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广东省佛山市禅城区惠景中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
1．（2025八下·禅城期中）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·禅城期中）已知，下列不等式变形中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·禅城期中）代数式，，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025八下·禅城期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置也从A点运动到了B点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·禅城期中）若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·禅城期中）如图，在中，，，且，．则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025八下·禅城期中）将分式方程去分母后，得（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·禅城期中）把多项式因式分解正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·禅城期中）若不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
10．（2025八下·禅城期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·禅城期中）计算：　 　．
12．（2025八下·禅城期中）已知x+y＝2，xy＝3，则x2y+xy2的值是 　 　．
13．（2025八下·禅城期中）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
14．（2025八下·禅城期中）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　 　折出售．
15．（2025八下·禅城期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　 　．
16．（2025八下·禅城期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，若，，，则的长为　 　．
17．（2025八下·禅城期中）（1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出其解集．
（2）因式分解：．
18．（2025八下·禅城期中）如图，在中，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
19．（2025八下·禅城期中）先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
20．（2025八下·禅城期中）智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是．
（1）将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的．
（3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______．
21．（2025八下·禅城期中）某商场准备购进、两种商品进行销售．有关信息如下表：
　 进价（元） 售价（元）
产品 500
产品 120
已知2000元购进产品的数量与400元购进的产品数量相等．
（1）求表中的值；
（2）该商场准备购进、两种商品共50件，若要使这些产品售完后利润不低于3200元，种产品至少要购进多少件？
22．（2025八下·禅城期中）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N．
（1）如图1，若，，则______，______°．
（2）如图2，若，求的度数；
（3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系．
23．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
24．（2025八下·禅城期中）如图与为等边三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，射线与直线相交于点F，且．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：；
（2）如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，写出三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故不符合题意；
B、∵，
∴ ，故不符合题意；
C、∵，
∴ ，故符合题意；
D、∵，
∴ 5a＜5b，
∴，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质1，不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；2不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：代数式，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【分析】本题主要是对分式定义的考查， 若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，其中，分母中不含字母，，符合分式的定义，完成求解，
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要是对旋转的性质，等边对等角，三角形内角和的考查，根据旋转的性质可得出，再由等边对等角可得，再由三角形内角和可得。
5．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法来证明命题“若，则”，
第一步假设，
故选：C．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，所以假设成立解答即可．
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴.
∵
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
7．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】 根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，利用等式的基本性质，在方程左右两边分别乘最简公分母即可．
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】先提公因式，然后再用平方差公式，即可得到结论．
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①x+8＜4x﹣1
﹣3x＜﹣9
x＞3
②x＞m
∵不等式组的解集为x＞3
∴m≤3
故选（C）
【分析】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴点O是的外心，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故答案：D．
【分析】连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可．
11．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母的分式的加法法则，分母不变，分子相加，进行计算即可．
12．【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵x+y＝2，xy＝3，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】将x+y＝2，xy＝3代入x2y+xy2=xy（x+y）计算即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：两条直线的交点坐标为，
∵当时，直线在直线的下方，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，要使，只需看： 的图像何时在： 图像的下方即可.
14．【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设打折出售，由题意得：
，
解得：，
答：最低可打8折出售．
故答案为：8．
【分析】设打折出售，根据单件利润不低于24元以及等量关系“单件利润=单件的售价×折扣－进价”，列出不等式并进行求解即可．
15．【答案】30
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在BC上截取BE=BA，连接DE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB=EB=6，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴S△ABD＝S△EBD.
∴四边形ABCD的面积：，
故答案为：30．
【分析】在BC上截取BE=BA=6，连接DE，证明△ABD≌△EBD，可得S△ABD＝S△EBD.再根据三角形的面积公式求出即可．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AE=AC，BC=DE=3，∠AED=∠C.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质得出AE=AC，BC=DE=3，∠AED=∠C，利用勾股定理的逆定理可得，于是可得，然后再根据勾股定理即可求解．
17．【答案】解：（1）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
（2）
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，因式分解，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组和因式分解的方法是解题的关键．
（1）先分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可；
（2）先提取公因数3，发现剩余部分符合完全平方公式形式，再利用完全平方公式分解因式即可．
18．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形
（2）设，则．
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可．
（1）是直角三角形，理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
（2）设，则．
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
19．【答案】解：原式
；
∵，
∴，
∴时，原式；当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内的式子通分，其次利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化除为乘，然后约分，最后带值求解即可；需要注意的是，代入的值需保证化简前的式子有意义，即不能令分母为零.
