（2）由，得，再由，则，进而证得平面，即可得到结论.
试题解析：
(1)因为，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C，又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD.
又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，
DF 平面EB1D1，B1E 平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.
点睛：本题主要考查了平面与平面平行的判定与证明问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的综合应用，此类问题的解答中要证“面面平行”只要证明“线面平行”，只要证“线线平行”，把问题最终转化为线与线的平行问题，着重考查了学生的转化思想的应用.
34．证明见解析
【分析】过点作交于点，取的中点，连接，，，，，，根据面面平行的性质得到，，即可得到平面，再利用面面平行的性质即可得到平面。
【详解】过点作交于点，取的中点，
连接，，，，，，如图所示：
因为，所以，确定平面.
则平面，平面，因为，所以.
又分别为，的中点，
所以，，，所以.
又分别为，的中点，
所以，且，
所以，因为，
所以平面.
又平面，所以平面.
35．略
【详解】证明：（1）因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D 平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
因为AO1平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
考点：面面平行的判定及性质.
答案第1页，共2页7.2 复数的四则运算
7.2复数的四则运算
7.2.1复数的加 减运算及其几何意义
例1计算.
解：
.
例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.
分析：由于复平面内的点，对应的复数分别为，，由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为，从而点，之间的距离为.
解：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为
.
练习
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
3．证明复数的加法满足交换律、结合律.
4．求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：
（1）；
（2）.
7.2.2复数的乘 除运算
例3计算.
解：
.
例4计算：
（1）；（2）.
分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式①计算.
解：（1）
；
（2）
.
例5计算.
解：
.
例6在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2），其中a，b，，且，.
分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根.对于（2），当时，一元二次方程无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根.
解：（1）因为，所以方程的根为.
（2）将方程的二次项系数化为1，得
.
配方，得
，
即.
由，知.类似（1），可得
.
所以原方程的根为.
在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
（1）当时，；
（2）当时，.
练习
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
6．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
7．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
8．在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）．
习题7.2
复习巩固
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
10．在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，求向量对应的复数.
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
12．1.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
综合运用
13．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
14．在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）.
15．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．
拓广探索
16．利用公式，把下列各式分解成一次因式的积；
（1）；
（2）.
17．若，则复平面内满足的点2的集合是什么图形？
10.使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解，观察并记录所发现的规律.
变式练习题
18．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．
19．计算：
(1)(1－2i)(1＋2i)；
(2)[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．
20．在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
21．已知求复数z.
22．计算i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
23．设，求证：
(1)
(2)
(3)
24．1.计算：
25．计算：i2 019＋(＋i)8－50＋.
26．在复平面内分别用点表示复数2－3i， 5i， －3， －5＋3i及它们的共轭复数．
27．已知z＝(x＋1)＋(y－1)i在复平面所对应的点在第二象限，求x与y的取值范围．
28．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是__________.
29．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|30．已知复数z满足条件z＝x＋yi，其中x<0，y>0，且x2＋y2<9，求此复数在复平面内表示的图形．
31．设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩( UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．答案第1页，共2页8.5 空间直线、平面的平行
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
例1如图8.5-3，空间四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点.求证：四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而，分别是和的中位线，从而它们都与平行且等于的一半.应用基本事实4，即可证明.
证明：连接.
∵是的中位线，
∴，且.
同理，且.
∴
∴四边形为平行四边形.
练习
1．如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
2．如图，在长方体中，与棱平行的棱共有几条？分别是什么？
3．如图，不共面，且，，求证：.
4．如图，在四面体中，分别为上的点.若，，则和有什么关系？为什么？
8.5.2 直线与平面平行
例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知：如图8.5-7，空间四边形中，E，F分别是，的中点.
求证：平面.
证明：连接.
∵，，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
例3如图8.5-10（1）所示的一块木料中，棱平行于面.
（1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
（2）所画的线与平面是什么位置关系？
分析：要经过面内的一点P和棱将木料锯开，实际上是经过及外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.
解：（1）如图8.5-10（2），在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点E，F，连接，，则，，就是应画的线.
（2）因为棱平行于平面，平面与平面相交于，所以.由（1）知，，所以.而在平面内，在平面外，所以平面.
显然，，都与平面相交.
练习
5．如图，在长方体的六个面所在的平面中，
（1）与平行的平面是______；
（2）与平行的平面是______；
（3）与平行的平面是______.
6．如图，在正方体中，E为的中点，判断与平面的位置关系，并说明理由.
7．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果直线，那么a平行于经过b的任何平面.( )
（2）如果直线a与平面满足，那么a与内的任何直线平行.( )
（3）如果直线和平面满足，，那么.( )
（4）如果直线和平面满足，，，那么.( )
8．如图，，，，，求证.
8.5.3 平面与平面平行
例4已知正方体（图8.5-16），求证：平面平面.
证明：∵为正方体，
∴，.
∴.
∴四边形为平行四边形.
∴.
又平面，平面，
∴平面.
同理平面.
又，
∴平面平面.
例5求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图8.5-19，，，且，，，，求证.
证明：过平行线，作平面，与平面和分别相交于和.
∵，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形.
∴.
练习
9．判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由；若错误，则举出反例.
（1）已知平面和直线，若，，，则.
（2）若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则.
（3）平行于同一条直线的两个平面平行.
（4）平行于同一个平面的两个平面平行.
（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.
10．平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，，且直线a不在内，也不在内
C．直线，直线，且，
D．内的任何一条直线都与平行
11．如图所示，正方体中，、、、分别是棱、、、的中点.求证：平面平面.
12．如图，平面.判断c与a，c与的位置关系，并说明理由.
习题8.5
复习巩固
选择题
13．若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是
A．内的所有直线都与直线a异面
B．内不存在与a平行的直线
C．内的直线都与a相交
D．直线a与平面有公共点
14．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
15．已知平面和直线a，b,c，，则与的位置关系是________.
16．如图，在长方体木块中，面上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？
17．如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求证.
18．如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：
(1)平面EFG；
(2)平面EFG.
19．如图，a，b是异面直线，画出平面，使，且，并说明理由.
20．如图，，求证.
21．如图，直线相交于点O，，求证：平面ABC//平面.
综合运用
22．如图，分别为长方体的棱AD，的中点，求证.
23．如图，求证.
24．如果平面外的两条平行直线中的一条直线平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．
25．一木块如图所示，点在平面 内，过点将木块锯开，使截面平行于直线 和，应该怎样画线？
26．如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证.
拓广探索
27．如图，是异面直线，，求证：.

28．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE BF是定值．
其中所有正确命题的序号是　____．
变式练习题
29．如图，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
30．如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：.
31．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
32．如图所示，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：.
33．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
34．如图所示，两条异面直线，与两平行平面，分别交于点，和，，点，分别是，的中点，求证：平面
35．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
答案第1页，共2页6.3.2平面向量的坐标表示
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
解：由图6.3-10可知，，
所以.
同理，
，
，
.
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
例4已知，，求，的坐标.
解：，
.
例5如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.
解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.
因为，
，
又，
所以.
即解得，
所以顶点D的坐标为.
解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
，
而
.
所以顶点D的坐标为.
练习
1．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
2．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）；（2）；（3）；（4）．
3．若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
例6已知，，求的坐标.
解：
.
例7已知，，且，求.
解：因为，
所以.
解得.
例8已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.
解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.
观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.
因为，
，
又，
所以.
又直线，直线有公共点A，
所以A，B，C三点共线.
例9设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.
（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知
.
所以，点P的坐标是.
（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.
如果（图6.3-17（1）），那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.
练习
4．已知，，求，的坐标．
5．当为何值时，与共线？
6．若点，，，，则与是否共线？
7．求线段的中点坐标：
（1）；（2）；（3）．
8．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
例10若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.
解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：
因为，
，
所以..
于是.
因此，是直角三角形.
例11设，，求及，的夹角（精确到1°）.
解：
.
因为，，所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“”键，得.
例12用向量方法证明两角差的余弦公式
.
证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则
，.
由向量数量积的坐标表示，有
.
设与的夹角为，则
.
所以.
另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以
.
于是.
练习
9．已知，，求，，．
10．已知．求．
11．已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．
变式练习题
12．已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
13．已知，，，．
(1)t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？
(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
14．设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？
15．已知向量， ．当k为何值时，与的夹角是钝角？
16．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
参考答案：
1．（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．
【解析】根据向量的坐标运算法则计算可得.
【详解】解：
（1）；
．
（2）；．
（3）；．
（4）；．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
2．（1）；．（2），．（3）；．（4）；．
【解析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.
【详解】解：（1）,
；．
（2），
；．
（3），
；．
（4），
；．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
3．平行，证明见解析
【解析】求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.
【详解】解：．
证明如下：因为，，所以．
又因为与不共线，
所以．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.
4．（-6，-8），（12,5）
【解析】根据向量的坐标运算法则计算即可．
【详解】解：，
；
．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
5．
【解析】根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.
【详解】解：，，
，解得时，
时，与共线．
【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．
6．共线
【解析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.
【详解】解：，，，
，．
∵，
∴与共线．
【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
7．（1） （2） （3）
【解析】根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得
【详解】解：（1）
，，∴的中点坐标为；
（2）
，，∴的中点坐标为；
（3）
，，∴的中点坐标为．
【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.
8．或
【解析】．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．
【详解】解：，
．
点是线段的三等分点，
，或者．
，
或．
或．
∴P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．
9．，，
【解析】根据向量坐标运算求解即可.
【详解】解：,,．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.
10．，
【解析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.
【详解】解：,,
,
【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.
11．
【解析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】解：∵,
∴．又∵,∴．
【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.
12．向量与平行，直线AB与CD平行
【分析】求出的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算坐标，判断点A，B，C是否共线得解.
【详解】因点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，则=(2，4)， =(1，2)，
显然有2×2-1×4=0，于是得∥，
因= (2，6)， 而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合，
所以直线AB与CD平行.
13．(1)；
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）求出点坐标，根据的位置列方程或不等式得出答案；
（2）令列方程组，根据方程组是否有解得出结论．
（1）
解：因为，，，所以，
所以,
，
若在轴上，则，即；
若在轴上，则，即；
（2）
解：假设四边形为平行四边形，则，
，
，不等式组无解，
四边形是不可能为平行四边形．
14．k＝11或k＝－2.
