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2025年山东省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上表示的点是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.我国“深蓝号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是( )
A. B. C. D.
4.好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省年全年接待游客超亿人次．数据“亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.已知，则下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是( )
A. B. C. D.
7.明代数学家吴敬的九章算法比类大全中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为( )
A. B. C. D.
8.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是( )
A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值
C. 当时， D. 当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出使分式有意义的的一个值 ．
12.在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度，得到的对应点的坐标是 ．
13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
14.取直线上一点，过点作轴的垂线，交于点；过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
15.如图，在中，，，点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.
计算：；
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
在中，，，的平分线交于点．
如图．
求的度数；
已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．
18.本小题分
山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为米，注水时水位高度每小时上升米．
请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式；
已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
19.本小题分
在年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天小时内每小时的值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的值数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙基地水体的值数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】
甲
乙
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
根据以上信息解决下列问题：
补全频数分布直方图；
填空： ， ；
请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由；
已知两基地对水体值的日变化量值最大值与最小值的差要求为，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求．
20.本小题分
如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．
求证：为的切线；
若的半径为，，求的长．
21.本小题分
【问题情境】
年月日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图．
【问题提出】
部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱圆柱．
操作步骤：如图，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图，分别与，相切于点，用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
求的度数；
已知钢柱的底面圆半径为，现测得根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．参考数据：
【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
22.本小题分
已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
当、时，求此函数图象的对称轴；
当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
23.本小题分
【图形感知】
如图，在四边形中，已知，，．
求的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图所示的纸片进行了折叠探究．
在线段上取一点，连接将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图判断四边形的形状，并说明理由；
乙：点恰好落在边上，如图求的长；
如图，连接交于点，连接当点在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.不唯一
12.
13.
14.
15.
16.【小题】
解：
；
【小题】
；
当时，原式．

17.【小题】
解：，，
，
是的平分线，
，
；
【小题】
解：由作图知是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，，
，，
，
．

18.【小题】
解：由题意可得：蓄水池的水位高度米与注水时间小时之间的关系式．
【小题】
解：根据题意，得，
解得．
答：注水小时可供发电万千瓦时．

19.【小题】
解：根据题意得，
补全频数分布直方图如图；
；
【小题】
【小题】
解：甲的方差为，乙的方差为，，
甲基地水体的值更稳定；
【小题】
解：甲基地对水体值的日变化量：，
乙基地对水体值的日变化量：，
该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求．

20.【小题】
证明：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
即且为半径，
为的切线；
【小题】
解：，又，
等腰直角三角形，
的半径为，
，
，
．

21.【小题】
解：分别与，相切于点，，
，；
【小题】
钢柱的底面圆半径为，
，
，，
，
，
同理，
，
，
该部件的长度符合要求；
【小题】
能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．
，
，
，
，
．

22.【小题】
解：当、时，二次函数可化为：，
此函数图象的对称轴为．
【小题】
解：当时，二次函数可化为：，
抛物线对称轴为，
，
抛物线开口方向向上，
在时，随的增大而减小；
，
在时，随的增大而增大；
，
．
【小题】
解：若点，，均在该函数的图象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，为两个不相等的实数，
，
，解得：．

23.【小题】
解：，
，
，
，
，
，，，
，
，
；
【小题】
四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
，
，
四边形是矩形；
延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
点恰好落在边上，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
点在对角线上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
；
【小题】
由折叠的性质得，，
是线段的垂直平分线，
，
点在以为直径的上，连接，，
，即点在上时，线段存在最小值，
，
线段的最小值为．

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