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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
04 二次函数的性质2
知识点1： 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数
图像 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点
△＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点
△＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数解，则二次函数的图象和轴的交点有 个．
【答案】2/两
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象与轴的交点，一元二次方程的解的情况是解题的关键．根据二次函数图象与轴的交点，与一元二次方程的解的联系即可解答．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数解，
二次函数的图象和轴的交点有2个．
故答案为：2．
2．（2025·浙江·一模）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ．
【答案】直线
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴二次函数与轴的两个交点的横坐标为分别为 1 和5．
∴抛物线的对称轴为直线．
故答案为：直线．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．

【答案】，
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围．
【详解】解：由图象可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为：，
∴的解为，，
故答案为：，．
知识点2：二次函数与不等式的关系
二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：
图像 有两个交点 有1个交点 无交点
判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全体实数 全体实数 无解 无解
或 无实根 或 无实根
无解 无解 或 的全体实数 全体实数
【即时训练】
4．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
而抛物线的对称轴为时，，
故选：C．
5．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据的范围得出时，求得函
数的最大值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，的最小值为，
∵，
∴时，取得最大值，最大值为，
∴当时，的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
0 1 2 3 4
3 0
(2)当________时，随的增大而减小；
(3)当时，的取值范围是________；
(4)根据图象回答：当时，的取值范围是________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的画法，理解二次函数图象的画法是解答关键．
（1）补全列表，用描点法画出函数图象．
（2）观察图象来求解．
（3）观察图象来求解．
（4）观察图象来求解．
【详解】（1）解：补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
0 1 2 3 4
3 0 0 3
（2）解：根据图像可知，当时，随的增大而减小．
故答案为：．
（3）解;根据图像可知，当时，的取值范围是．
故答案为：或．
（4）解：根据图象回答：当时，的取值范围是．
故答案为：．
【题型1 求抛物线与x轴的交点坐标】
1．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可．
将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得．
【详解】解：将点A的坐标为代入得：
∴，
令，则有：，即
解得，，，
∴点B的坐标是，
故选：D．
2．抛物线与x轴的两个交点分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，．
【详解】解：令，
即，
解得一元二次方程的根为：，；
则抛物线与x轴的两个交点分别为和；
故答案选：A．
3．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．
【详解】解：当时，，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和，
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离：，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键．
4．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴为是解题的关键．
【详解】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为，
故答案为：．
5．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)二次函数图象与轴的交点坐标为
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键．
（1）把点代入计算即可求解；
（2）二次函数，令，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点，
∴将代入，
∴；
（2）解：二次函数，令，则有，
解得，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为．
【题型2 求抛物线与y轴的交点坐标】
6．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：由得，当时，，
∴与轴的交点坐标是，
故选：．
7．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：当时，．
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是．
故选：B．
8．抛物线与轴交于点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与坐标的交点，理解抛物线与坐标轴的交点坐标特征是解题关键．
根据抛物线与与轴交于点，得到点的横坐标为0，代入抛物线解析中进行计算求解．
【详解】解：抛物线与轴交于点，
，
．
故答案为：．
9．已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）开口向上，直线；（2）
【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可；
（2）令x=0，求出y的值即可．
【详解】（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
10．已知抛物线与轴的两个交点为（在的左侧），与轴交于点.
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）求的面积.
【答案】（1）A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）；（2）24
【分析】（1）在抛物线的解析式中，当x=0时，可求出点C的坐标；当y=0时，能求出A、B点的坐标；
（2）利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】解：（1）∵令x=0得y=-8，
∴C（0，-8），
∵令y=0得：
x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2，
∴A（-2，0）、B（4，0）；
（2）∵A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8），
∴AB=4-（-2）=6，OC=8，
∴．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点坐标的求法、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值】
11．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．和5 D．3和
【答案】D
【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
解得，或，
故选：D．
12．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
【答案】B
【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：令，得到，
即，
解得：或6．
故选：B
13．关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9．
【答案】 3 0或6
【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可．
【详解】解：∵当的函数值为0，
∴，
解得，
当的函数值为9，
∴，
解得，，
故答案为：3；0或6．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键．
14．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．

（1）方程的根为 ；
（2）方程的根为 ；
（3）方程的根为 ；
【答案】 ， ，
【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可；
（2）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可；
（3）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为，
∴方程的根为，，
故答案为：，；
（2）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为，
∴方程的根为，，
故答案为：，；
（3）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为，
∴方程的根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程的根为抛物线与直线交点的横坐标是解题的关键．
15．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上．
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
【答案】(1)，在
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可．
（1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上；
（2）求解方程即可；
【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：，
所以抛物线的函数表达式为：，
将点 代入抛物线中得：，
∴点在该抛物线上；
（2）解：将点代入抛物线中得：
，
解得：.
