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02 二次函数的图象
知识点1：、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质
二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下：
函数 y＝ax2
a的符号 a＞0 a＜0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0，0）
函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大
最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ．
知识点:2：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
函数 y=ax2+c(a≠0)
a的符号 a＞0 a＜0
图像 c＞0
c＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0，c） （0，c）
函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c
对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的.
【即时训练】
4．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ．
6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
知识点3：二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少
C．对称轴为 D．函数的最小值为0
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线的顶点坐标是 ．
知识点4：二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
【即时训练】
10．（2025·浙江·三模）抛物线的对称轴为直线 ．
11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ．
12．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小．
知识点5：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【即时训练】
13．（2025·浙江·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025·浙江·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大
C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点
15．（2025·浙江·三模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ．
【题型1 y=ax2的图象与性质】
1．下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随增大而增大
3．抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如果的图像是抛物线，那么 ．
5．已知抛物线经过点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)判断点是否在此抛物线上．
【题型2 y=ax2+k的图象与性质】
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．最小值是1
C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴
8．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（ ）．
A． B． C． D．
9．点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）．
10．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，则与的大小关系是______．
【题型3 y=a(x-h)2的图象与性质】
11．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为
12．已知二次函数，那么它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
14．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ．
15．已知函数 是关于x的二次函数．
求：
(1)满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
【题型4 y=a(x-h)2+k的图象的与性质】
16．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为
B．顶点坐标为
C．函数的最大值是
D．当时，随的增大而减小
17．关于抛物线，下列说法中正确的是（）．
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3
18．抛物线的顶点坐标是 ．
19．已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
20．已知二次函数．
(1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______．
(2)当______时，y有最小值是_____．
(3)当时，____．
(4)当x______时，y随x的增大而减小．
【题型5 y=ax2+bx+c的图象与性质】
21．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
23．已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．
①该二次函数的最小值为； ②当时，随的增大而减小；
③该抛物线的顶点坐标为； ④两点之间的距离是4
以上说法中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
24．若是抛物线上的点，则代数式的值为 ．
25．已知二次函数
(1)若该二次函数图象过点，求a的值．
(2)请直接写出此抛物线的对称轴．
(3)当时，y的最大值是6，求a的值．
【题型6 把 y=ax2+bx+c化成顶点式】
26．二次函数可变形为（ ）
A． B．
C． D．
27．对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
28．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ．
29．已知抛物线．
（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ．
30．已知二次函数，请用配方法将其化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【题型7 二次函数各种形式的图象画法】
31．五点法画出函数的图象．
(1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中；
x 0 1 2 3
y
(2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像．
32．已知二次函数 ．
(1)求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．
33．建立直角坐标系，并画出函数的图象．
34．已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．

(1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图；
(3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______．
35．已知二次函数．
(1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 3 …
(2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
【题型8 二次函数与一次函数图象判断】
36．一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
37．二次函数和一次函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
38．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
39．如图，一次函数与二次函数的图象交于两点，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
40．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【拓展训练一 二次函数图象的综合】
41．已知函数．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当取何值时，随的增大而增大？
(3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
42．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质．
(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
43．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请在网格中画出抛物线的图络；
(3)若一次函数，当时，直接写出的取值范围．
44．在平面直角坐标系中利用五点描点法画出函数的图象（注：先用铅笔描画，再用水笔涂黑）
x 0 1 2 3 4
y

(1)填写表格数据
(2)建立平面直角坐标系、描点、连线
(3)依据图象直接写出的自变量x取值范围 ．
45．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．关于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
3．二次函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．5
4．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
5．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
6．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．请写出一个顶点在x轴上开口向下的抛物线的函数表达式： ．
8．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ．
9．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ．
10．1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可）
11．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ．
12．如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ．
13．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1)；
(2)．
14．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)写出它的顶点坐标和开口方向．
15．已知二次函数．
(1)完成下表：
… 0 1 2 3 …
… 0 ______ ______ ______ 0 …
(2)根据（1）的结果在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的图象；
(3)结合函数图象，当时，的取值范围是______
16．已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
17．设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
(1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）；
(2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
18．如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．

(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
02 二次函数的图象
知识点1：、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质
二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下：
函数 y＝ax2
a的符号 a＞0 a＜0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0，0）
函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大
最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象．
【详解】 解：∵，
∴抛物线的对称轴是轴，顶点为，
由可知，抛物线开口向下，
故选：D．
2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的性质．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，
∴，
∴，
观察发现只有选项A符合题意，
故选：A．
3．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，在中，的值越大，函数图像越靠近轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案．
【详解】解：∵，，的图像开口向上，的图像开口向下，
∴，，，，
∵，，的图像开口依次增大，
∴，
∴．
故答案为：
知识点:2：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
函数 y=ax2+c(a≠0)
a的符号 a＞0 a＜0
图像 c＞0
c＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0，c） （0，c）
函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c
对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的.
