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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
01 二次函数
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列函数属于二次函数的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；
C．，是二次函数，故C符合题意；
D．函数关系式不是整式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2024九年级下·全国·专题练习）下列函数一定是二次函数的是 ．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax +bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．
【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；
②等号右边为分式，故②不是二次函数；
③是二次函数，故③是二次函数；
④，时，该式不是二次函数；
⑤，该式不是二次函数；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．
3．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，列出关于m的方程和不等式是解题的关键．
根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，列出关于m的方程和不等式，求解即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：．
故答案为：．
知识点2：二次函数的一般式
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
【即时训练】
4．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．
【详解】，
故选：D．
5．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．
【答案】1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4
【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解：；
其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4．
知识点3：二次函数的3种特殊形式
二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时，
2)当c＝0时，
3)当b＝0且c＝0时，
【题型1 二次函数的概念】
1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数）的函数叫做二次函数．
根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．是正比例函数，故不符合题意；
D．，当时是一次函数，故不符合题意．
故选：B．
2．下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、，是二次函数，故选项B符合题意；
C、不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、，不是二次函数，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，逐项进行分析．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号）
【答案】④
【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案．
【详解】解：①时是一次函数，
②是一次函数；
③不是整式，不是二次函数；
④是二次函数，
故答案为：④．
5．判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数；
（2），符合，故是二次函数；
（3），不是整式，故不是二次函数；
（4），符合，故是二次函数；
（5），符合，故是二次函数；
（6），没有二次项，故不是二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式．
【题型2 列二次函数关系式】
6．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键．
根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可．
【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是，
∴增加后的边长是，面积是，
∴增加的面积，
故选：C．
7．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．
【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米，
平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故选：A．
8．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
9．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答．
【详解】解：，
故答案为：．
10．有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
【答案】y＝4x2-80x+400.
【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式．
【详解】解：正方形的边长为80÷4＝20cm，
根据题意可得：y＝(20 2x)2＝4x2-80x+400．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键．
【题型3 二次函数的二次项、一次项、常数项】
11．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可．
【详解】解：二次函数，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选：B．
12．二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可．
【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ，
故选∶C．
13．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：，
∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10，
则A、C、D说法错误，B说法正确，
故选：B．
14．在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；
由题意可得二次项系数是2，常数项是，再求和即可．
【详解】解：在二次函数中，
二次项系数为2， 一次项次数为，
∴二次项系数与一次项系数的和是：，
故答案为：．
15．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
【答案】 0
【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键．
根据二次函数各项的系数填空．
【详解】∵二次函数为，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为，
∴，，．
故答案为：，0，．
【题型4 根据二次函数的定义求参数值】
16．若函数是关于x的二次函数，则（　　）
A． B．1 C．1或 D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解．
【详解】解： 是关于x的二次函数，
|且，
解得：．
故选：A．
17．当二次函数的解析式为时，的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不等于零是解题的关键．
先根据二次函数的定义列式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴且，解得：．
故选C．
18．已知是二次函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得且，从而可得答案．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
19．若函数是二次函数，则的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数称为二次函数”进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案为4．
20．若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，，
解得：．
故答案为：2．
【题型5 根据二次函数的定义求参数范围】
21．如果是二次函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解．
【详解】解：函数是二次函数，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案为：．
22．若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选：A．
23．若（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
解得，
故选：A．
24．如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．全体实数
【答案】B
【分析】直接利用二次函数的定义得出答案．
【详解】∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．
25．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
根据二次函数的定义即可得解．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，即，
故答案为：．
【拓展训练一 二次函数的求参问题综合】
26．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
【答案】C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；
、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
27．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案
【详解】由题意，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有=100种，
故选：B
【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键．
28．若y＝(m－1)是关于x的二次函数，则m的值是(　　)
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
【答案】B
【分析】原函数为二次函数，所以x的最高次数为2，且二次项系数不为0，所以且，解得．
【详解】∵ 是关于x的二次函数，
∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数的定义确定参数的取值范围，并且要注意所求函数的最高次数是二次且二次项系数不为零．
29．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ．
【答案】 4
【分析】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可．
【详解】解：二次函数的解析式为，
，
，
或，
当时，，，
解得：，，满足，符合题意；
当时，，，
解得：，，不满足，不符合题意；
故答案为：；4．
30．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案．
【详解】解：由于是关于的二次函数，
且，
，
故一次函数的解析式为，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
【拓展训练二 二次函数的应用】
31．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
（1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
（2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
（3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
【答案】 一次 反比例 二次
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1 ）根据题意可得，化简即可得出答案；
（2 ）根据题意可得，化简即可得出答案；
（3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案；
【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的一次函数．
故答案为：，一次
（2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的反比例函数．
故答案为：，反比例
（3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴S是的二次函数．
故答案为：，二次
32．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式．
【详解】解：如图，连接，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
等边的边长为1，，
，
，
∴，
故答案为：．
33．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ．
【答案】
【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．
【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
，
即；
当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
过点作于点E，
，
，
即；
当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是等边三角形，且，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
即；