【题型4 抛物线与x轴的交点问题】
16．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义、二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次函数的定义得到，由二次函数的图象与轴有交点，利用求出的取值范围即可．
【详解】解：二次函数，
，即，
二次函数的图象与轴有交点，
，
解得：，
综上所述，的取值范围是且．
故选：D．
17．若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，
根据抛物线的图象与x轴有两个不同的交点，可知一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，再求出解集即可．
【详解】解：∵抛物线的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，
解得．
故选：B．
18．已知二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点在第三象限，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，涉及解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先根据二次函数的图象与轴的一个交点是，得到，继而表示出顶点坐标，根据顶点在第三象限，得到不等式，求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解的取值范围．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点是，
∴，
∴，
∴，
∴顶点为：，即，
∵顶点在第三象限，
∴，
则或，
∴，
∴恒成立，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．已知二次函数．
(1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围．
(2)若，求当时，该函数的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答．
（2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点，
∴，
解得；
（2）解：依题意，把代入，
得，
∴对称轴为直线，
∵，
∴开口向上，
在对称轴处，有最小值，即，
把代入，
把代入，
∴当时，该函数的范围为．
20．已知抛物线．若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是熟练掌握抛物线与x轴有两个交点判别式大于0．
根据抛物线与x轴有两个交点，判别式大于0列不等式求解即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
解得：．
【题型5 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
21．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．
B．对称轴为直线
C．关于的方程有两个不相等的实数根
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键．
【详解】解：根据图形得：抛物线与y轴交于负半轴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵图象与轴相交于，两点，
∴对称轴为直线，故B选项错误，不符合题意；
∵抛物线开口向上，且顶点坐标位于y轴的下方，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，故C选项错误，符合题意；
∵对称轴为直线，
∴，即，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
22．已知二次函数的顶点为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况，根据二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】解：二次函数的顶点为，
∴的顶点为，
∵，
∴函数开口向上，
∴有2个不相等的实数根．
故选：A．
23．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即，．
故答案为：，．
24．已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数经过点
∴关于x的一元二次方程的解为，
故答案为：．
25．已知抛物线经过点，且．
(1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
(2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点．
【答案】(1)抛物线顶点的坐标为
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系，
（1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案；
（2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案．
【详解】（1）解：抛物线过点，
∴，
解得，
∴，
抛物线顶点的坐标为；
（2）证明：联立直线与抛物线解析式，
得，
即：，
可得，
∴，
由（1）知，且，
，
，
∴直线与该抛物线有两个不同的交点．
【题型6 求x轴与抛物线的截线长】
26．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解．
【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为，
此抛物线与轴的两个交点坐标为，，
则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键．
28．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．
【详解】解：由题意得：，
解得：x＝ 3或x＝5，
故在直线y＝ 9上截得的线段的长为5 （ 3）＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．
29．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ．
【答案】6
【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得：或，
∴抛物线与直线的两个交点为，
∴，
故答案为：6．
30．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ．
【答案】 4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长．
【详解】解：∵中，，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，则，
令，则，
解得：
∴,
故答案为：，．
【题型7 图象法确定一元二次方程的近似根】
31．已知二次函数中部分和的值如下表所示：
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答．
【详解】解：由表格数据可得：
∵函数的对称轴为直线，
当时，；当时，；
∴的较小的根的范围为，
∴的较大的根的范围是．
故选：C．
32．下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是．
【详解】解：从表中可以看出：
当时，，
当时，，
当时，对应的值的取值范围是．
故选：C ．
33．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（ ）
… … 3 4 …
… 3.25 1 … …