【分析】由题设得＝ (k－4,7)、＝(6,k－5)，利用向量共线的坐标表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.
【详解】由题设，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，
令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0， k＝11或－2.
故当k＝11或－2时，A， B， C三点共线.
15．且
【分析】由条件可得且不共线，然后可建立不等式求解.
【详解】因为与的夹角是钝角，
所以且不共线，即
所以且.
16．(1).
(2)或.
【分析】（1）根据即可求出点P的坐标；
（2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.
(1)
（1）如图，由向量的线性运算可知,
所以点P的坐标是.
(2)
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图(1)，那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.10.2 事件的相互独立性
10.2 事件的相互独立性
例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
解：因为样本空间，
，
，
所以，.
此时，因此，事件A与事件B不独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶.
分析：设“甲中靶”，“乙中靶”.从要求的概率可知，需要先分别求A，B的对立事件，的概率，并利用A，B，，构建相应的事件.
解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与，与B，与都相互独立.
由已知可得，，，，.
（1）“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
.
（2）“恰好有一人中靶”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
.
（3）事件“两人都脱靶”，所以
.
（4）方法1：事件“至少有一人中靶”，且AB，与两两互斥，所以
.
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
.
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生.
解：设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
，.
，.
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以
.
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
练习
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚正面朝上”，事件“第2枚正面朝上”，事件“2枚硬币朝上的面相同”，中哪两个相互独立？
2．设样本空间含有等可能的样本点，且，请验证A，B，C三个事件两两独立，但.
3．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都降雨的概率；
（2）甲、乙两地都不降雨的概率；
（3）至少一个地方降雨的概率.
4．证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立.
习题 10.2
复习巩固
5．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）．
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
6．假设，，且，相互独立，则______；______.
7．若，，证明：事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立．
综合运用
8．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求；
(1)两人都成功破译的概率；
(2)密码被成功破译的概率．
9．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立．
拓广探索
10．分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．
：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件“两枚都正面朝上”．
：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件“命中两次目标”．
：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件“两次都摸到红球”
(1)用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；
(2)指出这三个试验的共同特征和区别；
(3)分别求A，B，C的概率．
变式练习题
11．假定生男孩和生女孩是等可能的，令｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论与的独立性.
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩.
12．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
13．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
14．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是
A． B． C． D．
15．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则 ________；P()＝________.
16．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A与B，A与C，B与C都相互独立
【解析】分别计算出,进而求得.由独立事件概率性质即可判断中哪两个相互独立.
【详解】可求
所以
由独立事件概率性质可知A与B,A与C,B与C都相互独立.
【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,根据概率判断事件的独立性,属于基础题.
2．见解析
【解析】分别计算出,进而求得.由独立事件概率性质即可判断中两两事件相互独立.再计算出与,即可判断结论.
【详解】可求得
所以
即A,B,C两两独立
但,所以
【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,根据概率判断事件的独立性,属于基础题.
3．（1）0.06 （2）0.56 （3）0.44
【解析】（1）根据独立事件概率性质,代入即可求解.
（2）根据互斥事件概率的求法,,代入即可求解.
（3）根据对立事件概率性质, “至少一个地方降雨”与“甲乙两地都不降雨”互为对立事件,即可代入求解.
【详解】设事件“甲地降雨”,事件“乙地降雨”,则事件与相互独立.
由题意知.
（1）；
（2）；
（3）.
【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件与对立事件概率性质的应用,属于基础题.
4．证明见解析
【解析】根据独立事件概率性质,由代入化简运算即可.
【详解】设任意事件记作A,则.
因为
所以
所以A与,A与都相互独立
【点睛】本题考查了独立事件概率的性质及简单应用,属于基础题.
5．C
【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.
【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，
事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；
，，，，
因为，所以与独立，故选项C正确；
事件与不相等，故选项D错误.
故选：C.
6． 0.56 0.94
【分析】（1）由与相互独立知，代入求解即可，
（2），代入求解即可．
【详解】解：（1）∵，，且与相互独立，
∴；
（2），
故答案为：0.56；0.94．
7．详见解析
【分析】根据独立事件和互斥事件的概率证明.
【详解】证明：若事件A，B相互独立，则；
若事件A，B互斥，则，
所以事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立．
8．(1)；
(2).
【分析】记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，“密码被成功破译”的事件为，结合独立事件，对立事件的概率公式，进而求出相应概率.
(1)
解：记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，
则，，
所以.
则两人都成功破译的概率为.
(2)
记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，“密码被成功破译”的事件为，，，
则事件的对立事件的概率，事件的对立事件的概率，
则甲乙两人都没有成功破译密码的概率
所以.
则密码被成功破译的概率为.
9．答案见解析.(答案不唯一)
【分析】设事件，,,分别求出事件，事件的概率，验证不是相互独立的事件.
【详解】设事件，,
则
则,
满足，
由于,,
即与, 与,与都不相互独立，即不满足A，B，C两两独立
10．(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）分别用有序数对，， ，，列举出样本空间；
（2）由完成一次实验都要观察两个指标和是否等可能分析；
（3）分别由（1）的样本空间求解；
(1)
解：中用有序数对，表示样本点，
其中“0”表示正面朝上，“1”表示反面朝上，其样本空间为；
中用有序数对，表示样本点，
其中“0”表示未命中，“1”表示命中，其样本空间为；
中用有序数对，表示样本点，
其中“0”表示摸到红球，“1”表示摸到黄球反面朝上，其样本空间为；
(2)
三个实验的共同特征：完成一次实验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果，
所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式；
三个试验的区别：中的样本点具有等可能性， ，中的样本点不具有等可能性.
(3)
因为基本事件共有4个，
所以两枚都正面朝上.
因为每次命中目标的概率为0.6；
所以命中两次目标的概率为：，
因为是从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；
所以两次都摸到红球的概率是.
11．（1）A，B不相互独立 （2）A与B是相互独立
【解析】（1）根据独立事件的概率性质,利用列举法得事件与事件,即可得,即可判断家庭中有两个小孩时事件与事件是否独立.
（2）根据独立事件的概率性质,利用列举法得事件与事件,即可得,即可判断家庭中有三个小孩时事件与事件是否独立.
【详解】（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点
由等可能性可知每个样本点发生的概率均为
这时{（男,女）,（女,男）},{（男,男）,（男,女）,（女,男）},{（男,女）,（女,男）}
于是
由此可知
所以事件A,B不相互独立.
（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}.
由等可能性可知每个样本点发生的概率均为,
这时A中含有6个样本点,B中含有4个样本点,AB中含有3个样本点.
于是,
显然有成立,从而事件A与B是相互独立的.
【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,独立事件概率性质及应用,属于基础题.
12．（1）0.398；（2）0.994.
【分析】结合独立事件的乘法公式即可.
【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
13．(1)
(2)，
【分析】（1）先求得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率，甲、乙两人所付的租车费用相同，则则分甲乙都不超过2小时，甲乙都超过2小时不超过3小时，甲乙都超过3小时甲不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；
（2）若ξ＝4，则分甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；若ξ＝6，则分甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；
(1)
解：因为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，
超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，
所以甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，，
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P（A）＝，
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
(2)
若ξ＝4，
则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，
所以P(ξ＝4)＝，
若ξ＝6，
则甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，
所以P(ξ＝6)＝.
14．A
【详解】试题分析：由图知，每个转盘均为6个区域，其中有4个是奇数的区域，由几何概型概率公式，得两个转盘中指针落在奇数所在区域的概率均为．由独立事件同时发生的概率，得所求概率，故选A．
考点：1、几何概型；2、相互独立事件的概率．
【方法点睛】求几何概型的基本步骤：第一步，明确取点的区域，确定要求概率的事件中的点的区域；第二步，求出区域的几何度量；第三步，求出区域的几何度量；第四步，计算所求事件的概率＝．
15．
【分析】由题先求出，，再结合，计算即可
【详解】因为P(A)＝，P(B)＝.所以，，
所以，
故答案为：；
【点睛】本题考查相互独立事件乘法公式的应用，属于基础题
16．(1)
(2)
【分析】（1）由第一次，第二次没接通，第三次接通，利用独立事件的概率求解；
（2）分第一次接通，第一次没接通第二次接通和第一次，第二次没接通，第三次接通，利用互斥事件和独立事件的概率求解.
(1)
解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3．
第3次才接通电话可表示为，
所以第3次拨号才接通电话的概率为.
(2)
拨号不超过3次而接通电话可表示为，
所以拨号不超过3次而接通电话的概率为，
，
.
答案第1页，共2页6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
例1 如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．
解：因为，
所以
．
例2 如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．
证明：如图6.3-6，设，，则，，于是.
.
因为，
所以.
因为，，
所以.
因此.
于是是直角三角形.
练习
1．如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．
2．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．
（1）用表示，，；
（2）能由（1）得出，的关系吗？
3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．
（1）用表，．
（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
例3 如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
解：由图6.3-10可知，，
所以.
同理，
，
，
.
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
例4 已知，，求，的坐标.
解：，
.
例5 如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.
解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.
因为，
，
又，
所以.
即解得，
所以顶点D的坐标为.
解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
，
而
.
所以顶点D的坐标为.
练习
4．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
5．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）；（2）；（3）；（4）．
6．若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
例6 已知，，求的坐标.
解：
.
例7 已知，，且，求.
解：因为，
所以.
解得.
例8 已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.
解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.
观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.
因为，
，
又，
所以.
又直线，直线有公共点A，
所以A，B，C三点共线.
例9 设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.
（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知
.
所以，点P的坐标是.
（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.
如果（图6.3-17（1）），那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.
练习
7．已知，，求，的坐标．
8．当为何值时，与共线？
9．若点，，，，则与是否共线？
10．求线段的中点坐标：
（1）；（2）；（3）．
11．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
例10 若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.
解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：
因为，
，
所以..
于是.
因此，是直角三角形.
例11 设，，求及，的夹角（精确到1°）.
解：
.
因为，，所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“”键，得.
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式
.
证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则
，.
由向量数量积的坐标表示，有
.
设与的夹角为，则
.
所以.
另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以
.
于是.
练习
12．已知，，求，，．
13．已知．求．
14．已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．
习题6.3
复习巩固
15．如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示.
16．已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为，求作用在原点的合力的坐标.
17．在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点A的坐标，求终点B的坐标.
（1）；
（2）；
（3）.
