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湖南省衡阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·衡阳期末）分式值为零的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·衡阳期末）解分式方程2，去分母得（　　）
A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3
C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝3
3．（2024八下·衡阳期末）下列性质中不是正方形和菱形共有的是（　　）
A．相邻两角都互补 B．相邻两边都相等
C．对角线所在直线是对称轴 D．对角线垂直且相等
4．（2024八下·衡阳期末）如图，延长正方形边至点，使，则为（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
5．（2024八下·衡阳期末）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·衡阳期末）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
7．（2024八下·衡阳期末）已知，则的值等于（　　）
A．6 B．－6 C． D．
8．（2024八下·衡阳期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·衡阳期末）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A、B两点，若，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
10．（2024八下·衡阳期末）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使BPE与CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4
11．（2024八下·衡阳期末）函数中自变量x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·衡阳期末）将一次函数的图象向下平移个单位，所得图象的函数表达式为　 　．
13．（2024八下·衡阳期末）若关于x的分式方程 有增根，则m=　 　．
14．（2024八下·衡阳期末）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是　 　.
15．（2024八下·衡阳期末）某种球形病毒细胞的直径约为0.00000006m，将0.00000006用科学记数法表示为　 　．
16．（2024八下·衡阳期末）如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为　 　．
17．（2024八下·衡阳期末）已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　．
18．（2024八下·衡阳期末）如图，正方形的边长是4，M在上，且，N是边上的一动点，则周长的最小值是　 　．
19．（2024八下·衡阳期末）计算：．
20．（2024八下·衡阳期末）先化简，再求值：，其中
21．（2024八下·衡阳期末）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
22．（2024八下·衡阳期末）如图，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出的解集．
23．（2024八下·衡阳期末）从甲、乙两种饮料中各抽取10盒250毫升的果汁饮料，检查其中的维生素C的含量，所得数据如下（单位：毫克）：
甲：120、123、119、121、122、124、119、122、121、119
乙：121、119、124、119、123、124、123、122、123、122
通过计算说明哪种饮料维生素C的含量高？哪种饮料维生素C的含量比较稳定？
24．（2024八下·衡阳期末）在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
25．（2024八下·衡阳期末）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
26．（2024八下·衡阳期末）如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意，得且，
解得，
故答案为：B．
【分析】根据分式值为零的条件“ 分子等于零且分母不等于零”列出混合组，求解即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程整理得：2，
方程两边同时乘以“x-1”约去分母得：1﹣2（x﹣1）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】由于“x-1”与“1-x”互为相反数，故可根据同时改变分母及分式本身符号的方式将分式方程变形，然后两边乘以最简公分母“x-1”约去分母得到结果．
3．【答案】D
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形四个角都是直角，菱形对角相等，邻角互补，故“相邻两角都互补”这是正方形和菱形共有的性质，此选项不符合题意；
B、正方形四边相等，菱形四边相等， 故“相邻两边都相等”这也是正方形和菱形共有的性质 ，此选项不符合题意；
C、正方形是轴对称图形，对角线所在的直线及对边中点所在的直线都是其对称轴，菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是其对称轴，故“ 对角线所在直线是对称轴 ”这也是正方形和菱形共有的性质 ，此选项不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，菱形对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，故“ 对角线垂直且相等 ”这不是正方形和菱形共有的性质 ，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】正方形的四边相等，对边平行，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，对角线所在的直线及对边中点所在的直线都是其对称轴，正方形也是中心对称图形，其对角线交点就是其对称中心；菱形四边相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是其对称轴，菱形也是中心对称图形，其对角线交点就是其对称中心，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，且∠CAB=45°，
又∵BD=AE，
∴AE=CA，
∴∠E=∠ACE，
∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°．
故答案为：A．
【分析】连接AC，由正方形的每条对角线平分一组对角可得∠CAB=45°，根据正方形对角线相等得AC=BD，结合已知得AC=BD=CE，由等边对等角得∠ACE=∠E，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得：∠CAB=∠ACE+∠E=45°，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数的增减性可得，由一次函数与y轴的交点可得，两者不一致，此项不符题意；
B、由一次函数的增减性可得，由一次函数与y轴的交点可得，两者不一致，此项不符题意；
C、由一次函数的增减性和与y轴的交点均可得，由反比例函数的图象可得，两者一致，此项符合题意；
D、由一次函数的增减性可得，由一次函数与y轴的交点可得，两者不一致，此项不符题意.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴；反比例函数中，当k＞0时，图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象经过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；据此逐一判断两者一致的就符合题意.