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，由表格可发现y的值在间最接近0，再看对应的正整数x的值即可．
【详解】解：由表格可发现y的值在最接近0，
时，对应的x就是方程的解，
∴正数解的取值范围可能是．
故选：D．
34．已知二次函数的变量的部分对应值如表：
… 0 1 …
… 13 6 1 …
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可．
【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时，
一元二次方程的一个近似解的范围是
故答案为：．
35．根据表格写出一元二次方程小于0的近似解 ．（精确到小数点后一位）
x
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的近似解．从表格中获取正确的信息是解题的关键．
由表格可知，当是，与最接近，然后作答即可．
【详解】解：由表格可知，当是，与最接近，
∴一元二次方程小于0的近似解，
故答案为：．
【题型8 图象法解一元二次不等式】
36．已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围．
【详解】根据图象可得，，则的取值范围是，
故选：B．
37．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线，则另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解．
【详解】解：依题意，抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为和，抛物线开口向下，
当时，图象在轴的下方，
∴或，
故选：C．
38．如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，x的取值范围是（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，图象法确定解集即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
由图象可知，当时，图象在轴的上方，即，
∴当时，x的取值范围是；
故选B．
【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
39．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
又∵该函数的图像与轴交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：，
由图象可知：当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
40．对于抛物线．
(1)将抛物线的解析式化为顶点式；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
(3)结合图象，当时，x的取值范围______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数一般式转化为顶点式，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握描点法画函数图象的方法．
（1）根据配方法，将抛物线的一般式化为顶点式即可；
（2）先列表，然后再描点，最后连线画出函数图象即可；
（3）由函数图象得出当时，，从而得出不等式的解集．
【详解】（1）解：．
（2）解：列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 0 3 …
函数图象如图所示：
（3）解：根据函数图象可知：当时，，
∴不等式的解集为．
【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围】
41．已知，当时，y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
而抛物线的对称轴为时，，
故选：C．
42．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ）

A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键．
【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，，
故选：．
43．已知二次函数与x轴没有交点，则b的取值可以是 ．（写出一个符合题意的值即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，可知无实数根，即，然后解不等式，在此范围内取一个值即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴无实数根，
∴，
解得：，
b的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
44．已知，则当时，的取值范围是
【答案】/
【分析】先化为顶点式，根据开口方向以及顶点坐标求得最大值为1，抛物线的对称轴可得，当时取得最小值，即可求解．
【详解】解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为1
当时，当时，取得最小值，最小值为，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．
45．已知二次函数．
(1)用你喜欢的方法将化成的形式．
(2)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
______ ______ ______ ______ ______ …
(3)当时，的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)图象见详解
(3)
【分析】本题主要考查的是抛物线解析式的转化，描点法画二次函数图象，求函数值的取值范围等知识点，解题的关键是熟悉函数图象的特征和描点法．
（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；
（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用二次函数的图象和解析式进行求解．
【详解】（1）解：
（2）解：列表如下
在坐标系中画以下点的坐标
用一条平滑的曲线将五个点连接，如下图
（3）解：根据二次函数图象的性质可得，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围为．
【题型10 根据交点确定不等式的解集】
46．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，解得，
∴直线，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线，
联立得，
解得或，
当时，，
∴，
∴抛物线与直线相交于点和点两点，
∴当时，，
故选：B．
47．已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方，二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由二次函数与一次函数，
可得图象如图，
根据图象可知：当时，，即，
故选：．
48．如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线过点且平行于轴，
∴直线，
∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即，
∴或，
故答案为：或．
49．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：

(1)方程的两个根为 ；
(2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ；
(3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据函数图象即可得出答案；
