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广东省汕头市龙湖实验中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
1．（2025八下·龙湖期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·龙湖期中）下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·龙湖期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·龙湖期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）．
A．2，3，3.5 B．1.5，2，2.5 C．9，12，15 D．7，24，25
5．（2025八下·龙湖期中）如图，数轴上点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·龙湖期中）已知一个菱形的两条对角线长分别是12，，则这个菱形的面积为（　　）
A． B． C． D．36
7．（2025八下·龙湖期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
8．（2025八下·龙湖期中）下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①② D．②③
9．（2025八下·龙湖期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（　　）
A． B．2 C． D．2
10．（2025八下·龙湖期中）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（　　）
A．13 B．19 C．25 D．169
11．（2025八下·龙湖期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·龙湖期中）如图，正方形的对角线相交于点O，过点O作分别交于点E、F，若，则的长是　 　．
13．（2025八下·龙湖期中）比较大小：　 　．
14．（2025八下·龙湖期中）如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是　 　
15．（2025八下·龙湖期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为　 　
16．（2025八下·龙湖期中）计算：
17．（2025八下·龙湖期中）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF，
求证：四边形BECF是平行四边形．
18．（2025八下·龙湖期中）如图，四边形中，，，，．求的度数．
19．（2025八下·龙湖期中）已知，，求代数式
（1）的值．
（2）
20．（2025八下·龙湖期中）如图所示，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）四边形的面积．
21．（2025八下·龙湖期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
22．（2025八下·龙湖期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
23．（2025八下·龙湖期中）综合与实践：
【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），
．
【探究实践】
陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
B、 是最简二次根式，此项符合题意；
C、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
故答案为：B．
【分析】先计算再根据最简二次根式的定义计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A.，原选项计算错误，故选项A不成立；
B.，原选项计算错误，故选项B不成立；
C.，原选项计算错误，故选项C不成立；
D.，原选项计算错误，故选项D成立．
故答案为：D
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质，对各个选项逐一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵公路互相垂直，
∴，△ABC是直角三角形，
∵M为AB的中点，，
∴km，
即两点间的距离为，
故答案为：C．
【分析】判断△ABC是直角三角形，即可根据直角三角形斜边上的中线性质可得CM的长.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，
∴2，3，3.5不能作为直角三角形的三边，故选项A符合题意；
B、，
∴1.5，2，2.5能作为直角三角形的三边，故选项B不符合题意；
C、，
∴9，12，15能作为直角三角形的三边，故选项C不符合题意；
D、，
∴7，24，25能作为直角三角形的三边，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形．据此进行计算并判断即可．
5．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由 作图可得：AB⊥OC，OA=3，AB=2，
，
，
则数轴上点所表示的数是；
故答案为：A．
【分析】根据作图得：AB⊥OC，OA=3，AB=2；根据勾股定理求出的长，得出，即可得出数轴上点所表示的数．
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵一个菱形的两条对角线长分别是12，，
∴这个菱形的面积为．
故答案为：B．
【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴AO=DO，
∵∠AOD=60°，
∴△OAD是等边三角形．
∴OA=AD=2．
∴AC=2OA=2×2=4．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可证得AO=DO，BD=AC，继而可根据等边三角形的判定定理得△AOD为等边三角形，求得AO的长，继而可得AC长.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直且平分，平行四边形的对角线互相平分，
∴对角线一定相等的是①正方形，②矩形，
故答案为：C.
【分析】根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质直接得到答案.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
如图1，∵，
∴四边形ABCD的菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
则，
如图2，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：A．
【分析】图1中证明四边形是正方形，可根据勾股定理即可求得正方形的边长，在图2根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可求得AC长．
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意和图形可得：1+4S△=13，
∴S△=3.
∴直角三角形的面积是，
，
又∵在直角三角形的斜边为大正方形的边长，
∴，
．
故答案为：C．
【分析】根据图形可得1+4S△=13，于是可得，利用勾股定理得到，然后根据即可求解．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：列不等式得：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式可求解。
12．【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AO=BO，∠AOB=∠ABC=90°，∠BAO=∠CBO=45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF.
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴BF=AE=8，BE=CF=6.
∵∠ABC=90°，
∴.
故答案为：
【分析】根据正方形的性质可推得△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质得BF=AE=8，BE=CF=6；最后再利用勾股定理即可求得EF的长..
13．【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵（）2＝75＞（）2＝72，
而＞0，＞0，
∴＞．
故答案为：＞．
【分析】利用实数比较大小的方法求解即可。
14．【答案】5
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，且周长为，
，，
点是的中点，
，
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形是菱形，
，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
，
当时，则最小，得到最小值，
，
∴是等腰直角三角形，
，即，
，
，
故答案为：．
【分析】本题连接之后，利用三角形中位线定理，可确定，因此GH的最小值就是AF的最小值，因此只有当时，最小，求出最小值即可求出GH的最小值．
16．【答案】解：
．

【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先利用有理数的乘方和绝对值的化简，再利用实数得到混合运算的计算方法分析求解即可.