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，1.75出现次数最多，所以众数为1.75；
由于一共调查了2+3+2+3+1+1+1＝17人，
所以中位数为排序后的第9人，即：1.70。
故答案为：B。
【分析】找出17名同学的跳远成绩中出现次数最多的数据即可得出这组数据的众数，统计表提供的数据已经将这17名同学的成绩按从低到高排列起来了，故排第9位的同学的成绩就是该组数据的中位数。
7．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴b-a=4ab，即a-b=-4ab，
∴.
故答案为：A.
【分析】在已知等式两边同时乘以ab约去分母可得a-b=-4ab，将待求式子的分子分母分别用添括号法则变形为，然后整体代入后分子、分母分别合并同类项化简，最后约分即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于反比例函数，
∵，
∴其图象在第一、三象限，且在每一个象限内，都随的增大而减小，
∵＜1，
∴点，第三象限内，点在第一象限内，且，
∴．
故答案为：D．
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象经过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；根据A、B、C三点的横坐标判断出所在的象限，进而根据函数的增减性即可判断出a、b、c的大小.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时；
在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时，
所以，则x的取值范围是或 .
故答案为：C．
【分析】从图象角度看，求不等式的解集，就是求反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，即在A点左侧或在B点左侧，y轴的右侧，对应函数自变量的取值范围.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
即2t=2，解得t=1s
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解得：t＝4 s，
综上，当时间为1s或4s时，能使△BPE≌△CQP.
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质得∠B=∠C=90°，分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，利用SAS可判断△BPE≌△CQP，②当BP＝CP，BE＝QC时，利用SAS可判断△BEP≌△CQP，从而分别建立方程，求解即可得出答案.
11．【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数及负整数指数幂的底数不能为0建立不等式组，求解即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数的图象向下平移个单位，所得图象的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】，根据一次函数图象平移的法则“上加下减常数项，左加右减自变量”进行解答即可求解.
13．【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得： ，整理得： ，
∵关于 的分式方程 有增根，即 ，
∴ ，
把 代入到 中得： ，解得： ，
故答案为：3．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出 的值．
14．【答案】4
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3，
∴m＝3，
∴这组数据的平均数： ＝4，
故答案为：4.
【分析】直接利用众数的定义得出m的值，进而求出平均数；
15．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.00000006用科学记数法表示．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此解答即可.
16．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，
∵反比例函数图象上有点A，
∴
∵轴，平行四边形的面积为4，
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二，四象限
∴
∴反比例函数表达式．
故答案为：．
【分析】设反比例函数表达式为，，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于k可得xy=k，根据平行四边形的面积等于底乘以高得到，进而结合反比例函数图象经过二、四象限得k＜0，求解即可．
17．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【分析】根据一次函数与方程组的关系可得，两一次函数图象交点坐标就是两一次函数解析式组成方程组的解，据此求解即可.
18．【答案】6
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，
∵正方形的边长是4，M在上，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当点B，N，M三点共线时，取得最小值，最小值为，
∴，
∴取得最小值，
∴
∴周长的最小值是．
故答案为：6．
【分析】连接BN，BM，根据正方形的性质得∠BAN=∠DAN=45°，AB=BC=CD=DA=4，∠BCD=90°，从而用SAS判断出△ABN≌△ADN，由全等三角形的对应边相等得BN=DN，则DN+MN=BN+NM≥BM，当点B，N，M三点共线时，BN+MN取得最小值，最小值为BM，利用勾股定理，结合三角形周长计算即可．
19．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂的法则“”、0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”、二次根式性质“”及绝对值的代数意义分别计算，进而再计算有理数的加减法运算可得答案.
20．【答案】解：原式=
=
=
=.