（2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案；
（3）根据函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为．
故答案为：；
（2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为，
∵，
∴当时，，
∴当时，自变量的取值范．
故答案为：；；
（3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是．
故答案为：．
50．一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当函数值时，对应的x的取值范围是 ；
(4)当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象和性质．
（1）设交点式，然后把代入求出得到抛物线解析式；
（2）利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数图象在轴下方部分写出对应的自变量的范围；
（4）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【详解】（1）解：由表格知：当时，；当时，；
设 ，
将代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
如图，
（3）解：当函数值时，对应的x的取值范围；
故答案为：；
（4）解：时，，
当时，y的取值范围是．
【拓展训练一 根据二次函数与坐标轴交点问题求参】
51．当时，二次函数与x轴有且只有一个交点，则c的取值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与轴的交点问题，解题的关键在于分类讨论，在于临界位置的分析．
分类讨论，当抛物线的顶点在轴上时，则，由可求出；再分别求出抛物线经过的值，注意等号的取舍问题即可．
【详解】解：当抛物线的顶点在轴上时，如图：
令，则，
∴，
解得：；
当抛物线经过时，如图：
将代入
得，
解得：，
当抛物线经过时，如图：
将代入
得，
解得：，
∵当时，二次函数与x轴有且只有一个交点，
∴，
综上：或，
故选：D．
52．定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：由不动点的定义可令，
即求在内函数与函数有两个不同交点，
，
①，
即可转化为与在内有两个不同交点，
又恒过点，
画出两个函数与的图象如图所示，
当过点时，，可得，此时符合题意，
对①方程整理可得，令△，
即，从而可得，
解得：，又此时，
故．
当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点．
故的范围为．
故选：D．
53．抛物线与轴两个公共点的横坐标分别为，，且．若b，c为整数，则的可能取值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，难度较大，确定，的取值范围是解题的关键．
由已知，方程有两实根s,t，那么，得到，则，则．由，得．又，即可求解得，再分类讨论即可．
【详解】解：由已知，方程有两实根s,t．
则．
．
则．
．
由，得．
又．
，
．
整数．
当时，．
整数．
则．
当时，
，
整数．
则．
当时，，
∴无整数满足．
综上，,0,1,2．
故答案为：
54．已知点A、B的坐标分别为，若二次函数的图象与线段恰有一个公共点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，解题的关键在于分类讨论，找出临界位置分析．
先求出直线表达式为，当当抛物线与线段相切时，联立两个函数解析式，根据求出此时的值，再求出恰好经过点时的值，即可求出符合题意的取值范围．
【详解】解：当，
∴二次函数的图象与轴交于点，
故不经过点，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
所以直线表达式为，
①当抛物线与线段相切时，如图：
∴，
整理得，，
则
解得：或，
当，切点在线段延长线上，故不符合题意，
当抛物线经过点时，此时与线段有两个交点，如图：
将代入得，，
解得：，
当时，符合题意，如图：
综上：a的取值范围是或，
故答案为：或．
55．已知关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，把方程的解的问题转化为图象的交点问题是解题的关键．
作出和的图象，再根据图象判断的范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个不同的实数根，
∴和的图象有两个交点，
如图，当经过点左面和之间时，和的图象有两个交点，
当经过点时，于相切于点，
令，整理得：，
∵和有一个交点，
∴，解得，
∴当时，和的图象有两个交点；
令，
∴与轴交于1，5两点，即，，
当经过时，，解得，
当经过时，，解得，
∴当时，和的图象有两个交点；
综上所述，当或时，的方程有两个不同的实数根，
故答案为：或．
【拓展训练二 利用二次函数图象确定方程、不等式的解】
56．已知二次函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点问题，理解并灵活运用相关知识是解答的关键．先构造差函数，再根据二次函数图象与性质，以及对应图象与x轴的交点问题求解即可．
【详解】解：设函数，
要使，只需恒成立，
当即时，函数是一次函数，显然不恒成立，
当即时，二次函数y的图象开口向下，
∴不恒成立，故选项C、D不符合题意；
∴只需，且恒成立，
当时，满足，但b值不确定，当b很大时，可能大于0，故选项A不符合题意；
当时，满足，，
∴恒成立，故选项B符合题意，
故选：B．
57．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：有下列结论：（ ）
①；②是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而减小；④当时，，其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，由表中数据可得随的增大先增大后减小，即可得到，再由，得到，即可判断①；由，得到，即可判断②；根据表格可得对称轴为，再结合开口方向即可判断③；由，得，再根据，，可得二次函数与轴的交点坐标为和，结合二次函数开口向下，即可判断④；掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：①由表中数据可得，随的增大先增大后减小，
∴二次函数开口向下，
∴，
又∵时，，
∴，
∴，故①正确；
②∵时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 是方程的一个根，故②正确；
③∵二次函数开口向下，且对称轴为，
∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大，故③错误；
④∵时，，
∴时，，
∵时，，
即可得二次函数与轴的交点坐标为和，
∵二次函数开口向下，
∴当时，，故④正确；
综上，正确的结论有个，
故选：．
58．已知直线经过拋物线的顶点，且当时，，则当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，由直线经过拋物线的顶点得到，，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
将代入并整理得：，
∴，
∵当 时，，
∴，
∴函数图象大致如下：
结合函数图象知，当时，x的取值范围是：，
故答案为：．
59．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数在的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点问题，正确理解题意，利用转化思想是解题的关键．
由题意得“纵两倍点”在直线上，即问题化为直线与抛物线在时有两个交点，找出两个临界状态即可求解．
【详解】解：由题意得“纵两倍点”在直线上，
即问题化为直线与抛物线在时有两个交点，
记交点为，直线与直线交点记为，
当点A与点C重合时，如图：
将代入得：，