【即时训练】
4．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解．
先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号．
【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限，
∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限，
∴，可排除选项，；
∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点，
∴，可排除，
故选：B ．
5．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴，
∴；
故答案为：．
6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
【答案】(1)2或
(2)时，抛物线有最低点，，当时，y随着x的增大而增大
【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，二次函数图象的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
对于（1），根据二次函数的定义可知，且，求出解即可；
对于（2），根据抛物线由最低点可知，即可得出关系式，从而解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，且，
解得：．
所以满足条件的m的值为2或；
（2）解：当，即时，抛物线有最低点，
当时，此时抛物线的关系式为，
该抛物线的最低点即顶点坐标为，
当时，函数值y随着x的增大而增大．
知识点3：二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
【即时训练】
7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，
∵当时，随的增大而增大，
∴；
故选B．
8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少
C．对称轴为 D．函数的最小值为0
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0；
综上，只有选项D说法错误；
故选D．
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为，进行作答即可．
【详解】解：依题意，的顶点坐标是，
故答案为：
知识点4：二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
【即时训练】
10．（2025·浙江·三模）抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点坐标式解析式，可知的对称轴是．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
抛物线的对称轴是．
故答案为： ．
11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴距离对称轴越近，函数值越小，
而，
∴，
故答案为：．
12．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小．
【答案】；顶点坐标为；当时，随的增大而减小．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将二次函数化成顶点式，根据顶点式可得出顶点坐标，再根据二次函数的增减性质即可解答，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
∴顶点坐标为，
∵，
∴当时，随的增大而减小．
知识点5：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【即时训练】
13．（2025·浙江·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可．
【详解】解：在中：
∵，
∴函数图象开口向下．
∵对称轴为，
∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确，
令代入二次函数得，
则．
∵，
∴，
∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点，
设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为，
又∵，则，
∴
∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
14．（2025·浙江·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大
C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键．
由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意；
∵，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小，
即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；
当时，，
∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴，
∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意；
∵，
∵，
∴无法确定的正负，
即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
15．（2025·浙江·三模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解．
【详解】解：，
图象开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【题型1 y=ax2的图象与性质】
1．下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同，
∴二次项系数，
故选：．
2．抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据，开口向上，由最低点，，开口向下，有最高点，与的对称轴都是轴，以及增减性逐一判断即可．
【详解】解：抛物线，开口向上，有最低点，增减性相同，对称轴是轴，
开口向下，有最高点，与，增减性不相同，对称轴是轴，
∴共有的性质是：对称轴是轴；
故选：B
3．抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∴，
故选：B．
4．如果的图像是抛物线，那么 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质与图像，根据二次函数的性质得出，且，再求解即可．
【详解】解：∵的图像是抛物线，
∴且，
解得：；
故答案为：
5．已知抛物线经过点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)判断点是否在此抛物线上．
【答案】(1)
(2)不在
【分析】本题考查二次函数的性质：
（1）把代入线求出a的值即可；
（2）在中，令，求出对应的y值，即可判断．
【详解】（1）解：把代入线得：，
解得，
；
（2）解：在中，令，得，
点不在此抛物线上．
【题型2 y=ax2+k的图象与性质】