综上，写出与之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
34．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是 ．
【答案】m=2n2 n
【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数．
【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），
第二层的正方形个数为（4×1＋1），
第三层的正方形个数为（4×2＋1），
……
第n层的个数为：[4×（n 1）＋1]，
第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为：
1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n 2）＋1]＋[4×（n 1）＋1]
＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n 2）＋1＋4×（n 1）＋1
＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n 2＋n 1）
＝n＋4
＝n＋2n（n 1）
＝2n2 n．
即：m=2n2 n．
故答案为：m=2n2 n
【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n 1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．
35．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是 ．
【答案】/
【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案．
【详解】解：∵正方形的边长是，且
∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm
∴矩形的面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键．
直接根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是二次函数，不合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、，当时，是二次函数，不合题意；
D、是一次函数，符合题意．
故选：B．
2．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得，
故选：D．
3．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解．
【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，
∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为，
故选：C．
4．下列函数中是二次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键．
先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数．
综上，二次函数有①③，共2个．
故选B．
5．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
【答案】B
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答．
【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
6．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．
7．若函数为二次函数，则实数 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键．
根据二次函数的定义即可得出答案．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴．
故答案为：2．
8．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，
，
故答案为：．
9．当 时，是二次函数．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义可得且，解之即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，且，
解得，
故答案为：．
10．若函数表示是的二次函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵函数表示是的二次函数，
∴，，
解得：，
故答案为：．
11．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；；．则 ， ．
【答案】 4
【分析】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可．
【详解】解：二次函数的解析式为，
，
，
或，
当时，，，
解得：，，满足，符合题意；
当时，，，
解得：，，不满足，不符合题意；
故答案为：；4．
12．已知二次函数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
又∵，即，
综上所述：
13．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义可得，即可求解；
（2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可．
【详解】（1）解：函数是二次函数，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，二次函数解析式为，
∴当时，．
14．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项．
根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2、常数项是；
（2）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0、常数项是；
（3）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是1、常数项是0；
（4）∵
∴不是二次函数．
15．关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？
【答案】乙的说法对．理由见解析
【分析】本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可．
【详解】解：乙的说法对．理由如下：
对配方可得，
因为无论a取何值，，
所以，
故无论a取何值，该函数一定是二次函数．
16．当为何值时，函数是二次函数．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义，可得，且，即可求解．
【详解】解：是二次函数，
，解得，
又
．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
17．已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值．
【答案】
【分析】直接利用二次函数的定义即可求解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确把握定义形如的式子叫二次函数是解题关键．
18．已知关于的函数．
(1)若该函数为二次函数，求的值；
(2)若该函数为一次函数，求的值．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键．
（1）根据二次函数的概念得，且，求解即可；
（2）根据一次函数的概念得且，，求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得，且，
解得
∴时，该函数为二次函数；
（2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时，
且，
解得，
当首项系数为零时，，
解得和，
综上，，和时，该函数为一次函数．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
01 二次函数
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列函数属于二次函数的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024九年级下·全国·专题练习）下列函数一定是二次函数的是 ．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
3．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值为 ．
知识点2：二次函数的一般式
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
【即时训练】
4．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
知识点3：二次函数的3种特殊形式
二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时，
2)当c＝0时，
3)当b＝0且c＝0时，
【题型1 二次函数的概念】
1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号）
5．判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【题型2 列二次函数关系式】
6．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ．
10．有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
【题型3 二次函数的二次项、一次项、常数项】
11．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
12．二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、
13．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数
14．在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是 ．
15．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
【题型4 根据二次函数的定义求参数值】
16．若函数是关于x的二次函数，则（　　）
A． B．1 C．1或 D．2
17．当二次函数的解析式为时，的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
18．已知是二次函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
19．若函数是二次函数，则的值是 ．
20．若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
【题型5 根据二次函数的定义求参数范围】
21．如果是二次函数，则的值为 ．
22．若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．若（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．全体实数
25．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【拓展训练一 二次函数的求参问题综合】
26．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
27．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
28．若y＝(m－1)是关于x的二次函数，则m的值是(　　)
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
29．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ．
30．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
【拓展训练二 二次函数的应用】
31．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
（1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
（2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
（3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
32．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ．
33．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ．
34．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是 ．
35．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是 ．
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
3．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中是二次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
6．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数为二次函数，则实数 ．
8．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ．
9．当 时，是二次函数．
10．若函数表示是的二次函数，则的值为 ．
11．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；；．则 ， ．
12．已知二次函数，求的值．
13．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
14．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？
16．当为何值时，函数是二次函数．
17．已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值．
18．已知关于的函数．
(1)若该函数为二次函数，求的值；
(2)若该函数为一次函数，求的值．

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