解得：，此时符合题意；
当时，如图，
当直线与抛物线只有一个交点时，
联立直线与抛物线，
得，
∴
则，
解得：，
∴要满足存在两个“纵两倍点”， ，
故答案为：．
60．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求该抛物线的函数表达式及对称轴．
(2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象；
②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
(3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①详见解析；②或
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数的性质即可得出对称轴；
（2）①利用描点法画出函数图象即可；②画出直线的图象，结合图象即可得解；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为．
∴对称轴为直线；
（2）解：①描点，画出二次函数的图象如解图所示．
②画出直线如解图所示．
由图象可得：出关于x的不等式的解集为或；
（3）解：∵一元二次方程在的范围内有实数根，
∴在的范围内，抛物线与直线有交点．
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴抛物线在时取得最小值．
当时，，当时，．
∴当时，．
∴t的取值范围为．
【拓展训练三 含绝对值的二次函数求解】
61．我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式（组）关系、二次函数的图象性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由图象可知，图象关于直线对称，可判断①；关于x的不等式的解是且，可判断②；结合图象可得，当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点，即当时，关于x的方程|有四个实数解，可判断③；由图象可知：当时，函数的y值随x值的增大而减小，可判断④．
【详解】解：由图象可知，函数图象与x轴交于和两点，
∴图象关于直线对称，
故①正确；
由图象可知，关于x的不等式的解是且，
故②不正确；
将代入，得，
∴当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点，
∴当时，关于x的方程有四个实数解，当时，关于x的方程有两个实数解，当时，关于x的方程没有实数解，
故③不正确；
由图象可知，当时，函数的y值随x值的增大而减小； 当时，函数的y值随x值的增大而增大；当时，函数的y值随x值的增大而减小；当时，函数的y值随x值的增大而增大；
故④正确．
∴正确的有①④共2个．
故选：B．
62．在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．
(1) ；
(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得；
（2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证；
（3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将代入得：，
将代入得：，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为
，
∴这个一元二次方程没有实数根，
∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点．
（3）解：由（1）已得：，
∴，
将点代入得：，
∴，
二次函数化成顶点式为，
∴其对称轴为直线，顶点坐标为，
设点关于对称轴的对称点为点，则，
∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为．
则分以下两种情况：
①如图，当点在点左侧时，，即，
此时在图形内，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
②如图，当点在点右侧时，，即，
此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
综上，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
63．材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即 同理，对于任意关于 x 的绝对值函数都有 例如
材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解决代数问题．例如关于的不等式，可解读为函数的图象不高于函数的图象，不等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的解集为
　　　
根据材料完成下列题目：
(1)认真阅读材料一，解关于x的方程： ，要求写出解答过程．
(2)认真阅读材料二，仿照该方法解关于x的不等式： 请完善下列解答思路：
步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象．
步骤2：在方格纸中画出图象．
步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ．
(3)若关于x的不等式有解，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)或或
(2)步骤 1：；；步骤2：见解析；步骤3：
(3)
【分析】（1）根据绝对值的意义，分情况讨论，解方程，即可求解；
（2）根据材料二，可得即为函数的图象不高于函数与的图象，画出函数图象，根据函数图象即可求解；
（3）先去绝对值得出，进而画出函数图象，得出函数的图象不高于的函数图象部分的自变量的取值范围即为不等式的解，观察图象可得，当与只有1个交点时，则，则方程即有两个相等的实数根，进而求得，观察函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：
当时，即时，，
解得：
当时，即时，，
解得：或
（2）步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数的图象不低于函数的图象
步骤2：在方格纸中画出函数，的图象，如图所示．
步骤3：当时，即时，，
解得：（舍去）或
当时，
∴交点坐标为，
当时，即时，，此方程无解；
观察图象，得出不等式的解集为
（3）当时，，
当时，
∵时，
又，
∴的解集为或
则的解集为
∴当时，
当时，
同理可得时，
当时，，
∴
∵
∴函数的图象不高于的函数图象部分的自变量的取值范围即为不等式的解，
当时，如图所示，
观察图象可得，当与只有1个交点时，则，
则方程，即有两个相等的实数根，
∴
解得：，
∴时，观察函数图象可得
【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的意义，一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与二次函数交点问题，二次函数的平移，根据函数图象,解决不等式问题是解题的关键．
【拓展训练四 二次函数与方程、不等式结合的新定义问题】
64．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“纵三倍点”．已知二次函数（为常数）
(1)若是该二次函数上的一点，
①也是该二次函数上的一点，则______“纵三倍点”（填“是”、“不是”）．
②求出该二次函数上的“纵三倍点”
(2)若该二次函数在的图象上存在两个纵三倍点，则的取值范围是______．
【答案】(1)①不是；②或
(2)
【分析】（1）①待定系数法求得，进而将代入求得，根据定义即可求解；
②设是上的一点，解方程，即可求解；
（2）由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上存在两个纵三倍点，转化为和存在两个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】（1）解：∵是上的一点，