当时，原式==2
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把括号内第一个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同时将除式的分母利用提取公因式法分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法；然后将括号内第一个分式约分化简，进而利用同分母分式减法法则计算括号内的分式减法，接着计算分式乘法，约分化简；最后将x=2y代入化简结果约分可得答案.
21．【答案】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷．
根据题意，得，
解得
经检验：是所列分式方程的根
∴（公顷）．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）解：设每天要安排y台A型收割机，
根据题意，得，
解得，
答：至少要安排7台A型收割机．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦(x-2)公顷，然后根据工作总量除以工作效率等于工作时间及一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可；
（2）设每天要安排y台A型收割机进行小麦收割作业 ，则安排(12-y)台B型收割机进行小麦收割作业，然后根据y台A型收割机每天收割小麦的公顷数+(12-y)台B型收割机每天收割小麦的公顷数不少于50公顷的小麦收割任务，列出不等式，求出最小整数解即可.
22．【答案】（1）解：∵把代入反比例函数得
∴，得，
∴，
把A(n，-2)代入得
∴，
解得，
∴A点的坐标为，
把A、B两点坐标分别代入y=kx+b得
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与y轴的交点为C，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴．
（3）解：不等式的解集为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可得，当或时，函数一次函数的图象在反比例函数的图象上面或重合，
∴的解集为或．
【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数求出m的值，从而可求出反比例函数的关系式，然后将进A(n，-2)代入所求的反比例函数解析式算出n的值，从而而确定点A的坐标，由A、B两点坐标，利用待定系数法可以求出一次函数的关系式；
（2）令所求一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值，求出一次函数图象与y轴的交点坐标，然后根据S△AOB=S△AOC+S△BOC并结合三角形面积计算公式列式计算即可；
（3）从图象角度看，求的解集，就是求一次函数的图象在反比例函数的图象上面或重合时相应的自变量的取值范围，据此求解即可.
（1）∵，是一次函数与反比例函数的图象的两个交点．
∴，得，
∴，
∴，
解得，
∴A点的坐标为，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：．
（2）设直线与y轴的交点为C，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴．
（3）由图象可得，
当或时，函数一次函数的图象在反比例函数的图象上面或重合，
∴的解集为或．
23．【答案】解：∵毫克；毫克，
所以乙种饮料维生素C的平均含量高．
又；
；
∴，
所以甲种饮料较稳定．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量，故要说明哪种饮料维生素C的含量高求出它们各自的平均数即可 ；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，故要知道哪种饮料维生素C的含量比较稳定求出它们各自的方差即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE＝CF，
∴AB-AE＝CD-CF，即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF=5，
又∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，由等式性质推出DF=BE，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出四边形DEBF是平行四边形 ；
（2）由平行四边形对边平行且相等得DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF；根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，由等角对等边得AD＝DF=5，根据勾股定理的逆定理判断出△ADE是直角三角形，由二直线平行，同位角相等得∠ABF＝∠AED＝90°，最后由勾股定理算出AF即可.
25．【答案】（1）证明：由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，
∴∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，∵DF2+DE2=EF2，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，由二直线平行，内错角相等可推出∠FGE=∠CEB=∠FEG，由等角对等边得FG=FE=CE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形CEFG是平行四边形，进而根据“有一组邻边相等得平行四边形是菱形”可得结论；
（2）由矩形性质及折叠性质得∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，从而利用勾股定理算出AF，进而利用线段和差求出DF的值，在Rt△DEF中，利用勾股定理建立方程求出CE的长，最后根据菱形面积公式计算可得答案.
（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，
∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
∵∠FDE=90°，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
26．【答案】（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠CBH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）作CH⊥y轴于H，由同角的余角相等得∠ABO=∠BCH，从而用AAS证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形对应边相等得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标；
（2）由同角的余角相等得∠PBA=∠QBC，从而用SAS证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的对应边相等得到PA=CQ，由全等三角形的对应角相等得∠OAB=∠CBH=∠QCB，从而根据内错角相等，两直线平行得CQOH，即可证垂直；
（3）由等腰直角三角形性质得∠BQP=45°，由邻补角得∠BQC=135°，根据全等三角形的对应角相等得∠BPA=∠BQC=135°，再根据邻补角可得∠OPB=45°，从而根据等腰直角三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠BCH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
1 / 1湖南省衡阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·衡阳期末）分式值为零的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意，得且，
解得，
故答案为：B．
【分析】根据分式值为零的条件“ 分子等于零且分母不等于零”列出混合组，求解即可得出答案.