18．已知的顶点，，，求顶点D的坐标．
19．已知点，且，求点及向量的坐标.
20．已知点，且,求点C，D，E的坐标.
21．你认为下列各组点具有什么样的位置关系？证明你的猜想.
（1）；
（2）；
（3）.
22．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）；
（2）；
（3）.
23．已知，且，求的坐标.
24．已知，求与垂直的单位向量的坐标.
综合运用
25．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设.
（1）用表示；
（2）如果，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
26．已知点.当时，分别求点P的坐标.
27．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．
28．求证：以为顶点的四边形是一个矩形.
拓广探索
29．如图，设是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设，
（1）计算的大小；
（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
30．用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．；；；．
【解析】直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。
【详解】解：；
；
；
．
【点睛】本题主要考查了向量的减法三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。
2．（1），，；（2）
【解析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。
（2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系
【详解】解：（1）
，
，
．
（2）由（1）知，，，∴，即．
【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。
3．（1），；（2），证明见解析
【解析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出，
（2）设，则，．计算即可。
【详解】解：（1）；
．
（2），证明如下：设，则，．
．
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。
4．（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．
【解析】根据向量的坐标运算法则计算可得.
【详解】解：
（1）；
．
（2）；．
（3）；．
（4）；．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
5．（1）；．（2），．（3）；．（4）；．
【解析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.
【详解】解：（1）,
；．
（2），
；．
（3），
；．
（4），
；．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
6．平行，证明见解析
【解析】求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.
【详解】解：．
证明如下：因为，，所以．
又因为与不共线，
所以．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.
7．（-6，-8），（12,5）
【解析】根据向量的坐标运算法则计算即可．
【详解】解：，
；
．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
8．
【解析】根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.
【详解】解：，，
，解得时，
时，与共线．
【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．
9．共线
【解析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.
【详解】解：，，，
，．
∵，
∴与共线．
【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
10．（1） （2） （3）
【解析】根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得
【详解】解：（1）
，，∴的中点坐标为；
（2）
，，∴的中点坐标为；
（3）
，，∴的中点坐标为．
【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.
11．或
【解析】．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．
【详解】解：，
．
点是线段的三等分点，
，或者．
，
或．
或．
∴P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．
12．，，
【解析】根据向量坐标运算求解即可.
【详解】解：,,．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.
13．，
【解析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.
【详解】解：,,
,
【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.
14．
【解析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】解：∵,
∴．又∵,∴．
【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.
15．，
【解析】根据向量的加减运算法则，，分别代换即可.
【详解】解：
【点睛】此题考查平面向量基本运算，根据线性运算法则求解即可.
16．
【解析】根据向量加法的坐标运算即可.
【详解】解：.
【点睛】此题考查力的合成，根据向量加法关系求解.
17．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据，，求出点的坐标；
（2）根据，，求出点的坐标；
（3）根据，，求出点的坐标.
【详解】（1），
.
（2）,，
（3），
【点睛】此题考查向量的加减运算，用端点坐标表示向量.
18．(1，5)﹒
【分析】由平行四边形可得：，于是．
【详解】设坐标原点为O，由平行四边形可得：，
，，，．
∴D的坐标为(1，5)﹒
19．，，
【解析】根据向量的线性运算法则，结合的坐标形式，求出点的坐标.
【详解】解：因为，所以点的坐标为.
因为，所以点的坐标为.
所以向量.
【点睛】此题考查平面向量的线性运算的坐标表示.
20．C，D，E
【解析】根据向量线性运算法则，依次求出，，的坐标表示，再结合点坐标，求出点C，D，E的坐标.
【详解】解：设O为坐标原点，则.
,，
所以点C的坐标为；
，所以点D的坐标为；
，所以点E的坐标为.
【点睛】此题考查平面向量的线性运算的坐标表示.
21．（1）三点共线，证明见解析；（2）三点共线，证明见解析；（3）三点共线，证明见解析
【解析】（1）通过计算：，三点共线；
（2）通过计算：，三点共线；
（3）通过计算：，三点共线.
【详解】解：（1）A，B，C三点共线、因为，所以，因为直线AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线.
（2）P，Q,R三点共线，因为，所以.因为直线PR与PQ有公共点P，所以P，Q，R三点共线.
（3）E，F，G三点共线，因为，所以.因为直线EF与EC有公共点E，所以E，F，G三点共线.
【点睛】此题考查利用平面向量处理三点共线问题，准确进行线性运算求解.
22．（1）直角三角形，证明见解析；（2）直角三角形，证明见解析；（3）直角三角形，证明见解析
【解析】（1）结合图象通过计算得：得直角三角形；
（2）结合图象通过计算得：得直角三角形；
（3）结合图象通过计算得：得直角三角形.
【详解】解：（1）如图，为直角三角形，证明如下：
,
.
为直角三角形.
（2）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：
为直角三角形.
（3）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：
为直角三角形.
【点睛】此题考查平面向量的数量积运算的坐标表示，通过非零向量数量积为零判定向量垂直得三角形形状.
23．或
【解析】设，根据模长关系和平行关系列方程组求解.
【详解】解：设，则，解得：或
于是或.
【点睛】此题考查平面向量的模长关系和平行关系的坐标表示，根据方程组求解未知数.
24．或
【解析】设与垂直的单位向量，通过模长关系和垂直关系列方程组即可求解.
【详解】解：设与垂直的单位向量，则，解得：或
于是或.
【点睛】此题考查平面向量的模长关系和垂直关系的坐标表示，根据方程组求解未知数.
25．（1），；（2），证明见解析
【解析】（1）根据平面向量运算法则，依次代换即可表示；
（2）根据（1）的表示形式计算，则.
【详解】解：（1）
（2）.证明如下：
由（1）知，，
【点睛】此题考查平面向量的线性运算和数量积的计算，通过非零向量数量积为零判定向量垂直.
26．当时，点 P的坐标分别为：，，，.
【解析】根据分别计算时的坐标.
【详解】解：
当时，，所以；
当时，所以
当时，，所以；
当时，，所以.
【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示，根据向量关系求点的坐标.
27．
【分析】根据点在线段的延长线上，且，可得，可得．
【详解】点在线段的延长线上，且，
，
，，，．
所以点P的坐标为
28．证明见解析
【解析】分别利用坐标计算即可得证
【详解】证明：因为，
，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.
【点睛】此题考查向量的相等和垂直的判断，考查平面向量数量积的运算.
29．（1）；（2）合理
【解析】（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解；
（2）根据平面向量基本定理，作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对使得.
【详解】解：（1）建立如围所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，所以.
（2）作为一组基底，对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.
【点睛】此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析
30．证明见解析
【解析】构造向量，根据数量积的坐标表示证明.
【详解】证明：构造向量.
（其中为向量u，v的夹角）.
所以，
所以.
【点睛】此题考查平面向量数量积的坐标表示证明不等式，关键在于准确建立模型求解.
答案第1页，共2页6.3.2平面向量的坐标表示
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
解：由图6.3-10可知，，
所以.
同理，
，
，
.
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
例4已知，，求，的坐标.
解：，
.
例5如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.
解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.
因为，
，
又，
所以.
即解得，
所以顶点D的坐标为.
解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
，
而
.
所以顶点D的坐标为.
练习
1．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
2．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）；（2）；（3）；（4）．
3．若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
例6已知，，求的坐标.
解：
.
例7已知，，且，求.
解：因为，
所以.
解得.
例8已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.
解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.
观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.
因为，
，
又，
所以.
又直线，直线有公共点A，
所以A，B，C三点共线.
例9设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.
（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知
.
所以，点P的坐标是.
（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.
如果（图6.3-17（1）），那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.
练习
4．已知，，求，的坐标．
5．当为何值时，与共线？
6．若点，，，，则与是否共线？
7．求线段的中点坐标：
（1）；（2）；（3）．
8．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
例10若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.
解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：
因为，
，
所以..
于是.
因此，是直角三角形.
例11设，，求及，的夹角（精确到1°）.
解：
.
因为，，所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“”键，得.
例12用向量方法证明两角差的余弦公式
.
证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则
，.
由向量数量积的坐标表示，有
.
设与的夹角为，则
.
所以.
另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以
.
于是.
练习
9．已知，，求，，．
10．已知．求．
11．已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．
变式练习题
12．已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
13．已知，，，．
(1)t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？
(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
14．设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？
15．已知向量， ．当k为何值时，与的夹角是钝角？
16．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．
【解析】根据向量的坐标运算法则计算可得.
【详解】解：
（1）；
．
（2）；．
（3）；．
（4）；．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
2．（1）；．（2），．（3）；．（4）；．
【解析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.
【详解】解：（1）,
；．
（2），
；．
（3），
；．
（4），
；．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
3．平行，证明见解析
【解析】求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.
【详解】解：．
证明如下：因为，，所以．
又因为与不共线，
所以．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.
4．（-6，-8），（12,5）
【解析】根据向量的坐标运算法则计算即可．
【详解】解：，
；
．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
5．
【解析】根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.
【详解】解：，，
，解得时，
时，与共线．
【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．
6．共线
【解析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.
【详解】解：，，，
，．
∵，
∴与共线．
【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
7．（1） （2） （3）
【解析】根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得
【详解】解：（1）
，，∴的中点坐标为；
（2）
，，∴的中点坐标为；
（3）
，，∴的中点坐标为．
【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.
8．或
【解析】．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．
【详解】解：，
．
点是线段的三等分点，
，或者．
，
或．
或．
∴P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．
9．，，
【解析】根据向量坐标运算求解即可.
【详解】解：,,．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.
10．，
【解析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.
【详解】解：,,
,
【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.
11．
【解析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】解：∵,
∴．又∵,∴．
【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.
12．向量与平行，直线AB与CD平行
【分析】求出的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算坐标，判断点A，B，C是否共线得解.
【详解】因点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，则=(2，4)， =(1，2)，
显然有2×2-1×4=0，于是得∥，
因= (2，6)， 而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合，
所以直线AB与CD平行.
13．(1)；
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）求出点坐标，根据的位置列方程或不等式得出答案；
（2）令列方程组，根据方程组是否有解得出结论．
（1）
解：因为，，，所以，
所以,
，
若在轴上，则，即；
若在轴上，则，即；
（2）
解：假设四边形为平行四边形，则，
，
，不等式组无解，
四边形是不可能为平行四边形．
14．k＝11或k＝－2.
