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山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期末考试模拟练习（一）
一、单选题
1．学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．12
2．函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3． ，分别为随机事件A，B的对立事件，，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
4．某校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ）
A．样本中心点为 B． C．时， 残差为D．相关系数
5．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.09 C．0.15 D．0.2
6．在的展开式中，含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中正确的是（ ）
①8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为；
②已知随机变量服从正态分布且，则；
③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则；
④若是随机变量，则．
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②
8．设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B．若随机变量X的数学期望，则
C．若随机变量X的方差，则
D．随机变量则
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ）
A．第10行所有数字的和为1024
B．
C．第9行所有数字的平方和等于
D．若第行第个数记为，则
11．已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，函数的极大值点为1；
B．当时，过点可作一条直线与曲线相切；
C．对，点是的对称中心；
D．若直线与有三个交点、、，则.
三、填空题
12．的展开式中含的项的系数为 ；
13．有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次．若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为 的概率最大．
14．若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是 ．
四、解答题-计算题
15．（1）计算：已知，则求的值．
（2）计算：；
（3）解方程：；
16．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表：
分组
频数 5 15 40 40 15 5
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
(1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望；
(2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
17．某职业技能资格考试包含三个模块，规定前两个模块至少有一个合格才能继续参加第三个模块，否则考试结束.已知考生小王完成前两个模块合格的概率均为，且前两个模块考试结果互不影响.若前两个模块都合格，则第三个模块合格的概率为，若前两个模块仅有一个合格，则第三个模块合格的概率为.
(1)求小王能参加第三个模块的概率；
(2)记为小王考试合格的模块数，求的分布列和期望.
18．某企业生产某种产品，为了提高生产效益，通过引进先进的生产技术和管理方式进行改革，并对改革后该产品的产量x（万件）与原材料消耗量y（吨）及100件产品中合格品与不合格品数量作了记录，以便和改革前作对照分析，以下是记录的数据：
表一：改革后产品的产量和相应的原材料消耗量
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
表二：改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数
合格品的数量 不合格品的数量 合计
改革前 90 10 100
改革后 85 15 100
合计 175 25 200
（1）请根据表一提供数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
（2）已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料，根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料？
（3）请根据表二提供的数据，判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”？
19．设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数.
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；
第2页，共4页山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期末考试模拟练习（一）答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C B A A B AC ACD
题号 11
答案 BCD
1．B【详解】学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，
则每人有4种选法，所以3个好朋友的选法共有种，
2．A【详解】由于函数的图象在点处的切线方程是，
故，，故，
3．B 【详解】A中：，故A正确；
B中：设A，B独立，则，而显然不一定为，故B错误；
C中：A，B独立，则，则，故C正确；
D中：A，B互斥，，则根据条件概率公式，故D正确.
4．C【详解】对于A项，因为，，
所以样本中心点为，故A项正确；
对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确；
对于C项，由B项知，，令，则，
所以残差为，故C项错误；
对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关，
故相关系数，故D项正确.
故选：C
5．B【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，
，，
由全概率公式，所求概率为，
6．A【详解】因为的展开式通项为，
所以，二项式、和展开式中含项的系数分别为、、，所以它们的和为.故选：A.
7．A【详解】①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为，①错误；
②已知随机变量服从正态分布且，
则，②正确；
③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，可取，
，所以，
所以，则③正确；
④若是随机变量，则，④错误．
故选：A.
8．B【详解】解：设，，则，
∵当时，有恒成立，∴当时，，在上单调递增，
∵是定义在上的偶函数，
∴，即是定义在上的奇函数，
∴在上也单调递增.
又，∴，∴.
不等式的解可等价于即的解，
∴或，
∴不等式的解集为.故选：B.
9．AC【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：，故C正确；
D选项：因所以，
根据组合数的对称性可知，，故D错误.故选：AC
10．ACD【详解】对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，正确；
对于B：由公式得：
，错误；
对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，
即，
因为
对应相乘可得的系数为，
而二项式展开式的通项公式，，
当时，，则的系数为，
所以，
所以第9行所有数字的平方和等于，正确；
对于D，第行的第个数为，
所以
即，正确.故选：ACD
11．BCD【详解】对于A：当时，则，得，
令，或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以是的极大值点，故A错误；
对于B：由A知，当时，，
设过点的切线方程为，设切点为，则，
，得，整理得，即，
解得，此时切点为，
所以过点只能作一条直线与曲线相切，故B正确；
对于C：因，由左移一个单位，
又为奇函数，关于原点对称，所以关于对称，而，
所以对，点是的对称中心，故C正确，
对于D：由直线与有三个交点，，，
则，
即有三个实数根，，，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.故选：BCD
12．【详解】因，
所以含的项为，
故含的项的系数为.故答案为：
13．【详解】继续再进行65次投掷实验，设出现点数为1的次数为X，则易知．
∵是整数，∴根据二项分布中概率最大值理论可知：当或时，对应概率最大．于是，可知后面65次中出现11次或10次时，点数1出现的概率最大．再加上前面35次中点数1出现的5次，即得所求结论为：当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为16或15的概率最大．
14．【详解】因为，则，
由题意可知，存在，使得，可得，
因为函数在上为减函数，则，故，
因此，实数的取值范围是.故答案为：.
15．【详解】（1）由，得，解得．
所以．
（2）.
（3）由得：，整理可得，
由题意，，故解得.
16．【详解】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）由题意知，，
，
，
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
17．【详解】（1）设“小王能参加第三个模块”，
所以.
（2）由题意知，随机变量的可能取值为.
，，
，.
用表格表示的分布列，如表所示：
0 1 2 3
所以.
18． 【详解】（1）由表一得，
，
∴，
，
所以所求线性回归方程为．
（2）当时，，
从而能够节省吨原材料．
（3）由表二得，
因此，没有的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”．
19． 【详解】（1）由题意，，
令，则，
当时，，
即此时，所以即单调递减，
从而由定义可知函数在上是“上凸函数”；
（2）因为，
所以，
设，则，
由题意函数是其定义域上的“上凸函数”，
所以单调递减，
从而当时，恒成立，即当时，恒成立，
因为一元二次函数的对称轴为，
当，即时，恒成立，只需即可，解得，即；
当，即时，恒成立，只需，即，解得；
综上所述，的取值范围为.
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