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是；
故选A．
7．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．最小值是1
C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意；
∵，
∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意；
∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意；
故选：B．
8．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答．
本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向．
【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误
对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误．
故选：A．
9．点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：
10．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，则与的大小关系是______．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质．
（1）根据二次函数的定义可得，即可求解；
（2）求得该函数的对称轴为y轴，且开口向上，由点，，知．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知二次函数的解析式为，
∵，
∴该函数的对称轴为y轴，且开口向上，
∴在对称轴右边，y随x的增大而增大，
∵点，，
∴．
【题型3 y=a(x-h)2的图象与性质】
11．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质．
根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，时随增大而增大，当时，随的增大而减小，判定即可．
【详解】解：∵
∴
∴抛物线开口向下，故A选项不符合题意；
∴对称轴为直线，故B选项符合题意；
∴顶点坐标为，故D选项不符合题意；
∴时随增大而增大，时随增大而减小．故C选项不符合题意；
故选：B．
12．已知二次函数，那么它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
∵，
∴开口向上，故B正确．
故选：B．
13．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐项分析判定即可．
【详解】解∶ 二次函数的二次项系数为1，则其图象开口向上， 其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，
故选∶C．
14．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先分别计算出自变量为，3时的函数值，然后比较函数值得大小．
【详解】解：把、分别代入得
，，
所以．
故答案是：．
15．已知函数 是关于x的二次函数．
求：
(1)满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
【答案】(1)
(2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义：
（1）直接根据二次函数的定义进行求解即可；
（2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数，
解得 ；
（2）解：∵抛物线有最低点，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大．
【题型4 y=a(x-h)2+k的图象的与性质】
16．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为
B．顶点坐标为
C．函数的最大值是
D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意；
B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意；
C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意；
D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
17．关于抛物线，下列说法中正确的是（）．
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与x，y轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键．
根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案．
【详解】A．在抛物线中，由于，所以该抛物线开口向下，故该选项错误，不符合题意；
B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，故该选项错误，不符合题意；
C．令，即，解得．这表明抛物线与轴有两个交点，故该选项错误，不符合题意；
D．因为抛物线中，所以抛物线开口向下，函数有最大值．当时，函数的最大值是，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
18．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据二次函数的顶点式的特点进行判断可以得解．
【详解】解：由题意，∵抛物线为，
∴抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
19．已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大，
∵，且当时，，
∴，
故答案为：．
20．已知二次函数．
(1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______．
(2)当______时，y有最小值是_____．
(3)当时，____．
(4)当x______时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)向上，，
(2)4，
(3)7
(4)
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的所有的图象和性质才能比较熟练解决问题．
（1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标；
（2）根据抛物线的顶点式即可回答；
（3）将代入函数关系式求y的值；
（4）根据二次函数的图象与性质回答即可．
【详解】（1）二次函数，
图象开口方向上，对称轴为，顶点坐标为，
故答案为：向上，，；
（2）二次函数，
∴当时，y有最小值是，
故答案为：4，；
（3）将代入函数关系式得：，
故答案为：7；
（4）二次函数，图象开口方向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小．
故答案为：．
【题型5 y=ax2+bx+c的图象与性质】
21．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质.