【分析】由题设得＝ (k－4,7)、＝(6,k－5)，利用向量共线的坐标表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.
【详解】由题设，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，
令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0， k＝11或－2.
故当k＝11或－2时，A， B， C三点共线.
15．且
【分析】由条件可得且不共线，然后可建立不等式求解.
【详解】因为与的夹角是钝角，
所以且不共线，即
所以且.
16．(1).
(2)或.
【分析】（1）根据即可求出点P的坐标；
（2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.
(1)
（1）如图，由向量的线性运算可知,
所以点P的坐标是.
(2)
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图(1)，那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.
答案第1页，共2页10.1 随机事件与概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1有限样本空间与随机事件
例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为正面朝上，反面朝上.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间.
例2 抛掷一枚骰子（tóuzi），观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
解：用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为.
例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用表示.于是，试验的样本空间
（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.
如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为.
如图10.1-1所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.
例4 如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合表示下列事件：
“恰好两个元件正常”；
“电路是通路”；
“电路是断路”.
解：（1）分别用，和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间
.
如图10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.
（2）“恰好两个元件正常”等价于，且，，中恰有两个为1，所以
.
“电路是通路”等价于，，且，中至少有一个是1，所以
.
同理，“电路是断路”等价于，，或，.所以
.
练习
1．写出下列各随机试验的样本空间：
（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；
（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；
（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；
（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；
（5）射击靶3次，观察中靶的次数.
2．如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.
（1）写出试验的样本空间；
（2）对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；
（3）对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.
3．袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”
10.1.2事件的关系与运算
例5 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“甲元件正常”，“乙元件正常”.
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组表示样本点.这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.
解：（1）用，分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为.
（2）根据题意，可得
，，
，.
（3），；表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件.
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
，
事件“第一次摸到红球”，即或2，于是
；
事件“第二次摸到红球”，即或2，于是
.
同理，有
，
，
，
.
（2）因为，所以事件包含事件R；
因为，所以事件R与事件G互斥；
因为，，所以事件M与事件N互为对立事件.
（3）因为，所以事件Ｍ是事件R与事件G的并事件；
因为，所以事件R是事件与事件的交事件.
练习
4．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶
5．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
10.1.3古典概型
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率.
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
“两个点数之和是5”；
“两个点数相等”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，
其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
（2）因为，所以，从而；
因为，所以，从而；
因为，
所以，从而.
例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
（1）“第一次摸到红球”；
（2）“第二次摸到红球”；
（3）“两次都摸到红球”.
解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示.
表10.1-2
（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即，
所以.
（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即，
所以.
（3）事件包含2个可能结果，即，所以.
例10 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.
（1）根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
.
不放回简单随机抽样的样本空间
.
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间.
（2）设事件“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，.
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此
对于不放回简单随机抽样，.
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.
练习
6．判断下面的解答是否正确，并说明理由.
某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.
7．从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：
（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；
（3）抽到的牌是方片；（4）抽到J或Q或K；
（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；
（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.
8．从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：
（1）这个数平方的个位数字为1；
（2）这个数的四次方的个位数字为1.
10.1.4概率的基本性质
例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，，那么
（1）“抽到红花色”，求；
（2）“抽到黑花色”，求.
解：（1）因为，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得.
（2）因为C与D互斥，又因为是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此
.
例12 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设“中奖”，“第一罐中奖”，“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.
解：设事件“中奖”，事件“第一罐中奖”，事件“第二罐中奖”，那么事件“两罐都中奖”，“第一罐中奖，第二罐不中奖”，“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且
.
因为，，两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
.
我们借助树状图（图10.1-11）来求相应事件的样本点数.
可以得到，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的.因为，，，所以.
上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于“两罐都不中奖”，而，所以.
因此.
练习
9．已知.
（1）如果，那么___________，___________；
（2）如果A，B互斥，那么___________，___________.
10．指出下列表述中的错误：
（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；
（2）如果事件A与事件B互斥，那么一定有.
11．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：
M 18 20 14
F 17 24 7
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________
习题 10.1
复习巩固
12．如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.
（1）用表格表示试验的所有可能结果；
（2）列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”.
13．在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.
（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；
（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.
14．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”写出样本空间，并列举A和B包含的样本点；
15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（ ）．
A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥
C．A与B相等 D．
16．判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例
（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；
（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
（3）事件与事件B中至少有一个发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率大；
（4）事件与事件B同时发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率小.
17．生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”．
18．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
19．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；
（1）标签的选取是不放回的；
（2）标签的选取是有放回的.
20．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.
综合运用
21．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？
（1）A=“恰有1支一等品”；
（2）B=“两支都是一等品”；
（3）C=“没有三等品”.
22．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4”
（1）求事件A，B，C的概率；
（2）求的概率.
23．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？
24．假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D， E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；
（1）女孩A得到一个职位；
（2）女孩A和B各得到一个职位；
（3）女孩A或B得到一个职位.
25．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
26．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：
（1）没有出现6点；
（2）至少出现一次6点；
（3）三个点数之和为9.
拓广探索
27．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
28．从1-20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率；
（1）这个数既能被2整除也能被3整除；
（2）这个数能被2整除或能被3整除；
（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.
29．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设=“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请填写下表：
事件
概率
事件是否满足两两互斥？是否满足等可能性？
（2）求下列事件的概率：
①A=“在1年内需要维修”;
②B=“在1年内不需要维修”；
③C=“在1年内维修不超过1次”.
变式练习题
30．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
31．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？
32．盒子里有大小和质地均相同的6个红球和4个白球现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球、1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}.
（1）事件D与A，B是什么运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
33．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
34．一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
35．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A． B． C． D．
（2018·高考江苏卷）
36．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
37．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
38．射手小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率．
39．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（4）详见解析（5）详见解析
【解析】（1）随机选择一名同学的性别有两种可能结果：男或女；（2）由血型有四种，可得样本空间；（3）由每个小孩的性别有男或女两种可能，可得样本空间；（4）由每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3。
【详解】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为{男，女}；
（2）一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O型.故该试验的样本空间可表示为；
（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；
（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为；
（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为.
【点睛】本题考查样本空间，要注意问题（2）有四种血型，以及（4）和（5）问题的差别。
2．（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析
【解析】（1）A，B两个元件均由正常或失效两种可能，由此可得样本空间；（2）若电路是通路，则A，B均正常；（3）若电路是断路，则A，B均失效。
【详解】解： A，B两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果：（1）故该试验的样本空间可以表示为；
（2）对串联电路，只有当A，B都正常时电路才是通路，故M包含的样本点为；
（3）对并联电路，只有当A，B都失效时电路才是断路，故N包含的样本点为.
【点睛】本题考查样本空间和样本点，是基础题。
3．（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）摸出一个球，上面的标号有9种可能；（2）由球的标号可得事件对应的样本空间。
【详解】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为；
（2）；；.
【点睛】本题考查样本空间，属于简单题。
4．D
【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.
【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，
“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；
对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；
对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；
对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.
故选：D.
5．（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.
【解析】根据题意分别计算各个事件的基本事件,再逐个判断即可.
【详解】解：该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
（1）,,满足,所以与互斥,故正确；
（2）,,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；
（6）,所以,故正确；（7）,故正确；
（8）因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
（9）正确；（10）正确.
【点睛】本题主要考查了事件间的关系判断,属于基础题型.
6．解答错误,详见解析
【解析】要观察样本点发生的可能性是否相同，即是否是古典概型．题中命中与不命中的概率不相等，因此样本点发生的可能性是不相等．
【详解】解：该解答不正确，原因如下：运动员练习时命中目标与没有命中目标的概率是不相等的，所以样本点发生的可能性是不相等的，所以该试验并不是古典概型，故解答错误.
【点睛】本题考查古典概型的定义，解题关键是样本点发生的概率是否相等．
7．（1）（2）（3）（4）（5）0（6）（7）（8）1
【解析】每张牌都是等可能被抽到，整个样本空间中共有52个基本事件，然后计算出各事件中含有的基本事件的个数即可求得概率．
（1）有4个基本事件；
（2）有48个基本事件；
（3）有13个基本事件；
（4）有12个基本事件；
（5）为不可能事件
（6）有8个基本事件；
（7）有26个基本事件；
（8）有52个基本事件，为必然事件；
【详解】解：（1）52张牌中数字为7的有4张，所以概率为；
（2）52张牌中不是7的有（张），所以概率为；
（3）52张牌中方片共有13张，所以概率为；
（4）52张牌中J，Q，K共有（张），所以概率为；
（5）该事件为不可能事件，所以概率为0；
（6）抽到的牌为7或8，共有8张，所以概率为；
（7）红花色的牌共有（张），所以概率为；
（8）该事件为必然事件，所以概率为1.
【点睛】本题考查古典概型概率计算．解题关键是确定基本事件的个数．
8．（1）（2）
【解析】整个样本空间中有10个基本事件，再计算出各事件中含有的基本事件的个数即可求得概率．
【详解】解：从0~9这10个教中随机选样一个款，共有10种可能，其样本空间可表示为.
（1）若一个数平方的个位数字为1，则该数为1或9，共2个，故其概率为；
（2）若一个数四次方的个位数字为1，则该数平方的个位数为1或9，所以该数为1，3，7，9，共4个，故其概率.
【点睛】本题考查古典概型概率计算．解题关键是确定基本事件的个数，方法是列举法．
9． 0.5 0.3 0.8 0
【解析】（1）由可得,,进而求解即可；
（2）由A,B互斥可得,进而求解即可
【详解】（1）如果,那么,,
所以,
（2）如果A,B互斥,那么,
所以,
故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；0
【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题
10．（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为1；
（2）只有当A,B互为对立事件时才有
【详解】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为1,则若某地区明天下雨的概率为0.4,明天不下雨的概率应为0.6
（2）如果事件A,B互斥,那么,只有当A,B互为对立事件时才有
【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的定义,属于基础题
11． 0
【解析】根据频数依题意求得概率即可
【详解】；
；
；
；
；
；
故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07
【点睛】本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用
12．（1）详见解析 （2）详见解析
【解析】(1)列表表示所有可能结果即可；
(2)利用(1)的的表格分别找出事件A，B，C对应的样本点.
【详解】解：（1）该试验的所有可能结果如下表：
蓝骰子点数 黄骰子点数 1 2 3 4
1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4）
2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4）
3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4）
4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4）
（2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；
B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；
C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.
