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广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的展开式共有9项，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知函数，记为函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
5．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设直线与轴的交点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递减
C．函数在处取得最小值
D．函数在处取得极大值
10．已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ）
A．
B．展开式的各项系数的和为
C．展开式中奇数项的二项式系数的和为128
D．展开式的常数项为第5项
11．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，，且有，则下列说法中正确的是（ ）
A．，
B．方程有三个根
C．若关于的方程在区间上有两解，则或
D．函数图象的对称中心为
三、填空题
12．数列满足，且对任意的都有，则 ．
13．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 种.（请用数字作答）
14．若函数有两个极值点，则的取值范围为
四、解答题
15．已知函数的图象在点处的切线方程是．
(1)求，的值；
(2)求函数的单调区间．
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求使成立的最小的正整数的值．
17．已知在的展开式中，各二项式系数和为．
(1)求展开式中含的项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项．
（参考数据：）
18．设是等差数列，是等比数列，满足，，且，．
(1)求与的通项公式；
(2)设，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．
19．已知函数.
（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论方程根的个数.
广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B C D A AD ACD
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】因为的展开式共有9项，所以，
故选：C．
2．B
【详解】因为，则，
又，所以，则．
故选：B．
3．B
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
4．B
【详解】若某高校将4名学生分配到3所中学实习，
每所中学至少分配名学生，则一定有所中学分配的学生有名，
首先把名学生安排在同一所中学实习，分配方案有种，
再把剩下的学生分配到对应的中学，分配方案有种，
由分步乘法计数原理得分配方案有种，故B正确.
故选：B
5．B
【详解】由题图知函数是单调递增的，
则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零．
又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，
所以．
如图，记，连接．
直线的斜率．
由函数图象知：，
即，
故选：B．
6．C
【详解】令，可得，
所以
．
故选：C．
7．D
【详解】由，构造，，则，
所以在上单调递增，故，即，故．
由，构造，，则，
所以在上单调递增，故，即，故．
综上，．
故选:D．
8．A
【详解】的展开式通项为，
又因为，
所以，，
当为奇数时，；当为偶数时，.
令，则，
所以，，
所以，
又，
故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为，
被除余数为，
故选：A.
9．AD
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故选项A正确，选项B和C错误，
对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性，
由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确．
故选：AD．
10．ACD
【详解】因为的展开式的通项为，
，
则根据题意可得，即，
解得或（舍去），故A正确；
由A选项得，，
则当，即时，为常数项，故D正确；
令，则，则展开式的各项系数的和为，故B错误；
展开式中奇数项的二项式系数的和为，故C正确．
故选：ACD．
11．ABD
【详解】对于三次函数，则，
若，令，则（，为的两根，且为三次函数的两个极值点），
令，则，所以．
依题意的极大值点和极小值点分别为，，且有，
所以的对称中心为，故D正确．
对于A，由，可得，，
所以，即，解得，故A正确；
对于B，因为，，
当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值
则的图象如图所示：
由图可知与有且仅有3个交点，所以方程有三个根，故正确；
对于，，若关于的方程在区间上有两解，
即与在区间上有两个交点，则，故错误；
故选：ABD．
12．21
【详解】因为，所以，
当时，
，
其中满足，
故对任意的，所以数列的通项公式为，
所以．
故答案为：21.
13．24
【详解】先将丙和丁绑在一起有种排列方法，
然后将其与乙、戊进行排列有种排列方法，
最后将甲插入中间两空中的一空中有种排列方法，
所以不同的排列方式共有种.
故答案为：24.
14．
【详解】由，得，
∵函数有两个极值点，
∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值也是最小值为，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
画出的图象，如下：
要使有两个不等实数根，
则，即，经验证，满足要求.
故的取值范围为．
故答案为：.
15．(1)，.
(2)单调增区间为和，单调减区间为．
【详解】（1）由题意可知，
已知函数图象在处的切线方程是，
所以，，
解得，．
（2）由（1）可知，的解析式为，
则，
令，解得或，
令，解得或，则函数在和上单调递增，
令，解得，则函数在上单调递减，
综上所述，的单调增区间为和，单调减区间为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，由得，
当时，由得，
两式相减得，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
．
又因为，所以，解得，
故使成立的最小的正整数的值是.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，所以,
，
由，解得：
所以，含的项为.
（2）由（1）知，的展开式的通项为，
设第项的系数绝对值最大，
则，
即 ，解得： ，
又因为，所以
所以，系数绝对值最大的项为·
18．(1)，．
(2)．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，即，
由，得，
解得，，故，
所以，，从而等比数列的公比，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故，
故，．
（2）过，，，，向轴作垂线，垂足分别为，，，，，
由（1）得，则，
记梯形的面积为，
则由题意可得，，
所以
则，
两式相减得，
，
得．
故由折线与直线，，所围成的区域的面积.
19．（1）；（2）.
【详解】（1），定义域为，
由题意知对任意的恒成立，
即，，故.
因此，实数的取值范围是；
（2），即，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
，，故函数有唯一零点；
当时，，
令，得或；令，得.
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
极大值为，
设，则恒成立，
故函数单调递增，故，
故函数在上无零点.
，，
故函数在上有唯一零点.
综上所述，当时，方程有且仅有一个根.

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