根据反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，可知，，然后即可判断二次函数的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，
，，
二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
故选：A
22．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，都在抛物线上，且，
∴；
故选A．
23．已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．
①该二次函数的最小值为； ②当时，随的增大而减小；
③该抛物线的顶点坐标为； ④两点之间的距离是4
以上说法中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，抛物线与轴皎点问题，理解二次的图象和性质是解答关键．
先求出二次函数解析式，再变形为顶点式，求出二次函数的最小值来判断①，根据抛物线开口方向和对称轴来判定②，根据顶点坐标来判断③，令时，求出的坐标，进而求出两点之间的距离即可求解④．
【详解】解：将和代入抛物线解析式得
，
解得，
抛物线解析式为，
二次函数的最小值是，故①正确，
，
抛物线开口向上．
抛物线的对称轴为，
当，随的增大而减小，故②正确；
顶点坐标是，故③错误．
令时，，
解得，，
，
两点之间的距离是，故④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：C．
24．若是抛物线上的点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入，得出，即，整体代入即可求解．
【详解】解：将点代入，
得，即
∴
故答案为：．
25．已知二次函数
(1)若该二次函数图象过点，求a的值．
(2)请直接写出此抛物线的对称轴．
(3)当时，y的最大值是6，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据对称轴公式进行求解即可；
（3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
解得：；
（2）由题意，对称轴为直线；
（3）当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值为，
解得：；
当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数值最大，即：，
解得：；
综上：或．
【题型6 把 y=ax2+bx+c化成顶点式】
26．二次函数可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得．
【详解】解：
，
则二次函数可变形为，
故选：B．
27．对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断．
【详解】解：，
∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误
当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确，
故选：B．
28．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式．
【详解】解：，
∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的表达式为，
故答案为：．
29．已知抛物线．
（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】（1）配方成顶点式求解即可；
（2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）当时，
∴抛物线的顶点坐标为
故答案为：；
（2）∵抛物线
∴对称轴为直线
当时，抛物线开口向上
∴时，y随x的增大而增大
∵点，为抛物线上两点，若，总有，
∴
∴；
当时，抛物线开口向下
∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；
∵点，为抛物线上两点，若，总有，
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
30．已知二次函数，请用配方法将其化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用配方法将一般式转化为顶点式，再根据顶点式的性质，进行作答即可．
【详解】解：，
∴此函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
【题型7 二次函数各种形式的图象画法】
31．五点法画出函数的图象．
(1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中；
x 0 1 2 3
y
(2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了求函数值，画二次函数的图象，解题的关键是数形结合．
（1）把自变量的值代入函数式中，可以求得对应的函数值；
（2）描点、连线得到二次函数的图象
【详解】（1）解：填表如下：
x 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
（2）解：画出抛物线如下：
32．已知二次函数 ．
(1)求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．
【答案】(1)顶点坐标；抛物线与轴交点为，；
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征：
（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式，进而可得顶点坐标；令，得一元二次方程，求出的值，可得函数图象与轴的交点；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象．
【详解】（1）解：由于
∴顶点坐标；
令，得
解得，，，
抛物线与轴交点为，；
（2）解：列表如下：
描点、连线，如图所示：
33．建立直角坐标系，并画出函数的图象．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的图象的画法，根据二次函数的解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的四个点，然后即可画出相应的图象，解答本题的关键是找出函数图象上的五个点，最主要的是确定顶点
【详解】列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 0 0 3 …
描点、连线画出函数的图象如图：
．
34．已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．

(1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图；
(3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)①开口向上；②当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
【分析】（1）令，即可得到A、B的坐标，令，即可得到C的坐标；
（2）根据二次函数图像特点描点连线即可；
（3）根据二次函数图像特点即可解答．
【详解】（1）（1）令，得 ，
又∵A在B左侧，
∴，，
令，得，
故答案为：，，．
（2）

描点连线得图像如图所示；
（3）根据二次函数图像特点，该函数图像开口向上，当时，y随x的增大而增大，
故答案为：①开口向上；②当时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了画二次函数的图像及判断函数图像具备的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数及其函数图像．
35．已知二次函数．
(1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 3 …
(2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
【答案】(1)0，-1，0
(2)见解析
【分析】（1）将x=1，2，3代入求解．
（2）通过描点，连线，作图．
【详解】（1）分别将x=1，2，3代入得y=0，-1，0，
故答案为：0；-1；0．
（2）如图，
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【题型8 二次函数与一次函数图象判断】