2．（2024八下·衡阳期末）解分式方程2，去分母得（　　）
A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3
C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝3
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程整理得：2，
方程两边同时乘以“x-1”约去分母得：1﹣2（x﹣1）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】由于“x-1”与“1-x”互为相反数，故可根据同时改变分母及分式本身符号的方式将分式方程变形，然后两边乘以最简公分母“x-1”约去分母得到结果．
3．（2024八下·衡阳期末）下列性质中不是正方形和菱形共有的是（　　）
A．相邻两角都互补 B．相邻两边都相等
C．对角线所在直线是对称轴 D．对角线垂直且相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形四个角都是直角，菱形对角相等，邻角互补，故“相邻两角都互补”这是正方形和菱形共有的性质，此选项不符合题意；
B、正方形四边相等，菱形四边相等， 故“相邻两边都相等”这也是正方形和菱形共有的性质 ，此选项不符合题意；
C、正方形是轴对称图形，对角线所在的直线及对边中点所在的直线都是其对称轴，菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是其对称轴，故“ 对角线所在直线是对称轴 ”这也是正方形和菱形共有的性质 ，此选项不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，菱形对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，故“ 对角线垂直且相等 ”这不是正方形和菱形共有的性质 ，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】正方形的四边相等，对边平行，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，对角线所在的直线及对边中点所在的直线都是其对称轴，正方形也是中心对称图形，其对角线交点就是其对称中心；菱形四边相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是其对称轴，菱形也是中心对称图形，其对角线交点就是其对称中心，据此逐一判断得出答案.
4．（2024八下·衡阳期末）如图，延长正方形边至点，使，则为（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，且∠CAB=45°，
又∵BD=AE，
∴AE=CA，
∴∠E=∠ACE，
∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°．
故答案为：A．
【分析】连接AC，由正方形的每条对角线平分一组对角可得∠CAB=45°，根据正方形对角线相等得AC=BD，结合已知得AC=BD=CE，由等边对等角得∠ACE=∠E，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得：∠CAB=∠ACE+∠E=45°，即可求解．
5．（2024八下·衡阳期末）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数的增减性可得，由一次函数与y轴的交点可得，两者不一致，此项不符题意；
B、由一次函数的增减性可得，由一次函数与y轴的交点可得，两者不一致，此项不符题意；
C、由一次函数的增减性和与y轴的交点均可得，由反比例函数的图象可得，两者一致，此项符合题意；
D、由一次函数的增减性可得，由一次函数与y轴的交点可得，两者不一致，此项不符题意.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴；反比例函数中，当k＞0时，图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象经过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；据此逐一判断两者一致的就符合题意.
6．（2024八下·衡阳期末）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，1.75出现次数最多，所以众数为1.75；
由于一共调查了2+3+2+3+1+1+1＝17人，
所以中位数为排序后的第9人，即：1.70。
故答案为：B。
【分析】找出17名同学的跳远成绩中出现次数最多的数据即可得出这组数据的众数，统计表提供的数据已经将这17名同学的成绩按从低到高排列起来了，故排第9位的同学的成绩就是该组数据的中位数。
7．（2024八下·衡阳期末）已知，则的值等于（　　）
A．6 B．－6 C． D．
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴b-a=4ab，即a-b=-4ab，
∴.
故答案为：A.
【分析】在已知等式两边同时乘以ab约去分母可得a-b=-4ab，将待求式子的分子分母分别用添括号法则变形为，然后整体代入后分子、分母分别合并同类项化简，最后约分即可得出答案.
8．（2024八下·衡阳期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于反比例函数，
∵，
∴其图象在第一、三象限，且在每一个象限内，都随的增大而减小，
∵＜1，
∴点，第三象限内，点在第一象限内，且，
∴．
故答案为：D．
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象经过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；根据A、B、C三点的横坐标判断出所在的象限，进而根据函数的增减性即可判断出a、b、c的大小.