∴
∴
∵也是该二次函数上的一点，
∴，而
∴不是“纵三倍点”
故答案为：不是．
②设是上的一点，
则
解得：或
∴或是该二次函数上的“纵三倍点”
（2）解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上存在两个纵三倍点，
即在的范围内，二次函数和存在两个交点，
令,整理得，，
则，解得，
把代入得，代入得，
∴，解得；
把代入得，代入得，
∴，解得，
综上，的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
65．新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)；
(2)当时，或；当时，
(3)的值为或
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；即可得顶点坐标为；
（2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得；
（3）求出当时，．当 时，；当 时，；分三种情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当时，，Ⅲ．当时，，分别解方程可得答案．
【详解】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
故答案为：；；
（2），
，
，
当时，，
或；
当时，，
；
综上所述，当时，或；当时，；
（3），
当时，．
当 时，；
当 时，；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当，即时，
若，即，则；，
，
解得或（舍或（舍；
若，即时，；，
，
解得或（舍或（舍；
Ⅱ．当，即时，；．
，
解得（舍或（舍；
Ⅲ．当，即时，，，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．
66．定义：当时，其对应的函数值为，若成立，则称a为函数y的不动点．例如：函数，当时，，因为成立，所以2为函数y的不动点．对于函数，
(1)当时，分别判断－1和0是否为该函数的不动点，并说明理由；
(2)若函数有且只有一个不动点，求此时t的值；
(3)将函数图像向下平移个单位长度，时，判断平移后函数不动点的个数．
【答案】(1)为函数y的不动点，不为函数y的不动点
(2)
(3)当时，平移后函数不动点的个数为1个；当时，平移后函数不动点的个数为2个；当时，平移后函数不动点的个数为0个
【分析】（1）读懂不动点的定义，算出进行判断即可；
（2）根据不动点的定义可知，判断函数有几个不动点可以转化为与的交点的个数，联立，消去得：，根据根的判别式进行求解；
（3）将函数图像向下平移个单位长度，得，
联立，消去得：，利用跟的判别式对方程的根进行分论讨论，来判断不动点的个数，注意的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
，
成立，所以为函数y的不动点，
，
成立，所以不为函数y的不动点，
为函数y的不动点，不为函数y的不动点；
（2）解：根据不动点的定义可知，判断函数有几个不动点可以转化为与的交点的个数，
联立，
消去得：，
整理得到：，
要使函数有且只有一个不动点，则方程只有几个实数根，
则，即，
解得：，
此时；
（3）解：将函数图像向下平移个单位长度，得，
联立，
消去得：，
整理得到：，
则，
，
令，则，
解得：，
且，
，不符合题意，
即时，平移后函数不动点的个数为1个；
当时，开口向上，
则不等式的解集为：，
当时，平移后函数不动点的个数为2个；
当时，开口向上，
则不等式且的解集为：，
当时，平移后函数不动点的个数为0个；
综上：当时，平移后函数不动点的个数为1个；当时，平移后函数不动点的个数为2个；当时，平移后函数不动点的个数为0个．
【点睛】本题考查了二次函数及一次函数的交点问题、新定义问题、一元二次方程的根的判别式、不等式的求解，解题的关键是理解不动点的概念，结合一元二次方程根的判别式进行分论讨论求解．
1．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数与轴交于两点，
令，则，
，
，即，
解得或，
点在点左侧，
点的坐标为，
故选：A．
2．在平面直角坐标系，抛物线与x轴的交点坐标为（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟悉用一元二次方程处理二次函数的问题是解决此题的关键．令，解方程即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴当时，，
解得，
∴该函数与x轴的交点坐标为，，
故选：C．
3．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）
A．0，4 B．2，9 C．0 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解．
【详解】解： 时，
∴的一个根是
∵图象的对称轴为直线，
∴的另一个根是
故选：A．
4．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，根据二次函数的性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，
∵是抛物线的对称轴，
，
，
，故①错误，
∵过点，
∴，故②错误，
由图象可得抛物线与x轴交于两点，
∴，故③错误，
根据对称轴可得A点横坐标为 ，
由图象可得，
当时，，故④正确，
综上所述有1个正确，
故选：A．
5．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④当时，；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质，观察表格得出信息是解题的关键．
先根据函数值相等的自变量值求对称轴，再根据时，确定抛物线的开口方向，根据表格可知当，，可得，进而根据对称轴可知b，即可判断①；然后根据表格可知当时，，再根据抛物线的对称性可知，可知另一个根是，判断②；求出，即可判断③；根据开口向上，对称轴为直线即可判断④；根据当时，，求出a的取值范围，然后表示m，n，可得的范围，即可判断⑤．
【详解】解：观察表格可知当和时，，
∴对称轴为直线．
∵当时，，，，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴抛物线的开口方向向上，
∴．
当，，可得．
∵对称轴为直线，
∴，
∴．故①正确；
当时，．
设另一个根是m，则，
解得，
∴和3是关于x的方程两个根．故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且当和时，，
∴当时，，故④正确；
∵当时，，
∴，
解得．
当时，，当时，，
∴，
∴，
即，故⑤错误．
∴正确的有4个，
故选：D．
6．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为这个隐含条件．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：或，
又，
或．
故选：D．
7．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键．将点代入抛物线，求解即可获得答案．
【详解】解：将点代入抛物线，
可得，解得．
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题；待定系数法求得解析式为，令，得出，即可求解．
【详解】解：∵与x轴交于点和点，
∴
解得：
∴
当时，
∴
∴
故答案为：．
9．已知在二次函数的图象上，比较 ．（填或）
【答案】
【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．
将点坐标代入可求对应的函数值，然后比大小即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
故答案为：．