36．一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
37．二次函数和一次函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的图象，分别根据选项中二次函数的开口方向判断a的正负，然后根据a的正负判断对称轴的位置以及一次函数图象经过的象限即可得出答案．
【详解】解：A：根据图象可得二次函数开口向上，则，此时一次函数的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项A不符合题意；
B：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在y轴的右边，故选项B不符合题意；
C：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在y轴的左边，图象符合要求，此时此时一次函数的图象经过一三四象限，图中所给符合要求，故选项C符合题意；
D：根据图象可得二次函数开口向下，则，当时，一次函数的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项D不符合题意；
故选：C．
38．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解．
【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确；
B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
故选：A．
39．如图，一次函数与二次函数的图象交于两点，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数性质，一次函数的性质，先根据题意得出，，，再判断即可得出答案．
【详解】解：根据二次函数的图象可知：
∵开口向上，
∴，
∵交y轴的负半轴开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∵一次函数与y轴交于点，
∴，
∴函数中，，
∴开口向下，
与y轴交于点在x轴的上方，
对称轴为，
∴对称轴在y轴左侧，
故选：A．
40．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知：，，，得出二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得出答案．
【详解】解：观察图像可知：，，，
∴二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，
故选：B．
【拓展训练一 二次函数图象的综合】
41．已知函数．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当取何值时，随的增大而增大？
(3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为；
(2)当时，随的增大而增大；
(3)当时，有最小值为．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（）依据题意，根据所给解析式可以得解；
（）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解；
（）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解．
【详解】（1）解：由抛物线的解析式为，
∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而增大；
（3）解：∵抛物线开口向上，
∴当时，有最小值为．
42．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质．
(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】(1)关于的函数表达式为；
(2)画函数图象见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；
(3)或．
【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键．
（）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案；
（）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质；
（）由函数图象的趋势即可得出答案．
【详解】（1）解：当点在上时，即，
则，，
∴；
当点在上时，即，
则，
∴，
综上可知：关于的函数表达式为；
（2）解：列表：
描点，
连线
如图，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）解：由图象可知：，，
解得：（负值已舍去），，
∴当时的取值范围或．
43．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请在网格中画出抛物线的图络；
(3)若一次函数，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图见解析
(3)
【分析】（）利用对称轴方程求出，再把顶点坐标代入解析式求出即可求解；
（）根据二次函数解析式画出函数图象即可；
（）画出一次函数图象，根据图象解答即可；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∵对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
当时，，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴画图如下：
（3）解：画一次函数图象如下：
由函数图象可知，当时，的取值范围为．
44．在平面直角坐标系中利用五点描点法画出函数的图象（注：先用铅笔描画，再用水笔涂黑）
x 0 1 2 3 4
y

(1)填写表格数据
(2)建立平面直角坐标系、描点、连线
(3)依据图象直接写出的自变量x取值范围 ．
【答案】(1)，0，1，0，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了画二次函数图象，利用函数图象解不等式，正确画出函数图象是解答本题的关键．
（1）把x的值分别代入函数解析式计算即可求出y的值；
（2）根据表格数据标点，然后连线即可；
（3）根据图象写出答案即可．
【详解】（1）解：填写表格
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0
（2）解：如图，

（3）解：由图象可知，的自变量x取值范围．
故答案为：．
45．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或．
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解： 直线过点，
，
，
，
，
二次函数解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为，
对称轴为直线，
过点作于点，
在中，．
①当时，设，
在中，
解之得
；
②当时，根据等腰三角形三线合一得：，
，
；
③当时，，
，．
综上所述：点的坐标为或或或．
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线形式的顶点坐标公式．根据抛物线的顶点坐标为，可知抛物线的顶点坐标是．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：B．
2．关于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：由题意，抛物线为，
抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大，
故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意．
故选：D．
3．二次函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知：当时，函数有最大值．
【详解】解：∵中；，
∴此函数的顶点坐标是，有最大值，
即当时，函数有最大值．
故选C．
4．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
5．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，
∴，
∴，
故选：A．