17．【答案】解：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，
∴OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BC，设对角线交于点O，根据平行四边形性质可得OA=OD，OB=OC，再根据边之间的关系可得OE=OF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
18．【答案】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，即可求得∠BAD的度数.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，，
．
（2）解：．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】掌握平方差公式，二次根式的基本运算，分式加法，代数式求和，正确求解代数式即可完成解题
（1）根据代数式基本运算法则，带入已知信息，先算出和的值，再整体代入计算即可；
（2）先将分式通分，再代入已求得代数式值计算即可；
（1）解：∵，，
∴，，
．
（2）解：．
20．【答案】（1）解：∵，，，在中，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：
；
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理；
（1）在中，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理逆定理即，因此是直角三角形，所以；
（2）四边形ABCD由和组成，因此；
（1）解：∵，，，
在中，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
，
∴；
（2）解：
；
21．【答案】解：（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵MN∥BC，
∴∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠ACE，∠OFC=∠ACF，
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）由（1）得：∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180°，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，
∴∠ECF=90°，△ECF是直角三角形，
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴
（3）连接AE，AF，如图所示：
当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF；根据平行线的性质得∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，等量代换再结合等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知得出∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，可得△ECF是直角三角形，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
22．【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
23．【答案】解：（1）小莹的结论正确；理由如下：
∵将沿翻折，点C的对应点为H，
∴，
∴．
∵折痕与夹角为，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）小明的结论正确；理由如下：
如图3，连接，
由折叠得：，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴N是的中点；
（3）解：∵，
∴．
由折叠得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点E是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
在中，，
即，
解得．
【知识点】平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质得，由同位角相等，两直线平行，得出，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出答案；
（2）连接，由折叠得：，，由等边对等角得出，再根据平行线的性质和对顶角相等，等量代换得，由等边对等角可得，然后根据中点的定义得，接下来根据等角的余角相等得，可得，则答案可得；
（3）由两角对应相等的两个三角形相似得，有，所以可求得HN的值，因为HN=NB，可再求出，然后根据勾股定理得，可求出答案．
1 / 1广东省汕头市龙湖实验中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
1．（2025八下·龙湖期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
B、 是最简二次根式，此项符合题意；
C、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
故答案为：B．
【分析】先计算再根据最简二次根式的定义计算求解即可。
2．（2025八下·龙湖期中）下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A.，原选项计算错误，故选项A不成立；
B.，原选项计算错误，故选项B不成立；
C.，原选项计算错误，故选项C不成立；
D.，原选项计算错误，故选项D成立．
故答案为：D
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质，对各个选项逐一判断即可．
3．（2025八下·龙湖期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵公路互相垂直，
∴，△ABC是直角三角形，
∵M为AB的中点，，
∴km，
即两点间的距离为，
故答案为：C．
【分析】判断△ABC是直角三角形，即可根据直角三角形斜边上的中线性质可得CM的长.
4．（2025八下·龙湖期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）．
A．2，3，3.5 B．1.5，2，2.5 C．9，12，15 D．7，24，25
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，
∴2，3，3.5不能作为直角三角形的三边，故选项A符合题意；
B、，
∴1.5，2，2.5能作为直角三角形的三边，故选项B不符合题意；
C、，
∴9，12，15能作为直角三角形的三边，故选项C不符合题意；
D、，
∴7，24，25能作为直角三角形的三边，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形．据此进行计算并判断即可．
5．（2025八下·龙湖期中）如图，数轴上点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由 作图可得：AB⊥OC，OA=3，AB=2，
，
，
则数轴上点所表示的数是；
故答案为：A．
【分析】根据作图得：AB⊥OC，OA=3，AB=2；根据勾股定理求出的长，得出，即可得出数轴上点所表示的数．
6．（2025八下·龙湖期中）已知一个菱形的两条对角线长分别是12，，则这个菱形的面积为（　　）
A． B． C． D．36
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵一个菱形的两条对角线长分别是12，，
∴这个菱形的面积为．
故答案为：B．
【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
7．（2025八下·龙湖期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴AO=DO，
∵∠AOD=60°，
∴△OAD是等边三角形．
∴OA=AD=2．
∴AC=2OA=2×2=4．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可证得AO=DO，BD=AC，继而可根据等边三角形的判定定理得△AOD为等边三角形，求得AO的长，继而可得AC长.