9．（2024八下·衡阳期末）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A、B两点，若，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时；
在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时，
所以，则x的取值范围是或 .
故答案为：C．
【分析】从图象角度看，求不等式的解集，就是求反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，即在A点左侧或在B点左侧，y轴的右侧，对应函数自变量的取值范围.
10．（2024八下·衡阳期末）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使BPE与CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
即2t=2，解得t=1s
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解得：t＝4 s，
综上，当时间为1s或4s时，能使△BPE≌△CQP.
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质得∠B=∠C=90°，分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，利用SAS可判断△BPE≌△CQP，②当BP＝CP，BE＝QC时，利用SAS可判断△BEP≌△CQP，从而分别建立方程，求解即可得出答案.
11．（2024八下·衡阳期末）函数中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数及负整数指数幂的底数不能为0建立不等式组，求解即可.
12．（2024八下·衡阳期末）将一次函数的图象向下平移个单位，所得图象的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数的图象向下平移个单位，所得图象的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】，根据一次函数图象平移的法则“上加下减常数项，左加右减自变量”进行解答即可求解.
13．（2024八下·衡阳期末）若关于x的分式方程 有增根，则m=　 　．
【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得： ，整理得： ，
∵关于 的分式方程 有增根，即 ，
∴ ，
把 代入到 中得： ，解得： ，
故答案为：3．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出 的值．
14．（2024八下·衡阳期末）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是　 　.
【答案】4
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3，
∴m＝3，
∴这组数据的平均数： ＝4，
故答案为：4.
【分析】直接利用众数的定义得出m的值，进而求出平均数；
15．（2024八下·衡阳期末）某种球形病毒细胞的直径约为0.00000006m，将0.00000006用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.00000006用科学记数法表示．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此解答即可.
16．（2024八下·衡阳期末）如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，
∵反比例函数图象上有点A，
∴
∵轴，平行四边形的面积为4，
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二，四象限
∴
∴反比例函数表达式．
故答案为：．
【分析】设反比例函数表达式为，，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于k可得xy=k，根据平行四边形的面积等于底乘以高得到，进而结合反比例函数图象经过二、四象限得k＜0，求解即可．
17．（2024八下·衡阳期末）已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【分析】根据一次函数与方程组的关系可得，两一次函数图象交点坐标就是两一次函数解析式组成方程组的解，据此求解即可.
18．（2024八下·衡阳期末）如图，正方形的边长是4，M在上，且，N是边上的一动点，则周长的最小值是　 　．
【答案】6
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，
∵正方形的边长是4，M在上，且，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当点B，N，M三点共线时，取得最小值，最小值为，
∴，
∴取得最小值，
∴
∴周长的最小值是．
故答案为：6．
【分析】连接BN，BM，根据正方形的性质得∠BAN=∠DAN=45°，AB=BC=CD=DA=4，∠BCD=90°，从而用SAS判断出△ABN≌△ADN，由全等三角形的对应边相等得BN=DN，则DN+MN=BN+NM≥BM，当点B，N，M三点共线时，BN+MN取得最小值，最小值为BM，利用勾股定理，结合三角形周长计算即可．
19．（2024八下·衡阳期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂的法则“”、0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”、二次根式性质“”及绝对值的代数意义分别计算，进而再计算有理数的加减法运算可得答案.
20．（2024八下·衡阳期末）先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式=
=
=
=.
当时，原式==2
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把括号内第一个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同时将除式的分母利用提取公因式法分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法；然后将括号内第一个分式约分化简，进而利用同分母分式减法法则计算括号内的分式减法，接着计算分式乘法，约分化简；最后将x=2y代入化简结果约分可得答案.
21．（2024八下·衡阳期末）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【答案】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷．
根据题意，得，
解得
经检验：是所列分式方程的根
∴（公顷）．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）解：设每天要安排y台A型收割机，
根据题意，得，
解得，
答：至少要安排7台A型收割机．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦(x-2)公顷，然后根据工作总量除以工作效率等于工作时间及一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可；
（2）设每天要安排y台A型收割机进行小麦收割作业 ，则安排(12-y)台B型收割机进行小麦收割作业，然后根据y台A型收割机每天收割小麦的公顷数+(12-y)台B型收割机每天收割小麦的公顷数不少于50公顷的小麦收割任务，列出不等式，求出最小整数解即可.