7．请写出一个顶点在x轴上开口向下的抛物线的函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式．
根据题意，抛物线是形式，值为负即可．
【详解】解：根据题意，抛物线是形式，值为负，
∴符合条件的抛物线解析式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
8．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值
【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反
则，
∴的解析式为
故答案为：
9．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．分，时，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．
【详解】解：当时，抛物线开口向下，此时抛物线与线段没有交点，不合题意；
当时，若抛物线与线段只有一个公共点，如图所示：
∴由图象可知：需满足当时，且当时，，
即，
解得，
故答案为．
10．1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性质及开口方向，确定点，到对称轴的距离关系，从而比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上，
∴点关于直线，的对称点为，
∵，
∴或，
∴的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
11．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键．
【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D，
在等腰直角三角形中，，则，
∵A、B两点的横坐标分别为1和，
∴，，
∵点A、B在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
整理，
解得：或（舍去），
∴b的值为2，
故答案为：2．
12．如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，即可判断②；把代入函数解析式求出的值即可判断③；作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，可得△周长，此时△周长的最小，利用勾股定理求出得到△周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴关于的方程的解是，，故①正确；
由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，
∴当时，，故②正确；
把代入得，，
解得，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，故③正确；
作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，则，，
∴△周长，此时△周长的最小，
∵，，
∴，
∴△周长的最小值，故④错误；
综上，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
13．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1)；
(2)．
【答案】(1)开口方向：向上；对称轴：直线；顶点：
(2)开口方向：向下；对称轴：直线；顶点：
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标；
（2）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的开口向上，
，
抛物线的对称轴为：直线；顶点坐标是：；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向下，
抛物线对称轴为：直线；顶点坐标是：．
14．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)写出它的顶点坐标和开口方向．
【答案】(1)；
(2)抛物线开口向下．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可；
（2）利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线
∴抛物线的顶点坐标为
设抛物线解析式为
把代入得
解得：
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为
∵，
∴抛物线开口向下．
15．已知二次函数．
(1)完成下表：
… 0 1 2 3 …
… 0 ______ ______ ______ 0 …
(2)根据（1）的结果在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的图象；
(3)结合函数图象，当时，的取值范围是______
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】本题主要考查了画二次函数图象，根据函数值求自变量的取值范围，
对于（1），将x的值分别代入关系式，可得答案；
对于（2），根据描点，连线，可得图象；
对于（3），当时，即图象在x轴下方，即可得出x的取值范围．
【详解】（1）当时，；
当时，；
当时，．
x 0 1 2 3
0 0
故答案为：；
（2）如图所示．
（3）当时，．
故答案为：．
16．已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得；
（2）列表、描点、连线即可画图；
（3）根据增减性解答即可．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：列表：
描点画图，得：
（3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线，
则当随的增大而减小时，的取值范围为．
17．设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
(1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）；
(2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，理解“同倍顶二次函数”的定义是解答的关键．
（1）先求出二次函数的顶点式为，二次函数的顶点为，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可；
（2）先分别将、的顶点式表达出来，进而得到两个函数的顶点坐标，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可．
【详解】（1）解：，，
该函数开口向上，顶点坐标为，
二次函数的顶点为，且是二次函数的一个“同倍项二次函数”，
，，，
，，，
故答案为：，，；
（2），
其图像的顶点为，
，
其图像的顶点为，
是的“同倍项二次函数”，
，
解得：．
18．如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．

(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______．
【答案】(1)5，3
(2)或2
(3)或
(4)或
【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案；
（2）根据函数图象即可求得；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）根据图象求得答案即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
把代入，
得，
当时，新函数值为，当时，新函数值为，
故答案为：，；
（2）解：观察图象可得：
当或时，新函数有最小值为，
故答案为：或；
（3）解：观察图象可得：
当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或；
故答案为：或；
（4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，
得到新函数的解析式为：，
关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点，
观察图象可得：的取值范围或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．

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