10．在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线和直线的交点问题，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先求得交点坐标为：和，然后分和进行讨论，然后即可求解；
【详解】解：已知点，点，
∴线段在直线上面，
联立方程组：，
解得：，，
∴交点为和，
由于线段 的 范围为：，
∵，
∴，
当时，，，均在之间，且，保证两点不同，
当时，，在之间，但是不在之间，仅有一个交点，
综上所述：抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是：；
故答案为：；
11．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．
【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点，
∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时，
∴的解集为，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
12．二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确定二次函数与轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新图象有两个公共点时的取值范围．
【详解】解：如图：
对于二次函数，
令，即，
解得或 ，
所以该二次函数与轴交点为和 ．
当直线经过点时，
把，代入直线方程得
，
解得 ；
当直线经过点时，
把，代入直线方程得
，
解得 ．
由此可知，当时，直线与新图象有两个交点．
先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为．
联立直线与翻折后抛物线的方程
，
，
．
∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解，
∴一元二次方程的判别式．
则，即，
解得 ．
由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点．
综上，的取值范围是或．
13．已知二次函数 ．
(1)求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．
【答案】(1)顶点坐标；抛物线与轴交点为，；
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征：
（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式，进而可得顶点坐标；令，得一元二次方程，求出的值，可得函数图象与轴的交点；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象．
【详解】（1）解：由于
∴顶点坐标；
令，得
解得，，，
抛物线与轴交点为，；
（2）解：列表如下：
描点、连线，如图所示：
14．已知二次函数．
(1)求函数图象与坐标轴的交点坐标．
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)与轴的交点坐标为，与轴的交点为，
(2)或
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可；
（1）分别令、即可求解；
（2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解；
【详解】（1）解：∴令，则；
∴与轴的交点坐标为，
令，解得：，，
与轴的交点为，．
（2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，．
∴当时，的取值范围是或．
15．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简为：，
解得：或．
16．如图，抛物线与轴交于和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数图形交点求不等式解集，掌握二次函数图形的性质是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：观察图象可知当或时，当，
故答案为：或．
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
（1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴，
∵在抛物线上，
∴，
令，则，
∴或，
∴当时，结合函数的图象可得或，
当时，结合函数的图象可得，
当时，结合函数的图象可得或，
∵，
∴，
综上所述，的取值范围是或．
18．关于的二次函数的图象经过点．
(1)用含的代数式分别表示；
(2)当时，总有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，或；当时，
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键 ，
（1）将代入表达式求出结论即可；
（2）先求出，根据题意得出，再分情况：当时或当时分别求出即可．
【详解】（1）解：关于的二次函数的图象经过点，
，
解得，
；
（2）解：，
，
，
，
，
当时，，
解得：或，
当时，总有，
或，
或；
当时，，
解得：
当时，总有，
，
；
综上所述，的取值范围是当时，或；当时，．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
04 二次函数的性质2
知识点1： 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数
图像 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点
△＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点
△＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数解，则二次函数的图象和轴的交点有 个．
2．（2025·浙江·一模）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．

知识点2：二次函数与不等式的关系
二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：
图像 有两个交点 有1个交点 无交点
判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全体实数 全体实数 无解 无解
或 无实根 或 无实根
无解 无解 或 的全体实数 全体实数
【即时训练】
4．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
0 1 2 3 4
3 0
(2)当________时，随的增大而减小；
(3)当时，的取值范围是________；
(4)根据图象回答：当时，的取值范围是________．
【题型1 求抛物线与x轴的交点坐标】
1．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线与x轴的两个交点分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
3．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ．
5．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象与轴的交点坐标．
【题型2 求抛物线与y轴的交点坐标】
6．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线与轴交于点，则点的坐标为 ．
9．已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
10．已知抛物线与轴的两个交点为（在的左侧），与轴交于点.
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）求的面积.
