资源简介

2024—2025学年度高一下学期月考
数学试卷
注：卷面分值：150分 时间：120分钟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数，则的虚部为（ ）
A. B.1 C. D.
2.在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
3.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（ ）
A.12 B. C. D.
4.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
5.已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
6.如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知长方体中，，，则点D到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知的内角A，B，C所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ）
A.若，则定为等腰三角形
B.若，则点是的垂心
C.若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
D.若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
10.如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是（ ）
A.圆锥的母线长为3
B.圆锥SO的侧面展开图的圆心角为
C.由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D.该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过，，三点作正方体截面，则（ ）
A.三棱锥的外接球表面积为
B.动点的轨迹是一条线段
C.三棱锥的体积是定值
D.若为上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共计15分.
12.已知平面向量，的夹角为60°，且，.若，则________.
13.已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为________.
14.已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为________.
四、解答题：共77分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
15.（13分）已知复数，.
（1）若是纯虚数，求；
（2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围.
16.（15分）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方亭中，，高为，，分别为，的中点，
（1）求方亭的体积；
（2）求异面直线所成角的余弦值.
17.（15分）在平面直角坐标系中，已知、、.
（1）若四边形为平行四边形，求与夹角的余弦值；
（2）若、分别是线段、的中点，点在线段上运动，求的最大值.
18.（17分）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值.
19.（17分）设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上.
（1）若是的中点，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，，由点对施以视角运算， ，求的最小值.
2024—2025学年度高一下学期月考·数学
参考答案、提示及评分标准
1.B 由题意可知，所以z的虚部为1.
2.A 由余弦定理，，
3.A 由题意知，，将直观图还原为原图，如图，则，，，所以，所以原四边形ABCD的周长为12.
4.C
5.C 因为向量在向量上的投影向量为，即，所以，又，则，又，则，所以.
6.D 在中，则，即.在中，则，，由正弦定理得，，所以.
7.A 连接AC交BD于O，连接，因为长方体中，，所以又平面ABCD，平面ABCD，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，
所以是直线与平面所成的角，所以，
又，所以，由，可得
所以点D到平面的距离为.
8.D 翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心，
故该四面体的外接球体积，
又，，AO，平面AOC，，所以平面AOC，
二面角的大小为120°，，
，故所求体积之比
9.BC 对于A，在中，由，得或，
即或，则是等腰三角形或直角三角形，错误；
对于B，因为即，所以，所以.
同理，，，故点O为的垂心，正确.
对于C，由，得O是的重心，由，得O是的外心，
即的重心、外心重合，则为等边三角形，正确；
对于D，由，得，即，
则，的面积是面积的，错误；
10.ACD 对于A，设圆锥的母线长为1，底面半径为r，圆锥SO的侧面积为，，正确；
对于B，圆锥SO的侧面展开图的圆心角，错误；
对于C.由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长，，正确；
对于D，球与圆锥内切时，球的半径最大，此时球心在轴SO上，且内切球的大圆内切于圆锥的轴截面设内切球的半径为R，则圆锥的高为，由等面积法得，解得，正确.
11.BCD 对于A，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为，
故三棱锥的外接球表面积为，故A错误；
对于B，如图，分别取，的中点H，G，连接，GH，，，HM，
因M为的中点，易得，，则得，
故，因平面，平面，故平面，
又因，，则得，故，
因，故，同理可得平面，
且，，平面，故平面平面，
又因平面，故平面，故点F的轨迹为线段GH，故B正确；
对于C，由B项分析，点F的轨迹为线段GH，因面，故平面
则点F到平面的距离为定值，而的面积也是定值，
则三棱锥的体积是定值，故C正确：
对于D，如图，设平面Ω与平面交于AN，点N在上，
因平面平面，平面平面，故，
同理可证，即得，故点N为的中点.
在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为；
设四棱锥的高为h，因，故四边形是菱形，
则的边上的高为面对角线长的一半，为，又，
故，而，
由可得：，代值解得
综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确.
12. 因为平面向量，的夹角为120°，县，，所以
因为，所以，
所以，解得
13. 设，则，得，
所以，化简得，所以
所以，当时取等号，所以的最小值为.
14. 依题意，平面，所以，在AB上取点F，使得，
连接MF，则，，在上取点G，使得，
设MF与BD的交点为O，连接GO，在中，，，，
在中，，，，所以，
故，所以，故的边即为点N的轨迹；
而，
，，
则动点N的轨迹长度为
15.解：（1）因为z是纯虚数，所以，
由，解得或，
由得，且，故.
（2）因为z对应的点位于第三象限，所以
所以，解得m的取值范围是
16.解：（1）此多面体为正四棱台，四边形和ABCD均为正方形
，，
.
（2）连接AC，.
，F分别为AB，BC的中点，.
为异面直线与EF所成的角.
分别取AC，的中点O，，连接，
此多面体为正四棱台，和O分别是上下底面的中心，平面ABCD
即.与必交于一点，A，C，四点共面，
面面ABCD，面面，面面.
，过作，垂足为H，则，四边形为矩形
，且，.
为等腰直角三角形，.
.
异面直线与EF所成角的余弦值为.
17.解：（1）设点，因为、，所以
因为四边形ABCD为平行四边形，所以.
所以，，即点.
，
所以，
所以与夹角的余弦值为；
（2）因为M、N分别是线段AC、BC的中点，且、、
所以、，所以，，，
因为点P在线段MN上运动，令，，则.
所以，，
所以，，
令，其中，
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最大值，
即的最大值为.
18.（1）证明：因为，，E为AD的中点，
所以，所以四边形ABCE为平行四边形.
所以，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB；
（2）证明：连接BE，因为，，E为AD的中点，
则，所以四边形BCDE为菱形，所以，
又，所以
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，PA，平面PAB，所以平面PAB.
因为平面PBD，所以平面平面PBD；
（3）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以
又，，PA，平面PAD，所以平面PAD
又平面PAD，所以.
因为，所以为二面角的平面角.
即.
在中，，
过点A作，垂足为M，
由（2）知，平面平面PBD，平面平面，平面PAB.
所以面PBD，则PM为AP在平面PBD上的投影
所以为直线PA与平面PBD所成的角.
在中，，，所以
所以，
在中，，
即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.
19.解：（1）由定义可知：.
在三角形ABD中，，即，
在三角形ACD中，，即.
因为D是BC的中点，且，所以
（2）因为点D在射线BC上，，且，
所以D在线段BC外，且，
所以，所以.
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），所以，
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以.
又，
所以，
又，所以，所以·
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为36.

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