【点睛】本题主要考查了写某事件包含的基本事件，属于较易题.
13．（1）
（2）；
（3）
【解析】(1)以第一轮比赛中胜出的情况进行分类，列举出比赛所有可能的结果；
(2)在样本空间中找出以开头的所有结果，即可得出事件A；
(3)在样本空间中找出在开头或第二位的所有结果，即可得出事件B
【详解】解：（1）
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：
则该试验的样本空间可表示为:
；
（2）事件A包含的所有结果为：；
（3）事件B包含的所有结果为：
【点睛】本题主要考查了写出某事件的所有基本事件，属于中等题.
14．答案见解析．
【分析】按照第一、第二枚朝上的面顺序写出．
【详解】事件空间：｛（正正），（正反），（反正），（反反）｝，
事件的样本点：（正正），（正反），
事件的样本点：（正反），（反反）．
15．D
【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，
显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，
因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，A，B都不正确；
事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，C不正确；
由古典概型知，，所以，D正确.
故选：D
16．（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举例见解析.
【解析】举反例判断(1)，再利用互斥事件的概率公式判断(3)，(4)；由互斥事件与对立事件的定义判断(2).
【详解】解：（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.
设某试验的样本空间为.
（1）中反例，取，则A,B互斥但不对立.
（2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确
（3）中反例，取,则.
（4）中反例，取,则,.
【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件关系的辨析以及利用互斥事件的概率公式求概率，属于中等题.
17．C=AB；.
【分析】根据给定条件利用事件的运算即可列式作答.
【详解】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A，B同时发生，
所以C=AB；
产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，
所以，.
18．；；；游戏1和游戏3是公平的
【解析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.
【详解】解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.
【点睛】本题主要考查了判断游戏的公平性以及古典概型的概率公式，属于中档题.
19．（1）0 （2）
【解析】(1)求出不放回时所有的基本事件的总数，再得出 事件“两张标签上的数字为相等整数”包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；
(2) 求出有放回时所有的基本事件的总数，再得出 事件“两张标签上的数字为相等整数”包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；
【详解】解：（1）从5张标签中不放回地选取两张标签，用m表示第一张标签的标号，n表示第二张标签的标号，设A=“两张标签上的数字为相等整数”，则
（1）数组（m，n）表示该试验的一个样本点，，且.因此该试验的样本空间，且}中共有20个样本点，其中m，n为相等整数的样本点个数.故所求概率为0；
（2）该试验的样本空间中共有25个样本点，各样本点出现的可能性相等，试验是古典概型，其中，所以，故所求概率为.
【点睛】本题主要考查了求有放回与无放回问题的概率，属于中档题.
20．
【解析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可.
【详解】解：该试验的样本空间可表示为：
，
共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有，共3个，故所求概率.
【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.
21．（1） （2） （3）.
【解析】列举出6支中任取2支所有的基本事件，得出事件对应的基本事件以及个数，由古典概型的公式求概率即可.
【详解】解：用表示3支一等品，用表示2支二等品，用c表示三等品，则该试验的样本空间可表示
为
，共有15个样本点.
（1），其中有9个样本点，所以.
（2），其中有3个样本点，所以.
（3），其中有10个样本点，所以.
【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.
22．（1）；；. （2）；
【解析】(1)求出事件A，B，C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可；
(2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出.
【详解】解：该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点
（1），有5个样本点，所以；
，有11个样本点，所以.
，有12个样本点，所以.
（2），有2个样本点，所以；
所以.
【点睛】本题主要考查了计算古典概型问题的概率，属于中档题.
23．；
【解析】先列举出事件“第二次才打开门”包含的基本事件，分别求出两种情况对应的所有基本事件以及个数，由古典概型的公式计算概率即可.
【详解】解：用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙事件“第二次才打开门”包含的样本点有，共4个
若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为
，共有12个样本点，所以此时的概率；
若试过的钥匙又混进去，则样本空间可表示为，共有16个样本点，所以此时的概率为.
【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中档题.
24．（1） （2） （3）
【解析】列举出5个人中2人被录用的所有基本事件，分别找出对应事件的基本事件的个数，利用古典概型的公式计算概率.
【详解】解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为，共有10个样本点.
（1）A得到一个职位包含4个样本点，故其概率为；
（2）A.B各得到一个职位包含1个样本点，故其概率为；
（3）A或B得到一个职位包含7个样本点，故其概率为.
【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中等题.
25．（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0
【解析】利用频率表以及互斥事件的概率公式得出（1），（2），（3）对应的概率，由对立事件的概率公式得出（4）的概率.
【详解】解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
（1）；
（2）（或）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题主要考查了利用互斥事件以及对立事件的概率公式求概率，属于中档题.
26．（1） （2） （3）
【解析】求出该实验所有的基本事件总数以及对应的事件的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率得出(1)，(3)，利用对立事件的概率公式得出(2)中事件的概率.
【详解】解：该试验的样本空间表示为，共有（个）样本点.
（1）事件“没有出现6点”包含的样本点满足，共有125个，所以其概率为；
（2）事件“至少出现一次6点”与事件“没有出现6点”互为对立事件，故其概率为；
（3）事件“三个点数之和为9”包含的样本点有25个，故其概率为.
【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中档题.
27．(1)答案见详解；
(2)①A+B+C；②；③.
【分析】(1)根据题设条件分别写出1，4，5，8各区域所代表的事件即可.
(2)将所给事件分别用A，B，C表示出来即可.
（1）
由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；
区域5表示该生只订阅语文学习资料；
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
（2）
①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，
所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的
事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥，
所以恰好订阅一种学习资料的事件为：；
③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为：.
28．（1） （2） （3）
【解析】(1)由古典概型的公式计算出事件对应的概率，找出既能被2整除也能被3整除的整数的个数，结合古典概型的公式计算出该事件的概率；
(2)由，结合即可计算出；
(3)由对立事件的概率公式求解即可.
【详解】解：1-20这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个,
所以.
（1）1-20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以;
（2）;
（3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，则.
【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率以及利用对立事件的概率公式计算概率，属于中档题.
29．（1）表格见解析；满足两两互斥，不满足等可能性. （2）①0.25 ②0.75 ③0.9
【解析】(1)由题设条件求出，填写表格，利用互斥事件的定义判断事件两两互斥；
(2)利用互斥事件的概率公式计算概率.
【详解】解：（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%
所以，
事件
概率 0.75 0.15 0.06 0.04
事件满足两两互斥，不满足等可能性.
（2）①；
②；
③.
【点睛】本题主要考查了互斥事件的判定以及利用互斥事件的概率公式计算概率，属于中档题.
30．(1)随机事件
(2)随机事件
(3)是必然事件
(4)不可能事件
【分析】根据必然事件是一定会发生的，随机事件是可能发生，也可能不发生，不可能事件是不可能发生对每个问题逐一判断即可.
(1)
中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军可能发生，也可能不发生，所以是随机事件
(2)
出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯, 可能发生，也可能不发生，所以是随机事件
(3)
若x∈R，则x2＋1≥1，一定会发生，是必然事件
(4)
抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2，不可能发生，是不可能事件．
31．(1)答案见解析；
(2)16；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】(1)根据给定条件按两个转盘中的数字依顺序不重不漏地写出各对数即可得试验的样本空间.
(2)利用(1)即可求出样本空间中样本点的总数.
(3)借助(1)的样本空间即可写出事件“x+y=5”、 “x<3且y>1”的样本点.
(4)借助(1)的样本空间即可写出事件“xy=4”、 “x=y”的样本点.
(1)
Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
(2)
由(1)知，样本点的总数为16.
(3)
由(1)知，事件“x+y=5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；
事件“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4)
由(1)知，事件 “xy=4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
事件“x=y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
32．（1）（2）
【解析】将所有情况全部根据取出红球的个数表示后再分析即可.
【详解】设“从10个球中任取3个球,得到i个红球”为事件.
（1）由题意得,事件3个球中有1个红球、2个白球,事件3个球中有2个红球、1个白球,事件3个球中既有红球又有白球,由此可得.
（2）事件3个球中至少有1个红球,事件3个球中有1个红球、2个白球,.
【点睛】本题主要考查了事件的基本运算,需要将所有事件统一表达分析,属于基础题型.
33．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)
因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)
因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)
因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)
由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
34．(1)10个；
(2)3个.
【分析】(1)将袋中的5个求分白球、黑球编号，用列举法写出所有可能结果即可得解.
(2)利用(1)写出摸出的2个球都是白球结果即可得解.
(1)
用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：
(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，
所以共10个样本点.
(2)
由(1)知，“2个都是白球”含有的结果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
35．C
【详解】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为.
本题选择C选项.
考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
36．
【详解】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
37．（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
38．（1）0.52；（2）0.87
【详解】试题分析：（1）射手小张在一次射击中射中10环和在一次射击中射中9环为互斥事件，根据互斥事件概率加法求概率，（2）至少型，一般先考虑反面：一次射击中射中7环以下，利用对立事件概率关系求概率.
试题解析：（1）∵射手小张在一次射击中射中10环和在一次射击中射中9环为互斥事件，
∴这个射手在一次射击中射中10环或9环的概率：
P1=0.24+0.28=0.52．
答：射手小张在一次射击中射中10环或9环的概率为0.52．
（2）这个射手在一次射击中至少射中7环的对立事件为在一次射击中射中7环以下，
所以这个射手在一次射击中至少射中7环的概率为：
P2=1–0.13=0.87．
答：这个射手在一次射击中至少射中7环的概率为0.87．
39．（1）（2）
【详解】分析：根据韦恩图，正确理解“只属”、“最多”．
从图中可以看出，3个球队共有20名队员．
(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A，则P(A)＝＝.
故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概率为.
(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B，则P(B)＝1－P(B)＝1－＝.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为.
答案第1页，共2页6.2 平面向量的运算习题
6.2 平面向量的运算
习题6.2
复习巩固
1．如果表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
2．一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.
3．一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l°）.
4．化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
5．作图验证：
（1）
（2）
6．（1）已知向量,,求作向量，使.
（2）（1）中表示,,的有向线段能构成三角形吗？
7．已知，为两个非零向量，
（1）求作向量；
（2）当向量，成什么位置关系时，满足？（不要求证明）
8．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9．.求证.