20．【答案】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解析】（3）解：如图所示，线段的交点即为所求．
故答案为：
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移．
（1）根据旋转有点C分别是的中点，进一步得到的坐标，再依次连接，C得到平移后的三角形；
（2）对比点A和点的坐标可知平移方式，即向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度，进一步得到的坐标，依次连接得到对应三角形；
（3）根据图像可知绕点C旋转180度得到，平移得到，那么一定是绕某点旋转180度得到，故和的对应点连线的中点即为旋转中心．
（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，线段的交点即为所求．
故答案为：
21．【答案】（1）解：由题意得：，
解这个方程得：，
经检验是原方程的根，
∴．
答：表中的值为：．
（2）设A种产品要购进m件．由题意得：
，
解得：，
故A种产品至少要购进20件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）由题意得等量关系：2000元购进产品的数量＝400元购进的产品数量，据此列出分式方程并求解即可；
（2）设种产品要购进m件，由“总利润=单件的利润×销售件数”结合题意得关于m的不等式并求解即可．
（1）解：由题意得：
，
解这个方程得：，
经检验是原方程的根，
∴．
答：表中的值为：．
（2）设种产品要购进件．由题意得：
，
解这个不等式得：，
答：种产品至少要购进20件．
22．【答案】（1）
（2）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
．
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解析】（1）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
，
．
故答案为：112；44；
（3）解：由（1）知当时，
．
由（2）知时，
，
综上，或．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论．
（1）由线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形的性质等边对等角，得到，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数；
（2）与（1）问同理，均由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数；
（3）由（1）可知，由（2）可知，即可总结得出结论．
（1）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
，
．
故答案为：112；44；
（2）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
．
（3）解：由（1）知当时，
．
由（2）知时，
，
综上，或．
23．【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
24．【答案】（1）证明：如图①中，∵与为等边三角形，
∴，，
∵，
，
，
，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：，
如图②，过点O作交延长线于点H，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∴；
（3）或或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：作于H．
，为等边三角形，，
，
，
如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．
，
，
，
过点O作，交于N，
∴，
又∵，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图③-2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时，
同法可证：，
，
；
如图③-3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．
同法可证：，
，
，
；
如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．
同法可知：，
，
，
；
综上所述，满足条件的的值为或或．
【分析】本题主要对全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点进行考查。
（1）由与为等边三角形，可得，，所以有，因此，由角边角定理可证；
（2）过点O作交与点H，根据已知条件可得所以是等边三角形，进一步得出，由角边角可证，可得，所以；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．
（1）证明：如图①中，∵与为等边三角形，
∴，，
∵，
，
，
，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：，
如图②，过点O作交延长线于点H，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∴；
（3）解：作于H．
，为等边三角形，，
，
，
如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．
，
，
，
过点O作，交于N，
∴，
又∵，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图③-2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时，
同法可证：，
，
；
如图③-3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．
同法可证：，
，
，
；
如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．
同法可知：，
，
，
；
综上所述，满足条件的的值为或或．
1 / 1广东省佛山市禅城区惠景中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
1．（2025八下·禅城期中）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2025八下·禅城期中）已知，下列不等式变形中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故不符合题意；
B、∵，
∴ ，故不符合题意；
C、∵，
∴ ，故符合题意；
D、∵，
∴ 5a＜5b，
∴，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质1，不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；2不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．（2025八下·禅城期中）代数式，，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：代数式，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【分析】本题主要是对分式定义的考查， 若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，其中，分母中不含字母，，符合分式的定义，完成求解，
4．（2025八下·禅城期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置也从A点运动到了B点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要是对旋转的性质，等边对等角，三角形内角和的考查，根据旋转的性质可得出，再由等边对等角可得，再由三角形内角和可得。
5．（2025八下·禅城期中）若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法来证明命题“若，则”，
第一步假设，
故选：C．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，所以假设成立解答即可．
6．（2025八下·禅城期中）如图，在中，，，且，．则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴.
∵
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
7．（2025八下·禅城期中）将分式方程去分母后，得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】 根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，利用等式的基本性质，在方程左右两边分别乘最简公分母即可．
8．（2025八下·禅城期中）把多项式因式分解正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】先提公因式，然后再用平方差公式，即可得到结论．
9．（2025八下·禅城期中）若不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①x+8＜4x﹣1
﹣3x＜﹣9
x＞3
②x＞m
∵不等式组的解集为x＞3
∴m≤3
故选（C）
【分析】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围
10．（2025八下·禅城期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴点O是的外心，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故答案：D．
【分析】连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可．
11．（2025八下·禅城期中）计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母的分式的加法法则，分母不变，分子相加，进行计算即可．
12．（2025八下·禅城期中）已知x+y＝2，xy＝3，则x2y+xy2的值是 　 　．
【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵x+y＝2，xy＝3，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】将x+y＝2，xy＝3代入x2y+xy2=xy（x+y）计算即可.
13．（2025八下·禅城期中）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：两条直线的交点坐标为，
∵当时，直线在直线的下方，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，要使，只需看： 的图像何时在： 图像的下方即可.
14．（2025八下·禅城期中）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　 　折出售．
【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设打折出售，由题意得：
，
解得：，
答：最低可打8折出售．
故答案为：8．
【分析】设打折出售，根据单件利润不低于24元以及等量关系“单件利润=单件的售价×折扣－进价”，列出不等式并进行求解即可．
15．（2025八下·禅城期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　 　．
【答案】30
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在BC上截取BE=BA，连接DE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB=EB=6，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴S△ABD＝S△EBD.