【题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值】
11．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．和5 D．3和
12．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
13．关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9．
14．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．

（1）方程的根为 ；
（2）方程的根为 ；
（3）方程的根为 ；
15．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上．
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
【题型4 抛物线与x轴的交点问题】
16．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
17．若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围（　　）
A． B． C． D．
18．已知二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点在第三象限，设，则的取值范围是 ．
19．已知二次函数．
(1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围．
(2)若，求当时，该函数的范围．
20．已知抛物线．若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围．
【题型5 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
21．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．
B．对称轴为直线
C．关于的方程有两个不相等的实数根
D．
22．已知二次函数的顶点为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
23．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ．
24．已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为 ．
25．已知抛物线经过点，且．
(1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
(2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点．
【题型6 求x轴与抛物线的截线长】
26．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
27．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
28．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
29．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ．
30．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ．
【题型7 图象法确定一元二次方程的近似根】
31．已知二次函数中部分和的值如下表所示：
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
32．下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
33．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（ ）
… … 3 4 …
… 3.25 1 … …
A． B．
C． D．
34．已知二次函数的变量的部分对应值如表：
… 0 1 …
… 13 6 1 …
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ．
35．根据表格写出一元二次方程小于0的近似解 ．（精确到小数点后一位）
x
【题型8 图象法解一元二次不等式】
36．已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
37．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．
38．如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，x的取值范围是（ ）

A． B． C．或 D．或
39．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ．
40．对于抛物线．
(1)将抛物线的解析式化为顶点式；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
(3)结合图象，当时，x的取值范围______．
【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围】
41．已知，当时，y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
42．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ）

A． B． C． D．或
43．已知二次函数与x轴没有交点，则b的取值可以是 ．（写出一个符合题意的值即可）
44．已知，则当时，的取值范围是
45．已知二次函数．
(1)用你喜欢的方法将化成的形式．
(2)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
______ ______ ______ ______ ______ …
(3)当时，的取值范围为______．
【题型10 根据交点确定不等式的解集】
46．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
47．已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
48．如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ．
49．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：

(1)方程的两个根为 ；
(2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ；
(3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ．
50．一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当函数值时，对应的x的取值范围是 ；
(4)当时，直接写出y的取值范围．
【拓展训练一 根据二次函数与坐标轴交点问题求参】
51．当时，二次函数与x轴有且只有一个交点，则c的取值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
52．定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
53．抛物线与轴两个公共点的横坐标分别为，，且．若b，c为整数，则的可能取值为 ．
54．已知点A、B的坐标分别为，若二次函数的图象与线段恰有一个公共点，则实数a的取值范围是 ．
55．已知关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围
【拓展训练二 利用二次函数图象确定方程、不等式的解】
56．已知二次函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
57．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：有下列结论：（ ）
①；②是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而减小；④当时，，其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
58．已知直线经过拋物线的顶点，且当时，，则当时，的取值范围是 ．
59．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数在的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是 ．
60．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求该抛物线的函数表达式及对称轴．
(2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象；
②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
(3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围．
【拓展训练三 含绝对值的二次函数求解】
61．我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
62．在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．
(1) ；
(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ．
63．材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即 同理，对于任意关于 x 的绝对值函数都有 例如
材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解决代数问题．例如关于的不等式，可解读为函数的图象不高于函数的图象，不等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的解集为
　　　
根据材料完成下列题目：
(1)认真阅读材料一，解关于x的方程： ，要求写出解答过程．
(2)认真阅读材料二，仿照该方法解关于x的不等式： 请完善下列解答思路：
步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象．
步骤2：在方格纸中画出图象．
步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ．
(3)若关于x的不等式有解，请直接写出k的取值范围．
【拓展训练四 二次函数与方程、不等式结合的新定义问题】
64．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“纵三倍点”．已知二次函数（为常数）
(1)若是该二次函数上的一点，
①也是该二次函数上的一点，则______“纵三倍点”（填“是”、“不是”）．
②求出该二次函数上的“纵三倍点”
(2)若该二次函数在的图象上存在两个纵三倍点，则的取值范围是______．
65．新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
66．定义：当时，其对应的函数值为，若成立，则称a为函数y的不动点．例如：函数，当时，，因为成立，所以2为函数y的不动点．对于函数，
(1)当时，分别判断－1和0是否为该函数的不动点，并说明理由；
(2)若函数有且只有一个不动点，求此时t的值；
(3)将函数图像向下平移个单位长度，时，判断平移后函数不动点的个数．
1．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系，抛物线与x轴的交点坐标为（ ）
A． B． C．， D．，
3．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）
A．0，4 B．2，9 C．0 D．4
4．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④当时，；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
7．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为 ．
9．已知在二次函数的图象上，比较 ．（填或）
10．在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
11．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．
12．二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ．
13．已知二次函数 ．
(1)求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．
14．已知二次函数．
(1)求函数图象与坐标轴的交点坐标．
(2)当时，直接写出的取值范围．
15．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值．
16．如图，抛物线与轴交于和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______．
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．
18．关于的二次函数的图象经过点．
(1)用含的代数式分别表示；
(2)当时，总有，求的取值范围．

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