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淮北市第一中学2025届高三最后一卷
数学试卷参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C A B C D B AC ACD ABD
填空题
12. 13. 14.
解答题
15.（13分）
【详解】解：，
，
则，则，
，，又则．………………………………………………………6分
由有，所以由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以，所以，
又因为，结合，所以，．
所以的面积为． …………………………………………………………………13分
16.（15分）
【详解】连接，取的中点，连接、，结合已知可得且，
所以四边形为平行四边形，所以为中点，
因为为的中点，为中点，则，且，
因为为的中点，则，且，
则，且，故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；…………………………7分
因为，，为的中点，则，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，则，故，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，
设平面的一个法向量为，
，，
由，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，
由，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，所以，二面角的余弦值为．……15分
17.（15分）
【详解】当时，函数的定义域为，
求导得，
当时，，
当时，，
所以当时，函数取得极小值，无极大值. ………………………………………………6分
函数的定义域为，求导得，
令，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，
①若，当时，，函数在有唯一零点；
当时，，函数在无零点，
因此当时，有唯一零点；
②若，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负数，
即当时，，函数在上无零点；
当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于正无穷大，
当趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大，
则当且仅当，有唯一零点，由，得，即，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
则方程有唯一解，于是时，有唯一零点，
所以实数的取值范围为或.……………………………………………………………………15分
18.（17分）
【详解】因为的渐近线方程为，所以，
则，所以，
因为，所以，得
因为，所以，所以，故的标准方程为.…………………… 4分
证明：(i)设点,如图所示，设过点的切线的斜率为，
则切线方程为，即
由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，
即，
因为的斜率是以上方程的两个根，所以，
又因为，所以，
所以的斜率之积为定值，且定值为2. …………………………………………………………………………………… 10分
(ii)由消去得，
因为，
所以，则；
同理可得
所以
因为，所以，即，
因为都在双曲线上，所以，
所以存在定点使得关于点对称。………………………………………………………………………………… 17分
19.（17分）
【详解】等差数列，数列；
首先项数为，且数列中任意两项均不相同；
，满足条件②，则上述数列满足题意.……………………………………3分
数列四项均不相同，故总的排列方法有种．
假设数列各项从小到大排列，即，
则两两相加后最小项，次小项，最大项，次大项．
设等差数列公差为，则，
又数列第三项，第四项；或者第三项，第四项，
所以且，
得且；
或者且，
得且，
以上两种情况不能同时成立，由以上分析知使前三项等差的排列方式有4种，
故. ………………………………………………………………………………………10分
由前两问知可以取3和4．
时，假设数列各项从小到大排列，则两两相加后最小项，次小项，最大项，次大项，
因为数列等差，故得，
①若，则各不相同，而与两两不同矛盾，
即时数列不可能是－可拆分等差数列；
②时，，即，
此时数列共10项，最小项，次小项，最大项，次大项，
设等差数列公差为，则，即，
所以，
剩余四项为，又公差，故是连续三项，
所以只能是第4项或者第7项，
当是第4项时，得，与两两不同矛盾，
当是第7项时，，得，与两两不同矛盾，故不能是5．
综上，满足数列是－可拆分等差数列的正整数只能是3和4．…………………………………17分淮北市第一中学2025届高三最后一卷
数 学
(试卷总分：150分 考试时间：150分钟)
命题人： 审核人：高三数学备课组
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，请将答题卷交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合. 则A∩B=
2.已知复数 则z的虚部为
A. B. C. D.
3.若数列{an}各项均为正数，则“{an}为等比数列”是“为等差数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若非零向量，满足 且向量在向量上的投影向量是 则向量与的夹角为
A. B.
5.已知随机变量ξ~N(1,σ ),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则 的最小值为
A. 4 B. C. 6 D. 9
6.已知 且 则tanβ=
A. 3 B. 2 C. D.
7.已知三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形，且PA=3,PB=4,PC=5,则三棱锥P-ABC的体积为
B. 2
8.已知函数 若, 则a的最小值为
A. - 2 B. - 1 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中，真命题的是
A.中位数就是第50百分位数
B.具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强
C.已知随机变量 若D(2X+1)=5, 则n=5
D.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120
10. 已知数列{an}满足 其中 为数列{b }的前n项和，则下列四个结论中，正确的是
B.数列{an}的通项公式为
C.数列{b }的前n项和为 D.数列{an}为递减数列
11.已知正三棱柱 D是B C 的中点，点P是线段A D上的动点，则下列结论正确的是
A. AP⊥B C
B. 四面体A-BB C :外接球的表面积为20π
C. 若 ，则异面直线AP与BC 所成的角为
D.若过BC且与AP垂直的截面α与AP交于点E，则三棱锥A-BCE的体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知 的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则实数a的值为 .
13. 已知为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，且 则此椭圆的离心率的取值范围是 .
14.2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次，则该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点M(-1，0)位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
在 中, 已知a,b,c分别是内角A, B, C的对边,
(1)求A的大小;
(2)若点D在BC边上, BD=2DC,AD=2,c=2b, 求△ABC的面积.
16.(本小题满分15分)
在如图所示的五面体中，四边形ABCD与FECD均为等腰梯形 M,N分别为EF,CD的中点, AC与BN相交于点P.
(1)求证: MP∥平面BCE.
(2)若EB⊥平面ABCD,求二面角M-AC-E的余弦值。
17.(本小题满分15分)
已知函数
(1)当a=1时, 求函数的极值;
(2)若函数 存在唯一零点，求实数a的取值范围.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线 的渐近线方程为 C的半焦距为c，且
(1)求C的标准方程；
(2)若 P 为 C 上的一点, 且 P 为圆 外一点， 过P 作圆 的两条切线
l ，l (斜率都存在)，l 与C交于另一点M，l 与C交于另一点N，证明：
(i) l , l |的斜率之积为定值；
(ii)存在定点A，使得M，N关于点A对称。
19.(本小题满分17分)
设n为不小于3的正整数，项数为 的数列{an}是公差大于0的等差数列，若存在项数为n的数列同时满足：
①数列中任意两项均不相同；
②任意正整数，从小到大排列恰好为数列
此时称数列是可拆分等差数列.
(1)写出一个可拆分等差数列及其对应的一个数列
(2)若数列是一个可拆分等差数列，A表示事件“数列 前三项成等差数列”，求事件A发生的概率P(A)；
(3)求所有满足数列是可拆分等差数列的正整数n的值.

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