10．填空：
（1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________；
（2）当非零向量,满足_____________时，平分与的夹角.
11．（1）已知,且与的夹角，求；
（2）已知,且,求.
12．求证：.
综合运用
13．根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：
（1）；
（2）；
（3），且.
14．在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量.
15．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：+=2．
16．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
17．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

18．已知，求与的夹角.
19．已知.且.求与的夹角（精确到1°）.（可用计算工具）
20．已知是非零向量，，求证：
拓广探索
21．已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示.
23．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量满足等式.
（1）作出满足条件的四边形ABCD.
（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想.
24．如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）向东走；（2）向东走；
（3）向东北走；（4）向西南走；
（5）向西北走；（6）向东南走.
【解析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.
【详解】由题意知：表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”
（1）表示“向东走”
（2）表示“向东走”
（3）表示“向东北走”
（4）表示“向西南走”
（5）表示“向西北走”
（6）表示“向东南走”
【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.
2．飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行.
【解析】由向量的加减运算，即可得出结论.
【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.
【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义，考查学生的计算能力，区分路程、位移是关键.
3．，方向与水流方向成76°角
【解析】利用向量的加法运算，模的运算，勾股定理，即可得出结论.
【详解】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则
由，得.
船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.
【点睛】本题以实际问题为载体，考查向量的加法运算，考查三角函数知识，属于基础题.
4．（1）.（2）（3）.
（4）（5）（6）.（7）
【解析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.
【详解】解：（1）原式.
（2）原式
（3）原式.
（4）原式
（5）原式
（6）原式.
（7）原式
【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.
5．(1)见解析(2)见解析
【解析】根据向量的平行四边形法则，画图验证即可.
【详解】解：如图，在平行四边形ABCD中，设，则.
（1）因为，
所以
（2）因为，
所以
【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，属于基础题.
6．（1）见解析.
（2）当，共线时，不能构成三角形，当，不共线时能构成三角形.
【解析】作平行四边形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出.
【详解】（1）方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，
则，
又，所以，即，
方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，
则，即，
当向量,两个共线时，如下图：使得，，
则，，
所以，，即.
（2）向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，
向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形.
【点睛】本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题.
7．（1）见解析.（2）
【解析】根据向量的三角形法则，作出图象即可.
【详解】（1）当向量,两个不共线时，作，使得，，，，
所以，
当向量,两个同向且共线时，作，，，
所以，
当向量,两个反向且共线时，作，，，
所以，，
（2）当时，满足，如图，作矩形，作，，
所以，，.
【点睛】本题考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力，解题的关键是掌握三角形法则的应用，掌握数形结合思想的应用，属于基础题.
8．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】根据平面向量的线性运算法则，对每一个小题进行计算即可．
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，属于基础题．
9．见解析
【解析】直接由已知结合向量减法的三角形法则可得.
【详解】证明：因为，
而，
所以.
【点睛】本题考查共线向量基本定理，考查了向量减法的三角形法则，属于基础题.
10． 5 1
【解析】利用即可得到结论.
【详解】（1），当且仅当，同向时取等号，
又，当且仅当，反向时取等号，
.
（2）当时，为以,为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分与的夹角.
答案：（1）5，1;（2）
【点睛】本题考查向量的数量积的运算及计算公式，属于基础题.
11．（1）；；（2）；
【解析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出；
（2）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出.
【详解】解：（1）；
（2）
【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积，考查了运算能力，属于基础题.
12．见解析
【解析】分，，讨论即可得到结论.
【详解】证明：（1）设，的夹角为，当时，.
成立.
（2）当时，与同向，与同向，与的夹角为，与的夹角为.
，
，
成立.
（3）当时，与反向，与反向，与的夹角为，与的夹角为.
,
,
,
成立.
综上可知，原等式成立.
【点睛】本题考查向量的数乘运算及运算律，属于基础题.
13．（1）平行四边形.见解析（2）梯形，见解析（3）菱形，见解析
【解析】（1）由，可得，，即可判断出四边形的形状；
（2）由，可得，，即可判断出四边形的形状；
（3）由，且，可得四边形是有一组邻边相等的平行四边形，即可判断出四边形的形状.
【详解】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
且.
且，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）四边形ABCD是梯形，证明如下：
.
又，
，即，
∴四边形ABCD是梯形.
（3）四边形ABCD是菱形，证明如下：
且.
且，∴四边形ABCD是平行四边形.
又，
∴四边形ABCD是菱形.
【点睛】本题考查了向量相等的意义、特殊四边形的判定，考查了推理能力，属于基础题.
14．，.
【解析】直接利用向量共线即可得到结论.
【详解】如图，
.
【点睛】本题考查向量共线的表示，属于基础题.
15．证明详见解析．
【详解】根据平面向量的加法意义，得
，，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴0，0；
∴2=（++）+（++）
=（+）+（+）+（+）
=+，
即．
16．图见解析，北偏东45°方向，距甲地1400km.
【解析】作出方位示意图，构造等腰三角形，解这个三角形即可得出答案
【详解】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.
设甲地为，乙地为，丙地为，作出示意图，
则，，，
，
是等边三角形，
，，
，
即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地.
【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，画出草图是关键，属于基础题.
17．（1）（2）（3），见解析
【解析】根据向量的加法法则直接对各式计算即可.
【详解】解：（1）
（2）.
（3）.
证明如下：
【点睛】本题考查向量加法的运算法则，属于基础题.
18．
【分析】根据可求出，再根据求夹角，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
即，所以，
因此，
所以与的夹角为.
【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
19．
【解析】先利用模的运算得，再利用向量夹角公式即可得到结论.
【详解】
，用计算器算得.
【点睛】本题考查了向量的模，向量夹角公式，属于基础题.
20．见解析
【解析】从向量数量积相等入手，移项变形，得到数量积为0即可.
【详解】证法1：
证法2：设.
先证
.
由得.
即
而，所以
再证
由得.
即，因此.
【点睛】本题考查了向量的数量积为0的运算，属于基础题.
21．A
【解析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论.
【详解】如图，由知O为BC的中点，
又∵O为的外接圆圆心，
又
为正三角形，，
在上的投影向量为.
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础题.
22．
【解析】由，，，即可得到结论.
【详解】.
【点睛】本题考查向量加法，向量减法，属于基础题.
23．（1）见解析（2）平行四边形.见解析
【解析】（1）直接作图即可；
（2）结论：四边形ABCD为平行四边形；将表达式变形，利用向量减法运算法则即可得到结论.
【详解】（1）作图，
通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形.
（2）四边形ABCD为平行四边形，证明如下：
因为，所以，
因为.
所以，即，因此四边形ABCD为平行四边形.
【点睛】本题考查向量减法的运算法则，对表达式的灵活变形是解题的关键，属于基础题.
24．只与弦AB的长度有关，与半径无关
【解析】由题意，设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，根据向量的数量积公式即可求出.
【详解】只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下：
设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，则.
在中，，
.
【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题.
答案第1页，共2页8.2 立体图形的直观图
8.2 立体图形的直观图
例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
画法：（1）如图8.2-4（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图8.2-4（2）中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使.
（2）在图8.2-4（2）中，以为中点，在轴上取，在轴上取.以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.
（3）连接，，，，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图（图8.2-4（3））.
练习
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．
1．相等的线段在直观图中仍然相等．( )
2．平行的线段在直观图中仍然平行．( )
3．一个角的直观图仍是一个角．( )
4．相等的角在直观图中仍然相等．( )
5．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.
（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形
例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.
分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置.利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱，为画图筒便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴.
画法：（1）画轴.如图8.2-6，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点，使，.
（2）画底面.在x轴正半轴上取线段，使；在y轴正半轴上取线段，使.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则就是长方体的底面的直观图.
（3）画侧棱.在x轴正半轴上取线段，使，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段，，.
（4）成图.顺次连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了.
例3已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
解：（1）画轴.如图8.2-7，画x轴、z轴，使.
（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段，使.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.
（3）画上底面.在上截取点，使，过点作平行于轴的轴.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.
（4）成图.连接，，整理得到圆柱的直观图.
例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.
分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.
画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.
练习
6．用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.
7．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.
8．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.
习题8.2
复习巩固
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．
9．三角形的直观图是三角形．( )
10．水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形．( )
11．正方形的直观图是正方形．( )
12．菱形的直观图是菱形．( )
13．用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；
（1）直角边横向；（2）斜边横向.
14．用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.
15．画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。
综合运用
16．一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。
17．已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.
18．一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.
拓广探索
8．画出你所在学校的一些建筑物的直观图（尺寸自定）．
变式练习题
19．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
20．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
21．如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
22．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A． B．
C． D．
23．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（ ）
A．2S B．S C．2S D．S
答案第1页，共2页9.1 随机抽样
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
练习
1．在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？
（1）调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；（2）调查一个地区结核病的发病率；
（3）调查一批炮弹的杀伤半径；（4）调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.
请你再举一些不宜用全面调查的例子，并说明理由.
2．如图，由均匀材质制成的一个正20面体（每个面都是正三角形），将20个面平分成10组，第1组标上0，第2组标上1，…，第10组标上9.
（1）投掷正20面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现0，1，2，…，9是等可能的吗？
（2）三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数（百位为0的也看作三位数），它是000~999范围内的随机数吗？
3．实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只作试验用.下列两种情况是否属于简单随机抽样？请说明理由.
（1）每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；
（2）将笼中的100只小白鼠按1~100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠.
4．如果计算器只能生成内的随机数，你有办法把它转化为1~100范围内的整数随机数吗？转化为1~712范围内的整数随机数呢？
5．在抽样调查中，请你说说通过“随机”选择样本的优、缺点.
练习
6．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）.
A．一定为 B．高于 C．低于 D．约为
7．在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查.小明调查的样本平均数为166.4，样本量为100；小华调查的样本平均数为164.7，样本量为200.你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数？说说你的理由.
8．找一组数据作为总体，自行设定样本量，进行多次简单随机抽样.观察样本量对估计总体平均数的影响，并试着解释其中的原因.
9.1.2分层随机抽样
练习
9．数据的平均数为，数据的平均数为，证明：.
10．有人说：“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力普查的结果差不多.而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法有道理吗？为什么？
11．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
12．要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例，小明根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查.请你查阅有关资料，说说这样的分层是否合理.你觉得在选择分层变量时应注意什么？
9.1.3 获取数据的途径
练习
13．请从国家统计局网站上查找我国水资源及其使用情况的一些数据，根据数据谈谈当前保护水资源的重要性.
