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广东省广州市第七中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知向量,若与共线,则实数( )
A． B．1 C． D．3
2．在复数范围内，复数的共轭复数的模是（ ）
A． B． C． D．
3．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．中，角的对边分别为，且满足，则角的值为
A． B． C． D．
5．设向量满足， ，则=
A．1 B．2 C．3 D．5
6．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，三棱锥中，是等边三角形，且，点在棱上，点在棱上，并使，其中，设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值为（ ）
A． B． C． D．与有关的变量
8．如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若是复数，其在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A．为纯虚数
B．若，则
C．若，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆
D．若，则
10．如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，（ ）
A．直线与垂直
B．直线与平行
C．直线与异面
D．直线与成角
11．如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的长度为
B．存在，使得平面
C．
D．当与只有一个公共点时，
三、填空题
12．如图为某折扇展开后的平面示意图，已知，，，则 ．
13．如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是 ．
14．在中，有以下四个说法：
①若为锐角三角形，则；
②若，则；
③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；
④存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；
其中正确的说法有 （把你认为正确的序号都填在横线上）.
四、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，，
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积.
试卷第1页，共3页
16．在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面平面，求证：平面．
17．如图，在中，，．点D在边BC上，且．
(1)，，求；
(2)，AD恰为BC边上的高，求角A；
(3)，求t的取值范围．
18．记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，.
(1)求；
(2)若，求线段的长.
19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
参考答案
1．A
2．B
3．A
4．C
5．A
6．D
7．C
8．C
9．BCD
10．BCD
11．BCD
12．
13．/
14．②③
15．（1）因为，则，所以，由已知得，
所以
（2）由正弦定理得，，又，则，所以的面积.
16．（1）证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，且，
又因为为的中点，所以，
在平行四边形中，有，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）在平行四边形中，有，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，面，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
17．（1）由题，因为，所以，即点为边的中点，
所以，
因为，，，
所以.
（2）由题，因为，所以，
因为AD恰为BC边上的高，所以，
因为，，
且，，
所以
，
所以，则.
（3）由题，，
则，
因为，且，，
所以，
则，
所以，
因为，则，
因为，则，解得.
18．（1）因为，
由正弦定理可得，即.
由余弦定理可得，又，所以.
在中，由正弦定理可得，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
又，所以.
因为，所以为锐角，则为钝角，
所以.
在中，由余弦定理可得，
即，
即，解得(负值舍去).
故线段的长为3.
19．（1）根据离散曲率的定义得，
，
，
又因为
，
所以．
（2）∵平面平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
∵，即
∴，∴，过点A作于点，
由平面平面，得，
又平面，则平面，
因此点A到平面PBC的距离为线段的长，在中，，
∴点到平面的距离为.
（3）过点作交于，连结，
∵平面，∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
依题意可得，，
，
，，
设，则，
在中， ，
又，所以，
则，
∴，解得：或（舍）
故.
答案第1页，共2页

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