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2025年广西柳州市柳南区中考数学三模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2.如图，该纸杯的主视图是( )
A. B. C. D.
3.“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹将用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
4.年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5.下列事件中，必然事件的是( )
A. 掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上 B. 某同学投篮球，一定投不中
C. 经过红绿灯路口时，一定是绿灯 D. 画一个三角形，其内角和为
6.如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
8.在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是( )
A. B. C. D.
9.如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为( )
参考数据：，，
A. B. C. D.
11.如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是( )
A. B.
C. D.
12.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13. ______．
14.不等式的解集是______．
15.二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率单位：赫兹与长度单位：米近似成反比例关系，即为常数，若某一振动频率为赫兹，长度为米，则的值为______．
16.如图，在矩形中，已知，，是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务：
解：方程两边同乘，得第一步
第二步
第三步
所以，是分式方程的解第四步
任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出该题的正确解题过程．
18.本小题分
如图，在中，，，．
尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，交于点，保留作图痕迹，不要求写作法；
在的基础上，连接，求的周长．
19.本小题分
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由五位评委打分满分分，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按：：的比例计算出每人的总评成绩统计如下：
李悦、王芳的三项测试成绩和总评成绩表
选手 测试成绩分 总评成绩分
采访 写作 摄影
李悦
王芳
请你完成下列任务：
在摄影测试中，五位评委给李悦打出的分数如下：，，，，这组数据的中位数是______分，平均数是______分；
计算李悦的总评成绩；
学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者，试分析李悦、王芳能否入选，并说明理由．
20.本小题分
在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍．已知绿萝每盆元，吊兰每盆元．
采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
规划组认为有比元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
21.本小题分
如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．
求证：；
若，，求的长．
22.本小题分
项目化学习
【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用．
【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间单位：、运动速度单位：、滑行距离单位：的数据记录的数据如下：
运动时间
运动速度
滑行距离
【观察分析】数学兴趣小组通过作出与的函数图象、与的函数图象，并结和已学习过的函数知识，发现与的函数关系为一次函数关系，与的函数关系为二次函数关系．
【问题解决】
任务一：请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围
任务二：
当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离；
若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围．
23.本小题分
实践与探究
杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究．
【教材再现】人教版九年级上册数学课本第页“综合运用”第题：
已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？
【实践操作】
如图，航天小组同学将绕中点______填“平移”或“轴对称”或“旋转”得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形．
【特例探究】
航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在的基础上，将绕点顺时针旋转得到，探索中发现：
当，，三点共线时，连接如图，四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
当旋转角度是时，设与交于点如图，求的面积．
当，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【【解析】解：任务一：由题干中的解方程的步骤可得解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是没有乘，
故答案为：一；没有乘；
任务二：原方程两边同乘，去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
18.【解析】由题意，作图如下：
由条件可知，
垂直平分，
，
设，则：，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
的周长．
19.【解析】五位评委给李悦打出的分数从小到大排列为：，，，，，
所以这组数据的中位数是分，
平均数是分，
故答案为：，；
李悦的总评成绩分；
不能判断王芳能否入选，但是李悦明能入选，理由如下：
由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为王芳分、李悦分，
所以不能判断王芳能否入选，但是李悦能入选．
20.解：设购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
，，
符合题意．
答：购买绿萝盆，吊兰盆．
设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
设购买两种绿植的总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买两种绿植总费用的最小值为元．
21.【解析】证明：为半圆的直径，与半圆相切于点，如图，连接，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，
设，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，不合题意，舍去，
，，，
，
，
解得，
．
22.【解析】任务一：设，将点，代入得，
，
解得：，
，
设，由题意可得：
，
解得：，
；
任务二：由，当时，，
解得：，
当时，，
滑动距离为；
当时，，解得：，
当时，，
．
23.【解析】将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形，
故答案为：旋转；
四边形是矩形，
证明：由旋转可得：，
由条件可知，
当，，点共线时，，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
作于，
，
由条件可知，
，，
∽，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图所示：
作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
；
当时，如图所示：
由旋转可得：，，
作于，
，，
，
，
∽，
，
设，则，，
在中，，
，
；
当时，如图所示：
由条件可知，
此时、、三点共线，
，
，
综上所述，当，，三点构成直角三角形时，线段的长度为或或．
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