14．近视是青少年存在的普遍问题，你能查找相关数据，并利用数据说说近几年我国在防治青少年近视上取得的成效吗？
习题9.1
复习巩固
15．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
16．某刊物对其读者进行满意度调查，调查表随刊物送到读者手中，对寄回的调查表进行分析，这是不是一项抽样调查？样本抽取是不是属于简单随机抽样？为什么？
17．中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得该节目的收视率，下面是三名同学为电视台设计的调查方案.
同学A：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中，这样，我就可以很快统计出收视率了.
同学B：我给我们居民小区的每一个住户发一份是否在除夕晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率.
同学C：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率.请问：上述三名同学设计的调查方案获得比较准确的收视率的可能性大吗？为什么？
18．下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本？
（1）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r.若或.则舍弃，重新抽取.
（2）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0.则抽中75.
（3）总体编号为6001~6876.在1~876范围内产生一个随机整数r，把r+6000作为抽中的编号.
19．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？
综合运用
20．数据，的平均数为，数据，的平均数为为常数，如果满足，证明：.
21．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.
（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.
（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：.
22．校学生会希望调查学生对本学期学生活动计划的意见，你自愿担任调查员，并打算在学校里抽取10%的同学作为样本.
（1）怎样安排抽样，可以提高样本的代表性？
（2）在调查抽样中你可能遇到哪些问题？
（3）这些问题可能会影响什么？
（4）你打算怎样解决这些问题？
23．一般来说，影响农作物收成的因素有气候、土质、田间管理水平等，如果你是一个农村调查队成员，要在麦收季节对你所在地区的小麦进行估产调查，你将如何设计调查方案？
拓广探索
24．如果调查目的是要确定被调查者的收入水平，请设计一种提问方法.
25．你可能想了解全校同学生活、学习中的一些情况，例如，全校同学比较喜欢哪门课程，每月的零花钱平均是多少，喜欢看《新闻联播》的同学的比例是多少，每天大约什么时间起床，每天睡眠的平均时间是多少，等，选一些自己关心的问题，设计一份调查问卷，利用简单随机抽样方法调查你们学校同学的情况，并解释你所得到的结论.
26．查询中央电视台最近五年春节联欢晚会的收视率，从中你能发现一些什么信息？查阅一些收视率调查所用的方法，在分析这些方法的合理性和不足的基础上，请你自行设计一个调查收视率的方案.
变式练习题
27．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是
A．1000名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本
D．样本容量是100
28．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取个个体作为样本；
(2)仓库中有万支奥运火炬，从中一次抽取支火炬进行质量检查；
(3)某连队从名党员官兵中，挑选出名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．
29．某班有名学生，要从中随机地抽出人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．
30．（1）某单位共有老、中、青年职工人，其中有青年职工人，中年职工人数是老年职工人数的倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工人，则该样本中的老年职工的人数为．
（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑
剪纸
其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取的人数．
31．（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为，，，，，，，，，．求甲在本次游戏中的平均成绩．
（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为；乙同学抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为6，已知甲乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合并后的样本的平均数.
32．（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求甲在本次游戏中的平均成绩．
（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析
【解析】根据总体、个体的概念去解答即可，通过全面调查和抽样调查的特点逐一判断结果.
【详解】解：（1）总体：被调查的这个班级的学生每周的体育锻炼时间；个体：这个班级的每一个学生每周的体育锻炼时间，适合全面调查；
（2）总体：这个地区的全部居民结核病的发病情况；个体：这个地区的每一位居民结核病的发病情况，适合抽样调查；
（3）总体：该批炮弹每一发的杀伤半径；个体：每一发炮弹的杀伤半径，适合抽样调查；
（4）总体：该水库的所有鱼的数量；个体：水库中草鱼的数量，适合抽样调查.
不宜用全面调查的例子：
（1）火柴的质量问题，原因是全面调查具有破坏性；
（2）全国高三毕业生的视力，原因是费时、费力.
【点睛】本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方法要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析.
2．（1）等可能，可能性为；
（2）是000~999范围内的随机数.
【解析】（1）根据正20面体是材质均匀的可判断；
（2）找到最大的数和最小的数即可得结果.
【详解】解：（1）因为是均匀材质制成的一个正20面体（每个面都是正三角形），则出现0，1，2，…，9是等可能，可能性为；
（2）三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷产生一个三位数（百位为0的也看作三位数），该三位数最大为999，最小为000，它是000~999范围内的随机数.
【点睛】本题考查等可能性事件的概念及随机数的概念，是基础题.
3．（1）属于简单随机抽样；（2）属于简单随机抽样. 理由：（1）（2）都满足简单随机抽样的四个特征：①有限性；②逐个抽取；③不放回；④等可能性.
【解析】根据简单随机抽样的四个特征：①有限性；②逐个抽取；③不放回；④等可能性，进行判断.
【详解】（1）属于简单随机抽样；（2）属于简单随机抽样.
理由：（1）（2）都满足简单随机抽样的四个特征：①有限性；②逐个抽取；③不放回；④等可能性.
【点睛】本题考查简单随机抽样的特征，是基础题.
4．见解析
【解析】（1）将进行100等分，依次转化为1~100范围内的整数即可；
（2）将进行712等分，依次转化为1~712范围内的整数即可.
【详解】解：（1）将内的随机数转化为1~100范围内的整数随机数的办法：将进行100等分，依次转化为1~100范围内的整教，如下表.
…
1 2 3 … 100
（2）将内的随机数转化为1~712范围内的整数随机数的办法：将进行712等分，依次转化为1~712范围内的整数，如下表.
…
1 2 3 … 712
【点睛】本题考查随机数的产生，是基础题.
5．“随机”选择样本的优点是花费少、效率高，缺点是有时随机抽样得到的个体代表性不强.
【解析】根据简单随机抽样的特点来回答即可.
【详解】解：“随机”选择样本的优点是花费少、效率高，缺点是有时随机抽样得到的个体代表性不强.
【点睛】本题考查简单随机抽样的优缺点，是基础题.
6．D
【解析】根据样本平均数和总体平均数的关系来判断即可.
【详解】样本平均数是对总体平均数的一种估计，它们之间没有确定的大小关系，所以ABC均错误，
故选：D.
【点睛】本题考查样本平均数和总体平均数的关系，是基础题.
7．见解析
【解析】小华调查的样本量为200，样本量的增加可以更大的提高的估计的准确性，由此可得结果.
【详解】解：更愿意把164.7作为总体平均数的估计，因为增加样本量可以提高估计效果，但所选的值不一定比另一个更接近总体平均数，因为样本的平均数具有随机性.
【点睛】本题考查样本容量的大小对总体的数据估计的影响，是基础题.
8．见解析
【解析】取总体共20个数据；计算当样本量为5个时， 10个时， 15个时的平均数，以及总体平均数，观察数据变化即可.
【详解】解：总体：共20个数据；
当样本量为5个时，经过简单随机抽样，
得到样本83，76，68，78，91，其平均数为79.2；
当样本量为10个时，经过简单随机抽样，
得到样本83，76，68，78，91，98，56，96，77，67其平均数为79；
当样本量为15个时，经过简单随机抽样，
得到样本83，76，68，78，91，98，56，96，77，67，93，86，62，48，69，其平均数为76.5；
总体平均数为：71.86
根据平均数的边化发现，样本量增加，平均数越接近总体平均数.
原因是样本量的增加可以更大的提高的估计的准确性.
【点睛】本题考查样本容量的大小对总体的数据估计的影响，是基础题.
9．见解析
【解析】根据题意得到，，代入计算得到证明.
【详解】由题意得，
，.
，即.
【点睛】本题考查了平均值相关证明，意在考查学生的推断能力.
10．有道理，见解析
【解析】有道理，好的抽样方法应该能够保证随着样本量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果，得到答案.
【详解】这种说法有道理
因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果.因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.
【点睛】本题考查了抽样方法的应用，意在考查学生对于抽样方法的理解.
11．（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm（2）见解析
【解析】（1）先计算抽样比例，得到男生人数和女生人数，再计算平均身高得到答案.
（2）根据（1）的计算公式计算得到答案.
【详解】（1）抽取男生人数为，抽取女生人数为.
高二年级全体学生的平均身高估计为（cm）.
（2）仍按（1）方式进行估计，即（cm）.
【点睛】本题考查了分层抽样的相关计算，意在考查学生的计算能力.
12．合理，见解析
【解析】根据色盲是由上的隐形基因决定的，男女差异明显得到答案.
【详解】色盲是由上的隐形基因决定的，男女差异明显，故需要使用分层抽样
选择分层变量时应注意：尽可能使层内差异小而层间差异大.
【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生对于分层抽样的理解.
13．见解析
【解析】查找水资源的使用情况，得到保护水资源的重要性.
【详解】在农业生产中消耗的淡水量占人类消耗淡水总量的60%—80%；
在自然界中淡水量不到水总量的1%；
联合国已经把我国列为世界上13个最缺水的国家之一；
我国人均用水量是世界人均用水量的30%左右；
水是动植物体内和人的身体中不可缺少的物质，没有水就没有生命的存在.人类现在用水量越来越大，且污染也越来越严重，这就要求我们要保护水资源.
【点睛】本题考查了数据的查找和分析，意在考查学生的综合应用能力.
14．见解析
【解析】查找数据得到近视的严峻情况，再根据中国的预防近视的目标得到答案.
【详解】全国儿童青少年总体近视率为53.6%.其中，6岁儿童为14.5%，小学生为36.0%，初中生为71.6%，高中生为81.0%，近视防控任务艰巨.
到2023年，力争实现全国儿童青少年总体近视率在2018年的基础上每年降低0.5个百分点以上，近视高发省份每年降低1个百分点以上.
到2030年，实现全国儿童青少年新发近视率明显下降，儿童青少年视力健康整体水平显著提升，6岁儿童近视率控制在3%左右，小学生近视率下降到38％以下，初中生近视率下降到60％以下，高中阶段学生近视率下降到70％以下，国家学生体质健康标准达标优秀率达25％以上
【点睛】本题考查了数据的采集和分析，意在考查学生的应用能力.
15．见解析
【解析】根据抽样调查和全面调查的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（2）适合全面调查，因为调查对象较少；
（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；
（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，属于简单题.