∴四边形ABCD的面积：，
故答案为：30．
【分析】在BC上截取BE=BA=6，连接DE，证明△ABD≌△EBD，可得S△ABD＝S△EBD.再根据三角形的面积公式求出即可．
16．（2025八下·禅城期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AE=AC，BC=DE=3，∠AED=∠C.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质得出AE=AC，BC=DE=3，∠AED=∠C，利用勾股定理的逆定理可得，于是可得，然后再根据勾股定理即可求解．
17．（2025八下·禅城期中）（1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出其解集．
（2）因式分解：．
【答案】解：（1）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
（2）
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，因式分解，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组和因式分解的方法是解题的关键．
（1）先分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可；
（2）先提取公因数3，发现剩余部分符合完全平方公式形式，再利用完全平方公式分解因式即可．
18．（2025八下·禅城期中）如图，在中，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形
（2）设，则．
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可．
（1）是直角三角形，理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
（2）设，则．
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
19．（2025八下·禅城期中）先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
；
∵，
∴，
∴时，原式；当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内的式子通分，其次利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化除为乘，然后约分，最后带值求解即可；需要注意的是，代入的值需保证化简前的式子有意义，即不能令分母为零.
20．（2025八下·禅城期中）智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是．
（1）将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的．
（3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______．
【答案】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解析】（3）解：如图所示，线段的交点即为所求．
故答案为：
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移．
（1）根据旋转有点C分别是的中点，进一步得到的坐标，再依次连接，C得到平移后的三角形；
（2）对比点A和点的坐标可知平移方式，即向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度，进一步得到的坐标，依次连接得到对应三角形；
（3）根据图像可知绕点C旋转180度得到，平移得到，那么一定是绕某点旋转180度得到，故和的对应点连线的中点即为旋转中心．
（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，线段的交点即为所求．
故答案为：
21．（2025八下·禅城期中）某商场准备购进、两种商品进行销售．有关信息如下表：
　 进价（元） 售价（元）
产品 500
产品 120
已知2000元购进产品的数量与400元购进的产品数量相等．
（1）求表中的值；
（2）该商场准备购进、两种商品共50件，若要使这些产品售完后利润不低于3200元，种产品至少要购进多少件？
【答案】（1）解：由题意得：，
解这个方程得：，
经检验是原方程的根，
∴．
答：表中的值为：．
（2）设A种产品要购进m件．由题意得：
，
解得：，
故A种产品至少要购进20件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）由题意得等量关系：2000元购进产品的数量＝400元购进的产品数量，据此列出分式方程并求解即可；
（2）设种产品要购进m件，由“总利润=单件的利润×销售件数”结合题意得关于m的不等式并求解即可．
（1）解：由题意得：
，
解这个方程得：，
经检验是原方程的根，
∴．
答：表中的值为：．
（2）设种产品要购进件．由题意得：
，
解这个不等式得：，
答：种产品至少要购进20件．
22．（2025八下·禅城期中）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N．
（1）如图1，若，，则______，______°．
（2）如图2，若，求的度数；
（3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
．
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解析】（1）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
，
．
故答案为：112；44；
（3）解：由（1）知当时，
．
由（2）知时，
，
综上，或．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论．
（1）由线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形的性质等边对等角，得到，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数；
（2）与（1）问同理，均由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数；
（3）由（1）可知，由（2）可知，即可总结得出结论．
（1）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
，
．
故答案为：112；44；
（2）解：垂直平分，
．
．
同理，
．
．
（3）解：由（1）知当时，
．
由（2）知时，
，
综上，或．
23．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
24．（2025八下·禅城期中）如图与为等边三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，射线与直线相交于点F，且．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：；
（2）如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，写出三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：如图①中，∵与为等边三角形，
∴，，
∵，
，
，
，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：，
如图②，过点O作交延长线于点H，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∴；
（3）或或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：作于H．
，为等边三角形，，
，
，
如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．
，
，
，
过点O作，交于N，
∴，
又∵，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图③-2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时，
同法可证：，
，
；
如图③-3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．
同法可证：，
，
，
；
如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．
同法可知：，
，
，
；
综上所述，满足条件的的值为或或．
【分析】本题主要对全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点进行考查。
（1）由与为等边三角形，可得，，所以有，因此，由角边角定理可证；
（2）过点O作交与点H，根据已知条件可得所以是等边三角形，进一步得出，由角边角可证，可得，所以；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．
（1）证明：如图①中，∵与为等边三角形，
∴，，
∵，
，
，
，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：，
如图②，过点O作交延长线于点H，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∴；
（3）解：作于H．
，为等边三角形，，
，
，
如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．
，
，
，
过点O作，交于N，
∴，
又∵，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图③-2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时，
同法可证：，
，
；
如图③-3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．
同法可证：，
，
，
；
如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．
同法可知：，
，
，
；
综上所述，满足条件的的值为或或．
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