22．（2024八下·衡阳期末）如图，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出的解集．
【答案】（1）解：∵把代入反比例函数得
∴，得，
∴，
把A(n，-2)代入得
∴，
解得，
∴A点的坐标为，
把A、B两点坐标分别代入y=kx+b得
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与y轴的交点为C，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴．
（3）解：不等式的解集为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可得，当或时，函数一次函数的图象在反比例函数的图象上面或重合，
∴的解集为或．
【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数求出m的值，从而可求出反比例函数的关系式，然后将进A(n，-2)代入所求的反比例函数解析式算出n的值，从而而确定点A的坐标，由A、B两点坐标，利用待定系数法可以求出一次函数的关系式；
（2）令所求一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值，求出一次函数图象与y轴的交点坐标，然后根据S△AOB=S△AOC+S△BOC并结合三角形面积计算公式列式计算即可；
（3）从图象角度看，求的解集，就是求一次函数的图象在反比例函数的图象上面或重合时相应的自变量的取值范围，据此求解即可.
（1）∵，是一次函数与反比例函数的图象的两个交点．
∴，得，
∴，
∴，
解得，
∴A点的坐标为，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：．
（2）设直线与y轴的交点为C，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴．
（3）由图象可得，
当或时，函数一次函数的图象在反比例函数的图象上面或重合，
∴的解集为或．
23．（2024八下·衡阳期末）从甲、乙两种饮料中各抽取10盒250毫升的果汁饮料，检查其中的维生素C的含量，所得数据如下（单位：毫克）：
甲：120、123、119、121、122、124、119、122、121、119
乙：121、119、124、119、123、124、123、122、123、122
通过计算说明哪种饮料维生素C的含量高？哪种饮料维生素C的含量比较稳定？
【答案】解：∵毫克；毫克，
所以乙种饮料维生素C的平均含量高．
又；
；
∴，
所以甲种饮料较稳定．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量，故要说明哪种饮料维生素C的含量高求出它们各自的平均数即可 ；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，故要知道哪种饮料维生素C的含量比较稳定求出它们各自的方差即可.
24．（2024八下·衡阳期末）在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE＝CF，
∴AB-AE＝CD-CF，即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF=5，
又∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，由等式性质推出DF=BE，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出四边形DEBF是平行四边形 ；
（2）由平行四边形对边平行且相等得DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF；根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，由等角对等边得AD＝DF=5，根据勾股定理的逆定理判断出△ADE是直角三角形，由二直线平行，同位角相等得∠ABF＝∠AED＝90°，最后由勾股定理算出AF即可.
25．（2024八下·衡阳期末）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
【答案】（1）证明：由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，
∴∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，∵DF2+DE2=EF2，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，由二直线平行，内错角相等可推出∠FGE=∠CEB=∠FEG，由等角对等边得FG=FE=CE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形CEFG是平行四边形，进而根据“有一组邻边相等得平行四边形是菱形”可得结论；
（2）由矩形性质及折叠性质得∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，从而利用勾股定理算出AF，进而利用线段和差求出DF的值，在Rt△DEF中，利用勾股定理建立方程求出CE的长，最后根据菱形面积公式计算可得答案.
（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，
∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
∵∠FDE=90°，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
26．（2024八下·衡阳期末）如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
【答案】（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠CBH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）作CH⊥y轴于H，由同角的余角相等得∠ABO=∠BCH，从而用AAS证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形对应边相等得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标；
（2）由同角的余角相等得∠PBA=∠QBC，从而用SAS证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的对应边相等得到PA=CQ，由全等三角形的对应角相等得∠OAB=∠CBH=∠QCB，从而根据内错角相等，两直线平行得CQOH，即可证垂直；
（3）由等腰直角三角形性质得∠BQP=45°，由邻补角得∠BQC=135°，根据全等三角形的对应角相等得∠BPA=∠BQC=135°，再根据邻补角可得∠OPB=45°，从而根据等腰直角三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠BCH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
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