16．是抽样调查，样本的抽取不是简单随机抽样，因为每个个体被抽到的可能性不同
【解析】根据样本的抽取知是抽样调查但是不是简单随机抽样，得到答案.
【详解】是抽样调查
是否填写调查表并寄回，每个人的可能性不相同
故样本的抽取不是简单随机抽样，因为每个个体被抽到的可能性不同.
【点睛】本题考查了抽样调查，意在考查学生对于抽样调查的理解.
17．可能性不大，见解析
【解析】可能性不大，三种调查方便都比较片面，据此得到答案.
【详解】可能性不大，调查的总体是所有可能看电视的人群.
学生A的设计方案考虑的人群是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了，因此A方案抽取的样本的代表性差；
学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性，因此B方案抽取的样本的代表性差；
学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，电话号码本上的号码有限且有一定的片面性，因此C方案抽取的样本的代表性差.所以这三种调查方案都有一定的片面性，得到比较准确的收视率的可能性不大.
【点睛】本题考查了调查方案的设计，意在考查学生对于调查方法的理解和掌握.
18．（1）不是简单随机样本；（2）不是简单随机样本；（3）是简单随机样本.
【解析】根据抽中的可能性是否相等依次判断每个选项得到答案.
【详解】（1）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r.若或.则舍弃，重新抽取.
只有编号为1~75可能被抽中，故不是等可能性的，不是简单随机抽样；
（2）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0.则抽中75.
1~24,75号与25~74号抽中的可能性不同，故不是简单随机抽样；
（3）总体编号为6001~6876.在1~876范围内产生一个随机整数r，把r+6000作为抽中的编号.
每个编号抽中的可能性相同，是简单随机抽样；
【点睛】本题考查了简单随机抽样，判断可能性是否相等是解题的关键.
19．男生16人，女生12人
【解析】先计算得到抽取比例为，再计算得到答案.
【详解】田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为，
于是应该在男运动员中随机抽取（人），
在女运动员中随机抽取（人）.
【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.
20．见解析
【解析】根据题意，代换得到
，代入数据得到证明.
【详解】由题意得：.
又，
，
【点睛】本题考查了平均数相关的证明，意在考查学生的推断能力.
21．（1）不可以，见解析（2）见解析
【解析】（1）不能，还需要个体的数目或抽取样本量，再计算估计式得到答案.
（2）根据关系式，代入化简得到答案.
【详解】（1）不可以估计总体平均数，需要第1，2，3层中包含个体的数目A，B，C，或抽取样本量分别为a，b，e，则估计式为:
或.
（2）样本平均数为.
在比例分配的分层随机抽样中，，
【点睛】本题考查了分层抽样相关问题，意在考查学生对于分层抽样的理解和掌握.
22．见解析
【解析】可以按年级分层进行抽样调查，列举一些可能的问题，提出解决方法得到答案.
【详解】（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.
（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题；由于种种原因，有些学生不能发表意见等.
（3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.
（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.
【点睛】本题考查了调查设计，意在考查学生对于调查方法的理解和掌握.
23．见解析
【解析】考虑差异性，可以考虑使用分层抽样，按照不同因素分层抽样得到答案.
【详解】可以采用分层随机抽样的方法进行抽样
将麦田按气候、土质、田间管理水平等不同因素分为不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体进行分析
【点睛】本题考查了设计调查方案，意在考查学生的应用能力.
24．您每年的纳税额是多少？您每年缴纳的所得税额是多少？
【解析】可以通过税收间接得到收入水平.
【详解】可以通过税收间接得到收入水平
比如：您每年的纳税额是多少？您每年缴纳的所得税额是多少？
【点睛】本题考查了调查方案的问题设计，意在考查学生的应用能力.
25．见解析
【解析】设计调查问卷，利用学号进行随机抽样，进行问卷调查，分析得到答案.
【详解】如下设计调查问卷：
（1）你最喜欢哪一门课程？
（2）你每月的零花钱平均是多少？
（3）你喜欢看《新闻联播》吗？
（4）你每天早上几点起床？
（5）你每天晚上几点睡觉？
从学号中利用随机表随机选择100个同学，再进行问卷调查，回收问卷进行统计分析.
结论：高年级的学生平均睡眠时间少
原因：学习任务更紧张，学习时间更长
【点睛】本题考查了调查方案的设计，意在考查学生的应用能力.
26．见解析
【解析】发现的信息：不同年龄段的观众收视率差别大，故可以按照年龄分层抽样进行分析.
【详解】发现的信息：不同年龄段的观众收视率差别大.
利用分层随机抽样来设计抽样方案的效果应该比较好，可以按照年龄分层
根据分层抽样确定每个年龄层的样本数量
随机选取对应的电视，安装记录软件，反馈收视信息
根据反馈结果进行分析得到收视率
【点睛】本题考查了调查方案的设计，意在考查学生的计算能力.
27．D
【详解】试题分析：根据统计中的总体、个体、样本和样本容量的定义判断．
解：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况：总
体是1000名运动员的年龄；
个体是每个运动员的年龄；
样本是100名运动员的年龄；
因此应选D．
故选D．
点评：本题主要考查对统计中的基本概念的理解，也容易出错的，是基础题目．
28．(1)不是，理由见解析
(2)不是，理由见解析
(3)不是，理由见解析
【分析】根据简单随机抽样的概念逐题分析即可.
(1)
不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)
不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
(3)
不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
29．过程见解析
【分析】结合抽签法和随机数法的步骤即可得到结果.
【详解】（1）利用抽签法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50．
第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
（2）利用随机数法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50．
第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本．
第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
30．（1） （2）
【分析】（1）设该单位老年职工人数为，根据分层抽样的概念及求法，即可求解；
（2）由“泥塑”社团的人数占总人数的，得到“剪纸”社团的人数占总人数的，结合分层抽样的方法，根据抽样比，即可求解.
【详解】（1）设该单位老年职工人数为，由题意得，解得，
则样本中的老年职工人数为．
（2）因为“泥塑”社团的人数占总人数的，
故“剪纸”社团的人数占总人数的，
所以“剪纸”社团的人数为，
因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为，
所以“剪纸”社团中高二年级人数为，
由题意知，抽样比为，
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为．
31．（1）； （2）.
【分析】（1）根据数据平均数的计算公式，准确计算，即可求解.
（2）根据题意，根据数据平均数的概念和计算公式，即可求解合在一起后的样本平均数.
【详解】（1）由题意，根据数据平均数的计算公式，可得：
甲在本次飞镖游戏中的平均成绩为.
（2）由题意，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，
则合在一起后的样本平均数为.
32．（1） （2）
【分析】（1）根据数据平均数的计算公式，准确计算，即可求解.
（2）根据题意，根据数据平均数的概念和计算公式，即可求解合在一起后的样本均值.
【详解】（1）由题意，根据数据平均数的计算公式，可得：
甲在本次游戏中的平均成绩为.
（2）由题意，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，
则合在一起后的样本均值为.
答案第1页，共2页7.1 复数的概念
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
例1当实数m取什么值时，复数是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
分析：因为，所以，都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.
解：（1）当，即时，复数z是实数.
（2）当，即时，复数z是虚数.
（3）当，且，即时，复数z是纯虚数.
练习
1．说出下列复数的实部和虚部：.
2．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？.
3．求满足下列条件的实数x，y的值：
（1）；
（2）
7.1.2 复数的几何意义
例2设复数，.
（1）在复平面内画出复数，对应的点和向量；
（2）求复数，的模，并比较它们的模的大小.
解：（1）如图7.1-4，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，.
（2），
.
所以.
例3设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）.
解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）.
练习
4．说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）．
5．在复平面内，描出表示下列复数的点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)5；
(6)．
6．已知复数．
（1）在复平面内画出这些复数对应的向量；
（2）求这些复数的模．
习题7.1
复习巩固
7．符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子若不存在，请说明理由.
（1）实部为的虚数；
（2）虚部为的虚数；
（3）虚部为的纯虚数.
8．实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
9．求适合下列方程的实数x与y的值：
(1)；
(2)．
10．如果P是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点P的位置.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
11．求复数及的模，并比较它们的模的大小.
综合运用
12．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点．
(1)位于第四象限？
(2)位于第一、三象限？
(3)位于直线y＝x上？
13．在复平面内，O原点，向量对应的复数是.
（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
14．设：,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）.
15．如果复数z的实部为正数，虚部为3,那么在复平面内，复数z对应的点应位于怎样的图形上？
拓广探索
16．已知复数z的虚部为,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z.
17．在复平面内指出与复数对应的点,判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论.
变式练习题
18．写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
19．当实数为何值时，复数i是实数、纯虚数、虚数？
20．已知，，若，求实数的取值集合．
21．已知复数（），且，求k的值.
22．若是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
23．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i B．2＋i
C．－＋ D．＋i
24．若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____.
答案第1页，共2页7.3 复数的三角表示
7.3 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.
解：（1）复数对应的向量如图7.3-2所示，则
，.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
（2）复数对应的向量如图7.3-3所示，则
，.
因为与对应的点在第四象限，所以.
于是.
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.
例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：
（1）；
（2）.
解：（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图7.3-4所示.所以
.
（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图7.3-5所示.所以
.
练习
1．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：
（1）4；
（2）；
（3）；
（4）.
2．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
3．把下列复数表示成代数形式：
（1）；
（2）.
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
例3：已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释解.
解：
.
首先作与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（图7.3-7）.即为积所对应的向量.
例4：如图7.3-8，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到求向量对应的复数（用代数形式表示）.
分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°.
解：向量对应的复数为
.
例5：计算，并把结果化为代数形式.
解：原式
.
练习
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．
习题7.3
复习巩固
7．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）6； （2）1+i； （3）； （4）；
8．把下列复数表示成代数形式：
（1）；
（2）；
（3）
（4）.
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
10．计算下列各式，并作出几何解释：
（1）
（2）
（3）
（4）.
综合运用
11．（1）求证；
（2）写出下列复数z的倒数的模与辐角；
.
12．求证：
(1)
(2)
13．化简：
（1）；
（2）.
14．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）
拓广探索
15．如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标.
16．如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明．
变式练习题
17．求复数，，，的辐角主值．
18．把下面的复数表示成三角形式：
(1)；
(2)．
19．求复数的模与辐角．
答案第1页，共2页

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