8．（2025八下·龙湖期中）下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①② D．②③
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直且平分，平行四边形的对角线互相平分，
∴对角线一定相等的是①正方形，②矩形，
故答案为：C.
【分析】根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质直接得到答案.
9．（2025八下·龙湖期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
如图1，∵，
∴四边形ABCD的菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
则，
如图2，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：A．
【分析】图1中证明四边形是正方形，可根据勾股定理即可求得正方形的边长，在图2根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可求得AC长．
10．（2025八下·龙湖期中）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（　　）
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意和图形可得：1+4S△=13，
∴S△=3.
∴直角三角形的面积是，
，
又∵在直角三角形的斜边为大正方形的边长，
∴，
．
故答案为：C．
【分析】根据图形可得1+4S△=13，于是可得，利用勾股定理得到，然后根据即可求解．
11．（2025八下·龙湖期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：列不等式得：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式可求解。
12．（2025八下·龙湖期中）如图，正方形的对角线相交于点O，过点O作分别交于点E、F，若，则的长是　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AO=BO，∠AOB=∠ABC=90°，∠BAO=∠CBO=45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF.
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴BF=AE=8，BE=CF=6.
∵∠ABC=90°，
∴.
故答案为：
【分析】根据正方形的性质可推得△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质得BF=AE=8，BE=CF=6；最后再利用勾股定理即可求得EF的长..
13．（2025八下·龙湖期中）比较大小：　 　．
【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵（）2＝75＞（）2＝72，
而＞0，＞0，
∴＞．
故答案为：＞．
【分析】利用实数比较大小的方法求解即可。
14．（2025八下·龙湖期中）如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是　 　
【答案】5
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，且周长为，
，，
点是的中点，
，
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
15．（2025八下·龙湖期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为　 　
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形是菱形，
，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
，
当时，则最小，得到最小值，
，
∴是等腰直角三角形，
，即，
，
，
故答案为：．
【分析】本题连接之后，利用三角形中位线定理，可确定，因此GH的最小值就是AF的最小值，因此只有当时，最小，求出最小值即可求出GH的最小值．
16．（2025八下·龙湖期中）计算：
【答案】解：
．

【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先利用有理数的乘方和绝对值的化简，再利用实数得到混合运算的计算方法分析求解即可.
17．（2025八下·龙湖期中）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF，
求证：四边形BECF是平行四边形．
【答案】解：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，
∴OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BC，设对角线交于点O，根据平行四边形性质可得OA=OD，OB=OC，再根据边之间的关系可得OE=OF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
18．（2025八下·龙湖期中）如图，四边形中，，，，．求的度数．
【答案】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，即可求得∠BAD的度数.
19．（2025八下·龙湖期中）已知，，求代数式
（1）的值．
（2）
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
．
（2）解：．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】掌握平方差公式，二次根式的基本运算，分式加法，代数式求和，正确求解代数式即可完成解题
（1）根据代数式基本运算法则，带入已知信息，先算出和的值，再整体代入计算即可；
（2）先将分式通分，再代入已求得代数式值计算即可；
（1）解：∵，，
∴，，
．
（2）解：．
20．（2025八下·龙湖期中）如图所示，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，，，在中，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：
；
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理；
（1）在中，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理逆定理即，因此是直角三角形，所以；
（2）四边形ABCD由和组成，因此；
（1）解：∵，，，
在中，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
，
∴；
（2）解：
；
21．（2025八下·龙湖期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵MN∥BC，
∴∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠ACE，∠OFC=∠ACF，
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）由（1）得：∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180°，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，
∴∠ECF=90°，△ECF是直角三角形，
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴
（3）连接AE，AF，如图所示：
当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF；根据平行线的性质得∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，等量代换再结合等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知得出∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，可得△ECF是直角三角形，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
22．（2025八下·龙湖期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
23．（2025八下·龙湖期中）综合与实践：
【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），
．
【探究实践】
陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长．
【答案】解：（1）小莹的结论正确；理由如下：
∵将沿翻折，点C的对应点为H，
∴，
∴．
∵折痕与夹角为，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）小明的结论正确；理由如下：
如图3，连接，
由折叠得：，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴N是的中点；
（3）解：∵，
∴．
由折叠得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点E是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
在中，，
即，
解得．
【知识点】平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质得，由同位角相等，两直线平行，得出，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出答案；
（2）连接，由折叠得：，，由等边对等角得出，再根据平行线的性质和对顶角相等，等量代换得，由等边对等角可得，然后根据中点的定义得，接下来根据等角的余角相等得，可得，则答案可得；
（3）由两角对应相等的两个三角形相似得，有，所以可求得HN的值，因为HN=NB，可再求出，然后根据勾股定理得，可求出答案．
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