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湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（ ）
A．1014 B．2027 C．2028 D．4054
3．已知＝4， ＝8，与的夹角为120°，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
5．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设，分别为双曲线C：的左、右焦点，，分别为C的左、右顶点，以为直径的圆与以为直径的圆交于两点，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．已知函数，若对于任意的，都有，则实数的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．6 D．10
8．已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列给出的四个命题中，是假命题的为（ ）
A．任意两个复数都不能比较大小
B．对任意，
C．若，且，则
D．若，则
10．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C对立 C．A与B相互独立 D．
11．点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的个数是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．
三、填空题
12．已知集合有且仅有两个子集，则实数 .
13．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则 ．
14．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ．
四、解答题
15．如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点A的坐标为，求的值.
16．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并利用定义证明．
17．（1）已知，求的值；
（2）计算的值；
（3）已知角为第四象限角，且满足，求的值．
18．如图，在四边形中，，，，.
(1)求；
(2)求.
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在极小值，讨论与的大小关系.
湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A D B B C ACD AC
题号 11
答案 ABD
1．A
由得：，解得：或；
，，
是的充分不必要条件.
故选：A.
2．C
【详解】对于任意实数，满足，且，
当时，，
即.
故选：C
3．A
【详解】
.
故选：A
4．A
【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为
故选：A
5．D
【详解】因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；
当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，
综上可知的取值范围是：，
故选：D.
6．B
【详解】以为直径的圆与以为直径的圆关于y轴对称，
所以为直径的圆与以为直径的圆的交点即以为直径的圆与y轴的交点．
以为直径的圆的方程为，令，得，所以．
因为，所以，解得．
故选：
7．B
【详解】由解析式知，在R上单调递减，且，
又，则，
故在上恒成立，只需，
由，则，所以.
故选：B
8．C
【详解】由在上单调递增，且，即为奇函数，
所以，
则在上恒成立，
所以.
故选：C
9．ACD
【详解】A：当两个复数为实数时，可以比较大小，故本命题是假命题，符合题意；
B：设，所以，因此，显然，
故本命题是真命题，不符合题意；
C：当时，显然符合，且，而不成立，故本命题是假命题，符合题意；
D：当时，显然符合，但是不成立，故本命题是假命题，符合题意，
故选：ACD
10．AC
【详解】样本空间为，事件，事件，事件，
A.∵，∴与互斥，A正确.
B.∵，∴与不对立，B错误.
C.∵，∴，
∵，
∴，与相互独立，C正确.
D.∵，∴，
∵，∴，D错误.
故选：AC.
11．ABD
【详解】对于A，为球的直径，为球上一点，
，又，，平面，
平面，A正确；
对于B，为球的直径，为球上一点，，
由①知：平面，又平面，，
，平面，平面，
又平面，平面平面，B正确；
对于D，取中点，连接，
分别为中点，，，
，分别为中点，，
又平面，平面，
平面，；
因为球的表面积为，所以，
解得，，；
，，，
又，，
为等边三角形，，则；
，为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，，
，，，
，，D正确.
对于C，，，
，，
，四面体的表面积，
四面体内切球半径，C错误；

故选：ABD.
12．1或
【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，，所以，
综上所述，或.
故答案为：1或.
13．0
【详解】由，又A，B，D三点共线，
所以且，则，可得.
故答案为：0
14．1
【详解】解：，
，
，，
令，
若存在使得不等式成立，
，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，
即，
，
解得：，
，
实数的最大值为1，
故答案为：1．
15．(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴，，故点坐标为.
（2）∵点在单位圆上，得，
又∵点位于第一象限，，则，
∴点A的坐标为，即，，
∴，
∴.
16．(1)；(2)为减函数；证明见解析．
【详解】解：(1)，
由得，
解得．
另解：由，令得代入得：
验证，当时，，满足题意
(2)为减函数．
证明：由(1)知，
在上任取两不相等的实数，，且，
，
由为上的增函数，，，，，
则，．
函数为减函数．
17．（1）；（2）1；（3）
【详解】（1）由，得，则，两边平方得，
所以.
（2）
.
（3），，
，
是第四象限角，，，
，.
18．(1)
(2)
【详解】（1）中，由正弦定理得：；
.
（2），
所以，
所以
19．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【详解】（1），
若，即，则当时，；当时，；
当，即，则恒成立，当且仅当时，；
若，即，则当或时，；当时，；
若，即，则当或时，；当时，.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，若存在极小值，则，
且当时，，此时，所以；
当时，，
因为，所以，所以.
综上所述，当时，；当时，.

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